Ðề thi tuyển sinh cao đẳng khối A, B, D năm 2010 môn thi: Toán

ÐỀ THI TUYỂN SINH CAO ĐẲNG KHỐI A, B, D NĂM 2010 Môn thi : TOÁN I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) Câu I (2,0 điểm). 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số y= x3 + 3x2 – 1. 2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ bằng -1. Câu II (2,0 điểm) 1. Giải phương trình . 2.. Giải hệ phương trình : (x, y Î R). Câu III (1,0 điểm) . Tính tích phân : . Câu IV (1,0 điểm). Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng đáy, SA=SB, góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng đáy bằng 450. Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABCD. Câu V (1,0 điểm). Cho hai số thực dương thay đổi x, y thỏa mãn điều kiện 3x + y£1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức . II. PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc B) A. Theo chương trình Chuẩn Câu VI.a (2,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A (1; -2; 3), B (-1; 0; 1) và mặt phẳng (P): x + y + z + 4 = 0. 1. Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của A trên (P). 2. Viết phương trình mặt cầu (S) có bán kính bằng , có tâm thuộc đường thẳng AB và (S) tiếp xúc với (P). Câu VII.a (1,0 điểm). Cho số phức z thỏa mãn điều kiện (2 – 3i)z + (4+i)= -(1+3i)2. Tìm phần thực và phần ảo của z. B. Theo chương trình Nâng cao Câu VI.b (2,0 điểm). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d: và mặt phẳng (P): 2x – y + 2z – 2 = 0. 1. Viết phương trình mặt phẳng chứa d và vuông góc với (P). 2. Tìm tọa độ điểm M thuộc d sao cho M cách đều gốc tọa độ O và mặt phẳng (P). Câu VII.b (1 điểm). Giải phương trình z2–(1+i)z+6+3i = 0 trên tập hợp các số phức. BÀI GIẢI Câu I: 1. Tập xác định là R. y’ = 3x2 + 6x; y’ = 0 Û x = 0 hay x = -2; và x -¥ -2 0 +¥ y’ + 0 - 0 + y 3 +¥ -¥ CĐ -1 CT Hàm số đồng biến trên (-∞; -2) ; (0; +∞); hàm số nghịch biến trên (-2; 0) Hàm số đạt cực đại tại x = -2; y(-2) = 3; hàm số đạt cực tiểu tại x=0; y(0) = -1 y" = 6x + 6; y” = 0 Û x = -1. Điểm uốn I (-1; 1) y x 0 -2 3 -1 Đồ thị : 2. Gọi A là điểm trên (C) có hoành độ x = -1 Þ tung độ A bằng 1 Hệ số góc của tiếp tuyến tại A là y’(-1) = -3 Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm A là: d : y – 1 = -3(x + 1) Û y = -3x – 2. Câu II: 1. Û Û Û Û 4sin22x – 8sin2x + 3 = 0 Û (loại) hay Û hay Û hay (k Î Z) 2. (1) Û Û hay (loại) Û 2x + y = 1 Û y = 1 – 2x (3) Thay (3) vào (2) ta có: x2 – 2x(1 – 2x) – (1 – 2x)2 = 2 Û x2 + 2x – 3 = 0 Û x = 1 hay x = -3 Khi x = 1 thì y = -1; khi x = -3 thì y = 7 Vậy nghiệm của hệ phương trình là hay Câu III. S A B C D H = = = 2 – 3ln2. Câu IV: Ta có tam giác vuông SHC, có góc SCH = Nên là tam giác vuông cân Vậy Câu V : Cách 1: 1 ³ 3x + y = x + x + x + y ³ Þ A = Khi x = y = ta có A = 8. Vậy min A = 8. Cách 2: Áp dụng : "a, b > 0 : A = Khi x = y = ta có A = 8. Vậy min A = 8. A. Theo chương trình Chuẩn Câu VI.a: A (1; -2; 3), B (-1; 0; 1); (P) : x + y + z + 4 = 0 Þ VTPT của (P) là = (1; 1; 1) 1. Gọi (D) là đường thẳng qua A và vuông góc với (P) thì : (D) : H là hình chiếu của A lên (P) thì H = (D) Ç (P) nên tọa độ H thỏa : Û . Vậy H (-1; -4; 1) 2. Ta có AB = và = (-2; 2; -2) Bán kính mặt cầu (S) là R = (AB) : . Vì tâm I Î (AB) Þ I (t – 1; – t; t + 1) (S) tiếp xúc (P) nên d (I; (P)) = R Û Û t = -3 hay t = -5 Þ I (-4; 3; -2) hay I (-6; 5; -4) Vậy ta có hai mặt cầu thỏa yêu cầu đề bài : (S1) : (x + 4)2 + (y – 3)2 + (z + 2)2 = (S2) : (x + 6)2 + (y – 5)2 + (z + 4) = Câu VII.a: (2 – 3i)z + (4+i)=-(1+3i)2 (1) Gọi z = x + yi (x, y Î R) (1) Û (2 – 3i)(x + yi) + (4 + i)(x – yi) = 8 – 6i Û (6x + 4y) – (2x + 2y)i = 8 – 6i Û 6x + 4y = 8 và 2x + 2y = 6 Û x = -2 và y = 5 Vậy phần thực của z là -2 và phần ảo của z là 5. B. Theo chương trình Nâng cao Câu VI.b : 1. d : và mặt phẳng (P): 2x – y + 2z – 2 = 0 d qua A (0; 1; 0) có 1 VTCP = (-2; 1; 1) (P) có 1 VTPT : = (2; -1; 2) (a) chứa d và vuông góc với (P) nên : (a) qua A (0; 1; 0) và có 1 VTPT : Ptmp (a) : (x – 0) + 2(y – 1) = 0 Û x + 2y – 2 = 0 2. M Î d Þ M (-2t; 1 + t; t) M cách đều O và (P) Û OM = d (M, (P)) Û Û Û t = 0 Þ M (0; 1; 0) Câu VII.b: z2 – (1 + i)z + 6 + 3i = 0 (1) D = -24 – 10i = (1 – 5i)2 (1) Û z = 1 – 2i hay z = 3i. Trần Minh Thịnh, Hoàng Hữu Vinh (Trung tâm BDVH và LTĐH Vĩnh Viễn)