Giáo án Bối dưỡng học sinh giỏi môn Toán 9

Chương I. Hệ thức lượng trong tam giác vuông. A. Hệ thống kiến thức: 1. Các hệ thức lượng trong tam giác vuông: A B C H h b c a c' b' b2 = ab'; c2 = ac' a2 = b2 + c2 bc = ah. h2 = b'c' 2.Tỉ số lượng giác của góc nhọn: Cạnh kề Cạnh đối Cạnh huyền a A B C 3. Một số tính chất của tỉ số lượng giác: Với góc nhọn a, và b ta có: Với mọi góc nhọn a, ta có: 0 < sina < 1; 0 < cosa < 1; sin2a + cos2a = 1 tga = ; cotga = ; tga.cotga = 1 1+ tg2a = ; 1 + cotg2a = Với a, b là các góc nhọn : A B C b c a 4. Hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông. b = a.sinB = a.cosC c = a.sinC = a.cosB b = c.tgB = c.cotgC c = b.tgC = b.cotgC B. Bài tập: 1. Cho hình thang ABCD (AB // CD), hai đường chéo vuông góc với nhau. Biết AC = 16 cm; BD = 12 cm. Tính chiều cao của hình thang. 2. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, đường phân giác AD. Biết BH = 63 cm, CH = 112 cm. tính HD. 3. Cho tam giác ABC vuông tại A. Các đường trung tuyến AD và BE vuông góc với nhau tại G. Biết AB = . Tính cạnh huyền BC. 4. Gọi a, b, c là các cạnh của một tam giác vuông, h là chiều cao ứng với cạnh huyền a. Chứng minh rằng tam giác có các cạnh a + h; b + c và h cũng là một tam giác vuông. 5. Cho tứ giác ABCD có . Chứng minh rằng: AB2 + CD2 = AC2 + BD2 6. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi D, E lần lượt là hình chiếu của H trên AB, AC. Chứng minh rằng: a) AD.AB = AE.AC b) AD.BD + AE.EC = BH.HC c) d) BC.BD.CE =AH3 7. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Lấy D thuộc cạnh AC, điểm E thuộc tia đối của tia HA sao cho . Chứng minh rằng: . 8. Cho hình vuông ABCD và điểm I nằm giữa A và B. Tia DI cắt BC ở E. Đường thẳng kẻ qua D vuông góc với DE cắt BC ở F. a) Tam giác DIF là tam giác gì? Vì sao? b) Chứng minh rằng không đổi khi I chuyển động trên đoạn AB. 9. Cho hình vuông ABCD. Đường thẳng qua A cắt cạnh BC tại M, cắt đường thẳng DC tại N. Chứng minh: 10. Cho hình chữ nhật ABCD, AB = 2BC. Trên cạnh BC lấy điểm E. Tia AE cắt đường thẳng CD tại F. Chứng minh rằng: 11. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, kẻ HM vuông góc với AB tại M. Chứng minh: . 12. Cho tam giác nhọn ABC, hai đường cao BD và CE cắt nhau tại H. Gọi M và N là hai điểm tương ứng trên các đoạn HB, HC sao cho góc AMC = góc ANB = 900. Chứng minh AM = AN. 13. Cho tam giác ABC. Gọi M là trung điểm của AC, E là chân đường phân giác góc M của tam giác ABM, D là chân đường phân giác góc M của tam giác MBC. a) Chứng minh ED // AC; b) Kẻ MH vuông góc với ED. Chứng minh MH2 = HE.HD; c) Biết và AC = 9cm, MH = 2cm. Tính chu vi tam giác MED. 14. Cho tam giác ABC vuông tại A. Kẻ đường cao AH, trung tuyến AM. Kẻ HD^AB, HE^AC. Biết HB = 4,5 cm; HC = 8 cm. a) Chứng minh: góc BAH = góc MAC b) Chứng minh: AM ^ DE tại K. c) Tính độ dài AK. 15. Cho ba đoạn thẳng có độ dài a, b, c. Dựng đoạn thẳng x sao cho 16. Cho tam giác ABC vuông cân tại A. M là một điểm thuộc cạnh BC. Chứng minh rằng: 2MA2 = MB2 + MC2. 