Giáo án bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 8

BUỔI 1 : HẰNG ĐẲNG THỨC A. MỤC TIÊU: * Củng cố và nâng cao kiến thức về phép nhân đa thức – hằng đẳng thức * Tiếp tục rèn luyện kỹ năng giải các bài toán về phép nhân đa thức – hằng đẳng thức * Tạo hứng thú cho HS trong quá trình học nâng cao môn toán B. HOẠT ĐỘNG DẠY HỌC: I. Nh¾c l¹i néi dung bµi häc: 1. Nh©n ®a thøc víi ®a thøc: A( B + C + D) = AB + AC + AD (A + B + C) (D + E) = AD + AE + BD + BE + CD + CE 2.Nh÷ng h»ng ®¼ng thøc ®¸ng nhí: B×nh ph­¬ng mét tæng: ( A + B)2 = A2 + 2AB + B2 (1) B×nh ph­¬ng mét hiÖu: ( A - B)2 = A2 - 2AB + B2 (2) HiÖu hai b×nh ph­¬ng: A2 – B2 = (A + B)(A – B) (3) II. Bµi tËp ¸p dông: Ho¹t ®éng cña GV Ho¹t ®éng cña HS 1. Bµi 1: Rót gän biÓu thøc a) (x + 1) (x2 + 2x + 4) Thùc hiÖn phÐp nh©n råi rót gän b) (x2 + x + 1)(x5 – x4 + x2 – x + 1) c) (3x + 1)2 – 2(3x + 1)(3x + 5) + (3x + 5)2 Bµi 2: T×m x biÕt: 3(x + 2)2 + (2x – 1)2 – 7(x + 3)(x - 3) = 172 ¸p dông c¸c H.®¼ng thøc nµo ®Ó gi¶i BiÕn ®æi, rót gän vÕ tr¸i Bµi 3: Cho x + y = a; xy = b. tÝnh gi¸ trÞ c¸c biÓu thøc sau theo a vµ b: x2 + y2; x4 + y4 Bµi 4: chøng minh r»ng a) (x + y)(x3 – x2y + xy2 – y3) = x4 – y4 b) NÕu: (a + b)2 = 2(a2 + b2) th×: a = b Tõ (a + b)2 = 2(a2 + b2) suy ra ®iÒu g×? c) NÕu: x + y + z = 0 vµ xy + yz + zx = 0 th× x = y = z Tõ : x + y + z = 0 (x + y + z)2 =? Tõ ®o ta cã ®iÒu g×? d) cho a + b + c = 0 vµ a2 + b2 + c2 = 2 c/m: a4 + b4 + c4 = 2 HD c¸ch gi¶i t­¬ng tù Bµi 5: So s¸nh: a) A = 1997 . 1999 vµ B = 19982 b)A = 4(32 + 1)(34 + 1)…(364 + 1) vµ B = 3128 - 1 TÝnh 4 theo 32 – 1? Khi ®ã A = ? ¸p dông h»ng ®¼ng thøc nµo liªn tiÕp ®Ó so s¸nh A vµ B Bµi 6: a) Cho a = 11…1( co n ch÷ sè 1) b = 100…05( cã n – 1 ch÷ sè 0) Cmr: ab + 1 lµ sè chÝnh ph­¬ng b) Cho Un = 11…155…5 (cã n ch÷ sè 1 vµ n ch÷ sè 5) Cmr: Un + 1 lµ sè chÝnh ph­¬ng HS ghi ®Ò, thùc hiÖn theo nhãm HS cïng GV thùc hiÖn lêi gi¶i a) (x + 1) (x2 + 2x + 4) =x3 + 2x2 + 4x + x2 + 2x + 4 = x3 + 3x2 + 6x + 4 b) (x2 + x + 1)(x5 – x4 + x2 – x + 1) = …= x7 + x2 + 1 c) (3x + 1)2 – 2(3x + 1)(3x + 5) + (3x + 5)2 = [(3x + 1) – (3x + 5)]2 = (3x + 1 – 3x – 5)2 = (- 4)2 = 16 HS ghi ®Ò bµi gi¶i theo nhãm Ýt phót ¸p dông c¸c H.®¼ng thøc (1), (2), (3) 3(x + 2)2 + (2x – 1)2 – 7(x + 3)(x - 3) = 172 3(x2 + 4x + 4) + 4x2 – 4x + 1 – 7(x2 – 9) = 172 …. 