Định lý Lagrange và ứng dụng

định lý lagrange và ứng dụng A.Định lý Lagrange 1.Định lý Weierstrass Nếu hàm số f(x) liên tục trên thì nó đạt được giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất và mọi giá trị trung gian giữa giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất trên . (SGK ĐS> 11) 2.Định lý Fermat Nếu hàm số f(x) có đạo hàm tại và đạt cực trị tại điểm đó thì . (SGK Giải tích 12) 3.Định lý Rolle Giả sử f(x) liên tục trên và có đạo hàm trên . Nếu thì tồn tại ít nhất một điểm sao cho . Chứng minh Vì f(x) liên tục trên nên f(x) đạt giá trị nhỏ nhất m và giá trị lớn nhất M trên . + Nếu m=M thì f(x)=m=M suy ra . Do đó ta có . + Nếu m<M thì hoặc . Giả sử . Vì f(x) liên tục trên nên theo định lý Weierstrass tồn tại ít nhất một điểm sao cho . Hiển nhiên và suy ra . Vì nên f(x) đạt cực tiểu tại c. Theo định lý Fermat ta có . ( Chứng minh tương tự cho TH ) 4.Định lý Lagrange Nếu hàm số f(x) liên tục trên và có đạo hàm trên thì tồn tại ít nhất một điểm sao cho . Chứng minh Xét hàm số với . Ta có g(x) liên tục trên và có đạo hàm trên : . Mặt khác nên theo định lý Rolle tồn tại sao cho . Do đó (Đpcm) 5.ý nghĩa hình học của định lý Lagrange Do f(x) liên tục trên nên đồ thị của f(x) trên là một cung liền AB với A(a;f(a)), B(b;f(b)). Cát tuyến AB có hệ số góc . Định lý Lagrange khẳng định sao cho nghĩa là hệ số góc của tiếp tuyến của cung AB tại C(c;f(c)) bằng hệ số góc của cát tuyến AB. Nói cách khác, trên cung AB tồn tại ít nhất một điểm C sao cho tiếp tuyến tại C song song với AB. B.Một số ứng dụng của định lý Lagrange I.Một số tính chất của hàm số và đồ thị 1.Định lý Nếu thì . Chứng minh Xét cố định ,.ta có + Nếu thì . + Nếu thì theo định lý Lagrange nằm giữa và sao cho . Vì nên suy ra . Vậy . 2.Điều kiện đủ để hàm số đồng biến ,nghịch biến Cho hàm số f(x) có đạo hàm trên . a. Nếu thì f(x) đồng biến trên . b. Nếu thì f(x) nghịch biến trên . Chứng minh ta có f(x) liên tục và có đạo hàm trên . Theo định lý Lagrange sao cho . a. Nếu thì do đó suy ra f(x) đồng biến trên . b. Nếu thì do đó suy ra f(x) nghịch biến trên . 3.Điều kiện đủ để đồ thị hàm số lồi, lõm Cho hàm số f(x) có đạo hàm trên . Đồ thị hàm số f(x) trên là cung (C).Với , tiếp tuyến của (C) tại có phương trình là Định nghĩa: Cung (C) được gọi là lồi nếu mọi điểm của cung này đều nằm dưới tiếp tuyến bất kỳ của cung ( trừ tiếp điểm ). Tức là : Nếu ta luôn có thì cung (C) được gọi là lồi. Tương tự Cung (C) được gọi là lõm nếu mọi điểm của cung này đều nằm trên tiếp tuyến bất kỳ của cung ( trừ tiếp điểm ). Tức là : Nếu ta luôn có thì cung (C) được gọi là lõm. Định lý: Giả sử hàm số f(x) có đạo hàm cấp 2 trên . a. Nếu thì đường cong y=f(x) lõm trên . b. Nếu thì đường cong y=f(x) lồi trên . Chứng minh a. Giả sử . Tiếp tuyến của đường cong y=f(x) tại có phương trình là . áp dụng định lý Lagrange cho f(x) trên , ta có: tồn tại c nằm giữa và sao cho Suy ra (*) Vì nên đồng biến trên . Do đó + Nếu thì suy ra . Khi đó (*) + Nếu thì suy ra . Khi đó (*) Vậy Đường cong y=f(x) lõm trên . b. Chứng minh tương tự. II.