Đơn giản hoá việc tiếp cận bất đẳng thức

MỞ ĐẦU LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI 1. Cơ sở lý luận: Toán học là một ngành, một môn học đòi hỏi suy luận và trí thông minh cao. Nó chứa tất cả những gì đưa đến não bộ của chúng ta.Toán học là nền tảng cho tất cả các ngành khoa học tự nhiên khác. Có thể nói rằng không có toán học sẽ không có ngành khoa học nào cả. Trong chương trình toán trung học phổ thông, bất đẳng thức là một trong những phần khó nhất. Phải nói rằng phương pháp chứng minh bất đẳng thức rất đa dạng, chủ yếu dựa vào đặc thù riêng của từng bất đẳng thức. Nhưng chúng ta cần chú ý rằng có thể áp dụng nhiều cách khác nhau để chứng minh bất đẳng thức. Tuy nhiên có nhiều bài phải phối hợp nhiều phương pháp một cách hợp lí. 2. Cơ sở thực tiễn: Qua thực tế giảng dạy ở trường phổ thông, tôi thấy các em không nắm vững được các tính chất cơ bản của bất đẳng thức. Hầu hết các em ngại và sợ chứng minh bất đẳng thức nhưng nhờ các bài tập về bất đẳng thức mà học sinh có thể hiểu kĩ hơn và sâu hơn rất nhiều cho việc giải những bài toán như: giải và biện luận phương trình và bất phương trình, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất, cũng như nhiều ứng dụng khác trong khảo sát hàm số... Hơn nữa, sự luyện tập giải các bài toán bất đẳng thức còn góp phần phát triển tư duy lôgic và bồi dưỡng trí tuệ cho học sinh. Qua một số năm giảng dạy bộ môn toán ở trường tôi đã trăn trở và suy nghĩ rất nhiều về vấn đề này .Cho nên tôi đã thu thập nghiên cứu tài liệu cố gắng hệ thống lại một số phương pháp về chứng minh bất đẳng thức, với mong muốn giúp học sinh tự tin hơn, yêu thích hơn khi gặp các bài toán bất đẳng thức. Sau đây là một số phương pháp đơn giản nhất mà tôi đã hệ thống lại cho các em trong khi dạy về chuyên đề bất đẳng thức. NỘI DUNG. Cơ sở lý thuyết cơ bản: 1- §Þnh nghÜa bÊt ®¼ng thøc. Cho a vµ b lµ hai sè thùc. Khi ®ã: a nhá h¬n b ( kÝ hiÖu a < b ) nÕu a - b < 0 a lín h¬n b (kÝ hiÖu a > b ) nÕu a - b > 0 a nhá h¬n hoÆc b»ng (kÝ hiÖu a £ b) nÕu a - b £ 0 a lín h¬n hoÆc b»ng b ( kÝ hiÖu a ³ b) nÕu a - b ³ 0 Ta gäi mệnh đề d¹ng a < b (hay d¹ng a < b, a £ b, a ³ b) lµ bÊt ®¼ng thøc vµ a gäi lµ vÕ tr¸i, b lµ vÕ ph¶i cña bÊt ®¼ng thøc. 2- C¸c tÝnh chÊt c¬ b¶n cña bÊt ®¼ng thøc * TÝnh chÊt 1: a > b Û b < a * TÝnh chÊt 2: a > b , b > c Þ a > c * TÝnh chÊt 3: a > b Û a + c > b + c HÖ qu¶: a + c > b Û a > b - c * TÝnh chÊt 4: a > c, b > d Þ a + b > c + d * TÝnh chÊt 5: a > b, c > 0 ⟺ ac > bc a > b, c < 0 ⟺ ac < bc * TÝnh chÊt 6: a > b ³ 0 , c > d ³ 0 Þ ac > bd * TÝnh chÊt 7: víi n nguyên dương a > b Û a2n+1 > b2n+1 a > b >0 Û a2n > b2n * TÝnh chÊt 8: a > b >0 Û a > b II . Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức: Phương pháp dùng định nghĩa: Để chứng minh BĐT A>B nào đó là đúng, ta cần chỉ ra rằng A-B>0 hoặc ngược lại khi cần chứng minh A-B>0 ta có thể đưa về BĐT A>B để chứng minh. Để vận dụng tốt phương pháp này học sinh cần nhớ: x+y2≥0 , ∀x,y x-y2≥0 , ∀x,y x2+xy+y2≥0 ,∀x,y x2-xy+y2≥0 , ∀x,y Ví dụ 1: Chứng minh rằng với mọi x,y ta đều có: x4+y4≥xy3+x3y Giải: Xét hiệu: x4+y4-xy3+x3y=x4-xy3+y4-x3y=xx3-y3-y(x3-y3)=x-y)(x3-y3=x-y2(x2+xy+y2)≥0 Vậy BĐT đã cho là đúng. Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x=y. Ví dụ2 : Chứng minh rằng với mọi a, b, c ta đều có: a2+b2+c23 ≥a+b+c32 Giải: Xét hiệu: a2+b2+c23 – a+b+c32 = a2+b2+c23-a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac9 =2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ac9= (a2-2ab+b2)+(b2-2bc+c2)+(a2-2ac+c2)9=(a-b)2+(b-c)2+(a-c)29≥0 Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi : a=b=c Ví dụ 3: Cho a, b tho¶ m·n ®iÒu kiÖn: a + b ³ 0. Chøng minh r»ng: Gi¶i: Xét hiệu: = V×: a+ b ³ 0 DÊu "=" x¶y ra Û a = b Ví dụ 4: Cho hai số a và b thoả mãn điều kiện ab>1, chứng minh rằng: Giải: Vì ab>1 nên ab-1>0 Xét hiệu : Dấu "=" xảy ra ⟺a=b vì ab>1 Ví dụ 5: Cho a,b,c>0. Hãy chứng minh: a, a3+b3≥aba+b b, (a3+b3+abc)-1+(b3+c3+abc)-1+(a3+c3+abc)-1≤abc-1 Giải: a, Ta có a3+b3≥aba+b =a+ba2-ab+b2-aba+b =a+ba2-2ab+b2 =a+b(a-b)2≥0, luôn đúng. b, Theo a : a3+b3≥aba+b ⟺ a3+b3+abc≥aba+b+c ⟺ a3+b3+abc≥abca+b+cc-1 ⟺(a3+b3+abc)-1≤cabca+b+c-1 Chứng minh tương tự ta có: (b3+c3+abc)-1≤aabca+b+c-1 (a3+c3+abc)-1≤babca+b+c-1 Vậy: (a3+b3+abc)-1+(b3+c3+abc)-1+(a3+c3+abc)-1≤a+ b+cabca+b+c-1=(abc)-1 (đpcm). Phương pháp dùng phép biến đổi tương đương. XuÊt ph¸t tõ bÊt ®¼ng thøc cÇn chøng minh ta biÕn ®æi nã t­¬ng ®­¬ng víi mét bÊt ®¼ng thøc kh¸c mµ ta ®· biÕt lµ ®óng .Tõ ®ã suy ra bÊt ®¼ng thøc cÇn chøng minh lµ ®óng. Ví dụ 1: Cho các số a>0,b>0. Chứng minh rằng. 2aba+b≤4ab Giải: Do a>0,b>0, nên ta có thể chia hai vế bất đẳng thức cho 4ab , và ta được: 24aba+b≤1 ⟺ 24ab≤a+b (Do a+b >0) ⟺a+b -24ab≥0 ⟺4a-4b2≥0, bất đẳng thức này đúng . Vậy bất đẳng thức đã cho đúng. Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b Ví dụ 2: cho a≥2, b≥2 chứng minh rằng: ab≥a+b Giải: Ta viết lại bất đẳng thức đã cho dưới dạng: ab-a-b+1≥1 Hay: ab-1-(b-1)≥1 ⟺a-1b-1≥1 (1) Do a≥2, b≥2 nên: a-1≥1, b-1≥1, Vậy bất đẳng thức (1) đúng. Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b=2 Ví dụ 3 : Cho a > 0; b > 0, chứng minh bất đẳng thức: (1) Giải: Ta có: (1) Û Û Û ³ 1 Û Û ³ 0 (2) (2) luôn đúng nên (1) luôn đúng. Vậy bất đẳng thức đã được chứng minh. Ví dụ 4: Chứng minh rằng: ax+by2≤a2+b2x2+y2 , ∀ x , y ,a ,b ∈ R (Bất đẳng thức Bunhiacopski) Ta có : ax+by2≤a2+b2x2+y2 ⟺ ax2+2abxy+by2≤ax2+ay2+bx2+by2 ⟺ ay2-2abxy+bx2≥0 ⟺ ay-bx2 ≥0 , luôn đúng. Vậy BĐT được chứng minh. Phương pháp sử dụng bất đẳng thức quan trọng đã biết: Như chúng ta đã biết trong chương trình THPT, các BĐT Côsi và Bunhiacốpski là những BĐT quan trọng, học sinh áp dụng BĐT này để chứng minh các BĐT khác. Sau đây tôi xin giới thiệu một số ví dụ ứng dụng trực tiếp các BĐT này. Ví dụ 1: cho a,b,c là 3 số dương và a+b+c=1. Chứng minh rằng: 1+1a1+1b1+1c≥64 Giải: Áp dụng BĐT cô si cho 4 số không âm ta có: 1+a=a+b+c+a≥44a2bc 1+b=a+b+c+b≥44ab2c 1+c=a+b+c+c≥44abc2 Nhân hai vế tương ứng của các BĐT này ta được : 1+a1+b1+c≥64abc Do a>0, b>0, c>0 nên abc>0 chia hai vế BĐT này cho abc ta được: 1+aa1+bb1+cc≥64 hay 1+1a1+1b1+1c≥64. Vậy BĐT đã cho đã được chứng minh. Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=13 Ví dụ 2: Cho các số : a,b,c thoả mãn điều kiện: a2+b2+c2=1 . Chứng minh rằng: a+2b+3c≤14 Giải: Áp dụng BĐT Bunhiacốpski ta được: a+2b+3c2≤(12+22+32)(a2+b2+c2) Hay: a+2b+3c2≤14.1 vậy a+2b+3c≤14 Ví dụ 3: Cho ba số thực a, b, c thoả mãn các điều kiện: a, b, c ³ - Và a + b + c = 3. Chứng minh rằng: Giải: Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpski cho 2 dãy số sau: 1, 1, 1 và ; ; ta được: (*) Mà: VT = 3(4a + 4b + 4c + 9) = 3 = 3(4.3 + 9) = 63 Vậy: Phương pháp phản chứng: Ph­¬ng ph¸p gi¶i: NÕu bµi to¸n yªu cÇu chøng minh bÊt ®¼ng thøc A B ( hoÆc A < B) th× ta gi¶ sö A < B (hoÆc A B). Tõ ®iÒu mµ ta võa gi¶ sö cïng víi gi¶ thiÕt cña bµi to¸n ta suy ra mét ®iÒu m©u thuÉn víi gi¶ thiÕt víi c¸c kiÕn thøc ®· häc. Cuèi cïng ta kh¼ng ®Þnh kÕt luËn cña bµi to¸n A B ( hoÆc A < B) lµ ®óng. Ví dụ 1: Cho các số a1, a2, b1, b2 liên hệ với nhau bởi hệ thức: a1+a2=2b1b2. Chứng minh rằng ít nhất một trong hai BĐT sau đây là đúng: b12≥a1; b22≥a2 . Giải; Giả sử hai