Giải toán trên máy tính điện tử

ĐẶT VẤN ĐỀ PHẦN I Bồi dưỡng, phát triển trí tuệ và năng lực hoạt động sáng tạo của học sinh là nhiệm vụ trọng tâm của mỗi nhà trường. Sử dụng MTĐT BT để giải toán cũng là một hoạt động phát triển trí tuệ và năng lực sáng tạo của học sinh rất hiệu quả. Xuất phát từ những kỹ năng đơn giản về sử dụng MTĐT BT để tính toán thông thường như tính giá trị của biểu thức số, tìm nghiệm của phương trình bậc 2 – 3, khai phương, hay tìm tỉ số lượng giác của một góc... học sinh còn được rèn luyện lên một mức độ cao hơn đó là rèn tư duy thuật toán- một thao tác tư duy cực kỳ cần thiết cho lập trình viên máy tính PC sau này - thông qua các bài toán về tìm số, bài toán về phân tích một số ra thừa số nguyên tố, tìm ƯCLN hay bài toán phân tích đa thức thành nhân tử... Hiện nay, với sự phát triển như vũ bão của khoa học-kỹ thuật (KHKT) nhất là các ngành thuộc lĩnh vực công nghệ thông tin (CNTT), trong đó MTĐT BT là một thành quả của những tiến bộ đó. MTĐT BT đã được sử dụng rộng rãi trong các nhà trường với tư cách là một công cụ hỗ trợ việc giảng dạy, học tập hay cả việc đổi mới phương pháp dạy học theo hướng hiện đại như hiện nay một cách có hiệu quả. Đặc biệt, với nhiều tính năng mạnh như của các máy CASIO Fx-500MS, CASIO Fx-570MS... trở lên thì học sinh còn được rèn luyện và phát triển dần tư duy thuật toán một cách hiệu quả. Trong những năm gần đây, các cơ quan quản lý giáo dục cũng như các tổ chức kinh tế tài trợ thiết bị giáo dục (nhất là các công ty cung cấp thiết bị điện tử và máy văn phòng) rất chú trọng việc tổ chức các cuộc thi giải toán trên MTĐT BT. Từ năm 2001, BGD& ĐT bắt đầu tổ chức cuộc thi “Giải toán trên MTĐT BT”- cho HS THCS - đến cấp khu vực; báo Toán tuổi thơ2 tổ chức thi giải toán bằng MTĐT BT qua thư - cho HS THCS- do tập đoàn CASIO tài trợ, báo Toán học & Tuổi trẻ tổ chức cuộc thi tương tự - cho cả HS THCS và THPT- do tập đoàn SHARP tài trợ, nhằm góp phần phát huy trí lực của học sinh và tận dụng những tính năng ưu việt của MTĐT BT để hỗ trợ học tốt các môn học khác nữa như Lý, Hoá, Sinh, Địa ... Thực tế, qua 3 năm phụ trách bồi dưỡng HSG giải toán trên MTĐT BT, tôi nhận thấy các em học sinh thực sự say mê tìm tòi, khám phá những công dụng của chiếc MTĐT BT đơn giản nhưng vô cùng hữu ích này và vận dụng tốt trong quá trình học tập của mình. Từ những lý do trên, tôi mạnh dạn triển khai chuyên đề “CASIO FX500MS VỚI VIỆC GIẢI TOÁN” rộng ra toàn trường với mục đích là: Để tất cả các em học sinh có điều kiện nắm được những chức năng cơ bản nhất của MTĐT BT CASIO Fx-500MS, từ đó biết cách vận dụng các tính năng đó vào giải các bài toán tính toán thông thường rồi dần đến các bài toán đòi hỏi tư duy thuật toán cao hơn. Tạo không khí thi đua học tập sôi nổi hơn, nhất là giáo dục cho các em ý thức tự vận dụng kiến thức đã được học vào thực tế công việc của mình và ứng dụng những thành quả của khoa học hiện đại vào đời sống. Tạo nguồn HSG cho các năm tiếp sau. PHÇN II NỘI DUNG VÀ PHƯƠNG PHÁP GIỚI THIỆU CƠ BẢN VỀ MÁY FX-500MS. Các phím thông thường: Có 3 loại phím: + Phím màu trắng: bấm trực tiếp. + Phím màu vàng: bấm sau phím + Phím màu đỏ: bấm sau phím Các phím chức năng: (xem trong CATANO giới thiệu máy). Cài đặt cho máy: + Ấn nhiều lần để chọn các chức năng của máy. + Ấn : Tính toán thông thường. + Ấn : Tính toán với bài toán thống kê. + Ấn : Giải hệ phương trình bậc1, 2 ẩn. + Ấn : Giải hệ phương trình bậc1, 3 ẩn. + Ấn : Giải phương trình bậc 2. + Ấn : Giải phương trình bậc 3. + Ấn : Xoá giá trị ở các ô nhớ A,B... + Ấn : Xoá cài đặt trước đó (ô nhớ vẫn còn) + Ấn : Xoá tất cả cài đặt và các ô nhớ. Phép gán vào các ô nhớ: + : Gán 10 vào ô nhớ A. + : Gán 10 vào ô nhớ B. + : Xoá ô nhớ A. + ( ): Kiểm tra giá trị của ô nhớ A. Chú ý: Các ô nhớ A, B, C, D, E, F, X, Y, M là các biến nhớ mà khi gán giá trị mới vào thì giá trị mới sẽ thay thế giá trị trước đó. Còn riêng ô nhớ M-ngoài chức năng trên-Nó còn là 1 số nhớ độc lập, nghĩa là có thể thêm vào hoặc bớt ra ở ô nhớ này. Cách SD phím : Tính toán với các số dạng a.10n. VD: 3.103 + 4.105 = ? Ấn phím: (Kết quả là 403 000) Cách SD phím : Kết quả tự động gán vào phím sau mỗi lần ấn phím hoặc hoặc hoặc hay (là 1 chữ cái) VD: Tính giá trị của biểu thức: Cách ấn phím và ý nghĩa của từng lần ấn như sau: Nhớ 3 vào phím Máy thực hiện phép tính được kq là nhớ vào Máy thực hiện phép tính được kq là nhớ vào Máy thực hiện phép tính được kq là nhớ vào Máy thực hiện phép tính được kq là nhớ vào Máy thực hiện phép tính được kq là nhớ vào Kết quả cuối cùng là Nhận xét: Dòng lệnh được máy thực hiện liên tục.Sau mỗi lần ấn dấu thì kết quả lại được nhớ vào phím (→ ), cứ ấn dấu một số lần nhất định ta sẽ nhận được kết quả của biểu thức. Phím có tác dụng rất hữu hiệu với bài toán tính giá trị của biểu thức dạng phân số chồng như VD trên. SỬ DỤNG CASIO FX-500MS ĐỂ GIẢI TOÁN NHƯ THẾ NÀO? Quy trình lặp cơ bản của máy FX-500MS. Dòng lệnh 1. Dòng lệnh 2. ......................... Dòng lệnh 9. (Gọi các dòng lệnh để đưa vào quy trình) (Máy thực hiện dòng lệnh 1 lần thứ nhất) (Máy thực hiện dòng lệnh 2 lần thứ nhất) ............................................................... (Máy thực hiện dòng lệnh 9 lần thứ nhất) (Máy thực hiện dòng lệnh 1 lần thứ hai) (Máy thực hiện dòng lệnh 2 lần thứ hai) ................................................................ (Máy thực hiện dòng lệnh 9 lần thứ hai) (Máy thực hiện dòng lệnh 1 lần thứ ba) (Máy thực hiện dòng lệnh 2 lần thứ ba) ................................................................. (Máy thực hiện dòng lệnh 9 lần thứ ba) (Máy thực hiện dòng lệnh 1 lần thứ tư) ................................................................ VD1: Dòng lệnh 1. Dòng lệnh 2. Dòng lệnh 3. Dòng lệnh 4. (máy thực hiện dòng lệnh 10 + 1). (máy thực hiện dòng lệnh 10 + 2). (máy thực hiện dòng lệnh 10 + 3). (máy thực hiện dòng lệnh 10 + 4). Lần thứ nhất (máy thực hiện dòng lệnh 10 + 1). (máy thực hiện dòng lệnh 10 + 2). (máy thực hiện dòng lệnh 10 + 3). (máy thực hiện dòng lệnh 10 + 4). Lần thứ hai .................................................. VD2: . . DL1: .