Ðề thi tthử đại học - Môn thi: Toán - Lần 2

ÐỀ THI thö ĐẠI HỌC lÇn ii NĂM häc: 2010-2011 Môn thi : TOÁN lµm bµi:180 phótThêi gian (kh«ng kÓ thêi gian giao ®Ò) PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) Câu I:(2 điểm) Cho hàm số y = x3 + 3x2 + mx + 1 có đồ thị là (Cm); ( m là tham số) 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 3. 2. Xác định m để (Cm) cắt đường thẳng: y = 1 tại ba điểm phân biệt C(0;1), D, E sao cho các tiếp tuyến của (Cm) tại D và E vuông góc với nhau. Câu II:(2 điểm) 1. Giải hệ phương trình: 2. T×m tho¶ m·n ph­¬ng tr×nh: cotx – 1 = . Câu III: (2 điểm) 1. Trên cạnh AD của hình vuông ABCD có độ dài là a, lấy điểm M sao cho AM = x (0 < x £ a). Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) tại A, lấy điểm S sao cho SA = 2a. a) Tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (SAC). b) KÎ MH vu«ng gãc víi AC t¹i H . T×m vÞ trÝ cña M ®Ó thÓ tÝch khèi chãp SMCH lín nhÊt 2. Tính tích phân: I = . Câu IV: (1 điểm) : Cho c¸c sè thùc d­¬ng a,b,c thay ®æi lu«n tho¶ m·n : a+b+c=1. Chứng minh rằng : PHẦN RIÊNG (3 điểm) ( Chó ý!:ThÝ sinh chØ ®­îc chän bµi lµm ë mét phÇn) A. Theo chương trình chuẩn Câu Va :1.Trong mÆt ph¼ng Oxy cho tam gi¸c ABC biÕt A(2; - 3), B(3; - 2), cã diÖn tÝch b»ng vµ träng t©m thuéc ®­êng th¼ng : 3x – y – 8 = 0. T×m täa ®é ®Ønh C. 2.Trong kh«ng gian víi hÖ to¹ ®é Oxyz cho hai ®iÓm A(1;4;2),B(-1;2;4) vµ ®­êng th¼ng : .T×m to¹ ®é ®iÓm M trªn sao cho: Câu VIa : Gi¶i bÊt ph­¬ng tr×nh: B. Theo chương trình Nâng cao Câu Vb: 1. Trong mpOxy, cho đường tròn (C): x2 + y2 – 6x + 5 = 0. Tìm M thuộc trục tung sao cho qua M kẻ được hai tiếp tuyến của (C) mà góc giữa hai tiếp tuyến đó bằng 600. 2.Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(2 ; 1 ; 0) và đường thẳng d víi d : .Viết phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua điểm M, cắt và vuông góc với đường thẳng d vµ t×m to¹ ®é cña ®iÓm M’ ®èi xøng víi M qua d Câu VIb: Giải hệ phương trình ....Hết. (C¸n bé coi thi kh«ng gi¶i thÝch g× thªm) H­íng dÉn chÊm m«n to¸n C©u ý Néi Dung §iÓm I 2 1 Kh¶o s¸t hµm sè (1 ®iÓm) 1 y = x3 + 3x2 + mx + 1 (Cm) 1. m = 3 : y = x3 + 3x2 + 3x + 1 (C3) + TXÑ: D = R + Giới hạn: 0,25 + y’ = 3x2 + 6x + 3 = 3(x2 + 2x + 1) = 3(x + 1)2 ³ 0; "x hµm sè ®ång biÕn trªn R 0,25 Baûng bieán thieân: 0,25 + y” = 6x + 6 = 6(x + 1) y” = 0 Û x = –1 