17. Cho tam giác ABC; góc B = 300. Dựng ra phía ngoài tam giác ABC tam giác đều ACD . Chứng minh rằng: BD2 = AB2 + BC2. 18. Cho tam giác ABC vuông tại A, G là trọng tâm của tam giác. Một đường thẳng đi qua G cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại M và N. Chứng minh rằng: 19.(*) Cho tam giác ABC vuông tại A. Từ một điểm O ở trong tam giác ta vẽ OD ^ BC; OE ^ CA; OF ^ AB. Hãy xác định vị trí của điểm O để OD2 + OE2 + OF2 nhỏ nhất. 20. Tính cosa, tga nếu sina = . 21. Tính giá trị của các biểu thức sau: a) A = 4cos2a - 6sin2a, biết sina = b) B = 5sin2a + 2cos2a, biết cosa = c) C = sina.cosa, biết tga + cotga = 3 d) D = cos4a - cos2a + sin2a, biết cosa = 22. Cho tam giác ABC vuông tại A. Biết , tính tgC. 23. Tính giá trị các biểu thức sau: a) A = cos2200 + cos2300 + cos2400 + cos2500 + cos2600 + cos2700 b) B = sin250 + sin2250 + sin2450 + sin2650 + sin2850 24. Chứng minh rằng diện tích của tam giác bằng nửa tích độ dài hai cạnh kề một góc nhọn nhân với sin của góc nhọn ấy. 25. Cho tam giác nhọn ABC, có BC = a, AC = b, AB = c. Chứng minh rằng: a2 = b2 + c2 - 2bccosA 26. Cho tam giác nhọn ABC, AB = c, BC = a, CA = b. Chứng minh rằng: 27. Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c và b + c = 2a. Chứng minh: a) 2sinA = sinB + sinC b) , trong đó ha, hb, hc lần lượt là chiều cao của tam giác ứng với các cạnh a, b, c. 28. Cho tam giác ABC có đường phân giác AD, đường cao CH và đường trung tuyến BM giao nhau tại I. Vẽ MN song song với AB (N thuộc HC). a) Chứng minh: b) Chứng minh: AB.AH = AC.HB c) Tính tỉ số theo các cạnh của tam giác ABC. 29. Cho hình bình hành ABCD có góc A = a, các đường phân giác của các góc A, B, C, D cắt nhau tạo thành tứ giác MNPQ (M, N, P, Q lần lượt là giao điểm của hai đường phân giác các góc A và B, B và C, C và D, D và A). a) Chứng minh MN = (AB - BC). b) Tính diện tích tứ giác MNPQ theo AB, BC và a. 30. Cho tam giác ABC cân tại A. Chứng minh rằng: a) b) 31. Cho tam giác ABC. Đường trung tuyến AM bằng cạnh AC. Chứng minh rằng: tgC = 3tgB 32. Cho tam giác ABC. Đường trung tuyến AM. Chứng minh rằng nếu cotgB = 3cotgC thì AM = AC. 33. Cho tam giác ABC. Trực tâm H là trung điểm của đường cao AD. Chứng minh rằng: tgB.tgC = 2. 34. Cho tam giác nhọn ABC, các đường cao AH, BI, CK. Chứng minh rằng: a) Tam giác AIK đồng dạng với tam giác ABC. b) SAIK = SABC.cos2A. c) SHIK = (1 - cos2A - cos2B - cos2C).SABC 35. Cho tam giác ABC vuông tại A. Chứng minh rằng: 36. Cho tam giác ABC vuông ở A có AB = c, AC = b. Kẻ đường cao AH. Từ H kẻ HD^AB, HE^AC. a) Chứng minh: BC = bcosC + ccosB b) Chứng minh BD = BC.x với x = cosB c) Chứng minh: 37. Cho tam giác ABC và hai trung tuyến BN và CM vuông góc với nhau. Chứng minh: cotgB + cotgC ≥ 38. Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao thuộc cạnh bên bằng h, góc ở đáy bằng a. Chứng minh: 39. Cho tam giác nhọn ABC có BC = a, AC = b, AB = c. Chứng minh rằng: a) b) 40. Cho tam giác ABC có . Chứng minh rằng: 41. Cho tam giac ABC vuông ở A có AB < AC và trung tuyến AM, góc ACB = a, góc AMB = b. Chứng minh rằng: 1+sinb = (sina + cosa)2 42. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường phân giác AD. Chứng minh rằng: (Hướng dẫn kẻ DE ^AC. Tính AD = AE và ) 43 Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 1. M là điểm bất kỳ nằm trong hình vuông. Chứng minh rằng MA2+MB2+MC2+MD2 ³ 1 (HD: MA+MC ³ AC và MA2 + MC2 ³)Chương II. Đường tròn - tiếp tuyến của đường tròn A. Kiến thức cơ bản: I. Các cách xác định một đường tròn. 1. Một điểm O cho trước, một số thực R > 0 cho trước xác định một đường tròn tâm O, bán kính R. 2. Một đoạn thẳng AB cho trước xác định một đường tròn đường kính AB. 3. Ba điểm A, B, C không thẳng hàng xác định một đường tròn đi qua ba điểm đó. ã O R A B ã ã ã A B C II. Tính chất đối xứng của đường tròn. 1. Đường tròn là hình có tâm đối xứng. Tâm đường tròn là tâm đối xứng của đường tròn đó. 2. Đường tròn là hình có trục đối xứng. Bất cứ đường kính nào cũng là trục đối xứng của đường tròn. III. Đường kính và dây của đường tròn. Định lí 1. Đường kính là dây lớn nhất của đường tròn. Định lí 2. Trong một đường tròn, đường kính vuông góc với dây thì đia qua trung điểm của dây ấy. Định lí 3. Trong một đường tròn, đường kính đi qua trung điểm của một dây không đi qua tâm thì vuông góc với dây ấy. ã A B C D I IV. Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây. Định lí 1. Trong một đường tròn: a) Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm. b) Hai dây cách đều tâm thì bằng nhau. Định lí 2. Trong hai dây của một đường tròn: a) Dây nào lớn hơn thì dây đó gần tâm hơn. b) Dây nào gần tâm hơn thì dây đó lớn hơn. V. Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn. Xét đường tròn (O; R) và đường thẳng a. Gọi d là khoảng cách từ tâm O đến đường thẳng a. Số điểm chung Hệ thức giữa d và R Đường thẳng a và đường tròn không giao nhau 0 a O a O a O d > R Đường thẳng a tiếp xúc với đường tròn. Đường thẳng a gọi là tiếp tuyến của đường tròn. 1 d = R Đưởng thẳng a cắt đường tròn. Đường thẳng a gọi là cát tuyến của đường tròn. 2 d < R VI. Tiếp tuyến của đường tròn. Định lí 1. Nếu một đường thẳng là tiếp tuyến của một đường tròn thì nó vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm. Định lí 2. Nếu một đường thẳng đi qua một điểm của một đường tròn và vuông góc với bán kính đi qua điểm đó thì đường thẳng ấy là tiếp tuyến của đường tròn. Định lí 3. Nếu hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau tại một điểm thỉ: - Điểm đó cách đều hai tiếp điểm. - Tia kẻ từ điểm đó qua tâm là tia phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến. - Tia kẻ từ tâm qua điểm đó là tia phân giác của góc tạo bởi hai bán kính đi qua các tiếp điểm. a là tiếp tuyến của (O), I ẻ (O) Û a ^ OI tại I a O I MA, MB là tiếp tuyến của (O) ị MA = MB, AMO = BMO, AOM = BOM M O A B VII. Quan hệ giữa đường tròn và tam giác: Đg tròn ngoại tiếp tam giác; Đg tròn nội tiếp tam giác; Đg tròn bàng tiếp tam giác Tam giác nội tiếp đg tròn; Tam giác ngoại tiếp đg tròn * Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là giao điểm các đường trung trực của tam giác. * Tâm đường tròn nội tiếp tam giác là giao điểm các đường phân giác của tam giác. Các định lí: 1) Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông là trung điểm của cạnh huyền. 