Ðề thi thử đại học năm học: 2010-2011 môn thi: Toán

ÐỀ THI thư ĐẠI HỌC NĂM häc: 2010-2011 Mơn thi : TỐN Thêi gian lµm bµi:150 phĩt(kh«ng kĨ thêi gian giao ®Ị) PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) Câu I:(2 điểm) Cho hàm số : (C) 1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số. 2. Viết phương trình tiếp tuyến với (C), biết tiếp tuyến đĩ đi qua giao điểm của đường tiệm cận và trục Ox. Câu II:(2 điểm) 1. Giải phương trình: 2. Giải phương trình: Câu III: (2 điểm) 1.TÝnh nguyªn hµm: 2.Gi¶i bÊt ph­¬ng tr×nh: Câu IV: (1 điểm) Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC cĩ trọng tâm G(-2, 0) biết phương trình các cạnh AB, AC theo thứ tự là 4x + y + 14 = 0; . Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C. PHẦN RIÊNG (3 điểm) Chĩ ý:ThÝ sinh chØ ®­ỵc chän bµi lµm ë mét phÇn nÕu lµm c¶ hai sÏ kh«ng ®­ỵc chÊm A. Theo chương trình chuẩn Câu Va : 1. Tìm hệ số của x8 trong khai triển (x2 + 2)n, biết: . 2. Cho đường trịn (C): x2 + y2 – 2x + 4y + 2 = 0. Viết phương trình đường trịn (C') tâm M(5, 1) biết (C') cắt (C) tại các điểm A, B sao cho . B. Theo chương trình Nâng cao Câu Vb: 1. Giải phương trình : 2. Cho hình chĩp SABCD cĩ đáy ABCD là hình vuơng tâm O, SA vuơng gĩc với ®¸y hình chĩp. Cho AB = a, SA = a. Gọi H và K lần lượt là hình chiếu vu«ng gãc của A lên SB, SD. Chứng minh SC ^ (AHK) và tính thể tích khèi chĩp OAHK. ………………… …..………………..Hết……………………………………. (C¸n bé coi thi kh«ng gi¶i thÝch g× thªm) H­íng dÉn chÊm m«n to¸n C©u ý Néi Dung §iĨm I 2 1 Kh¶o s¸t hµm sè (1 ®iĨm) 1 TX§: D = R\ {-1/2} Sùù BiÕn thiªn: Nªn hµm sè nghÞch biÕn trªn 0,25 + Giíi h¹n ,tiƯm cËn: §THS cã tiĐm cËn ®øng : x = -1/2 ®THS cã tiƯm cËn ngang: y = -1/2 0,25 + B¶ng biÕn thiªn: x y ’ y ¥ - ¥ + -1/2 - - -1/2 ¥ - ¥ + -1/2 0,25 §å ThÞ : y x 0 I -1/2 1 1 -1/2 0,25 2 Giao điểm của tiệm cận đứng với trục Ox là Phương trình tiếp tuyến (D) qua A cĩ dạng (D) tiếp xúc với (C) 0,25 Thế (2) vào (1) ta cĩ pt hồnh độ tiếp điểm là 0,25 và . Do đĩ 0,25 Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là: 0,25 II 2 1 1. Giải phương trình: (1) (1) 0,25 0,25 0,25 0,25 2 2. Phương trình: (1) (1) 0,25 đặt: t = log3x 0,25 thành (vì t = -2, t = 1 khơng là nghiệm) 0,25 Do đĩ, (1) 0,25 III 2 1 1 Ta cã 0,25 §¨t u = sinx O,25 Ta cã: 0,25 VËy 0,25 2 1 §k: Bpt 0,25 0,25 0,25 0,25 IV 1 . Tọa độ A là nghiệm của hệ Þ A(–4, 2) 0,25 Vì G(–2, 0) là trọng tâm của DABC nên (1) 0,25 Vì B(xB, yB) Ỵ AB Û yB = –4xB – 14 (2) C(xC, yC) Ỵ AC Û ( 3) 0,25 Thế (2) và (3) vào (1) ta cĩ Vậy A(–4, 2), B(–3, –2), C(1, 0) 0,25 V.a 3 1 1 1. Điều kiện n ³ 4 Ta cĩ: Hệ số của số hạng chứa x8 là 0,25 Hệ số của số hạng chứa x8 là 0,25 Ta cĩ: Û (n – 2)(n – 1)n – 4(n – 1)n + n = 49 Û n3 – 7n2 + 7n – 49 = 0 Û (n – 7)(n2 + 