Giải bài toán bằng cách lập phương trình

GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH ở các kì thi cuối cấp THCS, các bạn hay gặp một số bài toán "có lời văn" mà các bạn có thể "đại số hoá" để giải quyết. Muốn giải được bài toán loại này, các bạn cần nắm được: + Chọn ẩn cần tìm là đại lương chưa biết nào? (có thể đặt 2 ẩn !) + Từ yêu cầu của bài toán thiết lập phương trình (hoặc hệ phương trình nếu có nhiều phương trình !). + Giải phương trình (hoặc giải hệ phương trình). + Đối với các bài toán thực tế cần lưu ý sự có nghĩa có giá trị nghiệm tìm được. Thí dụ 1: hai người đi xe đạp xuất phát cùng một lúc đi từ A đến B. Vận tốc của họ hơn kém nhau 3 km/h nên họ đến B sớm muộn hơn nhau 30 phút. Tính vận tốc mỗi người, biết rằng quãng đường AB dài 30 km. giải: gọi x (km/h)là vận tốc của người đi chậm thì vận tốc của người kia là x + 3 (km/h),và x>0. Thời gian từng người đi từ A đến B lần lượt là 30/x (h) và 30/(x + 3) (h). Do đó ta có phương trình: 30/x - 30/(x + 3) = 30/60 hay x 2 + 3x - 180 = 0 khi và chỉ khi x1 = 12, x2 = - 15. Vì x > 0 nên x1 = 12 (km/h) chấp nhận được. Do đó vận tốc của từng người là 12 km/h và 15 km/h. Thí dụ 2: Một thửa ruộng hình chữ nhật có chu vi 250 m. Tính diện tích của thửa ruộng, biết rằng nếu chiều dài tăng thêm 15 m và chiều rộng giảm đi 15m thì diện tích giảm đi 450 m2. Giải: Gọi chiều dài thửa ruộng là x (m) và chiều rộng thửa ruộng là y (m) thì x > y > 0. Khi đó: 2(x + y) = 250 hay x + y = 125   (1) Diện tích thửa ruộng hiện tại là xy. Diện tích thửa ruộng nếu thay đổi các chiều dài, chiều rộng như bài toán là (x + 15)(y - 15). Do đó ta có phương trình thứ hai: xy - (x + 15)(y - 15) = 450 Đơn giản và rút gọn, ta được: x - y = 15   (2) Do đó ta có hệ phương trình hai ẩn (1) và (2) Giải hệ ta được x = 70 và y = 55 thoả mãn điều kiện x > y > 0. Vậy diện tích thửa ruộng là: xy = 70.55 = 3850 (m2) Thí dụ 3: Hai người làm chung một công việc thì hết 1 giờ 12 phút. Họ làm với nhau được 30 phút thì một người phải đi làm việc khác, người còn lại phải làm thêm 45 phút nữa thì xong 75% công việc. Hỏi mỗi người làm một mình thì hết bao nhiêu thời gian? TOÁN TUỔI THƠ 1 Giải : Ta có 1h 12' = 6/5 h Gọi x, y lần lượt là thời gian mà người thứ nhất (người chỉ làm 30') và người thứ hai làm một minh để xong toàn bộ công việc thì x, y > 6/5 (đơn vị của x, y là giờ). Một giờ người thứ nhất làm được 1/x công việc, người thứ hai làm được 1/y công việc, nên hai người làm chung thì được: 1/x + 1/y = 5/6 công việc (1). Người thứ nhất thực làm 1/2.1/x = 1/(2x) công việc. Người thứ hai làm trong 30' + 45' = 75' = 5/4 h nên làm 5/4.1/y = 5/(4y) công việc. Khi đó, họ hoàn thành 75% công việc nên: 1/(2x) + 5/(4y) = 3/4   (2) Giải hệ phương trình (1) và (2) ta được x = 18/7; y = 9/4 thoả mãn điều kiện x, y > 6/5 (có thể đặt 1/x = X ; 1/y = Y). Vậy thời gian mà mỗi người làm một mình để xong công việc là: - Người thứ nhất cần: 18/7 h - Người thứ hai cần: 9/4 h Các bạn hãy tự luyện bằng cách giải thêm các bài toán: Bài 1: Ba vòi nước A,B,C được đặt vào cùng một bể chứa. Để được đầy bể nước người ta thấy có các cách sau đây : 1) Vòi A chảy 2h và vòi B chảy 2h30'. 