(A tăng thêm 1, được 11 và 11 nhớ vào A) DL2: .(B tăng thêm 1, được 101 và 101 nhớ vào B) Lặp: (A tăng thêm 1, được 12 và 12 nhớ vào A) (B tăng thêm 1, được 102 và 102 nhớ vào B) (A tăng thêm 1, được 13 và 13 nhớ vào A) (B tăng thêm 1, được 103 và 103 nhớ vào B) ....................................................................... * Chú ý: . sau này kí hiệu là A+1→ A . sau này kí hiệu là B+1→ B VD3: . . . DL1: .(A tăng thêm 1, được 11 và 11 nhớ vào A) DL2: .(B tăng thêm 1, được 101 và 101 nhớ vào B) DL3: .(C tăng thêm 1, được 1001 và 1001 nhớ vào C) Lặp: (A tăng thêm 1, được 12 và 12 nhớ vào A) (B tăng thêm 1, được 102 và 102 nhớ vào B) (C tăng thêm 1, được 1002 và 1002 nhớ vào C) (A tăng thêm 1, được 13 và 13 nhớ vào A) (B tăng thêm 1, được 103 và 103 nhớ vào B) (C tăng thêm 1, được 1003 và 1003 nhớ vào C) ....................................................................... DẠNG I:Tính toán cơ bản trên dãy các phép tính cồng kềnh. Kiến thức bổ sung cần nhớ: Cách chuyển đổi số thập phân vô hạn tuần hoàn sang phân số. Nhận xét: Ta có: VD1: Tính giá trị của biểu thức. (Tính chính xác đến 0,000001) a. A = (ĐS:) b. B = (ĐS:) VD2: Tìm x. (Tính chính xác đến 0,0001) a. (x = -20,384) b. (x= 6) DẠNG II: Tính giá trị của biểu thức đại số. VD1: Tính giá trị của biểu thức: 20x2 -11x – 2006 tại a) x = 1; b) x = -2; c) x = ; d) x = ; Cách làm: *Gán 1 vào ô nhớ X: . Nhập biểu thức đã cho vào máy: (Ghi kết quả là -1 997) *Sau đó gán giá trị thứ hai vào ô nhớ X: . Rồi dùng phím để tìm lại biểu thức, ấn để nhận kết quả. (Ghi kết quả là -1 904) Làm tương tự với các trường hợp khác ta sẽ thu được kết quả một cách nhanh chóng, chính xác. (ĐS c) ; d) -2006,899966). VD2: Tính giá trị của biểu thức: x3 - 3xy2 – 2x2y - y3 tại: x = 2; y = -3. x = ; y = -2 x = y = Cách làm: Gán 2 vào ô nhớ X: . Gán -3 vào ô nhớ Y: . Nhập biểu thức đã cho vào máy như sau: (Ghi kết quả là - 4 ) Sau đó gán giá trị thứ hai vào ô nhớ X: . . Rồi dùng phím để tìm lại biểu thức, ấn để nhận kết quả. (Ghi kết quả là 25,12975279) Làm tương tự với trường hợp c) (Ghi kết quả là -2,736023521) Nhận xét: Sau mỗi lần ấn dấu ta phải nhớ ấn tổ hợp phím để đổi kết quả ra phân số (nếu được). DẠNG III: Tính giá trị của biểu thức số có quy luật. VD1:Tính giá trị của các biểu thức sau: A = 1+2+3+...+49+50. Nhận xét: Ta thấy tổng trên là tổng các số tự nhiên liên tiếp từ 1 đến 50, có quy luật là số sau lớn hơn số liền trước 1 đơn vị. Ta phải lập một quy trình cho máy để sau một số lần ấn dấu ta thu được kết quả của biểu thức. 1 → A 2 → B A + B → A B + 1 → B Gán 1 vào ô nhớ A. (A là biến chứa). Gán 2 vào ô nhớ B. (B là biến chạy). Dòng lệnh 1 Dòng lệnh 2 ... Đưa 2 DL vào quy trình lặp rồi ấn dấu đến khi B + 1 → B có giá trị là 50 thì ấnvà đọc kq :(1 275) B = ? Nhận xét: Ta thấy tổng trên là tổng các phân số với tử số không đổi, mẫu là các số tự nhiên