7) = 0 Û n = 7 0,25 Nên hệ số của x8 là 0,25 2 2 Phương trình đường trịn (C): x2 + y2 – 2x + 4y + 2 = 0 cĩ tâm I(1, –2) Đường trịn (C') tâm M cắt đường trịn (C) tại A, B nên AB ^ IM tại trung điểm H của đoạn AB. 0,25 Ta cĩ 0,25 Cĩ 2 vị trí cho AB đối xứng qua tâm I. Gọi A'B' là vị trí thứ 2 của AB Gọi H' là trung điểm của A'B' 0,25 Ta cĩ: Ta cĩ: 0,25 và ; 0,25 Ta cĩ: 0,25 Vậy cĩ 2 đường trịn (C') thỏa ycbt là: (x – 5)2 + (y – 1)2 = 13 hay (x – 5)2 + (y – 1)2 = 43 0,25 V.b 3 1 1 Giải phương trình: §k: 0,25 0,25 0,25 0,25 2 2 +BC vuơng gĩc với (SAB) BC vuơng gĩc với AH mà AH vuơng với SB AH vuơng gĩc với (SBC) AH vuơng gĩc SC (1) 0,25 + Tương tự AK vuơng gĩc SC (2) và (2) SC vuơng gĩc với (AHK ) 0,25 SB = AH.SB = SA.AB AH=SH= SK= (do 2 tam giác SAB và SAD bằng nhau và cùng vuơng tại A) 0,25 Ta cĩ HK song song với BD nên . 0,25 kỴ OE// SC suy ra OE lµ ®­êng cao cđa h×nh chãp OAHK vµ OE=1/2 IC=1/4SC = a/2 0,5 Gọi AM là đường cao của tam giác cân AHK ta cĩ AM= 0,25 (®vtt) S A M I E O H K M C D 0,25 Câu II: 1. Giải phương trình: (1) (1) 2. Phương trình: (1) (1) đặt: t = log3x thành (vì t = -2, t = 1 khơng là nghiệm) Do đĩ, (1) Câu IV: . Tọa độ A là nghiệm của hệ Þ A(–4, 2) Vì G(–2, 0) là trọng tâm của DABC nên (1) Vì B(xB, yB) Ỵ AB Û yB = –4xB – 14 (2) C(xC, yC) Ỵ AC Û ( 3) Thế (2) và (3) vào (1) ta cĩ Vậy A(–4, 2), B(–3, –2), C(1, 0) Câu Vb: (Bạn đọc tự vẽ hình) +BC vuơng gĩc với (SAB) BC vuơng gĩc với AH mà AH vuơng với SB AH vuơng gĩc với (SBC) AH vuơng gĩc SC (1) + Tương tự AK vuơng gĩc SC (2) và (2) SC vuơng gĩc với (AHK ) SB = AH.SB = SA.AB AH=SH= SK= (do 2 tam giác SAB và SAD bằng nhau và cùng vuơng tại A) Ta cĩ HK song song với BD nên . Gọi AM là đường cao của tam giác cân AHK ta cĩ AM= Cách khác: Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho A= O (0;0;0), B(a;0;0), C( a;a;0), D(0;a;0), S (0;0; ) Câu I: 1. Khảo sát (Bạn đọc tự làm) 2. Giao điểm của tiệm cận đứng với trục Ox là Phương trình tiếp tuyến (D) qua A cĩ dạng (D) tiếp xúc với (C) Thế (2) vào (1) ta cĩ pt hồnh độ tiếp điểm là và . Do đĩ Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là: Câu Va: 1. Điều kiện n ³ 4 Ta cĩ: Hệ số của số hạng chứa x8 là Ta cĩ: Û (n – 2)(n – 1)n – 4(n – 1)n + n = 49 Û n3 – 7n2 + 7n – 49 = 0 Û (n – 7)(n2 + 7) = 0 Û n = 7 Nên hệ số của x8 là 2. Phương trình đường trịn (C): x2 + y2 – 2x + 4y + 2 = 0 cĩ tâm I(1, –2) Đường trịn (C') tâm M cắt đường trịn (C) tại A, B nên AB ^ IM tại trung điểm H của đoạn AB. Ta cĩ Cĩ 2 vị trí cho AB đối xứng qua tâm I. Gọi A'B' là vị trí thứ 2 của AB Gọi H' là trung điểm của A'B' Ta cĩ: Ta cĩ: và Ta cĩ: Vậy cĩ 2 đường trịn (C') thỏa ycbt là: (x – 5)2 + (y – 1)2 = 13 hay (x – 5)2 + (y – 1)2 = 43 BÀI GIẢI GỢI Ý -2 x y -1 1 0 - (C) Câu I. 1. y = 2x4 – 4x2 . TXĐ : D = R y’ = 8x3 – 8x; y’ = 0 Û x = 0 Ú x = ±1; x -¥ -1 0 1 +¥ y' - 0 + 0 - 0 + y +¥ 0 +¥ -2 CĐ -2 CT CT y đồng biến trên (-1; 0); (1; +¥) y nghịch biến trên (-¥; -1); (0; 1) y đạt cực đại bằng 0 tại x = 0 y đạt cực tiểu bằng -2 tại x = ±1 2 x y -1 1 0 - (C’) Giao điểm của đồ thị với trục tung là (0; 0) Giao điểm của đồ thị với trục hồnh là (0; 0); (±;0) 2. x2çx2 – 2ç = m Û 2x2çx2 – 2ç = 2m (*) (*) là phương trình hồnh độ giao điểm của (C’) : y = 2x2çx2 – 2ç và (d): y = 2m Ta cĩ (C’) º (C); nếu x £ - hay x ³ (C’) đđối xứng với (C) qua trục hồnh nếu - < x < Theo đồ thị ta thấy ycbt Û 0 < 2m < 2 Û 0 < m < 1 Câu II. 1. PT:sinx+cosxsin2x+ 2. y = 0 hệ vơ nghiệm y ¹ 0 hệ Û Đặt a = ; b = Þ Þ Ta cĩ hệ là Û Û hay . Vậy hay Û hay (VN) Û hay Câu III : Đặt u = lnx Chọn Vậy : Câu IV. C A B M N H BH= , ; gọi CA= x, BA=2x, Ta cĩ: V= Câu V : dấu “=” xảy ra khi : Ta cĩ : Đặt t = x2 + y2 , đk t ≥ Vậy : Câu VIa. 1. Phương trình 2 phân giác (D1, D2) : Phương trình hồnh độ giao điểm của d1 và (C) : (x – 2)2 + (– 2x)2 = 25x2 – 20x + 16 = 0 (vơ nghiệm) Phương trình hồnh độ giao điểm của d2 và (C) : (x – 2)2 + Û x = . Vậy K R = d (K, D1) = 2. TH1 : (P) // CD. Ta cĩ : TH2 : (P) qua là trung điểm CD Câu VIb. 1. Pt AH : 1(x + 1) + 1(y – 4) = 0 B(m;m – 4) Vậy 2. Pt mặt phẳng (Q) qua A và // (P) : 1(x + 3) – 2(y – 0) + 2(z – 1) = 0 Û x – 2y + 2z + 1 = 0. Gọi D là đường thẳng bất kỳ qua A Gọi H là hình chiếu của B xuống mặt phẳng (Q). Ta cĩ : d(B, D) ³ BH; d (B, D) đạt min Û D qua A và H. Pt tham số Tọa độ H = BH Ç (Q) thỏa hệ phương trình : D qua A (-3; 0;1) và cĩ 1 VTCP Pt (D) : Câu VII.a. Đặt z = x + yi với x, y Ỵ R thì z – 2 – i = x – 2 + (y – 1)i êz – (2 + i)ê= và Û Û Û Û hay Vậy z = 3 + 4i hay z = 5 Câu VII.b. Pt hồnh độ giao điểm của đồ thị và đường thẳng là : Û 2x2 – mx – 1 = 0 (*) (vì x = 0 khơng là nghiệm của (*)) Vì a.c < 0 nên pt luơn cĩ 2 nghiệm phân biệt ¹ 0 Do đĩ đồ thị và đường thẳng luơn cĩ 2 giao điểm phân biệt A, B AB = 4 Û (xB – xA)2 + [(-xB + m) – (-xA + m)]2 = 16 Û 2(xB – xA)2 = 16 Û (xB – xA)2 = 8 Û Û Û m = . Hết. ÐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2009 Mơn thi : TỐN PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH Câu I (2,0 điểm). Cho hàm số y = x4 – (3m + 2)x2 + 3m cĩ đồ thị là (Cm), m là tham số. 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi m = 0. 2. Tìm m để đường thẳng y = -1 cắt đồ thị (Cm) tại 4 điểm phân biệt đều cĩ hồnh độ nhỏ hơn 2. Câu II (2,0 điểm) 1. Giải phương trình 2. Giải hệ phương trình (x, y Ỵ R) Câu III (1,0 điểm). Tính tích phân Câu IV (1,0 điểm). Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ cĩ đáy ABC là tam giác vuơng tại B, AB = a, AA’ = 2a, A’C = 3a. Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng A’C’, I là giao điểm của AM và A’C. Tính theo a thể tích khối tứ diện IABC và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (IBC). Câu V (1,0 điểm).Cho các số thực khơng âm x, y thay đổi và thỏa mãn x + y = 1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức S = (4x2 + 3y)(4y2 + 3x) + 25xy. PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc B) A. Theo chương trình Chuẩn Câu VI.a (2,0 điểm) 1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cĩ M (2; 0) là trung điểm của cạnh AB. Đường trung tuyến và đường cao qua đỉnh A lần lượt cĩ phương trình là 7x – 2y – 3 = 0 và 6x – y – 4 = 0. Viết phương trình đường thẳng AC. 2. Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A (2; 1; 0), B(1;2;2), C(1;1;0) và mặt phẳng (P): x + y + z – 20 = 0. Xác định tọa độ điểm D thuộc đường thẳng AB sao cho đường thẳng CD song song với mặt phẳng (P). Câu VII.a (1,0 điểm). Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện çz – (3 – 4i)ç= 2. B. Theo chương trình Nâng cao Câu VI.b (2,0 điểm) 1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường trịn (C) : (x – 1)2 + y2 = 1. Gọi I là tâm của (C). Xác định tọa độ điểm M thuộc (C) sao cho = 300. 2. Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng D: và mặt phẳng (P): x + 2y – 3z + 4 = 0. Viết phương trình đường thẳng d nằm trong (P) sao cho d cắt và vuơng gĩc với đường thẳng D. Câu VII.b (1,0 điểm) Tìm các giá trị của tham số m để đường thẳng y = -2x + m cắt đồ thị hàm số tại hai điểm phân biệt A, B sao cho trung điểm của đoạn thẳng AB thuộc trục tung. ]BÀI GIẢI GỢI Ý Câu I. 1. m = 0, y = x4 – 2x2 . TXĐ : D = R y’ = 4x3 – 4x; y’ = 0 Û x = 0 Ú x = ±1; x -¥ -1 0 1 +¥ y' -1 x y -1 1 0 - 0 + 0 - 0 + y +¥ 0 +¥ -1 CĐ -1 CT CT y đồng biến trên (-1; 0); (1; +¥) y nghịch biến trên (-¥; -1); (0; 1) y đạt cực đại bằng 0 tại x = 0 y đạt cực tiểu bằng -1 tại x = ±1 Giao điểm của đồ thị với trục tung là (0; 0) Giao điểm của đồ thị với trục hồnh là (0; 0); (±;0) 2. Phương trình hồnh độ giao điểm của (Cm) và đường thẳng y = -1 là x4 – (3m + 2)x2 + 3m = -1 Û x4 – (3m + 2)x2 + 3m + 1 = 0 Û x = ±1 hay x2 = 3m + 1 (*) Đường thẳng y = -1 cắt (Cm) tại 4 điểm phân biệt cĩ hồnh độ nhỏ hơn 2 khi và chỉ khi phương trình (*) cĩ hai nghiệm phân biệt khác ±1 và < 2 Û Û Câu II. 1) Phương trình tương đương : Û Û Û hay Û hay Û hay (k Ỵ Z). 