Đồ thị hàm số và các bài toán liên quan

Khảo sát hàm số 1 Đồ thị hàm số và các bài toán liên quan A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1. Tính đơn điệu của hàm số 1.1. Định nghĩa. Cho hàm số f xác định trên K , với K là khoảng, đoạn hay nửa khoảng. Khi đó f đồng biến trên K ( )1 2 1 2 1 2, , ( ) ( )x x K x x f x f x⇔ ∀ ∈ < ⇒ < . f nghịch biến trên K ( )1 2 1 2 1 2, , ( ) ( )x x K x x f x f x⇔ ∀ ∈ . 1.2. Điều kiện cần và đủ Cho hàm số f có đạo hàm trên khoảng I . Khi đó f đồng biến trên I ⇔ 0( ) ,f x x I′ ≥ ∀ ∈ và 0( )f x′ = chỉ tại một số điểm hữu hạn thuộc I . f nghịch biến trên I ⇔ 0( ) ,f x x I′ ≤ ∀ ∈ và 0( )f x′ = chỉ tại một số điểm hữu hạn thuộc I . f là hàm hằng trên I 0( ) ,f x x I′⇔ = ∀ ∈ . 2. Cực trị của hàm số 2.1. Điều kiện cần để có cực trị Cho hàm số f có đạo hàm tại 0x . Nếu hàm số f đạt cực trị tại 0x thì 0 0( )f x′ = . 2.2. Điều kiện đủ để có cực trị 2.2.1. Điều kiện đủ thứ nhất. Cho hàm số f có đạo hàm trên khoảng ( ; )a b , 0 ( ; )x a b∈ . Khi đó nếu ( )f x′ đổi dấu khi x qua 0x thì f đạt cực trị tại 0x . x 0x x 0x ( )f x′ 0 ( )f x′ 0 ( )f x CĐ ( )f x CĐ WWW.MATHVN.COM www.MATHVN.com Khảo sát hàm số 2 2.2.2. Điều kiện đủ thứ hai. Cho hàm số f có đạo hàm cấp một trên ( ; )a b chứa 0x , 0 0( )f x′ = và 0 0( )f x′′ ≠ . Khi đó
0 0( )f x′′ ⇒ f đạt cực tiểu tại 0x . Chú ý. Ta thường sử dụng Điều kiện đủ thứ hai trong các bài toán có yêu cầu liên quan đến cực trị tại những điểm cụ thể cho trước. 2.3. Đường thẳng qua hai điểm cực trị 2.3.1. Hàm số 3 2( )y f x ax bx cx d= = + + + 0( )a ≠ , ( )C Giả sử đồ thị ( )C có hai điểm cực trị ( );A AA x y , ( );B BB x y . Thực hiện phép chia đa thức ( )f x cho ( )f x′ , ta được ( ) ( ). ( )f x g x f x xα β′= + + . Khi đó ta có 0 ( ) ( ). ( ) A A A A A A y f x g x f x x xα β α β = ′= = + + = +
 ; 0 ( ) ( ). ( ) B B B B B B y f x g x f x x xα β α β = ′= = + + = +
 . Suy ra , :A B y xα β∈ ∆ = + nên ∆ là đường thẳng qua hai điểm cực trị của đồ thị ( )C . 2.3.2. Hàm số 2 ( ) ax bx c y f x dx e + + = = + 0( )a ≠ , ( )C Giả sử đồ thị ( )C có hai điểm cực trị ( );A AA x y , ( );B BB x y . Đặt 2( )u x ax bx c= + + , ( )v x dx e= + . Khi đó 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) u x v x u x v x f x v x ′ ′− ′ =      . Nếu f đạt cực trị tại 0x thì 0 0 0 0 0( ) ( ) ( ) ( )u x v x u x v x′ ′− = 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) u x u x v x v x ′ ⇔ = ′ hay 00 0 ( ) ( ) ( ) u x f x v x ′ = ′ . Do đó ta có 2 ( ) A A A ax b y f x d + = = và 2 ( ) B B B ax b y f x d + = = . Suy ra 2 , : ax b A B y d + ∈ ∆ = nên ∆ là đường thẳng qua hai điểm cực trị của đồ thị ( )C . Chú ý. Ta thường sử dụng thuật toán Đường thẳng qua hai điểm cực trị đối với các bài toán liên quan đến giá trị cực trị hay điểm cực trị của đồ thị hàm số. 3. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất 0 0 , ( ) max ( ) , ( )x x f x M M f x x f x M∈ ∀ ∈ ≤= ⇔  ∃ ∈ = D D D 0 0 , ( ) min ( ) , ( )x x f x m m f x x f x m∈ ∀ ∈ ≥= ⇔  ∃ ∈ = D D D . Nếu ( )y f x= đồng biến trên [ ; ]a b thì [ ; ] min ( ) ( ) x a b f x f a ∈ = và [ ; ] max ( ) ( ) x a b f x f b ∈ = . Nếu ( )y f x= nghịch biến trên [ ; ]a b thì [ ; ] min ( ) ( ) x a b f x f b ∈ = và [ ; ] max ( ) ( ) x a b f x f a ∈ = . 4. Tiệm cận Đường thẳng 0x x= được gọi là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số ( )y f x= nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn 0 lim ( ) x x f x −→ = +∞ ; 0 lim ( ) x x f x +→ = +∞ ; 0 lim ( ) x x f x −→ = −∞ ; 0 lim ( ) x x f x +→ = −∞ . Đường thẳng 0y y= được gọi là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số ( )y f x= nếu WWW.MATHVN.COM www.MATHVN.com Khảo sát hàm số 3 0lim ( )x f x y →+∞ = hoặc 0lim ( )x f x y →+∞ = . Đường thẳng y ax b= + 0( )a ≠ được gọi là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số ( )y f x= nếu 0lim [ ( ) ( )] x f x ax b →+∞ − + = hoặc 0lim [ ( ) ( )] x f x ax b →−∞ − + = . 5. Một số bài toán liên quan đến đồ thị hàm số 5.1. Tìm điểm cố định của một họ đồ thị. Cho hàm số ( , )y f x m= , ( ) m C . Khi đó họ ( ) m C qua điểm cố định ( )0 0;M x y ⇔ 0 0( , ),y f x m m= ∀ 10 0 1 0 0 0 0 0 0( ; ) ( ; ) ... ( ; ) , k k k k g x y m g x y m g x y m− − ⇔ + + + = ∀ 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 ( ; ) ( ; ) ...................... ( ; ) k k g x y g x y g x y −  = =⇔   = . 5.2. Vị trí tương đối giữa hai đồ thị. Cho hàm số ( )y f x= , ( )C và hàm số ( )y g x= , ( )C ′ . Giao điểm của hai đồ thị Điều kiện để hai đồ thị tiếp xúc nhau ( )C và ( )C ′ tiếp xúc nhau ( ) ( ) ( ) ( ) f x g x f x g x  =⇔  ′ ′ = có nghiệm. 5.3. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số Bài toán Cách giải  Tiếp tuyến tại điểm thuộc đồ thị Cho ( )C : ( )y f x= và ( )0 0; ( )M x y C∈ . Viết phương trình tiếp tuyến của ( )C tại M . Áp dụng công thức 0 0 0( )( )y y f x x x′− = − .  Tiếp tuyến qua điểm cho trước Cho ( )C : ( )y f x= và điểm ( );A AA x y . Viết phương trình tiếp tuyến của ( )C qua A . Cách 1. Gọi d là đường thẳng qua ( );A AA x y và có hệ số góc k : ( ) A A y k x x y= − + . Dùng điều kiện tiếp xúc 5.2 để xác định k . Cách 2. Pttt d tại điểm ( )0 0;M x y bất kỳ: 0 0 0( )( )y y f x x x′− = − . Vì d qua A nên 0 0 0( )( )A Ay y f x x x′− = − . Từ đây suy ra 0x .  Tiếp tuyến có hệ số góc cho trước Cho hàm số ( )y f x= , ( )C . Viết phương trình tiếp tuyến d của ( )C biết tiếp d có hệ số góc k . Pttt d của ( )C tại ( )0 0;M x y bất kỳ: 0 0 0( )( )y y f x x x′− = − . Vì d có hệ số góc k nên suy ra 0( )f x k′ = . Từ đây suy ra 0x . 5.4. Đồ thị của hàm số chứa giá trị tuyệt đối Số giao điểm của ( )C và ( )C ′ là số nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm ( ) ( )f x g x= . WWW.MATHVN.COM www.MATHVN.com Khảo sát hàm số 4 Hàm số Đồ thị  Từ đồ thị ( )C : ( )y f x= , hãy vẽ đồ thị ( )1C : ( )y f x= . Do 0 0 ( ), ( ) ( ) ( ), ( ) f x f x f x f x f x  ≥=  − < nên ta vẽ đồ thị ( )1C như sau
Giữ lại phần đồ thị ( )aC của ( )C không nằm phía dưới trục Ox .