2) Nếu một tam giác có một cạnh là đường kính của đường tròn ngoại tiếp thì tam giác đó là tam giác vuông. II. Bài tập: 1. Cho tam giác đều ABC. Chứng minh đường tròn đường kính BC đia qua trung điểm của AB và trung điểm của AC. 2. Cho điểm P nằm ngoài đường tròn (O; R) sao cho OP = 2R. Đường thẳng đia qua P cắt đường tròn tại A và B sao cho AB = R (A nằm giữa P và B). a) Tính tỉ số lượng giác của góc BPO. b) Qua P, kẻ cát tuyến khác cắt đường tròn (O; R) tại C và D, hạ OK vuông góc với DC. So sánh hai dây AB và CD, biết OK < . 3. Cho đường tròn (O; R) và hai tiếp tuyến MA, MB của đường tròn. Kẻ AD (D nằm giữa O và M) sao cho góc MAD = 450. a) Chứng minh DO.MB = AO.DM b) Chứng minh BD là đường phân giác của góc OBN, c) Từ M kẻ đường thẳng song song với OB, đường thẳng này cắt OA tại N. Chứng minh NO = NM. 4. Cho đường tròn (O; R), đường kính AB. Trên nửa đường tròn lấy điểm M. Kẻ đường thẳng vuông góc với MO tại M, đường thẳng này cắt tiếp tuyến tại A và cắt tiếp tuyến tại B tại hai điểm C và D, đường thẳng DO cắt CA tại I. a) Chứng minh D DCI cân tại C. b) Chứng minh CA.BD = R2 c) Nêu vị trí tương đối của của đường thẳng AB và đường tròn đi qua ba điểm C, O, D. 5. Từ điểm P nằm ngoài đường tròn (O; R), kẻ hai cát tuyến PBA và PCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD. a) Chứng minh P, H, O, K cùng thuộc một đường tròn. Xác định tâm và bán kính của đường tròn đó. b) So sánh hai dây AB và CD biết PH < PK. 6. Cho đường tròn (O; R) , hai tiếp tuyến MA, MB của đường tròn, AB cắt OM tại H. a) Chứng minh AM.BM = MH.MO b) Đường thẳng OA cắt MB tại N. Chứng minh c) Từ O kẻ OK song song với AM (K thuộc MB). Chứng minh OK = MK. 7. Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB. Lấy điểm I trên nửa đường tròn. Tiếp tuyến tại I cắt tiếp tuyến tại A và tiếp tuyến tại B lần lượt tại M và N. a) Chứng minh tam giác MON vuông tại O. b) Đường thẳng NM cắt BA kéo dài tại P. Chứng minh PO.MI = PM.OB và PO.NI = PN.OA. 8*. Cho đường tròn tâm O, bán kính R, kẻ dây DE vuông góc với đường AB tại P (P nằm giữa O và B). Kẻ dây BC song song với AE, đường thẳng đi qua P song song với BC cắt đường thẳng CD tại J. Chứng minh JA là tiếp tuyến của đường tròn (O; R) 9*. Cho đường tròn tâm O, đường kính AB và tia tiếp tuyến Ax. Từ điểm M trên Ax kẻ tiếp tuyến thứ hai MC với đường tròn, kẻ CH vuông góc với AB. Chứng minh MB đi qua trung điểm N của CH. 10*. Cho tam giác ABC đều với O là trung điểm của cạnh BC. Trên cạnh AB lấy điểm M, trên cạnh AC lấy điểm N sao cho góc MON = 600. a) Chứng minh BC2 = 4.BM.CN b) MO cắt BN tại I. Chứng minh IB.MN = IN.MB c) Khi M và N di động trên hai cạnh AB và AC của tam giác ABC sao