2) Vòi A chảy 1h và vòi C chảy 4h. 3 Vòi B chảy 3h và vòi C chảy 2h. Nếu chỉ sử dụng một vòi thì mỗi vòi phải chảy bao nhiêu lâu mới đầy bể? Đáp số : A chảy 3h ;B chảy 4h30'; C chảy 6h. Bài 2:Một hình chữ nhật có chiều rộng bằng 2/4 chiều dài. Nếu bớt mỗi chiều đi 5m thì diện tích bị giảm đi 16%. Tính các kích thước của hình chữ nhật lúc đầu. Đáp số: 50m và 75m. Bài 3: Một chiếc thuyền khởi hành từ bến A. Sau 5h20' có một ca nô chạy từ bến A đuổi theo và đuổi kịp thuyền tại địa điểm B cách bến A là 20 km. Biết rằng vận tốc ca nô hơn vận tốc thuyền là 12 km/h. Tính vận tốc của thuyền. TOÁN TUỔI THƠ 2 DÙNG BẤT ĐẲNG THỨC TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT Bài toán tìm giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN) của một hàm số hoặc một biểu thức là dạng toán các bạn thường gặp trong các kì thi, không chỉ ở bậc THCS mà sau này các bạn vẫn gặp ở bậc THPT. Tất nhiên ở mỗi bậc học, bài toán được đặt ra với các mức độ khác nhau. ở bài viết này xin bước đầu trao đổi với các bạn một chút kinh nghiệm sử dụng bất đẳng thức để giải quyết loại toán này. Kiến thức cơ bản cần biết để sử dụng là : * Với a, b ≥ 0 thì : và đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b. Đây chính là bất đẳng thức Côsi trong trường hợp 2 số. Các bạn có thể suy từ bất đẳng thức hiển nhiên đúng : * Với mọi a, b thì |a| + |b| ≥ |a + b| (**) và đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ab ≥ 0. Các bạn chỉ cần bình phương hai vế để có bất đẳng thức tương đương và hiển nhiên đúng. * Với các số a, b, c, d tùy ý ta có : (a2 + b2)(c2 + d2) ≥ (ac + bd)2 (***) và đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ad = bc. Đây chính là bất đẳng thức Bunhiacôpski đối với hai cặp số. Các bạn có thể suy ngay ra bất đẳng thức này dựa vào hằng đẳng thức : (a2 + b2)(c2 + d2) = (ac + bd)2 + (ad - bc)2 * Cho a ≠ 0, Do đó : - Nếu a > 0 thì f(x) ≥ (4ac - b2)/(4a) với mọi x và đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = - b/(2a) . - Nếu a < 0 thì f(x) ≤ (4ac - b2)/(4a) với mọi x và đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = - b/(2a) . Bây giờ các bạn theo dõi các thí dụ : Thí dụ 1 : Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số : Lời giải : Thực hiện phép chia tử thức cho mẫu thức ta viết được : áp dụng bất đẳng thức (*) ta có : với mọi x. Đẳng thức xảy ra Vậy y đạt giá trị nhỏ nhất là 2 khi và chỉ khi x = 0. Thí dụ 2 : Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số : y = |x - 2003| + |x + 2003| Lời giải : áp dụng bất đẳng thức (**) với a = x + 2003 và b = 2003 - x ta có : y = |x - 2003| + |x + 2003| = |2003 - x| + |x + 2003| ≥ |(2003 - x) + (x + 2003)| = 2006 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi (2003 - x)(x + 2003) ≥ 0 Tương đương - 2003 ≤ x ≤ 2003. Do đó y đạt giá trị nhỏ nhất là 4006 khi và chỉ khi - 2003 ≤ x ≤ 2003 . Chú ý : Nhiều bạn lại áp dụng với a = x + 2003 và b = x - 2003 thì ... chưa được gì. Bởi khi đó ta có : y ≥ |(x - 20003) + (x + 2003)| = |2x| = 2|x| . Vì 2|x| không phải là hằng số nên dù đẳng thức có xảy ra thì cũng không kết luận được gì về giá trị nhỏ nhất của y. Thí dụ 3 : Tìm giá trị lớn nhất của hàm số : y = - 2001 x2 + 2002 x - 2003. Lời giải : Như phần kiến thức đã trình bày ở trên, ta viết : với mọi x. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = 1001/2001 nên y đạt giái trị nhỏ nhất là - 3006002/2001. Chú ý : Khi gặp đa thức nhiều ẩn, các bạn có thể tạm coi đa thức là một ẩn với một ẩn nào đó và thực hiện cách biến đổi tương tự cũng sẽ giải quyết được bài toán. Thí dụ 4 : Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : P = x2 + y2 - xy - x + y + 1 Lời giải : Ta viết : Từ đó ta có giá trị nhỏ nhất của P là 2/3. Chú ý : Nhiều bạn có “sáng kiến” viết : P = 1/2.(2x2 + 2y2 - 2xy - 2x + 2y + 2) = 1/2.[ (x - y)2 + (x - 1)2 + (y + 102 ] ≥ 0 với mọi x, y. Tuy nhiên bất đẳng thức trên không thể trở thành đẳng thức. Ta không được gì, ngoài việc biết được giá trị nhỏ nhất của P, nếu tồn tại sẽ là một số ... dương (!). Các bạn chớ thấy bất đẳng thức trên không trở thành đẳng thức mà vội vàng “liều lĩnh” kết luận : P không có giá trị nhỏ nhất (?). Thí dụ 5 : Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số : Lời giải : Tập xác định của hàm số là 0 ≤ x ≤ 2 . Ta có : với mọi x thuộc tập xác định. Vì y ≥ 0 nên từ y2 ≥ 2 => y ≥ Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = 0 hoặc x = 2. Do đó GTNN của y là . áp dụng bất đẳng thức (***) với : Do đó GTLN của y là 2. Mức độ khó hơn, các bạn có thể tham khảo các bài toán dưới đây : Thí dụ 6 : Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số : y = x4 - 4x3 + 8x. Lời giải : Ta có : y = (x4 - 4x3 + 4x2) - 4(x2 - 2x) = (x2 - 2x)2 - 4(x2 - 2x) = [ (x2 - 2x) - 2]2 - 4 ≥ - 4 với mọi x. Đẳng thức xảy ra : Do đó giá trị nhỏ nhất của y là -4, khi và chỉ khi Thí dụ 7 : Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số : Lời giải : Căn thức có nghĩa khi và chỉ khi 4 - x2 ≥ 0 Tương đương với x2 ≥ 4 hay |x| ≤ 2 Tương đương - 2 ≤ x ≤ 2 . Ta có : áp dụng bất đẳng thức (*) với a = x2 và b = 4 - x2 ta có Từ (1) và (2) ta có |y| ≤ 2 => - 2 ≤ y ≤ 2 GTLN của y là 2 GTNN của y là -2 Các bạn hãy tự luyện tập thêm qua các bài toán : 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số 2. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của P = x2 + 2y2 - 2xy + 2(x - 2y + 1) 4. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số TOÁN TUỔI THƠ 7 MỘT KĨ NĂNG CÓ NHIỀU ỨNG DỤNG Các bạn hãy xuất phát từ một bài toán nhỏ : “Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x2 - 2x + 2”. Thật là dễ dàng viết được y = (x - 1)2 + 1 nên y ≥ 1 với mọi x và đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = 1. Do đó y đạt giá trị nhỏ nhất bằng 1 khi x = 1. Điều cốt lõi ở cách viết trên là từ biểu thức x2 - 2x, ta biết phải thêm 1 đơn vị để có (x - 1)2. Tại sao biết được điều đó ? Tại vì ta nhìn x2 là bình phương số thứ nhất, 2x là hai lần tích số thứ nhất với số thứ hai nên số thứ hai chính là 1, vậy phải thêm bình phương số thứ hai tức là thêm 1 ! Đây là một kĩ năng mà các bạn cần thành thạo để giải quyết nhiều bài toán. Bây giờ các bạn hãy lần lượt theo dõi các thí dụ : Thí dụ 1 : Chứng minh với mọi a, b ta có a2 - ab + b2 ≥ 0. Phân tích : Nhìn vế trái như một đa thức bậc 2 đối với ẩn a và sử dụng kĩ năng trên ta có : a2 - ab + b2 = a2 - 2.a.b/2 + (b/2)2 + 3/4.b2 = (a - b/2)2 + 3/4.b2. Từ đó dễ dàng => điều phải chứng minh và thấy ngay đẳng thức chỉ xảy ra khi a = b = 0. Thí dụ 2 : Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức F = x2 + y2 + xy - x - y. Phân tích : Nhiều bạn viết : F = 1/2(2x2 + 2y2 + 2xy - 2x - 2y + 2) - 1 = 1/2[ (x - 1)2 + (y - 1)2 + (x + y)2] - 1 . Do đó : F ≥ -1 với mọi x, y. Nhưng ta thấy bất đẳng thức này không thể trở thành đẳng thức nên “con đường” này không đi đến được kết quả. Thậm chí có bạn sau khi chứng tỏ đẳng thức F = -1 không xảy ra đã “liều” kết luận : F không có giá trị nhỏ nhất ! Nếu sử dụng kĩ năng đã trình bày thì hãy nhìn F như đa thức bậc hai ẩn x và viết : F = x2 - x(y - 1) + (y2 - y) = x2 + 2.x.[ (y - 1)/2 ] + [ (y - 1)/2 ]2 + 3/4.y2 - y/2 - 1/4 [ x + (y - 1)/2 ]2 + 3/4.(y2 - 2/3.y + 1/9) - 1/4 - 1/12 = [ x + (y - 1)/2 ]2 + 3/4(y - 1/3)2 - 1/3 . Do đó F≥ - 1/3 với mọi x, y. Mặt khác : Vậy F đạt giá trị nhỏ nhất bằng - 1/3 khi x = y = 1/3 . (xem thêm TTT2 số 2 - 4/2003) Thí dụ 3 : Phân tích đa thức thành nhân tử : F = x4 + y2 - 2x2y + x2 + x - 2y. Phân tích : Hãy nhìn F như đa thức ẩn y, ta viết : F = y2 - 2y(x2 + 1) + x4 + x2 + x = y2 - 2y(x2 + 1) + (x2 + 1)2 - x2 + 2x - 1 = (y + x2 + 1)2 - (x - 1)2 = (y + x2 + x)(y + x2 - x - 2) Thí dụ 4 : Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số : Phân tích : Vẫn với kĩ năng nhìn ra bình phương của một biểu thức ta viết : Thí dụ 5 : Tìm các số nguyên x, y sao cho : Phân tích : Ta thấy : x2 + 4x + 5 = (x + 2)2 +1 > 0 với mọi x nên y xác định với mọi x. Từ đó ta cũng có y > 0. Do đó : Vì x, y thuộc Z nên y + x + 2 và y - x - 2 cũng nhận giá trị nguyên. Lưu ý tổng và tích của hai biểu thức này là dương nên ta có : TOÁN TUỔI THƠ 8 ĐA THỨC ĐỐI XỨNG HAI ẨN VÀ CÁC ỨNG DỤNG A. Lí thuyết. 1. Đa thức hai ẩn x, y không đổi khi thay x bởi y và y bởi x gọi là đa thức đối xứng (đtđx) hai ẩn. Ví dụ : P(x, y) = x3y + xy3 ; Q(x, y) = x3 + 3x2y + 3xy2 + y3 là các đtđx. Các đa thức U(x, y) = 2x - 3y ; V(x, y) = x2 - y2 không phải là các đtđx. 2. Các đa thức t1 = x + y và t2 = xy gọi là đtđx cơ bản. 3. Kí hiệu Sn = xn + yn (n thuộc N*) thì Sn đều biểu diễn được theo t1, t2. Ví dụ : S1 = x + y = t1 S2 = x2 + y2 = (x + y)2 - 2xy = t12 - 2t2 S3 = x3 + y3 = (x + y)3 - 3xy(x + y) = t13 - 3t1t2 S4 = x4 + y4 = (x2 + y2)2 - 2x2y2 = S22 - 2t22 = t14 - 4t12t2 + 2t22 ... * Công thức truy hồi : Sk = t1.Sk - 1 - t2.Sk - 2. 4. Mọi đtđx hai ẩn x, y đều có thể viết dưới dạng đa thức hai ẩn t1, t2. B. Các ứng dụng. I. Phân tích đa thức thành nhân tử. Bài toán 1 : Phân tích đa thức : f(x, y) = x5 + 3xy4 + y5 + 3x4y + x2y3 + 3x2y2 + x3y + xy3 thành nhân tử. Lời giải : Ta có : f(x, y) = x5 + 3xy4 + y5 + 3x4y + x2y3 + 3x2y2 + x3y + xy3 = (x5 + y5) + 3xy(x3 + y3) + xy(y2 + y2) + x2y2(x + y) + 3x2y2 = t15 - 5t13t2 + 5t1t22 + 3t2(t13 - 3t1t2) + t2(t12 - 2t2) + t22t1 + 3t22 = t15 - 2t13t2 - 3t1t22 + t12t2 + t22 = t15 - 3t13t2 + t12t2 + t2t13 - 3t1t22+ t22 = (t12 + t2)(t13 - 3t1t2 + t1) = (x2 + y2 + 3xy).