2) Hệ phương trình tương đương : ĐK : x ≠ 0 Đặt t=x(x + y). Hệ trở thành: Vậy Câu III : C I M B H C/ Câu IV. H là hình chiếu của I xuống mặt ABC Ta có (đvtt) Tam giác A’BC vuông tại B Nên SA’BC= Xét 2 tam giác A’BC và IBC, Đáy Vậy d(A,IBC) Câu V. S = (4x2 + 3y)(4y2 + 3x) + 25xy = 16x2y2 + 12(x3 + y3) + 34xy = 16x2y2 + 12[(x + y)3 – 3xy(x + y)] + 34xy = 16x2y2 + 12(1 – 3xy) + 34xy = 16x2y2 – 2xy + 12 Đặt t = x.y, vì x, y ³ 0 và x + y = 1 nên 0 £ t £ ¼ Khi đĩ S = 16t2 – 2t + 12 S’ = 32t – 2 ; S’ = 0 Û t = S(0) = 12; S(¼) = ; S () = . Vì S liên tục [0; ¼ ] nên : Max S = khi x = y = Min S = khi hay PHẦN RIÊNG Câu VI.a. 1) Gọi đường cao AH : 6x – y – 4 = 0 và đường trung tuyến AD : 7x – 2y – 3 = 0 A = AH Ç AD Þ A (1;2) M là trung điểm AB Þ B (3; -2) BC qua B và vuơng gĩc với AH Þ BC : 1(x – 3) + 6(y + 2) = 0 Û x + 6y + 9 = 0 D = BC Ç AD Þ D (0 ;) D là trung điểm BC Þ C (- 3; - 1) AC qua A (1; 2) cĩ VTCP nên AC: 3(x –1)– 4(y – 2) = 0 Û 3x – 4y + 5 = 0 2) AB qua A cĩ VTCP nên cĩ phương trình : D Ỵ AB Û D (2 – t; 1 + t; 2t) . Vì C Ï (P) nên : Vậy : Câu VI.b. 1. (x – 1)2 + y2 = 1. Tâm I (1; 0); R = 1 Ta cĩ = 300, DOIM cân tại I Þ = 300 Þ OM cĩ hệ số gĩc k = = + k = ± Þ pt OM : y=± thế vào pt (C) Þ Û x= 0 (loại) hay . Vậy M Cách khác: O I H Ta có thể giải bằng hình học phẳng OI=1, , do đối xứng ta sẽ có 2 điểm đáp án đối xứng với Ox H là hình chiếu của M xuống OX. Tam giác là nửa tam giác đều OI=1 => Vậy 2. Gọi A = D Ç (P) Þ A(-3;1;1) ; d đđi qua A và cĩ VTCP nên pt d là : Câu VII.a. Gọi z = x + yi. Ta cĩ z – (3 – 4i) = x – 3 + (y + 4)i Vậy ÷z – (3 – 4i)÷ = 2 Û Û (x – 3)2 + (y + 4)2 = 4 Do đđĩ tập hợp biểu diễn các số phức z trong mp Oxy là đường trịn tâm I (3; -4) và bán kính R = 2. Câu VII.b. pt hồnh độ giao điểm là : (1) Û x2 + x – 1 = x(– 2x + m) (vì x = 0 khơng là nghiệm của (1)) Û 3x2 + (1 – m)x – 1 = 0 phương trình này cĩ a.c < 0 với mọi m nên cĩ 2 nghiệm phân biệt với mọi m Ycbt Û S = x1 + x2 = = 0 Û m – 1 = 0 Û m = 1. Hết. BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2009 ----------------------------- Mơn thi: TỐN; Khối: A ĐỀ CHÍNH THÚC Thời gian làm bài: 180 phút, khơng kể thời gian phát đề PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm): Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (1), biết tiếp tuyến đĩ cắt trục hồnh, trục tung lần lượt tại hai điểm phân biệt A, B và tam giác OAB cân tại gốc toạ độ O. Câu II (2,0 điểm) Giải phương trình Giải phương trình Câu III (1,0 điểm) Tính tích phân Câu IV (1,0 điểm) Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy ABCD là hình thang vuơng tại A và D; AB = AD = 2a, CD = a; gĩc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng 600. Gọi I là trung điểm của cạnh AD. Biết hai mặt phẳng (SBI) và (SCI) cùng vuơng gĩc với mặt phẳng (ABCD), tính thể tích khối chĩp S.ABCD theo a. Câu V (1,0 điểm) Chứng minh rằng với mọi số thực dương x, y, z thoả mãn x(x + y + z) = 3yz, ta cĩ: . PHẦN RIÊNG (3,0 điểm): Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc B) Theo chương trình Chuẩn Câu VI.a (2,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD cĩ điểm I(6; 2) là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Điểm M(1; 5) thuộc đường thẳng AB và trung điểm E của cạnh CD thuộc đường thẳng . Viết phương trình đường thẳng AB. Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng và mặt cầu . Chứng minh rằng mặt phẳng (P) cặt mặt cầu (S) theo một đường trịn. Xác định toạ độ tâm và tính bán kính của đường trịn đĩ. Câu VII.a (1,0 điểm) Gọi z1 và z2 là hai nghiệm phức của phương trình z2 + 2z + 10 = 0. tính giá trị của biểu thức A = |z1|3 + |z2|3. Theo chương trình Nâng cao Câu VI.b (2,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường trịn và đường thẳng , với m là tham số thực. Gọi I là tâm của đường trịn (C). Tìm m để cắt (C) tại hai điểm phân biệt A và B sao cho diện tích tam giác IAB lớn nhất. Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng và hai đường thẳng . Xác định toạ độ điểm M thuộc đường thẳng sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng và khoăng cách từ M đến mặt phẳng (P) bằng nhau. Câu VII.b (1,0 điểm) Giải hệ phương trình . ---------------Hết--------------- ĐÁP ÁN ĐỀ THI MƠN TỐN KHỐI A NĂM 2009 Câu I. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số + Tập xác định:với mọi x + y’ = + Tiệm cận Vì nên tiệm cận ngang là : y = Vì nên tiệm cận đứng là : x = - Bảng biến thiên: Vẽ đồ thị: đồ thị cắt Oy tại và cắt Ox tại (-2; 0) 2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (1), biết tiếp tuyến đĩ cắt trục hồnh, trục tung lần lượt tại hai điểm phân biệt A, B và tam giác OAB cân tại gốc toạ độ O. Ta cĩ nên phương trình tiếp tuyến tại (với ) là: y - f() = f’()(x -) Do đĩ tiếp tuyến cắt Ox tại A(;0) và cắt Oy tại B(0; ) Tam giác OAB cân tại O(với OA > 0) Với ta cĩ tiếp tuyến y = -x - 2 Câu II. 1.Giải phương trình : Giải : ĐKXĐ: Phương trình cosx - 2sinxcosx = (1 – sinx + 2sinx – 2sin2x) cosx – sin2x = + sinx - 2sin2x sinx + cosx = sin2x + (1 – 2sin2x) = sin2x + cos2x - Kết hợp với đkxđ ta cĩ họ nghiệm của pt là: x = 2. Giải phương trình : Đkxđ: (*) Đặt Vậy phương trình cĩ tập nghiệm là S={-2} Câu III.Tính tích phân .Ta cĩ: I = Ta cĩ: I2 = = Mặt khác xét I1 = = Vậy I = I1 – I2 = Câu IV.Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy ABCD là hình thang vuơng tại A và D; AB = AD = 2a, CD = a; gĩc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng 600. Gọi I là trung điểm của cạnh AD. Biết hai mặt phẳng (SBI) và (SCI) cùng vuơng gĩc với mặt phẳng (ABCD), tính thể tích khối chĩp S.ABCD theo a. Giải: Vì (SBI)và (SCI)vuơng gĩc với (ABCD) nên . Ta cĩ Hạ tính được ; Trong tam giác vuơng SIH cĩ . (E là trung điểm của AB). . Câu V.Chứng minh rằng với mọi số thực dương x, y, z thoả mãn x(x + y + z) = 3yz, ta cĩ: . Giải: Từ giả thiết ta cĩ: x2 + xy + xz = 3yz (x + y)(x + z) = 4yz Đặt a = x + y và b = x + z Ta cĩ: (a – b)2 = (y – z)2 và ab = 4yz Mặt khác a3 + b3 = (a + b) (a2 – ab + b)2 = = = Ta lại cĩ: 3(x + y)(y +z)(z + x) = 12yz(y + z) 3(y + z)2 . (y + z) = 3(y + z)3 (2) Cộng từng vế (1) và (2) ta cĩ điều phải chứng minh Câu VI .a 1.Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD cĩ điểm I(6; 2) là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Điểm M(1; 5) thuộc đường thẳng AB và trung điểm E của cạnh CD thuộc đường thẳng . Viết phương trình đường thẳng AB. Giải: Gọi N là điểm đối xứng với M qua I, F là điểm đối xứng vơi E qua I. Ta cĩ N , F AB, IE NE. Tính được N = (11; -1) . Giả sử E = (x; y), ta cĩ: = (x – 6; y – 2); = (x – 11; y + 1). . = x2 – 17x + 66 + y2 – y – 2 = 0 (1) E x + y – 5 = 0 . (2) Giải hệ (1), (2) tìm được x1 = 7; x2 = 6. Tương ứng cĩ y1 = -2; y2 = -1E1 = (7; -2); E2 = (6; -1) Suy ra F1 = (5; 6), F2 = (6; 5). Từ đĩ ta cĩ phương trình đường thẳng AB là x – 4y + 19 = 0 hoặc y = 5 . 2. Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng và mặt cầu . Chứng minh rằng mặt phẳng (P) cặt mặt cầu (S) theo một đường trịn. Xác định toạ độ tâm và tính bán kính của đường trịn đĩ. Giải: Mặt cầu cĩ tâm I(1;2;3) bán kính R=5 Khoảng cách từ tâm I đến mp (P) là . Vì d(I;(P)) <R nên (P) cắt (S) theo đường trịn. Gọi H là hình chiếu của I trên (P) thì H là giao của mp(P) với đường thẳng qua I, vuơng gĩc với (P). Dễ dàng tìm được H= (3;0;2). Bán kính đường trịn là: . Câu VII. a Phương trình: z2 + 2z + 10 = 0 Ta cĩ: = (-1)2 – 10 = -9 = (3i)2nên phương trình cĩ hai nghiệm là: z1 = -1 – 3i và z2 = -1 + 3i Suy ra Vậy A = + Chương trình nâng cao Câu VI. b 1. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường trịn và đường thẳng , với m là tham số thực. Gọi I là tâm của đường trịn (C). Tìm m để cắt (C) tại hai điểm phân biệt A và B sao cho diện tích tam giác IAB lớn nhất. Giải: Đường trịn (C) cĩ tâm I(-2;-2); bán kính Gọi H là hình chiếu của I trên . Để cắt đường trịn (C) tại 2 điểm A,B phân biệt thì: IH<R Khi đĩ khi (hiển nhiên IH < R) Vậy, cĩ 2 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu là: m = 0 và m = 2.Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng và hai đường thẳng . Xác định toạ độ điểm M thuộc đường thẳng sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng và khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P) bằng nhau. Giải: Giả sử M(a;b;c) là điểm cần tìm. Vì nên: Khoảng cách từ M đến mp (P) là: Gọi (Q) là mp qua M và vuơng gĩc với , ta cĩ: Hay (Q): Gọi H là giao điểm của (Q) và Tọa độ H là nghiệm của hpt: Yêu cầu bài tốn trở thành: Vậy cĩ 2 điểm thoả mãn là: M(0;1;-3) và M Câu VII b. Giải hệ phương trình . Giải: Điều kiện Viết lại hệ dưới dạng: : thỏa mãn Hết. GV: Đặng Ngọc Liên-SĐT: 0977467739 Trường THPT Ngọc Hồi KonTum.