tăng dần từ 1 đến 50. Ta cũng phải lập một quy trình cho máy để sau một số lần ấn dấu ta thu được kết quả của biểu thức. 1 → A 2 → B A + → A B + 1 → B Gán 1 vào ô nhớ A Gán 2 vào ô nhớ B Dòng lệnh 1 Dòng lệnh 2 ... Đưa 2 DL vào quy trình lặp rồi ấn dấu đến khi B + 1 → B có giá trị là 50 thì ấn và đọc kết quả. (KQ: 4,499205338) C = ? Nhận xét: Ta thấy biểu thức trên là một dãy các phép toán + và - xen kẽ các phân số với tử số không đổi, mẫu là các căn bậc hai của các số tự nhiên tăng dần từ 1 đến 50. Nếu mẫu là CBH của STN lẻ thì dấu là +, còn mẫu là CBH của STN chẵn thì dấu là -. Ta cũng phải lập một quy trình cho máy để sau một số lần ấn dấu ta thu được kết quả của biểu thức. Cách lập tương tự như VD2, song ta phải chú ý đến dấu của từng số hạng. 1 → A 2 → B A + (-1)B+1 → A B + 1 → B Gán 1 vào ô nhớ A Gán 2 vào ô nhớ B Dòng lệnh 1 Dòng lệnh 2 ... Đưa 2 DL vào quy trình lặp rồi ấn dấu đến khi B + 1 → B có giá trị là 50 thì ấn và đọc kết quả. (KQ:0,534541474) DẠNG IV: Bài toán về số. 5.1- Tìm số hạng thứ n của dãy số? VD1: Cho U1 = 8; U2 = 13; Un+2 = Un+1+Un (n2) a) Lập quy trình bấm phím liên tục để tính Un? b) Áp dụng quy trình trên để tính U13, U17? Cách làm: 8 → A 13 → B B+A → A A +B→ B Gán 8 vào ô nhớ A (U1) Gán 13 vào ô nhớ B (U2) Dòng lệnh 1 (U3) Dòng lệnh 2 (U4) ... Đưa 2 DL vào quy trình lặp rồi ấn dấu n – 4 lần và đọc kết quả. (U13 = 2 584; U17 = 17 711) VD2: Cho U1 = 1; U2 = 2; Un+2 = 2Un+1- 4Un (n2) a) Lập quy trình bấm phím liên tục để tính Un? b) Áp dụng quy trình trên để tính U15,U16, U17? Cách làm: 1 → A 2 → B 2B - 4A → A 2A - 4B → B Gán 1 vào ô nhớ A (U1) Gán 2 vào ô nhớ B (U2) Dòng lệnh 1 (U3) Dòng lệnh 2 (U4) ... Đưa 2 DL vào quy trình lặp rồi ấn dấu n – 4 lần và đọc kết quả. (U15 = 0; U16 = -32 768; U17 = - 65 536) VD3: Cho U1 = 1; U2 = 2; U3 = 3; Un+3 = 2Un+2 - 3Un+1 +2Un (n2) a) Lập quy trình bấm phím liên tục để tính Un? b) Áp dụng quy trình trên để tính U19,U20, U66, U67, U68? c) Tính tổng 20 số hạng đầu tiên của dãy (S20)? Cách làm:Câua+b) 1 → A 2 → B 3 → C 2C – 3B + 2A → A 2A – 3C + 2B → B 2B – 3A + 2C → C Gán 1 vào ô nhớ A (U1) Gán 2 vào ô nhớ B (U2) Gán 3 vào ô nhớ C (U3) DL1:U4 = 2U3 - 3U2 +2U1 DL2:U5 = 2U4 - 3U3 +2U2 DL3:U6 = 2U5 - 3U4 +2U3 ... Đưa 3 DL vào quy trình lặp rồi ấn dấu n – 6 lần và đọc kết quả. (U19 = 315; U20 = -142; U66 = 2 777 450 630; U67 = -3 447965 925; U68 = -9 002 867 128 ) c) Đặt Sn = U1+U2+U3+U4+ ... + Un Và từ công thức Un+3 = 2Un+2 - 3Un+1 +2Un → Un = 2Un-1 - 3Un-2 +2Un-3 Theo CT truy hồi đó thì ta có: + U4 = 2U3 - 3U2 +2U1 U5 = 2U4 - 3U3 +2U2 U6 = 2U5 - 3U4 +2U3 .............................. Un = 2Un-1 - 3Un-2 +2Un-3 U4+U5+U6+ ... + Un = 2(U3+U4+U5+ ... + Un-1)-3(U2+U3+U4+ ... + Un-2) +2(U1+U2+U3+ ... + Un-3) Un =Un-1- 2Un-2 + 3 ↔ Sn-(U1+U2+U3)= 2[Sn-(U1+U2+Un)] - 3[Sn-(U1+Un-1+Un)] +2[Sn-(Un-2+Un-1+Un)] Rút gọn đi ta được công thức truy hồi mới: Làm tương tự trên với CT truy hồi mới này ta được: + U4 =U3- 2U2 + 3 U5 =U4- 2U3 + 3 U6 =U5- 2U4 + 3 ........................ Un =Un-1- 2Un-2 + 3 U4+U5+U6+ ... + Un = (U3+U4+U5+ ... + Un-1)-2(U2+U3+U4+ ... + Un-2) + (n-4).3 ↔ Sn-(U1+U2+U3)= [Sn-(U1+U2+Un)] - 2[Sn-(U1+Un-1+Un)] +3(n-4) Rút gọn và thay các giá trị đã biết của U1; U2; U3 vào ta được: Áp dụng CT trên với n = 20 ta có được kq . 5.2- Tìm số dư của phép chia a cho b (a,b Z, b ≠ 0)? Cách làm: : : Lập biểu thức: A : B = Lấy phần nguyên c (số nguyên lớn nhất không vượt quá số đó) của kết quả thì đó chính là thương của phép chia A cho B. Sau đó lập bt: A – c.B = Kết quả này là số dư của phép chia. VD: Tìm thương và dư của phép chia (320+1) cho (215+1)? Cách làm: : : (106 404,9682) → thương là 106 404. - (31 726) → số dư là 31 726. 5.3-Tìm ước của một số? Cơ sở: Chia a cho các số không vượt quá a. Quy trình: 1 → A a A → B A + 1 → A Gán 1 vào ô nhớ A. Dòng lệnh 1. B là một biến chứa. Dòng lệnh 2. A là một biến chạy. ... Lặp 2 DL trên, ấn dấu và quan sát rồi chọn các kết quả nguyên – đó là Ước. VD: Tìm tất cả các ước của 60? 1 → A 60 A → B A + 1 → A Được 60 là một ước. Được 30 là một ước. Được 20 là một ước. Được 15 là một ước. Được 12 là một ước. Được 10 là một ước. Được 6 là một ước. Được 5 là một ước. Được 4 là một ước. Được 3 là một ước. Được 2 là một ước. Được 1 là một ước. Bấm đến khi A = 60 thì dừng lại. Hoặc có thể đọc kết quả như sau: 1 → A 60 A → B A + 1 → A Được 60 và 1 là 2 ước. Được 30 và 2 là 2 ước. Được 20 và 3 là 2 ước. Được 15 và 4 là 2 ước. Được 12 và 5 là 2 ước. Được 10 và 6 là 2 ước. (các dấu ở đây là của các kết quả nguyên) Vậy Ư(60) = 5.4-Tìm ƯCLN của các số? (Ta sử dụng thuật toán Ơclide) Nhận xét: Nếu a không chia hết cho b, giả sử a = b.q + r gọi d là ƯCLN của a và b, thế thì ta có a = d.a’; b = d.b’ thay vào (1) ta được d.a’= d.b’.q + r hay d.a’ = d.(b’.q) + r theo tính chất chia hết của một tổng thì r cũng chia hết cho d. thế nên ƯCLN (a;b) = ƯCLN(b;r). Dựa vào nhận xét trên ta lập quy trình tìm ƯCLN(a;b) như sau: : : -Nếu kết quả là phân số thì B:n = (được kết quả là ƯCLN(a,b)) -Nếu kết quả là số thập phân thì ta đi tìm số dư bằng cách Lấy phần nguyên c của kết quả rồi lập biểu thức A – c.B → D Bài toán trở về tìm ƯCLN(B,D). Ta nhập vào máy biểu thức: -Nếu kết quả là phân số thì D:q = (được kết quả là ƯCLN(a,b)) -Nếu kết quả là số thập phân thì ta đi tìm số dư bằng cách Lấy phần nguyên c của kết quả rồi lập biểu thức B – c.D → F ............................................... Cứ tiếp tục làm như vậy đến khi kết quả của dòng lệnh dạng là một phân số thì chia mẫu cho mẫu sẽ được ƯCLN. VD1: Tìm ƯCLN(44 505; 25 413) Cách làm: : : Kết quả máy báo là một phân số = Khi đó ta lấy mẫu số của phân số chia cho mẫu của phân số tức là B:n (197 129) Vậy ƯCLN(44 505; 25 413) = 129. VD2: Tìm ƯCLN(4 107 530669; 4 104 184 169) Cách làm: : : Kết quả máy báo là một số thập phân 1,000815387 Ta đi tìm số dư: A – 1.B → A Lặp lại dòng lệnh: Kết quả máy báo là một số thập phân 1226,410928. (lấy phần nguyên là 1226) Ta lại đi tìm số dư: B – 1226.A → B Lặp lại dòng