(x3 + y3 + xy) II. Giải hệ phương trình. Bài toán 2 : Giải hệ : Lời giải : Đặt t1 = x + y , t2 = xy thì hệ trở thành : Thế t1 = 3 ta có : 2 t22 - 36 t2 + 64 = 0 => t2 = 16 ; t2 = 2. Do đó x, y là các nghiệm của phương trình u2 - 3u + 16 = 0 hoặc u2 - 3u + 2 = 0. Từ đó ta có x = 1 & y = 2 hoặc x = 2 & y = 1. III. Giải phương trình. Bài toán 3 : Giải phương trình sau : Lời giải : Từ kết quả bài toán trên ta có a, b và từ đó có nghiệm của phương trình là x = -15 hoặc x = 0. IV. Chứng minh đẳng thức. Bài toán 4 : Cho x + y = 1, x3 + y3 = a, x5 + y5 = b. Chứng minh 5a.(a + 1) = 9b + 1. Lời giải : Ta có : x3 + y3 = t13 - 3t1t2 = a => t2 = (1 - a)/3 ; b = x5 + y5 = t15 - 5t13t2 + 5t22t1 (áp dụng công thức truy hồi) => b = 1 + 5t22 - 5t2 = (5a2 + 5a - 1)/9 Vậy 9b = 5a2 + 5a - 1 hay 9b + 1 = 5a.(a + 1). V. Lập phương trình bậc hai. Bài toán 5 : Hãy lập phương trình có hai nghiệm : y1 = x13 - 2x2 ; y2 = x23 - 2x2 với x1, x2 là nghiệm của phương trình : x2 - x - 5 = 0. Lời giải : Theo Vi-et ta có t1 = x1 + x2 = 1 ; t2 = x1.x2 = -5. = (-5)3 - 2.(14 - 4.(-5) + 2.(-5)2) + 4.(-5) = -125 - 2.(1 + 20 + 50) - 20 = -125 - 142 - 20 = -287 Vậy y1, y2 là nghiệm của phương trình : y2 - 14y - 287 = 0. VI. Tìm cực trị. Bài toán 6 : Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của : Lời giải : C. Một số bài tập. 1. Phân tích đa thức thành nhân tử. a) f(x, y) = 10x4 - 27x3y - 110x2y2 - 27xy3 + 10y4. b) 2x4 - x3y + 3x2y2 - xy3 + 2y4. 2. Lập phương trình bậc hai z2 + pz + q = 0 có các nghiệm là : z1 = x16 - 2x22 , z2 = x26 - 2x12 , với x1, x2 là nghiệm của x2 - x - 3 = 0. 3. Cho x, y dương thỏa mãn x + y = 1. Chứng minh rằng : 8.(x4 + y4) + 1/xy ≥ 5 4. Giải hệ : 5. Chứng minh : (x + y)4 + x4 + y4 = 2(x2 + xy + y2)2. 6. Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình : x3 + y3 + 1 = 3xy. 7. Giải phương trình : TOÁN TUỔI THƠ 9 SÔ NGHIỆM CỦA MỘT SỐ LOẠI PHƯƠNG TRÌNH Kiến thức về xét dấu các nghiệm của một phương trình bậc hai là một trong những kiến thức cơ bản của THCS. Sau này khi học lên bậc THPT, các em vẫn cần sử dụng. Ta nhớ lại những điều cần thiết : * Cho phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0), ta thường kí hiệu P = c/a ; S = - b/a , và x1, x2 là các nghiệm của phương trình. * Các điều kiện quan trọng : +) x1 < 0 < x2 tương đương P < 0 +) 0 = x1 0 +) x1 < x2 = 0 tương đương P = 0 và S < 0 +) x1 = x2 = 0 tương đương P = 0 và S = 0 hoặc là Δ = 0 và S = 0 +) 0 0 , P > 0 và S > 0 +) x1 0 , P > 0 và S < 0 Sử dụng các kiến thức trên chúng ta có thể xét được số nghiệm của nhiều loại phương trình. 1. Phương trình trùng phương ax4 + bx2 + c = 0 (1) Đặt ẩn phụ t = x2 ≠ 0 thì (1) sẽ trở thành at2 + bt + c = 0 (2) Mỗi nghiệm t > 0 của (2) cho hai nghiệm của (1). Nghiệm t = 0 của (2) sẽ cho một nghiệm x = 0 của (1). Tất nhiên t < 0 sẽ không cho nghiệm của (1). Bài toán 1 : Biện luận số nghiệm của phương trình : x4 - mx2 + 3m - 8 = 0 (3) Lời giải : Đặt t = x2 Δ 0 thì (3) trở thành : t2 - mt + 3m - 8 = 0 (4) Số nghiệm của (3) phụ thuộc vào dấu các nghiệm của (4), tức