cho góc MON = 600, chứng minh MN luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định. 11*. Cho tam giác ABC vuông tại A, ngoại tiếp đường tròn (O; r). Kẻ OH vuông góc với AB, OK vuông góc với AC. Chứng minh: a) Diện tích tứ giác AKOH bằng r2. b) sinB - cosB = 12*. Gọi I và K theo thứ tự là các điểm nằm trên cạnh AB, AD của hình vuông ABCD sao cho AI = AK. Đường thẳng kẻ qua A vuông góc với DI ở P, cắt BC ở Q. Chứng minh năm điểm C, D, K, P, Q cùng thuộc một đường tròn. 13*. Cho hình vuông ABCD, O là giao điểm hai đường chéo AC và BD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của OB, CD. a) Chứng minh góc AMN = 900, từ đó suy ra bốn điểm A, M, N, D cùng thuộc một đường tròn; b) So sánh AN với MD. 14. Cho tam giác ABC cân ở A có AB = 15 cm, đường cao AH = 9 cm. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. 15**. Cho hình vuông ABCD cạnh bằng a. Gọi M và N là hai điểm tuỳ ý trên các cạnh AB và CD sao cho chu vi tam giác AMN bằng 2a. Gọi H là hình chiếu của C trên MN. Chứng minh rằng điểm H luôn luôn thuộc một đường tròn cố định khi hai điểm M, N chuyển động trên các cạnh AB và CD. 16*. Cho đoạn thẳng AB và trung điểm O của AB. Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB vẽ tia Ax, By vuông góc với AB. Trên các tia Ax, By lấy theo thứ tự hai điểm C và D sao cho góc COD = 900. Kẻ OH ^ CD. a) Chứng minh rằng H thuộc đường tròn tâm O. b) Xác định vị trí tương đối của đường thẳng CD với đường tròn (O). 17*. Cho hình vuông ABCD, trên đường chéo BD lấy điểm I sao cho BI = BA. Đường thẳng kẻ qua I vuông góc với BD cắt AD ở E. a) So sánh các đoạn thẳng AE, EI, ID. b) Xác định vị trí tương đối của đường thẳng BD với đường tròn (E; EA). 18. Cho tam giác ABC cân ở A. Vẽ đường tròn tâm D đường kính BC cắt AC và AB lần lượt ở E và F. Gọi H là giao điểm của BE và CF. Chứng minh rằng: a) Bốn điểm A, E, H, F cùng thuộc một đường tròn. b) DE là tiếp tuyến của đường tròn nói trong câu a. 19. Cho đường tròn (O; 5cm), đường kính AB, tiếp tuyến Bx. Gọi C là một điểm trên đường tròn sao cho góc BAC = 300, tia AC cắt Bx ở E. a) Chứng minh BC2 = AC.AE. b) Tính độ dài đoạn AE. 20. Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Qua C thuộc nửa đường tròn, kẻ tiếp tuyến xy của nửa đường tròn. Gọi M và N lần lượt là hình chiếu của điểm A và điểm B trên xy. Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ C xuống AB. Chứng minh: a) C là trung điểm của MN. b) CH2 = AM.BN 21. Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB, hai tiếp tuyến Ax, By. Trên Ax, By lấy theo thứ tự hai điểm C và D. Biết AC + BD = CD. Chứng minh. a) Góc COD = 900. b) Đường thẳng AB là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác COD, còn đường thẳng CD là tiếp tuyến cảu đường tròn (O). 22. Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB, tiếp tuyến Ax. Qua điểm C trên nửa đường tròn (O) kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn cắt Ax ở M. Kẻ CH ^ AB cắt BM ở I. Chứng minh I là trung điểm của CH.