lệnh: Kết quả máy báo là một số thập phân 2,43351908. (lấy phần nguyên là 2) Ta tiếp tục đi tìm số dư: A – 2.B → A Lặp lại dòng lệnh: Kết quả máy báo là một phân số = Khi đó ta lấy mẫu số của phân số chia cho mẫu của phân số tức là A:n (6146 97) Vậy ƯCLN(4 107 530 669; 4 104 184 169) = 97 5.5-Kiểm tra một số là nguyên tố hay hợp số? Cơ sở là nội dung Định lí sau: “a là một số nguyên tố nếu nó không chia hết cho mọi số nguyên tố không vượt quá ” Xuất phát từ cơ sở đó, ta lập 1 quy trình bấm phím liên tiếp để kiểm tra xem số a có chia hết cho các số nguyên tố nhỏ hơn hay không! Nhận xét: Mọi số nguyên tố đều là lẻ (trừ số 2), thế nên ta dùng phép chia a cho các số lẻ không vượt quá . Cách làm: Tính . Lấy phần nguyên b của kết quả. Lấy số lẻ lớn nhất c không vượt quá b. Lập quy trình c → A a A → B A – 2 → A Gán số lẻ c vào ô nhớ A làm biến chạy. Dòng lệnh 1. B là một biến chứa. Dòng lệnh 2. A là một biến chạy. ... Lặp 2 DL trên, ấn dấu và quan sát đến khi A = 1 thì dừng. Trong quá trình ấn : Nếu tồn tại kq nguyên thì khẳng định a là hợp số. Nếu không tồn tại kq nguyên nào thì khẳng định a là số nguyên tố. VD1: Xét xem 8191 là số nguyên tố hay hợp số? Tính được 90,50414355 Lấy phần nguyên được 90. Lấy số lẻ lớn nhất không vượt quá nó là 89. Lập quy trình: 89 → A 8191 A → B A – 2 → A ... Quan sát các kết quả ta thấy đều không nguyên, cho nên khẳng định 8191 là số nguyên tố. VD2: Xét xem 99 873 là số nguyên tố hay hợp số? 1. Tính được 316,0268976. 2. Lấy phần nguyên được 316. 3. Lấy số lẻ lớn nhất không vượt quá nó là 315. 4. Lập quy trình: 315 → A 99 873 A → B A – 2 → A ... 5. Quan sát màn hình thấy có kết quả nguyên là 441, cho nên khẳng định 99 873 là hợp số. 5.6-Phân tích một số ra thừa số nguyên tố? Nhận xét: Các số nguyên tố đều là số lẻ (trừ số 2) Cách làm: TH1: Nếu số a có ước nguyên tố là 2, 3 (Dựa vào dấu hiệu chia hết để nhận biết). Ta thực hiện theo quy trình: ‘ a → C 2 → A (hoặc 3 → A) C : A → B B : A → C Máy báo kq nguyên → ta nghi 2 (hoặc 3)là một SNT. Các kq vẫn là số nguyên thì mỗi lần như thế ta nhận được 1 TSNT là 2 (hoặc 3). Tìm hết các TSNT là 2 hoặc 3 thì ta phân tích thương còn lại dựa vào trường hợp dưới đây VD1: Phân tích 64 ra thừa số nguyên tố? Mô tả quy trình bấm phím Ý nghĩa hoặc kết quả 64 → C 2 → A C : A → B B : A → C Gán Gán Kq là số nguyên 32. Ghi TSNT 2 Kq là số nguyên 16. Ghi TSNT 2 Kq là số nguyên 8. Ghi TSNT 2 Kq là số nguyên 4. Ghi TSNT 2 Kq là số nguyên 2. Ghi TSNT 2 Kq là số nguyên 1. Ghi TSNT 2 Vậy 64 = 26 VD2: Phân tích 540 ra thừa số nguyên tố? Mô tả quy trình bấm phím Ý nghĩa hoặc kết quả 540 → C 2 → A C : A → B B : A → C 3 → A C : A → B B : A → C C : A → B Gán Gán Kq là số nguyên 270. Ghi TSNT 2 Kq là số nguyên 135. Ghi TSNT 2 Nhận thấy 135 2 nhưng 135 3 ta gán: Kq là số nguyên 45. Ghi TSNT 3 Kq là số nguyên 15. Ghi TSNT 3 Kq là số nguyên 5. Ghi TSNT 3 Thương là B = 5 là 1 TSNT. Vậy 540 = 22335 TH2: Nếu a là số không chứa TSNT 2 hoặc 3. Quy trình được minh hoạ qua các VD