Lấy đối xứng phần đồ thị còn lại của ( )C qua trục Ox , ta được phần đồ thị ( )bC . Khi đó ( ) ( ) ( )1 a bC C C= ∪ .  Từ đồ thị ( )C : ( )y f x= , hãy vẽ đồ thị ( )2C : ( )y f x= . Ta có ( ) ( ) ( ) 0 0 , , f x x f x f x x  ≥ =   − < và ( )f x là hàm chẵn nên đồ thị đối xứng qua trục tung. Do đó ta vẽ đồ thị ( )1C như sau
Giữ phần đồ thị ( )aC của ( )C không nằm bên trái trục Oy.
Lấy đối xứng phần đồ thị còn lại của ( )C qua trục Oy, ta được phần đồ thị ( )bC . Khi đó ( ) ( ) ( )2 a bC C C= ∪ .  Từ đồ thị ( )C : ( )y f x= , hãy vẽ đồ thị ( )3C : ( )y f x= . Ta thực hiện như sau
Vẽ đồ thị của hàm số ( )y f x= .
Vẽ đồ thị của hàm số ( )y f x= .  Từ đồ thị ( ) ( ) ( ): .C y u x v x= , hãy vẽ đồ thị ( )4C : ( ). ( )y u x v x= . Vì ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 . , . , u x v x v x u x v x u x v x v x  ≥ =  − < , nên ta vẽ ( )4C như sau
Giữ lại phần đồ thị ( )aC của ( )C ứng với ( ) 0u x ≥ .
Lấy phần đối xứng phần đồ thị còn lại của ( )C qua trục hoành, ta được ( )bC . Khi đó ( ) ( ) ( )4 a bC C C= ∪ . 6. Một số kiến thức khác liên quan 6.1. Các vấn đề liên quan đến Định lí về dấu của tam thức bậc hai 6.1.1. Định lí về dấu của tam thức bậc hai Cho tam thức bậc hai 2( )f x ax bx c= + + 0( )a ≠ . Khi đó ta có 3 trường hợp
0∆ < x −∞ +∞ f(x) cùng dấu với a
0∆ = x −∞ 0 2 b x a = − +∞ f(x) cùng dấu với a 0 cùng dấu với a
0∆ > x −∞ 1x 2x +∞ f(x) cùng dấu a 0 trái dấu a 0 cùng dấu a WWW.MATHVN.COM www.MATHVN.com Khảo sát hàm số 5 6.1.2. Điều kiện tam thức không đổi dấu trên  Cho tam thức 2( )f x ax bx c= + + 0( )a ≠ . Khi đó ta có
0 0 0 ( ) ,f x x a ∆ ∀ ∈ ⇔   > 
0 0 0 ( ) ,f x x a ∆ << ∀ ∈ ⇔   <  .
0 0 0 ( ) ,f x x a ∆ ≤≥ ∀ ∈ ⇔   > 
0 0 0 ( ) ,f x x a ∆ ≤≤ ∀ ∈ ⇔   <  . 6.1.3. So sánh các nghiệm của một phương trình bậc hai với một số thực cho trước Xét phương trình bậc hai ( ) 2 0f x ax bx c= + + = (1) và một số thực α cho trước. Khi đó
(1) có hai nghiệm 1 2,x x thỏa mãn 1 20x x< < 0P⇔ < .
(1) có hai nghiệm 1 2,x x thỏa mãn 1 20 x x< < 0 0 0 P S ∆ >⇔ >  > .
(1) có hai nghiệm 1 2,x x thỏa mãn 1 2 0x x< < 0 0 0 P S ∆ >⇔ >  < .
(1) có hai nghiệm 1 2,x x thỏa mãn 1 2x x α< < ( ) 0 0 2 af S α α ∆ >⇔ >  < .
(1) có hai nghiệm 1 2,x x thỏa mãn 1 2x xα < < ( ) 0 0 2 af S α α ∆ >⇔ >  > .
(1) có hai nghiệm 1 2,x x thỏa mãn 1 2x xα< < . Đặt t x α= − , phương trình (1) trở thành ( ) 0g t = (2), ta cần phải có (2) có hai nghiệm 1 2,t t thỏa mãn 1 20t t< < 0P⇔ < . 6.1.4. Liên hệ về số nghiệm giữa phương trình trùng phương và phương trình bậc hai tương ứng Cho phương trình trùng phương 4 2 0ax bx c+ + = (1). Đặt 2t x= , phương trình (1) trở thành 2 0at bt c+ + = (2). Khi đó
(1) vô nghiệm  ⇔   0 0 0 0, ,P S ∆ < .
(1) có một nghiệm ⇔ (2) có nghiệm 1 2 0t t≤ = 0 0 P S  =⇔   ≤ .
(1) có hai nghiệm  ⇔   0 0 0 ,S P ∆ = >⇔  < . (2) vô nghiệm (2) có nghiệm 1 2 0t t≤ < (2) có nghiệm 1 2 0t t= > (2) có nghiệm 1 20t t< < WWW.MATHVN.COM www.MATHVN.com Khảo sát hàm số 6
(1) có ba nghiệm⇔ (2) có nghiệm 1 20t t= < 0 0 P S  =⇔   > .