BĐT trên là không đúng, tức là: b12<a1 ; b22<a2 . Hay : b12-a1<0 ; b22-a2<0 ⟹(b12-a1)+b22-a2<0 (*) Theo giả thiết: a1+a2=2b1b2, do đó (*) tương đương với b12+b22-2b1b2<0 hay b1-b22<0 điều này không thể xảy ra. Do vậy điều giả sử là sai nên điều phải chứng minh là đúng. VÝ dô 2: Chøng minh r»ng: NÕu a + b + c > 0; abc >0 , ab + bc + ac > 0 th× a > 0, b > 0, c > 0. Gi¶i: gi¶ sö a 0 NÕu a = 0 th× abc = 0 tr¸i víi gi¶ thiÕt abc > 0 NÕu a 0 nªn b + c > 0 Do abc > 0 nªn bc < 0 a(b + c) + bc < 0 Hay ab + ac + bc 0 VËy a > 0. T­¬ng tù ta chøng minh ®­îc b > 0, c > 0 Ví dụ 3: Cho a+b+c>0ab+bc+ca>0 abc>0 hãy chứng minh: a,b,c>0 Giải: Giả sử trong 3 số a,b,c một số nào đó nhỏ hơn không. Vì a,b,c có vai trò như nhau nên ta có thể xem a≤0 *. abc>0⟹a<0, bc<0 *. ab+bc+ca>0⟹ab+ca>-bc>0⟹b+c<0. Nên: a+b+c0 Phương pháp qui nạp: Phương pháp chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học Ta cần nhớ nguyên lý quy nạp toán học để áp dụng vào các bất đẳng thức phụ thuộc số tự nhiên n Î N. Ta thực hiện các bước sau: ° Kiểm tra bất đẳng thức với n = 0 (n = p tuỳ thuộc vào giá trị đầu tiên của n cho trong giả thiết) ° Gi¶ sö bÊt ®¼ng thøc ®óng víi n = k (k ³ p) ° Ta phải chứng minh bất đẳng thức đúng với n = k + 1. KL: bất đẳng thức đúng với mọi số tự nhiên n ³ p. Ví dụ 1: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ³ 3 ta có: (1) Giải: Chứng minh bằng phương pháp quy nạp: ° Với n = 3: (1) Û 23 = 8 > 2.3 + 1 = 7 Þ (1) đúng với n = 3 ° Giả sử (1) đúng với n = k Þ ° Ta phải chứng minh (1) đúng với n = k + 1 Thật vậy ta có: (Vì k ³ 3 nên 2k - 1 ³ 5). Vậy bất đẳng thức trên luôn đúng. Ví dụ 2: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ³ 2 ta có: 3n>3n+1 (1) ° Với n=2 , bất đẳng thức đúng. ° Giả sử bất đẳng thức đúng với n= k ³ 2 tức là: 3k>3k+1 ° Ta phải chứng minh (1) đúng với n=k+1 nghĩa là : 3k+1>3k+1+1 Thật vậy, ta có: 3k+1=3k.3>3k+1.3=3k+4+6k-1>3k+4=3k+1+1. (Vì 6k-1>0, ∀ k≥2). Vậy bất đẳng thức đúng với mọi số tự nhiên n ³ 2. Phương pháp ứng dụng định lí về dấu của tam thức bậc 2: Chứng minh bất đẳng thức nhờ xét dấu tam thức bậc hai. Để làm tốt phương pháp này các em cần phải nắm được định lý về dấu của tam thức bậc hai: Cho f(x) = ax2 + bx + c (a ¹ 0) là một tam thức bậc hai, giả sử f(x) có 2 nghiệm là x1, x2 (x1 < x2). Khi đó: D 0 , "x D = 0 Þ af(x) > 0, "x ¹ - và f D > 0 Þ af(x) > 0 với "x Ï [x1; x2] af(x) < 0 với x Î (x1; x2) Chú ý: Các em cần nắm vững là dấu của f(x) phụ thuộc vào D = b2 - 4ac và hệ số a ! Ví dụ 1: Chứng minh rằng nều a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác thì: b2x2 - (b2 + c2 - a2)x + c2 > 0 "x Giải: Đặt f(x) = b2x2 - (b2 + c2 - a2)x + c2 Tacó D= = Vì a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác nên: b - c - a 0, b + c - a > 0, b + c + a > 0 Þ D 0 Þ f(x) > 0 "x Þ đpcm. Ví dụ 2:Chứng minh rằng với mọi a, b ta đều có: a2+5b2-4ab+2a-6b+3>0 Giải: Ta biến đổi vế trái bất đẳng thức dưới dạng một tam thức bậc hai theo biến a: fa=a2+21-2ba+5b2-6b+3 Ta có ∆'= 1-2b2-5b2-6b+3 =1-4b+4b2-5b2+6b-3 =-b2+2b-2=-(b-1)2-1<0 Do vậy, fa >0, với mọi a. BĐT được chứng minh. Ví dụ 3: Chøng minh r»ng víi mäi sè thùc a, b ta cã: 25(a2 + b2) + (12 - 3a - 4b)2 - 72 ³ 0 Gi¶i: §Æt f(a) = 25(a2 + b2) + (12 - 3a - 4b)2 - 72 = 34a2 - 6(12 - 4b)a + (12 - 4b)2 + 25b2 - 72 = 34a2 - 24(3 - b)a + 41b2 - 96b + 72 Ta cã: D' = = -2 = -2 £ 0, "b Mµ hÖ sè cña a2 lµ 34 nªn f(a) ³ 0 , "a DÊu "=" x¶y ra Û Ví dụ 4: chứng minh rằng nếu a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác thì ta luôn có: a2b2+b2c2+c2a2>12a4+b4+c4 (1) Gi¶i: (1)⟺a4-2b2+c2a2+b2-c22<0 (2) §Æt f(a) = a4-2b2+c2a2+b2-c22 Đây là tam thức bậc hai của a2 D'=(b2+c2)2-b2-c22=4b2c2>0 Do đó tam thức có hai nghiệm : b-c2 ; b+c2 Bất đẳng thức (2) có thể viết dưới dạng: a2-b-c2a2-b+c2<0 ⟺a+b-cc+a-ba+b+ca-b-c<0 ⟺a+b+ca+b-cb+c-a(a+c-b)>0 Vì a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác nên BĐT cuối cùng luôn đúng.Do đó BĐT (1) là đúng. Ví dụ 5: Chứng minh rằng nếu a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác thì ta có: a2sin2x+b2cos2x>c2sin2xcos2x , ∀ x∈ R. Gi¶i: a2sin2x+b2cos2x>c2sin2xcos2x ⟺a2sin2x+b2cos2x-c2sin2xcos2x Đặt t=sin2x ta có f(t)=t a2+(1-t) b2-t(1-t) c2 = t2c2+a2-b2-c2t +b2 Xét ∆=a2-b2-c22-4b2c2 =a2-b2-c2-2bca2-b2-c2+2bc =a2-(b+c)2a2-(b-c)2 =-a+b+c-a+b+ca-b+ca+b-c = -a+b+cb+c-aa+c-ba+b-c<0, Mà hệ số của t2 là c2>0 nên f(t) >0 . Vậy: a2sin2x+b2cos2x>c2sin2xcos2x , ∀ x∈ R (đpcm). Trên đây tôi đã giới thiệu một số phương pháp cơ bản nhất để chứng minh một bất đẳng thức và một số ví dụ. Nếu chúng ta làm tốt thì tôi tin rằng học sinh sẽ thu được kết quả cao trong học tập. Do giới hạn của bài viết , sau đây tôi xin giới thiệu một số bài tập mà học sinh có thể tự rèn luyện để trau dồi kỹ năng giải toán bất đẳng thức. III. Bài tập tự rèn luyện Bµi 1: Cho x2 + y2 = 1. Chøng minh: - < x + y £ Bµi 2 : Cho x2 + y2 > 0 vµ a, b Î R. Chøng minh: - Bµi 3 : Cho a,b,c > 0 chøng minh: + + + + Bµi 4 : Cho a > 0, b > 0. Chøng minh Bµi 5 : Chøng minh x4 + y4 víi x Bµi 6 : chøng minh r»ng: NÕu a 3; b 3; a2 + b2 25 th× a + b 7 Bµi 7 : Cho a3 + b3 = 2. Chøng minh a + b 2 Bµi 8 : Cho a 0, b0, n N. Chøng minh r»ng Bµi 9 : Chøng minh r»ng víi mäi sè nguyªn d­¬ng n 3 th× n2 > n + 5 Bµi 10 : Cho bèn sè thùc a, b, c, d tho¶ m·n hÖ ®iÒu kiÖn Chøng minh r»ng: c2 + d2-2ac -2bd 18 - KẾT QUẢ THỰC DẠY Qua sáu năm trực tiếp giảng dạy học sinh, ba năm giảng dạy khối 10,11, ba năm giảng dạy khối 11, 12. Năm đầu về trường do còn thiếu kinh nghiệm nên kết quả thu được còn rất khiêm tốn. Hai năm học 2004-2005 ; 2005-2006 tôi mạnh dạn áp dụng phương pháp giảng dạy này vào thực tế thì kết quả thu được có phần chuyển biến hơn. Tôi xin trích dẫn điểm của bài kiểm tra 15 phút của các lớp 10 mà tôi trực tiếp giảng dạy, cụ thể: Tổng số HS Năm học Điểm Từ 0->4 Trên 5 Từ 8->10 127 2003-2004 70 51 6 131 2004-2005 60 63 8 135 2005-2006 57 70 8 C – LỜI KẾT Bất đẳng thức là mảng kiến thức rất quan trọng .Nó góp phần hình thành kĩ năng giải bất phương trình, tìm giá trị lớn nhất , nhỏ nhất .Trong chương trình toán THPT , bất đẳng thức chỉ được học trong năm tiết. Chính vì thế, nếu giảng dạy tốt, sử dụng phương pháp phù hợp thì học sinh sẽ có được kiến thức vững chắc làm nền tảng cho sau này.Qua giờ dạy và ôn luyện cho học sinh thông qua phương pháp và một số ví dụ như trên , học sinh sẽ biết và vận dụng tốt. Đồng thời qua đó,học sinh có phương pháp giải quyết các bài toán khác. Đó chính là mục đích của bài viết này. Trong quá trình viết chắc chắn còn nhiều thiếu sót, tôi rất mong được sự đóng góp ý kiến của quý thầy, cô và quý đồng nghiệp. Tôi cũng xin chân thành cảm ơn BGH, quý thầy cô ở trường THPT Thanh Hoà đã giúp đỡ tôi trong quá trình hoàn thành bài viết này ! Bù Đốp, ngày 01 tháng 02 năm 2009 Người thực hiện Ngô Thị Kiều MỤC LỤC MỞ ĐẦU. Trang 1 NỘI DUNG..Trang 2-15 Lý thuyết cơ bản..Trang 2 Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức.Trang 3-14 Bài tập tự rèn luyện..Trang 15 C.LỜI KẾT.Trang 17 TÀI LIỆU THAM KHẢO Đại Số 10 – Trần Văn Hạo ( Tổng chủ biên ) Đại Số và Giải Tích 11 – Trần Văn Hạo ( Tổng chủ biên ) Chuyên đề bất đẳng thức – Võ Giang Giai Chuyên đề bất đẳng thức & Bất phương trình – Nguyễn Xuân Liêm