sau đây. VD3: Phân tích 385 ra thừa số nguyên tố? Mô tả quy trình bấm phím Ý nghĩa hoặc kết quả 385 → C 3 → A C : A → B A + 2 → A Gán Gán Lập dòng lệnh 1 Lập dòng lệnh 2 Lặp 2 DL trên. Kq là số nguyên 77. Chứng tỏ CA, A là 1 số nguyên tố. Khi đó ta ấn rồi ghi SNT là 5 / B:A → C A + 2 → A Kq là số nguyên 11. Chứng tỏ BA, A là 1 số nguyên tố. Khi đó ta ấn rồi ghi SNT là 7 / C:A → B A + 2 → A Kq là số nguyên 1. (quá trình kết thúc) Chứng tỏ CA, A là 1 số nguyên tố. Khi đó ta ấn rồi ghi SNT là 11 Vậy 385 = 5.7.11. VD3: Phân tích 85 085 ra thừa số nguyên tố? Mô tả quy trình bấm phím Ý nghĩa hoặc kết quả 85085 → C 3 → A C : A → B A + 2 → A (2 lần dấu ) Gán Gán Lập dòng lệnh 1 Lập dòng lệnh 2 Lặp 2 DL trên. Kq là số nguyên 17 017. Chứng tỏ CA, A là 1 số nguyên tố. Khi đó ta ấn rồi ghi SNT là 5 / B:A → C A + 2 → A Kq là số nguyên 2431. Chứng tỏ BA, A là 1 số nguyên tố. Khi đó ta ấn rồi ghi SNT là 7 / C:A → B A + 2 → A Kq là số nguyên 221. Chứng tỏ CA, A là 1 số nguyên tố. Khi đó ta ấn rồi ghi SNT là 11 / B:A → C A + 2 → A Kq là số nguyên 17. Chứng tỏ BA, A là 1 số nguyên tố. Khi đó ta ấn rồi ghi SNT là 13 / C:A → B A + 2 → A Kq là số nguyên 1. (Dừng lại ở đây) Chứng tỏ CA, A là 1 số nguyên tố. Khi đó ta ấn rồi ghi SNT là 17 Vậy 85 085 = 5.7.11.13.17 DẠNG V: Các bài toán về đa thức. Tìm thương và dư của phép chia đa thức f(x) cho (x-a). Cơ sở: Giả sử f(x) = g(x).(x-a) + r [g(x) là thương và r là số dư] Thế thì f(a) = g(a).(a-a) + r Suy ra f(a) = o + r hay Nghĩa là: Để tìm số dư của phép chia đa thức f(x) cho đa thức bậc nhất (x-a) ta chỉ việc tính giá trị của đa thức tại a. Còn muốn tìm thương ta sử dụng sơ đồ hoocner với quy trình ấn như VD2 sau. VD1: Tím số dư của phép chia đa thức f(x) = x14-x9-x5+x4+x2+x-723 cho (x-1,624) Cách làm: 1,624 → X Nhập biểu thức x14-x9-x5+x4+x2+x-723 (chữ là X) rồi ấn Kết quả: 85,921 VD2: Tìm thương và dư của phép chia đa thức f(x) = x3 -5x2+11x-19 cho (x-2)?. Mô hình sơ đồ Hoocner: Quy trình: 1 → A 1 x A + (-5) = (Ghi kết quả -3) x A + 11 = (Ghi kết quả 5) x A +(-19)= (Ghi kết quả -9) Vậy thương là 1x2 – 3x + 5, dư là -9 Phân tích đa thức f(x) thành nhân tử. Cơ sở: “Nếu tam thức bậc hai ax2 + bx + c có 2 nghiệm là x1, x2 thì nó viết được dưới dạng ax2 + bx + c = a(x-x1)(x-x2)”. “Nếu đa thức f(x) = anxn + an-1xn-1+... + a1x + a0 có nghiệm hữu tỷ thì p là ước của a0, q là ước của a0”. Đặc biệt: “Nếu đa thức f(x) = anxn + an-1xn-1+... + a1x + a0 có a1=1 thì nghiệm hữu tỷ là ước của a0”. Nếu đa thức f(x) có nghiệm là a thì đa thức f(x) chia hết cho (x-a). VD1: Phân tích đa thức f(x) = x2 + x - 6 thành nhân tử? Dùng chức năng giải phương trình bậc hai cài sẵn trong máy để tìm nghiệm của f(x) ta thấy có 2 nghiệm là x1 = 2; x2 = -3. Khi đó ta viết được: x2 + x - 6 = 1.(x-2)(x+3) VD2: Phân tích đa thức f(x) = x3+3x2 -13 x -15 thành nhân tử? Dùng chức năng giải phương trình bậc 3 cài sẵn trong máy để tìm nghiệm của f(x) ta thấy có 3 nghiệm là x1 = 3; x2 = -5; x3 = -1. Khi đó ta viết được: x3+3x2 -13 x -15 = 1.