tâm đối xứng U(-1;0) * Ñoà thò (C3): Qua A(-2 ;-1) ; U(-1 ;0) ; A’(0 ;1) 0,25 2 1 Phöông trình hoaønh ñoä giao ñieåm cuûa (Cm) vaø ñöôøng thaúng y = 1 laø: x3 + 3x2 + mx + 1 = 1 Û x(x2 + 3x + m) = 0 Û 0,25 * (Cm) caét ñöôøng thaúng y = 1 taïi C(0;1), D, E phaân bieät: Û Phöông trình (2) coù 2 nghieäm xD, xE ¹ 0. Û(*) 0,25 Luùc ñoù tieáp tuyeán taïi D, E coù heä soá goùc laàn löôït laø: kD=y’(xD)= kE=y’(xE)= Caùc tieáp tuyeán taïi D, E vuoâng goùc khi vaø chæ khi: kDkE = –1 0,25 (3xD + 2m)(3xE + 2m) =-1 9xDxE+6m(xD + xE) + 4m2 = –1 Û 9m + 6m(–3) + 4m2 = –1 (vì xD + xE = –3; xDxE = m theo ñònh lý Vi-ét). Û 4m2 – 9m + 1 = 0 Û So s¸nhÑk (*): m = 0,25 II 2 1 1 1. §k: (1) 0,5 Û x = 4y Thay vµo (2) cã 0,25 V©y hÖ cã hai nghiÖm (x;y) = (2;1/2) vµ (x;y) = (10;5/2) 0,25 2 1 ®K: PT 0,25 0,25 0,25 tanx = 1 (tm®k) Do 0,25 III 2 1 1 Do Lai cã 0,25 Ta cã O,5 Tõ biÓu thøc trªn ta cã: M trïng víi D 0,25 2 1 I = 0,25 TÝnh I1 ®Æt 0,25 TÝnh I2 0,25 VËy I= 0,25 IV 1 1 .Ta cã :VT = 0,25 0,25 0,25 Tõ ®ã tacã VT DÊu ®¼ng thøc x¶y ra khi a=b=c=1/3 0,25 V.a 2 1 1 Ta cã: AB = , trung ®iÓm M ( ), pt (AB): x – y – 5 = 0 0,25 S= d(C, AB).AB = d(C, AB)= Gäi G(t;3t-8) lµ träng t©m tam gi¸c ABC th× d(G, AB)= 0,25 d(G, AB)= =t = 1 hoÆc t = 2 G(1; - 5) hoÆc G(2; - 2) 0,25 Mµ C = (-2; -10) hoÆc C = (1; -1) 0,25 2 1 0,5 Ta cã: 0,25 Tõ ®ã suy ra : M (-1 ;0 ;4) 0,25 VI.a 1 1 Bpt 0,25 BPTTT : (tm) 0,25 Khi ®ã : 0,25 0,25 V.b 2 VIb 1 1 . (C) có tâm I(3;0) và bán kính R = 2; M Î Oy Þ M(0;m) Qua M kẻ hai tiếp tuyến MA và MB ( A và B là hai tiếp điểm) Vậy Vì MI là phân giác của (1) Û = 300 Û MI = 2R Û (2) Û = 600 Û MI = R Û Vô nghiệm Vậy có hai điểm M1(0;) và M2(0;-) 0,5 0,5 2 1 Gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên d, ta có MH là đường thẳng đi qua M, cắt và vuông góc với d. d có phương trình tham số là: Vì H Î d nên tọa độ H (1 + 2t ; - 1 + t ; - t).Suy ra := (2t - 1 ; - 2 + t ; - t) 0,25 Vì MH ^ d và d có một vectơ chỉ phương là = (2 ; 1 ; -1), nên : 2.(2t – 1) + 1.(- 2 + t) + (- 1).(-t) = 0 Û t = . Vì thế, = 0,25 Suy ra, phương trình chính tắc của đường thẳng MH là: 0,25 Theo trªn cã mµ H lµ trung ®iÓm cña MM’ nªn to¹ ®é M’ 0,25 ĐK: x>0 , y>0 (1) Û 0,5 Ûlog3xy = 1 Û xy = 3Ûy= (2)Û log4(4x2+4y2) = log4(2x2 +6xy) Û x2+ 2y2 = 9 0,25 Kết hợp (1), (2) ta được nghiệm của hệ: ( ;) hoặc (; ) 0,25 A M D S H B C