Đề và đáp án thi thử đại học, cao đẳng môn: Toán - Đề 7

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH HẢI DƯƠNG TRƯỜNG THPT ĐOÀN THƯỢNG ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN 1 NĂM 2010 Môn thi: TOÁN, Khối A Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số = + + +3 26 9y x x x 3 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số. 2) Tìm các giá trị của m để phương trình sau có sáu nghiệm phân biệt 3 2 1 2 log 6 9 3x x x m+ + + = Câu II (2,0 điểm) 1) Tìm các giá trị của m để phương trình sau có nghiệm. 2(1 )sin cos 1 2cosm x x m− − = + x 2) Giải bất phương trình: 2 1 1 2 12 3 5 xx x > −+ − . Câu III (1,0 điểm) Cho hình phẳng D giới hạn bởi đồ thị hàm số 2 3 xy x = + , trục Ox và đường thẳng 1x = . Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành. Câu IV (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có cạnh SA = x, tất cả các cạnh còn lại đều bằng 1. Tính thể tích của khối chóp S.ABCD theo x và tìm x để thể tích đó lớn nhất. Câu V (1,0 điểm) Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn abc a c b+ + = . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = 2 2 2 2 2 3 1 1a b c − + 1+ + + PHẦN RIÊNG (3,0 điểm): Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (Phần A hoặc B) A. Theo chương trình chuẩn Câu VI.a (2,0 điểm) 1) Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có diện tích bằng 3 2 và các đỉnh A(3 ; -5), B(4 ; -4). Biết rằng trọng tâm G của tam giác ABC thuộc đường thẳng 3 3x y 0− − = . Tìm tọa độ đỉnh C. 2) Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): 3 8 7 6 0x y z− + − = và hai điểm A(1;1; 3)− , . Tìm tọa độ điểm C thuộc mặt phẳng (P) sao cho tam giác ABC đều. B(3;1; 1)− Câu VII.a (1,0 điểm) Cho A và B là hai điểm trong mặt phẳng phức lần lượt biểu diễn các số phức z1 và z2 khác không thỏa mãn . Chứng minh rằng tam giác OAB đều (O là gốc tọa độ). 2 21 2 1z z z z+ = 2 0 0 B. Theo chương trình nâng cao Câu VI.b (2,0 điểm) 1) Trong mặt phẳng Oxy, cho hình bình hành ABCD có diện tích bằng 4, các đỉnh A(2 ; 2), B(-2 ; 1). Tìm tọa độ đỉnh C và D biết rằng giao điểm của AC và BD thuộc đường thẳng 3 2x y− + = 2) Trong không gian Oxyz, cho mp(P): 3 8 7 6x y z− + − = , đường thẳng d: 1 3 1 2 1 3x y z− + −= =− . Viết phương trình đường thẳng Δ vuông góc với mp(P) sao cho Δ cắt đường thẳng d tại một điểm cách mp(P) một khoảng bằng 2. Câu VII.b (1,0 điểm) Giải hệ phương trình ⎩⎨ ⎧ =− =+ 1loglog 272 33 loglog 33 xy yx xy Hết Họ và tên thí sinh:Số báo danh: Chữ kí của giám thị 1:Chữ kí của giám thị 2: Së Gi¸o Dôc vμ §μo T¹o TØnh H¶i D−¬ng Tr−êng THPT §oμn Th−îng K× thi thö §¹i häc lÇn 1 N¨m 2010 M«n to¸n, khèi A, B §¸p ¸n vμ biÓu ®iÓm * Chó ý. ThÝ sinh lμm bμi kh«ng theo c¸ch nªu trong ®¸p ¸n mμ vÉn ®óng th× cho ®ñ ®iÓm tõng phÇn t−¬ng øng. C©u ý Néi dung §iÓm I 1 Kh¶o s¸t hμm sè = + + +3 26 9y x x x 3 (C) 1,00 TX§: \. 2 1 1' 3 12 9, ' 0 3 3 x y y x x y x y = − ⇒ = −⎡= + + = ⇔ ⎢ = − ⇒ =⎣ '' 6 12, '' 0 2 1y x y x y= + = ⇔ = − ⇒ = . BBT: ghi ®Çy ®ñ KÕt luËn vÒ tÝnh ®b, nb, cùc trÞ §å thÞ. §å thÞ lμ ®−êng cong tr¬n thÓ hiÖn ®óng tÝnh låi, lâm. §å thÞ ®i qua 5 ®iÓm: C§(-3 ; 3), CT(-1 ; -1), I(-2 ; 1), A(-4 ; -1), B(0 ; 3) 4 3 2 1 -1 -4 -2 4 3 2 1 -1 -4 -2 0,25 0,25 0,25 0,25 I 2 3 2 1 2 log 6 9 3x x x m+ + + = (1) 1,00 (1) 3 2 16 9 3 2 m x x x ⎛ ⎞⇔ + + + = ⎜ ⎟⎝ ⎠ . Gäi (C’) lμ ®å thÞ hs 3 26 9y x x x 3= + + + Pt (1) cã 6 nghiÖm ⇔ ®t 1 2 m y ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠ c¾t (C’) t¹i 6 ®iÓm Ta cã 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 6 9 3 khi 6 9 3 6 9 3 ( 6 9 3) khi 6 9 3 0 x x x x x x y x x x x x x x x x ⎧ 0+ + + + + + ≥⎪= + + + = ⎨− + + + + + + <⎪⎩ Gäi (C1) lμ phÇn ®å thÞ cña (C) n¾m trªn Ox, (C2) lμ phÇn ®å thÞ cña (C) n»m d−íi Ox (C3) lμ h×nh ®èi xøng cña (C2) qua trôc Ox th× (C’) = (C1) ∪ (C3). Tõ ®å thÞ (C’), pt (1) cã 6 nghiÖm ⇔ 10 1 2 m m⎛ ⎞ 0⎜ ⎟⎝ ⎠ 0,25 0,25 0,25 0,25 II 1 T×m m ®Ó pt 2(1 )sin cos 1 2cosm x x m− − = + x (1) cã nghiÖm 1,00 TXD: \. pt (1) ( )2sin cos 1 2cos sinx x m x x⇔ − = + + NhËn xÐt. Hs tuÇn hoμn víi chu k× sin , cosy x y= = x 2π nªn pt (1) cã nghiÖm ⇔ pt 0,25 (1) cã nghiÖm thuéc nöa kho¶ng 3; 2 2 π π⎡ ⎞− ⎟⎢⎣ ⎠ . TH1. (1 )( 1) 1 0 2 x m mπ= − ⇒ − − = ⇔ − = v« lÝ. VËy 2 x π= − kh«ng lμ nghiÖm TH2. 1(1 ) 2 2 x m m mπ= ⇒ − = ⇔ = . VËy 1 2 m = th× pt cã Ýt nhÊt mét nghiÖm lμ 2 π TH3. cos 0 2 2 x xπ π− . Chia hai vÕ cho cos x ta ®−îc ( )2 2tan 1tan 1 tan 3 tan tan 3 tanxx m x x m x x−⇔ − = + + ⇔ = + + §Æt tan ,t x t= ∈\ ta ®−îc 2 1 3 tm t t −= + + . §Æt 2 1( ) 3 tf t t t −= + + ( ) 2 2 2 2 3 3'( ) 0, ( ) db trên 3 3 t tf t t f t t t t + + += > ∀ ⇒ + + + \ MÆt kh¸c 1lim ( ) , lim 2t t f t→−∞ →+∞= −∞ = . VËy 1 2 m < TH4. 3 cos 0 2 2 x xπ π< < ⇒ < . Chia hai vÕ cho cos x ta ®−îc ( )2 2tan 1tan 1 tan 3 tan tan 3 tanxx m x x m x x−⇔ − = − + + ⇔ = − + + §Æt tan ,t x t= ∈\ ta ®−îc 2 1 3 tm t t −= − + + . §Æt 2 1( ) 3 tf t t t −= − + + ( ) 2 2 2 2 3 3'( ) , '( ) 0 1 3 3 t tf t f t t t t t − − + += = − + + + ⇔ = − . LËp BBT cña ( )f t Tõ BBT suy ra 2 3 m ≤ KÕt luËn. C¸c gi¸ trÞ cña m ®Ó pt cã nghiÖm lμ 2 3 m ≤ t +−∞ 1− ∞ ' ( )f t + 0 - ( ) f t 2 3 1 2 −∞ 0,25 0,25 0,25 2 2 1 1 2 12 3 5 xx x > −+ − (1) 1,00 §K: 2 52 3 5 0, 2 1 0 , 2 1x x x x x+ − > − ≠ ⇔ 0,25 TH1. 