ứng dụng của định lý Lagrange trong chứng minh Bất đẳng thức Bài 1: CMR a) b) Bài 2: CMR Ta có a) b) Bài 3: CMR Ta có a) b) Bài 4: CMR Ta có a) b) Bài 5: Cho 0<a<b CMR Bài 6: Cho x>y>0 CMR Bài 7: CMR Bài 8: Cho Tìm GTLN của hàm số trên . Bài 9: Cho a<b<c. CMR a) b) Bài 10: Cho 0<a<b<c<d CMR Bài 11: Cho CMR Bài 12: Cho CMR Bài 13: Cho a<b ; . CMR a) a) Bài 14: CMR Bài 15: CMR Bài 16: CMR Bài 17: CMR Bài 18: Cho .CMR Bài 19: Tìm GTNN của hàm số Bài 20: Cho . CMR Bài 21: Cho có đạo hàm cấp 2 trên . CMR a) Nếu thì b) Nếu thì Bài 22: Cho có đạo hàm cấp 2 trên . CMR a) Nếu thì b) Nếu thì Bài 23: Cho thoả mãn 2 điều kiện sau: a) b) CMR Bài 24: CMR a) b) c) d) Bài 25: CMR Bài 26: Cho thoả mãn 3 điều kiện sau: a) f liên tục trên b) f' tăng trên c) f(0) =0 CMR tăng trên . Bài 27: (Định lý Cauchy) Cho f, g là các hàm liên tục trên và có đạo hàm trên , . CMR sao cho Bài 28: Cho f, g có đạo hàm trên R, (là hằng số ), g là hàm đồng biến trên R. CMR Bài 29: Giả sử hàm số f có đạo hàm trên (a>0). CMR sao cho Bài 30: Giả sử f liên tục trên ,có đạo hàm cấp 2 trên , và c là một điểm cho trước của . CMR sao cho Bài 31: Giả sử f(x) khả vi trên và . CMR để . Bài 32: CMR Nếu f(x) liên tục trên , khả vi trên và f(x) không là hàm bậc nhất thì để Bài 33: CMR Bài 34: CMR Bài 35: Cho CMR Bài 36: a) CMR b) Tìm GTNN của hàm số c) CMR nhọn , ta có : Bài 37: CMR với Bài 38: Cho x>1,a>1. CMR Bài 39: Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên và thoả mãn các điều kiện . CMR Bài 40: Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên và . Đặt . CMR III. ứng dụng của định lý Lagrange trong phương trình Bài 1: Cho m>0 và CMR Phương trình có nghiệm thuộc . Bài 2: Cho CMR Phương trình có nghiệm thuộc . Bài 3: CMR Phương trình luôn có nghiệm với mọi số a,b,c,d. Bài 4: Giải phương trình Bài 5: Cho có đạo hàm trên CMR Phương trình có ít nhất một nghiệm trên . Bài 6: Cho f(x) khả vi trên và phương trình f'(x)=0 có đúng một nghiệm trên . CMR Phương trình f(x)=0 không thể có quá hai nghiệm phân biệt trên . Bài 7: Cho a-b+c=0 .CMR Phương trình có ít nhất 4 nghiệm phân biệt thuộc . Bài 8: CMR Phương trình có ít nhất 7 nghiệm trên . Bài 9: Giả sử hàm số f(x) có đạo hàm cấp n trên . CMR Nếu pt f(x)=0 có n+1 nghiệm phân biệt trên thì phương trình có ít nhất 1 nghiệm trên . Bài 10: CMR Phương trình luôn có nghiệm trong với mọi a,b,c,d. Bài 11: CMR Nếu phương trình có nghiệm dương thì phương trình cũng có nghiệm dương ,. Bài 12: Cho f(x) liên tục trên . CMR Nếu