(1) có bốn nghiệm⇔ (2) có nghiệm 1 20 t t< < 0 0 0 P S ∆ >⇔ >  > . 6.2. Góc giữa hai đường thẳng Cho hai đường thẳng 1 1 1 1 0: a x b y c∆ + + = và 2 2 2 2 0: a x b y c∆ + + = . Khi đó 1∆ và 2∆ tạo với nhau một góc α thì 1 2 1 2 2 2 2 2 1 1 2 2 cos a a bb a b a b α + = + + . Đặc biệt
1∆ song song 2∆ 1 1 1 2 2 2 a b c a b c ⇔ = ≠
1∆ vuông góc 2∆  1 2 1 2 1 2 1. k k a a b b   ⇔ − − = −  
 . 6.3. Khoảng cách 6.3.1. Khoảng cách giữa hai điểm Khoảng cách giữa hai điểm ( ; ) A A A x y và ( ; ) B B B x y là 2 2( ) ( ) B A B A AB x x y y= − + − . 6.3.2. Khoảng cách từ một điểm tới một đường thẳng Khoảng cách từ điểm ( ; ) M M M x y tới 0: ax by c∆ + + = là 2 2 ( , ) M M ax by c d M a b + + ∆ = + . B. MỘT SỐ DẠNG TOÁN VÀ VÍ DỤ CÓ LỜI GIẢI 1. Tính đơn điệu của hàm số Dạng toán 1. Tìm các giá trị của tham số để hàm số đơn điệutrên một khoảng cho trước Bài 1. Tìm các giá trị của m để hàm số ( )3 2 1 3 2 1 3 y x mx m x= + + − + đồng biến trên khoảng ( )1 2; . Giải Cách 1. Phương pháp đồ thị hàm số Yêu cầu bài toán ⇔ ( )2 2 3 2 0 1 2, ;y x mx m x′ = + + − ≥ ∀ ∈ ⇔ 2 2 3 2 0 1 2, ;y x mx m x  ′ = + + − ≥ ∀ ∈    (vì y ′ liên tục tại 1x = và 2x = ) ( ) 2 2 1 2 2 3 , ; x g x m x −  ⇔ = ≥ − ∀ ∈   + hay ( ) 1 2; min x g x m  ∈   ≥ − . Ta có ( ) ( ) 2 2 2 6 4 2 3 x x g x x + + ′ = + ; ( ) 1 1 2 0 2 1 2 ; ; x g x x   = − ∉    ′ = ⇔   = ∈    , và ( ) 11 5 g = − , ( ) 22 7 g = . Do đó ( ) ( ) 1 2 11 5 ; min x g x g  ∈   = = − . Vậy các giá trị của m cần tìm là 1 5 m ≥ . Cách 2. Phương pháp tam thực bậc hai WWW.MATHVN.COM www.MATHVN.com Khảo sát hàm số 7 Yêu cầu bài toán ⇔ ( ) ( )2 2 3 2 0 1 2, ;y f x x mx m x′ = = + + − ≥ ∀ ∈ . Điều này xảy ra nếu một trong hai điều kiện sau đây được thỏa mãn i. 2 2 3 2 0y x mx m x′ = + + − ≥ ∀ ∈  , tức là 2 3 2 0 1 2m m m′∆ = − + ≤ ⇔ ≤ ≤ . ii. ( ) 0f x = có hai nghiệm 1 2,x x thỏa mãn 1 2 1x x< ≤ hoặc 1 22 x x≤ < . Trường hợp 1. ( ) 0f x = có hai nghiệm 1 2,x x thỏa mãn 1 2 1x x< ≤ , ta có ( ) 2 3 2 0 1 5 1 0 1 2 m m af m S m  ′∆ = − + > = − ≥  = − < 1 2 11 1 55 21 m m m m m m     ≤  > − . Trường hợp 2. ( ) 0f x = có hai nghiệm 1 2,x x thỏa mãn 1 22 x x< < , ta có ( ) 2 3 2 0 2 7 2 0 2 2 m m af m S m  ′∆ = − + > = + ≥  = − > 1 2 2 7 2 m m m m m  ⇔ ≥ − ⇔ ∈ ∅  < − . Kết hợp các trường hợp trên ta được các giá trị m cần tìm là 1 5 m ≥ . Bài 2. Tìm các giá trị của m để hàm số ( ) ( )3 2 21 2 1 9 9 23y x m x m m x= + − + − + + đồng biến trên khoảng ( )1;−∞ . Giải Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng ( )1;−∞ khi và chỉ khi ( ) ( ) ( )2 22 2 1 9 9 0 1;y f x x m x m m x′ = = + − + − + ≥ ∀ ∈ −∞ . Điều này xảy ra khi và chỉ khi một trong hai điều kiện sau được thỏa mãn i. ( ) 0f x x≥ ∀ ∈  2 83 5 8 0 1 3 m m m′⇔ ∆ = + − ≤ ⇔ − ≤ ≤ . ii. ( ) 0f x = có hai nghiệm 1 2,x x thỏa mãn 1 21 x x≤ < , tương đương với ( ) ( ) 2 2 8 13 5 8 0 3 1 5 8 0 02 1 1 2 mm m af m m m S m m    −    = − + ≥ ⇔ ∈         8 3 m⇔ < − . Kết hợp các trường hợp trên, ta được các giá trị m cần tìm là 1m ≤ . Bài 3. Tìm các giá trị của m để hàm số ( ) ( )3 2 1 2 1 1 2 1 3 y x m x m x m= + − + + + − a. đồng biến trên  , b. đồng biến trên )1; +∞ , c. nghịch biến trên khoảng ( )0 1; . Giải WWW.MATHVN.COM www.MATHVN.com Khảo sát hàm số 8 Ta có ( ) ( )2 2 2 1 1y f x x m x m′ = = + − + + . a. Hàm số đồng biến trên  khi và chỉ khi ( )2 2 2 1 1 0y x m x m x′ = + − + + ≥ ∀ ∈  . Khi đó ( ) 2 2 1 1 0 0 5m m m′∆ = − − − ≤ ⇔ ≤ ≤ . Vậy các giá trị của m cần tìm là 0 5m≤ ≤ . b. Hàm số đã cho đồng biến trên )1; +∞ khi và chỉ khi )0 1;y x ′ ≥ ∀ ∈ +∞ . Điều này tương đương với ( ) ) 2 2 1 4 1 ; x x g x m x x − + = ≤ ∀ ∈ +∞+ hay ) ( ) 1; max x g x m ∈ +∞ ≤ . Ta có ( ) ( ) 2 2 4 2 2 4 1 x x g x x − − + ′ = + ; ( ) ) ) 1 1 0 1 1 2 ; ; x g x x  = − ∉ +∞  ′ = ⇔  = ∉ +∞  . Bảng biến thiên x 1 +∞ ( )g x′ − ( )g x 1 5 0 Ta thấy ) ( ) ( ) 1 11 5; max x g x g ∈ +∞ = = . Do đó ta có 1 5 m ≥ . Vậy các giá trị m cần tìm là 1 5 m ≥ . c. Yêu cầu bài toán ⇔ ( )0 0 1;y x′ ≤ ∀ ∈ 0 0 1;y x  ′ ≤ ∀ ∈    (vì y ′ liên tục tại 0x = và 1x = ) ( ) 2 2 0 1 4 1 , ; x x g x m x x − +  ⇔ = ≥ ∀ ∈   + , tức là ( ) 0 1; min x g x m  ∈   ≥ . Ta có ( ) 1 0 1 0 1 0 1 2 ; ; x g x x   = − ∉     ′ = ⇔   = ∈     ; ( )0 0g = ; 1 1 2 4 g    =    và ( ) 11 5 g = . Do đó ( ) ( ) 0 1 0 0 ; min x g x g  ∈   = = nên các giá trị m cần tìm là 0m ≤ . Bài 4. Tìm các giá trị của m để hàm số ( )2 2 1 1 2 x m x y x + + + = − nghịch biến trên khoảng ( )0 1; . Giải Hàm số nghịch biến trên khoảng ( )0 1; khi và chỉ khi ( ) ( ) 2 2 4 4 3 0 0 1 2 ; x x m y x x − − − ′ = ≥ ∀ ∈ − , tương đương với ( ) ( )2 4 4 3 0 0 1;g x x x m x= − − − ≥ ∀ ∈ . Vì g liên tục tại 0x = và tại 1x = nên ( ) 2 4 4 3 0 0 1;g x x x m x  = − − − ≥ ∀ ∈    hay ( )0 1 0;minx g x ∈   ≥ . Ta có ( ) 2 4 0 2 0 1;g x x x  ′ = − = ⇔ = ∉    ; ( )0 4 3g m= − − và ( )1 4 6g m= − − . Suy ra ( ) ( ) 0 1 1 4 6 ; min x g x g m  ∈   = = − − . Do đó các giá trị của m cần tìm là 3 2 m ≤ − . Bài 5. Tìm các giá trị của m để hàm số ( )2 1 2 1 2 x m x m y x m + + − + = − đồng biến trên khoảng ( )1;+∞ . Giải WWW.MATHVN.COM www.MATHVN.com Khảo sát hàm số 9 Hàm số nghịch biến trên khoảng ( )1;+∞ ⇔ ( ) ( ) 2 2 2 4 2 1 0 1;x mx my x x m − − − ′ = ≥ ∀ ∈ +∞ − , hay ( ) ( )2 24 2 1 0 1 1 ;g x x mx m x m  = − − − ≥ ∀ ∈ +∞   ≤ Ta thấy 26 1 0 g m m′∆ = + > ∀ ∈  nên ( ) 0,g x x> ∀ ∈  . Do đó các giá trị m cần tìm là 1m ≤ . Dạng toán 2. Tìm các giá trị của tham số để hàm số có cực trị thỏa mãn điều kiện số cho