5 2 1 0 2 x x< − ⇒ − < , bÊt ph−¬ng tr×nh ®óng. TH2. 21 2 3 5 0,2 1 0x x x x> ⇒ + − > − > Bpt 2 2 3 2 1 2 3 5 2 7 6 0 2 2 x x x x x x x ⎡ + − ⇔ − + > ⇔ ⎢ >⎣ KÕt hîp ®iÒu kiÖn ta ®−îc 31 2 x KÕt luËn. TËp nghiÖm cña bpt lμ S = 5 3; (1; ) (2; 2 2 ⎛ ⎞ )−∞ − ∪ ∪ +∞⎜ ⎟⎝ ⎠ 0,25 0,25 0,25 III TÝnh thÓ tÝch khèi trßn xoay 1,00 Ta cã 2 3 xy x = + c¾t trôc Ox t¹i ®iÓm cã hoμnh ®é x = 0. VËy V = ( ) 21 1 2 22 220 03 3 x xdx dx x x π π⎛ ⎞ =⎜ ⎟+⎝ ⎠ ⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠ ∫ ∫ §Æt 23 tan , ; 3(1 tan ) 2 2 x t t dx t dtπ π⎛ ⎞= ∈ − ⇒ = +⎜ ⎟⎝ ⎠ . 0 3 tan 0, 1 3 tan 6 π= = V = 1 2 26 6 2 2 2 2 2 2 0 0 0 3 tan 33(1 tan ) sin ( 3) (3 tan 3) 3 x tdx t dt tdt x t π π ππ π= + =+ +∫ ∫ ∫ = 26 6 00 3 1 cos 2 3 sin 2 3( ) 3 2 6 2 36 t tdt t π π 8 π π π− = − = −∫ π * Chó ý. Häc sinh cã thÓ sö dông c«ng thøc tÝch ph©n tõng phÇn nh− sau V = ( ) ( ) 1 12 2 22 2 0 03 3 x xdx x dx x x π π= + +∫ ∫ vμ ®Æt ( )2 22 1, ' ' 1, 2( 3)3 xu x v u v xx −= = ⇒ = = ++ råi ®i ®Õn ( ) ( ) 11 1 2 2 22 0 00 1 2( 3) 2 33 x xx dx dx x xx π π ⎛ ⎞−⎜ ⎟= +⎜ ⎟+ ++ ⎝ ⎠∫ ∫ 0,25 0,25 0,25 0,25 IV TÝnh thÓ tÝch cña khèi chãp S.ABCD 1,00 Gäi H lμ h×nh chiÕu cña S trªn mp(ABCD) Do SB = SC = SD nªn HB = HC = HD suy ra H lμ t©m ®−êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c BCD Tam gi¸c BCD c©n t¹i C nªn H thuéc CO, O lμ giao cña AC vμ BD. CBD ABD SBDΔ = Δ = Δ OC OA OS SAC⇒ = = ⇒Δ vu«ng t¹i S 2 1AC x⇒ = + 0,25 0,25 O A B CD S H 2 2 2 1 1 1 1 xSH SH SA SC x2 = + ⇒ = + ABCD lμ h×nh thoi 2 2 1 3 2 2AC BD OB AB AO x⇒ ⊥ ⇒ = − = − 2 21 1 1. 1. 3 2 2 6ABCD S AC BD x x V x= = + − ⇒ = 23 x− ¸p dông B§T C«si ta cã 2 2 21 1 33 . 6 6 2 x xV x x + −= − ≤ = 1 4 §¼ng thøc x¶y ra 6 2 x⇔ = . VËy V lín nhÊt khi 6 2 x = 0,25 0,25 V T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc P = 2 2 2 2 2 3 1 1a b c − + 1+ + + 1,00 §Æt . tan , tan , tana x b y c z= = = , , 0 , , 0; 2 a b c x y z π⎛ ⎞> ⇒ ∈⎜ ⎟⎝ ⎠ tan tantan tan tan( ) 1 1 tan tan a c x zabc a c b b y y x z ac x z + ++ + = ⇔ = ⇔ = ⇔ = +− − y x z kπ⇔ = + + . , , 0; 0 2 x y z kπ⎛ ⎞∈ ⇒⎜ ⎟⎝ ⎠ = . VËy y x z⇔ = + P = 2 2 22cos 2cos 3cos 1 cos 2 (1 cos 2 ) 3cos2x y z x y− + = + − + + z 2 22sin( )sin( ) 3cos 2sin( )sin 3(1 sin )x y x y z x y z= − + − + = + + − z 2 2 21 13sin 2sin( )sin 3 3 sin sin( ) 3 sin ( ) 3 3 z x y z z x y x⎛ ⎞= − + + + = − − + + + +⎜ ⎟⎝ ⎠ y 1P 0 3 3 ⇒ ≤ + + . §¼ng thøc x¶y ra 1 1, 2, 2 2 2 a b c= =⇔ = . VËy 10 3 Pmax = 0,25 0,25 0,25 0,25 VI.a 1 T×m täa ®é ®Ønh C 1,00 1 12 . ( ; ) 2 ( ; ) 2 3 2GAB CAB S S AB d G AB d G AB= = ⇔ = ⇔ = ) 3 3 ( ;3 3G y x G t t∈ = − ⇒ − . §t AB cã pt 