(x-3)(x+5)(x+1). VD3: Phân tích đa thức f(x) = x3- 5x2 +11 x -10 thành nhân tử? Dùng chức năng giải phương trình bậc 3 cài sẵn trong máy để tìm nghiệm của f(x) ta thấy có 1 nghiệm thực là x1 = 2. Nên ta biết được đa thức x3- 5x2 +11 x -10 chia hết cho (x-2). Sử dụng sơ đồ Hoocner để chia x3- 5x2 +11 x -10 cho (x-2) ta có: Khi đó bài toán trớ về tìm thương của phép chia đa thức f(x) cho (x-2). Quy trình: 2 → X Ghi -3 Ghi 5 Ghi 0 Khi đó ta có f(x) = (x-2)(x2- 3x + 5) Tam thức bậc hai x2- 3x + 5 vô nghiệm nên không phân tích thành nhân tử được nữa. Vậy x3- 5x2 +11 x -10 = ( x-2)(x2- 3x + 5) VD4:Phân tích đa thức f(x) = x5 + 5x4 – 3x3 – x2 +58x - 60 thành nhân tử? Nhận xét: Nghiệm nguyên của đa thức đã cho là Ư(60). Ta có Ư(60) = {1;2;3;4;5;6;10;12;15;20;30;60} Lập quy trình để kiểm tra xem số nào là nghiệm của đa thức: Gán: -1 → X Nhập vào máy đa thức:X5 + 5X4 – 3X3–X2 +58X -60 rồi ấn dấu máy báo kq -112 Gán tiếp: -2 → X / // máy báo kq -108 Gán tiếp: -3 →X/// máy báo kq 0 Do vậy ta biết x = -3 là một nghiệm của đa thức đã cho, nên f(x) chia hết cho (x+3). Khi đó bài toán trớ về tìm thương của phép chia đa thức f(x) cho (x-3). Quy trình: -3 → X Ghi 2 Ghi -9 Ghi 26 Ghi -20 Ghi 0 Khi đó ta có f(x) = (x+3)(x4+2x3-9x2+26x-20) * Ta lại xét đa thức g(x) = x4+2x3-9x2+26x-20 Nghiệm nguyên là ước của 20. Dùng máy ta tìm được Ư(20) = {1;2;4;5;10;20} Lập quy trình để kiểm tra xem số nào là nghiệm của đa thức g(x): Gán: -1 → X Nhập vào máy đa thức: x4+2x3-9x2+26x-20 rồi ấn dấu máy báo kq -96 Gán tiếp: -2 → X / // máy báo kq -148 Gán tiếp: -4 → X / // máy báo kq -180 Gán tiếp: -5 → X / // máy báo kq 0 Do vậy ta biết x = -5 là một nghiệm của đa thức đã cho, nên f(x) chia hết cho (x+5). Khi đó bài toán trớ về tìm thương của phép chia đa thức f(x) cho (x+5). Quy trình: -5 → X Ghi -3 Ghi 6 Ghi -4 Ghi 0 Khi đó ta có g(x) = (x+5)(x3-3x2+6x-4) * Tiếp tục dùng chức năng giải phương trình bậc 3 để tìm nghiệm nguyên của đa thức h(x) = x3-3x2+6x-4 Kết quả, là đa thức h(x) có nghiệm là x = 1 nên chia h(x) cho (x-1) ta được: h(x) = (x-1)(x2-2x+4) Ta thấy đa thức (x2-2x+4) vô nghiệm nên không thể phân tích thành nhân tử. Vậy f(x) = (x+3)(x+5)(x-1)(x2-2x+4) DẠNG VI: Bài toán về thống kê. DẠNG VII: Toán tăng trưởng %. Bài toán về dân số. VD: Hiện nay, dân số 1 quốc gia là a người, tỷ lệ tăng dân số mỗi năm là m%. Hỏi sau n năm nữa thì số dân của quốc gia đó là bao nhiêu người? Giải: Sau 1 năm, dân số quốc gia đó là A1 = a + a.m = a(1+m) Sau 2 năm, dân số quốc gia đó là A2 = a(1+m) + a(1+m) m = a(1+m)2 An = a(1+m)n ........................................ Sau n năm, dân số quốc gia đó là Áp dụng: a) Dân số nước ta năm 2001 là 76,3 triệu người. Hỏi đến năm 2010, dân số nước ta sẽ là bao nhiêu người. Biết tỷ lệ tăng dân số trung bình là 1,2% /năm. b) Nếu năm 2020 dân số nước ta có khoảng 100 triệu người, hãy tính tỷ lệ tăng ds bình quân mỗi năm? Áp dụng CT trên ta có A2010 = 76,3.(1+1,2%)9 = 84,94721606 (triệu người) Cũng từ Ct trên