trước Bài 6. Tìm các giá trị của m để hàm số 3 2 1 2 3 y x mx mx= + + + có hai cực trị 1 2,x x thỏa mãn 1 2 4x x− ≥ . Giải Hàm số đã cho có hai cực trị 1 2,x x 2 2 3 0y x mx m′⇔ = + + = có hai nghiệm phân biệt 1 2,x x 2 0 3 0 3 m m m m  ⇔  > (1). Khi đó ( ) ( ) 2 2 1 2 1 2 1 2 1 24 16 4 16 0x x x x x x x x− ≥ ⇔ − ≥ ⇔ + − − ≥ (2). Theo định lí Viet ta có 1 2 1 2 2 3 x x m x x m  + = −   = nên (2) ⇔ 2 1 4 12 16 0 4 m m m m  ≤ −− − ≥ ⇔  ≥ (3) Kết hợp (1) và (3) ta tìm được các giá trị m thỏa mãn yêu cầu bài toán là 1m ≤ − hoặc 4m ≥ . Bài 7. Tìm các giá trị của m để hàm số ( )3 2 1 1 502 1 1 3 2 9 y x m x x= − − + + có hai cực trị 1 2,x x thỏa mãn 1 22x x= . Giải Hàm số đã cho các hai cực trị ( )2 502 1 0 9 y x m x′⇔ = − − + = có hai nghiệm phân biệt 1 2,x x ( ) 2 502 1 4 0 9 .m⇔ ∆ = − − > 3 10 2 6 3 10 2 6 m m  − < ⇔  + >  (1) Ta có 1 22x x= nên theo định lí Viet, ta có 1 2 2 1x x m+ = − 2 2 1 3 m x − ⇔ = . Khi đó 1 2 50 9 x x = 2 2 2 350 2 1 502 2 29 3 9 mm x m   =−   = ⇔ = ⇔    = −   . Hai giá trị vừa tìm được của m đều thỏa mãn (1) nên 3m = và 2m = − thỏa yêu cầu bài toán. Bài 8. Tìm các giá trị của m để hàm số ( ) ( )3 2 1 1 4 2 5 1 3 2 y x m x m x= − + + + + thỏa mãn a. có hai cực trị lớn hơn 1− ; b. có đúng một cực trị lớn hơn 1− ; c. có ít nhất một cực trị lớn hơn 3 2 ; WWW.MATHVN.COM www.MATHVN.com Khảo sát hàm số 10 d. có hai cực trị nhỏ hơn 4; e. có một cực trong khoảng ( )3 5; ; f. không có cực trị. Giải Ta có ( )2 4 2 5y x m x m′ = − + + + ; 2 4 50 2 x x y m x − + ′ = ⇔ = − . Xét hàm số ( ) 2 4 5 2 x x g x x − + = − ; ( ) ( ) 2 2 4 3 2 x x g x x − + ′ = − ; ( ) 1 0 3 x g x x  =′ = ⇔  = . Bảng biến thiên x −∞ 1− 1 3 2 2 3 4 5 +∞ ( )g x′ + + − − − + + + ( )g x −∞ 10 3 − 2− 5 2 − −∞ +∞ 2 5 2 10 3 +∞ Vì nghiệm của phương trình 0y ′ = cũng chính là hoành độ giao điểm của y m= và ( )y g x= nên từ bảng biến thiên của hàm số ( )y g x= ta thấy a. Hàm số có hai cực trị lớn hơn 1− 10 2 3 m⇔ − . b. Hàm số có đúng một cực trị lớn hơn 1− 10 3 m ≤ − . c. Hàm số có ít nhất một cực trị lớn hơn 3 2 ⇔ 5 2 m . d. Hàm số có hai cực trị nhỏ hơn 4 2m⇔ < − hoặc 52 2 m< < . e. Hàm số có một cực trong khoảng ( )3 5; 102 3 m⇔ < < . f. Hàm số không có cực trị 2 2m⇔ − ≤ ≤ . Bài 9. Tìm các giá trị của m để hàm số ( )4 21 2 1y x m x m= + − + + có ba cực trị. Giải Hàm số có ba cực trị ( )22 2 1 0y x x m′⇔ = + − = có ba nghiệm phân biệt 22 1 0x m⇔ + − = có hai nghiệm phân biệt khác 0 ( )2 1 0 3 0 m m  ′∆ = − − >⇔   − ≠ 1 3 m m  >⇔   ≠ . Bài 10. Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số 2 4 2 6 2 m y x mx= + + − có ba điểm cực trị , ,A B C (trong đó điểm A thuộc trục tung) sao cho tứ giác ABOC là hình bình hành. Giải WWW.MATHVN.COM www.MATHVN.com Khảo sát hàm số 11 Hàm số đã cho có ba cực trị ( )22 2 0y x x m′⇔ = + = có ba nghiệm phân biệt 22 0x m⇔ + = có hai nghiệm phân biệt khác 0 0m⇔ < . Với 0x = ta có 2 6 2 m y = − nên 2 0 6 2 ; m A   −    . Hai nghiệm còn lại của 0y ′ = là 2 m x − = ± . Ta đều có 236 2 4 m m y  −  − = −    và có thể giả sử 236 2 4 ; m m B  −  − −     và 236 2 4 ; m m C  −   −     . Khi đó 2 2 4 ; m m BA   = −      và 236 2 4 ; m m OC   = − −      . Yêu cầu bài toán BA OC⇔ =   2 2 2 2 2 6 6 36 4 4 m m m m m m  − = −⇔ ⇔ = ⇔ = −  = − (vì 0m⇔ < ) Bài 11. Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số 2 3 1 2 mx mx y x + + = + có hai điểm cực trị nằm về hai phía trục tung. Giải Ta có ( ) 2 2 4 6 1 2 mx mx m y x + + − ′ = + . Hàm số đã cho có hai cực trị 2 4 6 1 0mx mx m⇔ + + − = (1) có hai nghiệm phân biệt khác 2− 2 0 2 0 2 1 0 m m m m  ≠ ′⇔ ∆ = − + >  − ≠ 10 2 m⇔ < < (2). Khi đó gọi 1 2,x x là các nghiệm của phương trình (1). Yêu cầu bài toán tương đương với 1 2 0x x < 6 1 10 0 6 m m m − ⇔ < ⇔ < < (thỏa mãn (2)). Bài 12. Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số ( ) ( )3 23 1 3 1 1y x m x m x= + − + − + có hai điểm cực trị, đồng thời đường thẳng nối hai điểm cực trị đi qua điểm ( )0 3;A − . Giải Hàm số đã cho có hai cực trị khi và chỉ khi ( ) ( )23 6 1 3 1 0y x m x m′ = + − + − = có hai nghiệm phân biệt. Điều này xảy ra khi ( )( ) 1 1 2 0 2 m m m m  ⇔  > (1). Gọi ( )1 1 1;M x y và ( )2 2 2;M x y là các điểm cực trị. Thực hiện phép chia đa thức y cho y ′ , ta được ( )( ) 2 1 1 2 1 2 2 3 3 m y x y m m x m m  −  ′= + + − − − +    . WWW.MATHVN.COM www.MATHVN.com Khảo sát hàm số 12 Vì 1 2,x x là nghiệm của phương trình 0y ′ = nên ta có ( )( ) 2 1 12 1 2 2y m m x m m= − − − + và ( )( ) 22 22 1 2 2y m m x m m= − − − + . Do đó 1M , 2 :mM d∈ ( )( ) 22 1 2 2y m m x m m= − − − + , và như vậy m d là đường thẳng đi qua hai điểm cực trị 1M và 2M . Ta có ( ) 2 1 0 3 2 3 0 3 ; m m A d m m m  = −− ∈ ⇔ − − = ⇔  = (thỏa mãn điều kiện (1)). Vậy các giá trị m cần tìm là 1m = − và 3m = . Bài 13. Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số 3 2 1 3 3 m y x mx x= + + + có hai điểm cực trị nằm cùng phía đối với đường thẳng 2: y x∆ = − . Giải Hàm số có hai cực trị 2 2 1 0y x mx′⇔ = + + = có hai nghiệm phân biệt 2 1 0m′⇔ ∆ = − > hay 1m > (1). Với điều kiện (1), ta gọi ( )1 1 1;M x y và ( )2 2 2;M x y là các điểm cực trị. Thực hiện phép chia y cho y ′ được ( )21 1 2 13 3 3y x m y m x   ′= + + −    (2) Vì 1 2,x x là các nghiệm của phương trình 0y ′ = nên từ (2) ta suy ra ( )21 1 2 1 3 y m x= − và ( )22 2 2 1 3 y m x= − . Các điểm ( )1 1 1;M x y và ( )2 2 2;M x y nằm cùng phía đối với 2 0: x y∆ + = tương đương với ( ) ( )2 21 1 2 2 2 22 1 2 1 0 3 3 .x m x x m x        + − + − >         ( ) 22 1 24 0m x x⇔ − > ( ) 224 0m⇔ − > hay 2m ≠ ± (3). Kết hợp (1) và (3) ta được các giá trị m cần tìm là 1m > và 2m ≠ ± . Bài 14. Tìm các giá trị của m để hàm số 3 2 1 3 y x x mx m= + + + có cực đại và cực tiểu, đồng thời khoảng cách giữa hai điểm cực trị bằng 2 15 . Giải Hàm số có cực đại và cực tiểu 2 2 0y x x m′⇔ = + + = có hai nghiệm phân biệt 1 0m′⇔ ∆ = − > hay 1m < (1). Với điều kiện (1), ta gọi ( )1 1 1;M x y và ( )2 2 2;M x y là các điểm cực trị. Thực hiện phép chia đa thức y cho y ′ được ( ) ( ) 1 2 21 1 3 3 3 y x y m x m′= + + − + (2). Vì 1 2,x x là các nghiệm của phương trình 0y ′ = nên từ (2) ta suy ra ( )1 1 2 21 3 3 y m x m= − + và ( )2 2 2 21 3 3 y m x m= − + . WWW.MATHVN.COM www.MATHVN.com Khảo sát hàm số 13 Ta có ( ) ( ) 2 2 1 2 2 1 2 1 2 15M M x x y y= − + − = ( ) ( ) 2 2 1 2 1 2 41 1 4 60 9 m x x x x     ⇔ + − + − =       ( ) 241 1 4 4 60 9 m m     ⇔ + − − =      3 24 12 21 122 0m m m⇔ − + + = ( )( )22 4 20 60 0m m m⇔ + − + = 2m⇔ = − (vì 24 20 60 0m m m− + > ∀ ∈  ). Ta thấy giá trị 2m = − thỏa mãn điều kiện (1) nên 2m = − là giá trị cần tìm. Bài 15. Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số 2 3 1 x mx y x + + = − có hai điểm cực trị cách đều đường thẳng 2 0: x y∆ + − = . Giải Hàm số có hai cực trị ⇔ ( ) 2 2 2 3 0 1 x x m y x − − − ′ = = − có hai nghiệm phân biệt ⇔ 2 2 3 0x x m− − − = có hai nghiệm phân biệt khác 1 ⇔ 4 0 4 4 0 m m m  ′∆ = + > ⇔ > −  + ≠ (1). Khi đó, ta gọi ( )1 1 1;M x y và ( )2 2 2;M x y là các điểm cực trị. Đặt ( ) 2 3u x x mx= + + ; ( ) 1v x x= − thì ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 u x v x u x v x y v x ′ ′− ′ =      . Vì 1x là nghiệm của phương trình 0y ′ = nên ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 1 1 0 u x u x u x v x u x v x v x v x ′ ′ ′− = ⇔ = ′ , tức là 1 12y x m= + . Tương tự 2 22y x m= + . Do 1 2,M M cách đều ∆ nên 1 1 2 22 2 2 2 2 2 x x m x x m+ + − + + − = ( ) ( )1 2 1 23 3 2 4 0x x x x m ⇔ − + + − =   ( )1 23 2 4 0x x m⇔ + + − = (vì 1 2x x≠ ) 3 2 2 4 0. m⇔ + − = 2m⇔ = − (thỏa mãn điều kiện (1)). Vậy 2m = − là giá trị cần tìm. Dạng toán 3. Các bài toán liên quan đến tiếp tuyến của đồ thị hàm số Bài 16. Cho hàm số 3 2 1 1 3 y x x x= + + + có đồ thị ( )C và ba điểm ( ) ( ) 22 271 1 0 2 5 5 ; , ; , ;A B C       . Viết phương trình tiếp tuyến ∆ với đồ thị ( )C biết rằng giao điểm của ∆ và đường thẳng 1:d y x= + là trọng tâm của tam giác ABC . WWW.MATHVN.COM www.MATHVN.com Khảo sát hàm số 14 Giải Ta có 2 2 1y x x′ = + + . Phương trình tiếp tuyến ∆ của ( )C tại điểm ( )0 0;x y có dạng ( ) 2 3 2 0 0 0 21 1 3 y x x x x= + − − + . Hoành độ giao điểm G của ∆ và d là nghiệm của phương trình ( ) 2 3 2 0 0