8 0x y− − = (3 3) 8 ( ; ) 2 2 2 5 2 2 2 t t d G AB t − − −= ⇔ = ⇔ + = 5 2 2 5 2 2 21 6 2 29 6 2 45 18 2; ; 2 2 2 2 2 5 2 2 5 2 2 21 6 2 29 6 2 45 18 2; ; 2 2 2 2 2 t G C t G C ⎡ ⎛ ⎞ ⎛− + − + − + − + − += ⇒ ⇒⎢ ⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜⎢ ⎝ ⎠ ⎝⇔ ⎢ ⎛ ⎞ ⎛− − − − − − − − − −⎢ = ⇒ ⇒⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜⎢ ⎝ ⎠ ⎝⎣ ⎞⎟⎟⎠ ⎞⎟⎟⎠ 0,25 0,25 0,25 0,25 2 T×m täa ®é ®iÓm C thuéc mÆt ph¼ng (P) sao cho tam gi¸c ABC ®Òu 1,00 ( ; ; ) ( ) 3 8 7 6C a b c P a b c∈ ⇔ − + − = 0 2 (1). Tam gi¸c ABC ®Òu 2 2AC BC AB⇔ = = 2 2 2 0 ( 2 2 6 3 0 (3 a c a b c a b c + =⎧⇔ ⎨ + + − − + + =⎩ 2) ) 0,25 0,25 Tõ (1) vμ (2) suy ra 3 32 , 2 2 2 a b c b= − − = + thÕ vμo (3) ta ®−îc . Ph−¬ng tr×nh nμy v« nghiÖm. VËy kh«ng cã ®iÓm C nμo tháa m·n. 218 52 39 0b b+ + = 0,25 0,25 VII.a Chøng minh r»ng tam gi¸c OAB ®Òu 1,00 Tam gi¸c OAB ®Òu 1 2 1OA OB AB z z z z⇔ = = ⇔ = = − 2 Ta cã 3 3 2 2 3 31 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2( )( ) 0z z z z z z z z z z z z+ = + + − = ⇒ = − ⇒ = MÆt kh¸c 2 2 2 21 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 20 ( ) ( )z z z z z z z z z z z z+ − = ⇔ − = − ⇒ − = − 2 1 2 1 2 1 2 1 2.z z z z z z z z⇒ − = ⇒ − = = . 0,25 0,25 0,25 0,25 VI.b 1 T×m täa ®é ®Ønh C vμ D 1,00 1 11 . ( ; ) 1 ( ; ) 4 2 17IAB ABCD S S AB d I AB d I AB= = ⇔ = ⇔ = 2 x y §t AB cã pt 4 6 0+ = 3 2 0 (3 2; ). I x y I t t− ∈ − + = ⇒ − 3 2 4 62 2( ; ) 4 2 17 17 17 t t d I AB t − − += ⇔ = ⇔ − = 2 (4;2) (6;2), (10;3) 6 (16;6) (30;10), (34;11) t I C D t I C D = ⇒ ⇒⎡⇔ ⎢ = ⇒ ⇒⎣ 0,25 0,25 0,25 0,25 2 ViÕt ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng Δ 1,00 d cã ptts 1 , 3 2 , 3x t y t z t= − = − + = + . Δ c¾t d t¹i I (1 , 3 2 ,3 )I t t⇒ − − + + t 24 122 6( ;( )) 2 12 48 2 122 24 122 6 t d I P t t ⎡ +=⎢⎢= ⇔ − + = ⇔ ⎢ −=⎢⎣ 24 122 18 122 15 122 42 122; ; 6 6 3 t I ⎛ ⎞+ − − + += ⇒ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠6 18 122 15 122 42 122 6 3: 3 8 7 x y y+ + ++ − − ⇒ Δ = =− 6 24 122 18 122 15 122 42 122; ; 6 6 3 t I ⎛ ⎞− − + − −= ⇒ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠6 18 122 15 122 42 122 6 3: 3 8 7 x y y− − −+ − − ⇒ Δ = =− 6 0,25 0,25 0,25 0,25 VII.b Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh ⎩⎨ ⎧ =− =+ 1loglog 272 33 loglog 33 xy yx xy 1,00 §k: . 0, 0x y> > 3 3log log 1 3y x y− = ⇔ = x 0,25 0,25 3 3 3 3 3log log log log log2 27y x y x yx y x y x= ⇒ + = ⇔ = 9 L«garit c¬ sè 3 hai vÕ ta ®−îc 3 3 3 3 3log .log log 9 (1 log ) log 2y x x x= ⇔ + = 3 3 3 9log 1 1log 2 9 3 x yx x x y = ⇒ =⎡=⎡ ⎢⇔ ⇔⎢ ⎢= − = ⇒ =⎣ ⎣ 1 (tháa m·n ®k). VËy hÖ pt cã 2 nghiÖm lμ.. 0,25 0,25