là phụ thuộc vào dấu của các biểu thức : Δ = m2 - 12m + 32 ; P = 3m - 8 ; S = m Ta lập bảng biện luận : Bài toán 2 : Tìm m để phương trình x4 - 2mx2 + m2 - 3 = 0 (5) có đúng ba nghiệm phân biệt. Lời giải : Đặt t = x2 0 thì (5) trở thành : t2 - 2mt + m2 - 3 = 0 (6) Phương trình (5) có đúng ba nghiệm phân biệt tương đương với phương trình (6) có nghiệm t1, t2 thỏa mãn 0 = t1 0 hay : 2.Phương trình a(x - α)2 + b|x - α| + c = 0 (7) Đặt ẩn phụ t = |x - α| thì (7) cũng sẽ trở thành phương trình (2). Ta thấy mối quan hệ giữa số nghiệm của (1), (7) với nghiệm của (2) rất giống nhau. Có thể tổng kết lại nhờ bảng sau : Bài toán 3 : Tìm m để phương trình x2 - 2x - |x - 1| + m = 0 (8) có đúng hai nghiệm phân biệt. Lời giải : Ta có (8) (x - 1)2 - |x - 1| + m - 1 = 0 Đặt t = |x - 1| ≥ 0 thì (8) trở thành : t2 - t + m - 1 = 0 (9) Phương trình (8) có đúng hai nghiệm phân biệt tương đương với phương trình (9) có nghiệm t1, t2 thỏa mãn t1 0 3. Phương trình: Để không tầm thường ta giả sử k ≠ 0. Đặt ẩn phụ : thì (10) trở thành (2). Với mỗi giá trị t ≥ 0 cho ta một nghiệm duy nhất x = 1/k.(t2 - n). Do đó số nghiệm của phương trình (10) đúng bằng số nghiệm không âm của phương trình (2). Bài toán 4 : Tìm m sao cho phương trình: có hai nghiệm phân biệt. Lời giải : Đặt thì phương trình (11) trở thành t2 - mt + 2m - 3 = 0 (12) Phương trình (11) có hai nghiệm phân biệt tương đương Phương trình (12) có hai nghiệm phân biệt t1, t2 thỏa mãn t2 > t1 ≥ 0 Tương đương với Δ > 0 , P ≥ 0 và S > 0 hay : m2 - 8m + 12 > 0 , 2m - 3 ≥; 0 và m > 0 hay là : m > 6 hoặc m 0 Tươn đương : m > 6 hoặc 3/2 ≥ m < 2 . Trước khi dừng bài viết, xin đề nghị các em có thể tự giải các bài tập sau đây : Bài tập 1 : Tìm m để phương trình x2 + 2m|x - 2| - 4x + m2 + 3 = 0 có ít nhất một nghiệm. Bài tập 2 : Chứng minh rằng phương trình : mx4 - 3(m - 2)x2 + m - 3 = 0 luôn có nghiệm với mọi m. Bài tập 3 : Biện luận số nghiệm của phương trình : TOÁN TUỔI THƠ 10 PHẦN THUẬN CỦA BÀI TOÁN QUĨ TÍCH Toán quỹ tích là một dạng toán khó trong hình học, các em thường bị lúng túng khi gặp loại toán này trong các kì thi tốt nghiệp và thi học sinh giỏi ở bậc THCS. Bài viết này nhằm giúp các em một số kinh nghiệm giải quyết phần thuận của bài toán quỹ tích. Đối với bài toán tìm quỹ tích của điểm M thì phần thuận phải dựa vào tính chất a của M để => M thuộc một hình F xác định. Sau bước “đoán nhận” quỹ tích bằng phương pháp vẽ 3 trường hợp hoặc bằng cách dựa vào sự chuyển động của điểm M (nếu M có thể chạy ra xa vô tận thì quỹ tích M phải là đường thẳng hoặc dựa vào tính đối xứng của quỹ tích ...) ta thường tiến hành chứng minh phần thuận như thế nào ? Ta gặp hai tính huống sau đây : 1. Dự đoán quỹ tích M là có dạng thẳng (đoạn thẳng, tia, đường thẳng) ta có thể chọn lựa các cách chứng minh sau : - Sử dụng quỹ tích đường trung trực. - Sử dụng quỹ tích đường phân giác. - Sử dụng quỹ tích đường thẳng song song cách đều. - Nối điểm chuyển động M với một điểm O cố định rồi chứng minh : OM song song với một đường thẳng cố định, hoặc vuông góc với một đường thẳng cố định hoặc OM tạo với đường thẳng cố định