Dùng tích véctơ để giải một số bài toán cơ học

Học sinh viết Dùng tích véctơ để giải một số bài toán cơ học Nguyễn Đức Giang Lớp 12 Khối Chuyên Lý, ĐHKHTN-ĐHQG Hà Nội Trong chương trình vật lý lớp 10, phần cơ học, bài toán ném xiên là một trong những dạng bài toán khó nhất. Phương pháp giải thông thường như đã được giới thiệu trong sách giáo khoa là xét chuyển động theo hai phương vuông góc. Đây là một cách làm tổng quát mà về nguyên tắc có thể giải được tất cả các bài toán. Nhưng đối với một số bài toán thì cách giải này tỏ ra quả phức tạp và dài dòng. Trong bài viết này chúng tôi xin giới thiệu một cách giải mới là sử dụng các tích véctơ (cả tích vô hướng và hữu hướng). Với phương pháp giải mới này, lời giải của các bài toán trên sẽ trở nên đơn giản và ngắn gọn. Để bạn đọc tiện theo dõi, trước hết chúng tôi xin nhắc lại một số tính chất của các tích véctơ. a) Tích vô hướng: + Định nghĩa: + Tính chất: (1) . (2) b) Tích hữu hướng: + Định nghĩa: . : có chiều xác định theo qui tắc bàn tay phải + Tính chất // . (3) (4) Về mặt vật lý chúng ta chủ yếu sẽ sử dụng công thức: trong đó là vận tốc ban đầu, là vận tốc tại thời điểm t. Để minh hoạ những ưu điểm của phương pháp này, chúng ta hãy xét một số ví dụ cụ thể dưới đây. Ví dụ 1. Chứng minh rằng từ một độ cao nào đó so với mặt đất ta ném một vật thì khi đạt tới tầm xa cực đại, vận tốc ban đầu và vận tốc ngay trước khi chạm đất vuông góc với nhau. Giải: Gọi vận tốc ban đầu là và vận tốc ngay trước khi chạm đất là . Ta có: (t là thời gian rơi của vật). Ta có: . Vì theo (3), suy ra Vì tầm bay của vật là Vậy L lớn nhất khi hay hai vận tốc và vuông góc với nhau. Nhận xét: Trong ví dụ này ta đã đưa ra một công thức tổng quát là: Công thức này có thể áp dụng cho nhiều bài toán và cho ta cách giải mới khá đẹp như trong ví dụ quen thuộc sau đây. Ví dụ 2. Một vật được ném từ mặt đất với vận tốc lập với phương nằm ngang một góc. Tìm tầm xa đạt được, với góc ném a nào thì tầm xa cực đại. Giải: Theo định luật bảo toàn cơ năng thì vận tốc cuối là . Kết hợp với hình vẽ bên ta suy ra: . áp dụng công thức: khi Ví dụ 3. Ném một vật với vận tốc ban đầu lập với phương nằm ngang một góc . Tìm thời gian để vận tốc của vật vuông góc với phương ban đầu. Giải: Gọi thời gian phải tìm là t, khi đó vận tốc của vật tại thời điểm t là: Ta có: Kết quả này chỉ có ý nghĩa khi với là thời gian rơi của vật. Ví dụ như vật được ném từ mặt đất thì thời gian rơi là: Tức là nếu vật được ném từ mặt đất thì để tồn tại thời gian thoả mãn điều kiện đầu bài thì góc phải lớn hơn hoặc bằng 450. Ví dụ 4. Một vật được ném lên theo phương lập với phương ngang một góc . Đến thời điểm t thì vận tốc của vật là và góc lệch so với ban đầu một góc . Tìm t. Giải: Gọi vận tốc ban đầu là Ta có: Xét: Ví dụ 5. Hai vật được ném tại cùng một thời điểm với vận tốc là , lần lượt lập với phương nằm ngang các góc là và . Sau khoảng thời gian t thì vận tốc của hai vật song song với nhau. Tìm t. Giải: Sau khoảng thời gian t, ta có vận tốc của hai vật lần lượt là: Theo đề bài // Kết quả này chỉ có ý nghĩa khi (t0: thời gian rơi của vật). Từ các ví dụ trên đây các bạn cũng đã hiểu rõ được phần nào sự tiện lợi của phương pháp tích véctơ trong các bài toán ném xiên. Phương pháp này có thể ứng dụng rất hiệu quả cho nhiều bài toán cơ học hay tĩnh điện. Bài tập 1. Một vật được ném đi với vận tốc , góc ném . Đến thời điểm nào đó thì vận tốc của vật hợp với phương ban đầu góc . Tìm thời gian đó. ĐS: 2. Hai vật được ném tại cùng một thời điểm với vận tốc là và góc ném là và . Đến thời điểm t thì phương vận tốc của hai vật vuông góc. Tìm t. ĐS: với