một góc a không đổi. Ví dụ 1 : Cho góc vuông yOx và điểm A cố định thuộc Oy. Một điểm B chuyển động trên Ox. Dựng hình vuông ABCD ở miền trong của góc yOx . a) Tìm quỹ tích điểm D. b) Tìm quỹ tích điểm C. c) Tìm quỹ tích tâm S của hình vuông. Hướng giải : a) Hạ DK vuông góc với Oy. Chứng minh : tam giác vuông AKD = tam giác vuông AOB => DK = OA = const => D thuộc đường thẳng // Oy và cách Oy một đoạn OA. Giới hạn lại D thuộc tia D1m và {D} là tia D1m. b) Dựng đường tròn tâm S ngoại tiếp hình vuông ABCD. C1 là giao điểm của (S) và Ox . Ta có tứ giác ACBC1 nội tiếp => Đ AC1O = Đ ACB = 45o => C1 là điểm cố định mà C1C vuông góc với AC1 => C thuộc tia C1n vuông góc với AC1. Chú ý : Nếu chứng minh C thuộc tia phân giác góc mC1x cũng được nhưng sẽ dài và khó hơn. c) Để tìm quỹ tích S có rất nhiều cách. Tốt nhất ta nên lí luận như sau : Do (S) luôn luôn đi qua 2 điểm cố định A và C1 => SA = SC1 S thuộc trung trực AC1. Giới hạn lại ta có {S} là tia S1p. 2. Dự đoán được quỹ tích điểm M có dạng tròn (đường tròn cung tròn) ta có chọn lựa các cách chứng minh sau : - Chứng minh điểm M luôn luôn cách một điểm cố định O cố định một khoảng không đổi. - Dựa vào quỹ tích cung chứa góc. - Chọn 3 điểm A, B, C cố định. Chứng minh tứ giác ABCM nội tiếp => M thuộc đường tròn đi qua A, B, C. Ví dụ 2 :. Cho nửa đường tròn đường kính AOB. Một điểm M chuyển động trên nửa đường tròn. Dựng hình vuông BMNP ở nửa mặt phẳng bờ BM không chứa O. Tìm {N}. Hướng giải : Ta có thể chứng minh phần thuận theo các cách sau : Cách 1 : Chứng minh A, M, N thẳng hàng => góc ANB = 45o => N cung chứa góc 45o vẽ trên AB. Cách 2 : Trên tiếp tuyến Ax lấy AN1 = AB. Nối N1B => Đ AN1B = 45o mà Đ ANB = 45o => tứ giác AN1NB nội tiếp mà A, N1, B cố định, vậy N thuộc đường tròn đi qua A, N1, B. Cách 3 : Chứng minh Đ BNN1 = 45o => N thuộc đường tròn đường kính BN1. Giới hạn lại ta đều có quỹ tích N là nửa đường tròn đường kính BN1. Cách 4 : Kéo dài PM cắt đường tròn tại I. Dễ chứng minh I là trung điểm => I cố định. Mà IN = IB => N thuộc đường tròn tâm I, bán kính IB. Chú ý : Do mệnh đề thuận và mệnh đề phản đảo là tương đương nên có những khi người ta đã thay phần thuận bởi mệnh đề phản đảo, cụ thể là : Chứng minh M không thuộc F thì M không có tính chất a. Ví dụ 3 : Cho góc nhọn yOx. Tìm quỹ tích những điểm M nằm ở miền trong của góc sao cho tỉ số các khoảng cách từ M tới Ox và từ M tới Oy là 1 : 2. Bài giải : 1. Đảo : Lấy A thuộc Ox ; B thuộc Oy sao cho OA = OB. Lấy H cố định thuộc AB sao cho HA : HB = 1 : 2. Hạ HE vuông góc với Ox, Hfvuong góc với Oy. Rõ ràng tam giác vuông HEA đồng dạng với tam giác vuông HFB (g.g) nên HE/HF = HA/HB = 1/2. Lấy M bất kì thuộc tia OH. Hạ MP vuông góc với Ox, MQ vuông góc với Oy. Ta có : MP/HE = MQ/HF => MP/MQ = HE/HF = 1/2. 2. Thuận : Lấy M ’ không thuộc tia OH ta chứng minh tỉ số M 'P '/M 'Q ' không bằng 1/2(dễ dàng) Vậy quỹ tích điểm M là tia OH. Dưới đây xin nêu một số bài tập quỹ tích để các bạn tham khảo. Bài 1 : Cho đoạn thẳng AB. Một điểm C chuyển động trên AB. Lấy AC và BC làm cạnh dựng hai hình vuông về cùng một phía của AB. Tìm quỹ tích trung điểm M của đoạn thẳng nối tâm hai hình vuông (quỹ tích M là một đoạn thẳng // AB và cách AB một khoảng AB/4). Bài 2 : Cho đoạn thẳng AB. Một điểm C chuyển động trên AB. Lấy AC và BC làm cạnh dựng hai tam giác đều về cùng một phía của AB. Tìm quỹ tích trung điểm M của đoạn thẳng nối tâm hai tam giác đều (Quỹ tích là một đoạn thẳng // AB, cách AB một khoảng ). Bài 3 : Cho đường tròn (O ; R) và một đường thẳng d cắt (O) ở A và B. Một điểm M chuyển động trên d. Từ M kẻ 2 tiếp tuyến MP và MQ với đường tròn. Tìm quỹ tích tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP. (Quỹ tích là 2 tia // d và cách d một đoạn bằng OK/2 với OK vuông góc với d). Bài 4 : Cho nửa đường tròn đường kính AOB. Một điểm M chuyển động trên nửa đường tròn. Dựng tam giác đều BMC về nửa mặt phẳng bờ BM không chứa O. a) Tìm quỹ tích đỉnh C (Cung chứa góc 60o). b) Tìm quỹ tích trung điểm H của MC (cung chứa góc 90o). c) Tìm quỹ tích trọng tâm G của tam giác đều BMC (một nửa đường tròn). Bài 5 : Cho góc xOy. Tìm quỹ tích các điểm M ở miền trong của góc xOy sao cho tổng các khoảng cách từ M tới Ox, Oy là một hằng số h đã cho. (Đoạn AB với A thuộc Ox, B thuộc Oy sao cho A cách Oy một đoạn là h ; B cách Oy một đoạn là h) TOÁN TUỔI THƠ 11 RÚT GỌN BIỂU THỨC Nghe thấy tên loại toán này, nhiều bạn đã ngại và không thích lắm. Tuy nhiên, loại toán này lại rất hay gặp trong các kì thi tốt nghiệp và thi vào lớp 10. Để giải quyết tốt loại toán này, các bạn cần nắm vững : * Các phép toán của đa thức và phân thức đại số. * Các hằng đẳng thức đáng nhớ. * Các phương pháp đưa biểu thức về dạng tích. * Điều kiện để các biểu thức có nghĩa. Thông thường bài toán rút gọn biểu thức còn được đi kèm theo các yêu cầu khác : * Chứng minh bất đẳng thức. * Giải phương trình hoặc bất phương trình. * So sánh hai biểu thức. * Tìm điều kiện để biểu thức nhận giá trị nguyên. * Tính giá trị của biểu thức khi cho giá trị cụ thể của các chữ trong biểu thức. * Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức. Thí dụ 1 : Cho : 1) Rút gọn P . 2) Chứng minh : Nếu 0 0. 3) Tìm giá trị lớn nhất của P. Lời giải : 1) Điều kiện để P có nghĩa : x 0 và x khác 1. Khi đó ta có: . 2) Nếu 0 < x < 1 thì : 3) Đẳng thức xảy ra Do đó : P lớn nhất là 1/4 khi x = 1/4 Thí dụ 2 : Cho biểu thức : 1) Rút gọn Q. 2) Tính giá trị của Q khi |x| = 2. 3) Tìm x nguyên để Q là số nguyên. Lời giải : 1) Điều kiện để Q có nghĩa là : Khi đó ta có : 2) Nếu |x| = 2 thì x2 = 4. Do đó Q = 4. 3) Vì Q = x2/(x2 - 3) = 1 + 3/(x2 - 3) nên Q là số nguyên khi và chỉ khi x2 - 3 là số nguyên. Ta có x là số nguyên thì x2 - 3 là số nguyên, => x2 - 3 là ước của 3. Từ đó x2 - 3 = 3; -3 hoặc x2 - 3 = 1; -1 ; Vậy các số nguyên cần tìm là : x = 2; - 2 Thí dụ 3 : Cho biểu thức : 1) Rút gọn A. 2) So sánh A và Lời giải : 1) Điều kiện để A có nghĩa là : x và y lớn hơn bằng 0, x khác y. Khi đó ta có : 2) Vì x khác y và x, y lớn hơn bằng 0 nên : Cuối cùng, các bạn có thể tự giải các bài tập sau đây. Bài 1 : Cho biểu thức : 1) Tìm x sao cho P > 2. 2) So sánh P với 1,5. Bài 2 : Rút gọn biểu thức. Từ đó tìm số nguyên x sao cho T nhận giá trị nguy