8x = 96 x = 12 HS ghi ®Ò bµi, tiÕn hµnh bµi gi¶i Ta cã x2 + y2 = (x + y)2 – 2xy = a2 – 2b x4 + y4 = (x2 + y2)2 – 2(xy)2 = (a2 – 2b)2 – 2b2 = a4 - 4a2b + 2b2 HS ghi ®Ò, tiÕn hµnh gi¶i cïng víi GV a)VT = (x + y)(x3 – x2y + xy2 – y3) = x4 – x3y + x2y2 – xy3 +x3y - x2y2 + xy3- y4 = x4 – y4 = VP (®pcm) b) Tõ (a + b)2 = 2(a2 + b2) suy ra a2 + 2ab + b2 = 2a2 + 2b2 a2 - 2ab + b2 = 0 (a – b)2 = 0 a – b = 0 a = b (®pcm) c) Tõ : x + y + z = 0 (x + y + z)2 = 0 x2 + y2 + z2 + 2(xy + yz + zx) = 0 x2 + y2 + z2 = 0 ( v× xy + yz + zx = 0) x = y = z d) Tõ a + b + c = 0 (a + b + c )2 = 0 a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca) = 0 ab + bc + ca = -1 (1) Ta l¹i cã: (a2 + b2 + c2)2 = a4 + b4 + c4 + 2( a2b2 + b2c2 + c2a2) = 4 (2) Tõ (1) (ab + bc + ca)2 = 1 a2b2 + b2c2 + c2a2 = 1 (3) Tõ (2) vµ (3) suy ra a4 + b4 + c4 = 2 a) A = 1997 . 1999 = (1998 – 1)(1998 + 1) = 19982 – 1 < 19982 A < B b) V× 4 = nªn A = 4(32 + 1)(34 + 1)(38 + 1)…(364 + 1) = (32 + 1)(34 + 1)(38 + 1)…(364 + 1) =(34 - 1) (34 + 1)(38 + 1)…(364 + 1) = (38 - 1)(38 + 1)…(364 + 1) = (316 - 1)(316 + 1)(332 + 1)(364 + 1) = (332 - 1)(332 + 1)(364 + 1) = (364 - 1)(364 + 1) = (3128 - 1) = B VËy: A < B Ta cã: b = 10n + 5 = 9….9 + 6 = 9(1…1) + 6 = 9a + 6 ab + 1 = a(9a + 6) + 1 = 9a2 + 6a +1 = (3a + 1)2 lµ mét sè chÝnh ph­¬ng Ta viÕt: = = 11…1.10n + 5. 11…1 §Æt: a = 11…1 th× 9a + 1 = 10n Do ®ã : Un + 1 = 9a2 + 6a +1 =(3a + 1)2 III. Bài tập về nhà: Bài 1: cho x + y = 3. Tính giá trị biểu thức: x2 + y2 + 2xy – 4x – 4y + 1 Bài 2: Chứng minh rằng: x4 + y4 + (x + y)4 = 2(x2 + xy + y2)2 Bài 3: Cho (a + b + c)2 = 3(a2 + b2 + c2). Cmr: a = b = c Bài 4: Chứng minh rằng: Nếu n là tổng của hai số chính phương thì 2n và n2 củng là tổng của hai số chính phương Bài 5: So sánh: A = với B = (Víi 0 < y < x ) BUỔI 2 : HẰNG ĐẲNG THỨC ( Tiếp) A. MỤC TIÊU: * Củng cố và nâng cao kiến thức về hằng đẳng thức * Tiếp tục rèn luyện kỹ năng giải các bài toán về hằng đẳng thức * Tạo hứng thú cho HS trong quá trình học nâng cao môn toán B. HOẠT ĐỘNG DẠY HỌC: I. Nhắc lại nội dung bài học: Những hằng đẳng thức đáng nhớ: Bình phương một tổng: ( A + B)2 = A2 + 2AB + B2 (1) Bình phương một hiệu: ( A - B)2 = A2 - 2AB + B2 (2) Hiệu hai bình phương: A2 – B2 = (A + B)(A – B) (3) Lập phương một tổng: (A + B)3 = A3 + 3A2B + 3AB2 + B3 (4) Lập phương một hiệu: (A - B)3 = A3 - 3A2B + 3AB2 - B3 (5) Tổng hai lập phương: A3 + B3 = ( A + B )( A2 – AB + B2 ) (6) Hiệu hai lập phương: A3 – B3 = ( A – B )( A2 + AB + B2 ) (7) B×nh ph­¬ng tæng ba h¹ng tö: (A + B + C)2 = A2 + B2 + C2 + 2(AB + AC + BC) II. Bµi tËp ¸p dông: Ho¹t ®éng cña GV Ho¹t ®éng cña HS Bµi 1: Rót gän biÓu thøc: a) (x - 2)3 - x(x + 1)(x - 1) + 6x(x - 3) Cho HS ghi ®Ò, tiÕn hµnh bµi gi¶i Ta thùc hiÖn phÐp tÝnh nh­ thÕ nµo? b) (x - 2)(x2 - 2x + 4)(x + 2)(x2 + 2x + 4) Ta nªn thùc hiÖn phÐp tÝnh nh­ thÕ nµo? Bµi 2: T×m x biÕt (x - 3)(x2 + 3x + 9) + x(x + 2)(2 - x) = 1 §Ó t×m x ta lµm thÕ nµo? Bµi 3: ViÕt biÓu thøc sau d­íi d¹ng tæng cña ba b×nh ph­¬ng: A = (a + b + c)2 + a2 + b2 + c2 Cho HS suy nghÜ, t×m c¸ch gi¶i NÕu HS ch­a gi¶i ®­îc th× gîi ý: H·y triÓn khai, t¸ch tæng trªn thµnh ba tæng cã d¹ng: A2 + 2AB + B2 Bµi 4: TÝnh gi¸ trÞ Bt khi biÕt gi¸ tri Bt kh¸c a) Cho x + y = 2; x2 + y2 = 10. TÝnh gi¸ trÞ cña Bt A = x3 + y3 Cho HS gi¶i ViÕt A thµnh tÝch §Ó tÝnh gi¸ trÞ cña A ta cÇn tÝnh xy. TÝnh xy nh­ thÕ nµo? Tõ : x + y = 2; x2 + y2 = 10. H·y t×m c¸ch tÝnh xy b) Cho a + b + c = 0 ; a2 + b2 + c2 = 1 TÝnh gi¸ trÞ cña Bt: B = a4 + b4 + c4 ? §Ó cã a4 + b4 + c4 ta lµm thÕ nµo? NhiÖm vô b©y giê lµ lµm g×? §Ó cã (a2b2 + b2c2 + c2a2) ta ph¶i lµm g×? Khi ®ã ab + bc + ca = ? a2b2 + b2c2 + c2a2 = ? Tõ ®©y, lµm thÕ nµo ®Ó tÝnh gi¸ trÞ cña Bt B Bµi 5: Cho a = ; b = vµ c = Chøng minh r»ng: A = a + b + c + 8 lµ mét sè chÝnh ph­¬ng §Ó chøng minh mét tæng lµ mét sè chÝnh ph­¬ng, ta cÇn c/m g×? A = a + b + c + 8 = ? Ta cã: . ViÕt thµnh luü thõa 10? Bµi 6: Tån t¹i hay kh«ng c¸c sè x, y, z tho· m·n ®¼ng thøc: x2 + 4y2 + z2 - 4x + 4y - 8z + 23 = 0 H·y biÕn ®æi vÕ tr¸i ®¼ng thøc thµnh d¹ng tæng c¸c b×nh ph­¬ng? Cã nhËn xÐt g× vÒ hai vÕ cña ®¼ng thøc? Ta cã kÕt luËn g×? Ta cã thÓ nãi : BiÓu thøc A = x2 + 4y2 + z2 - 4x + 4y - 8z + 23 cã gi¸ trÞ nhá nhÊt lµ 2 khi x = 2 ; y = vµ z = 4 HS ghi ®Ò, tiÕn hµnh bµi gi¶i 1HS lªn gi¶i a) (x - 2)3 - x(x + 1)(x - 1) + 6x(x - 3) = ...= 5x - 8 HS thùc hiÖn, 1HS lªn gi¶i b) (x - 2)(x2 - 2x + 4)(x + 2)(x2 + 2x + 4) = (x - 2)(x2 + 2x + 4)(x + 2)(x2 - 2x + 4) = (x3 - 8)(x3 + 8) = x6 - 64 HS ghi ®Ò, tiÕn hµnh bµi gi¶i Thùc hiÖn phÐp tÝnh, rót gän vÕ tr¸i 1HS lªn b¶ng gi¶i (x - 3)(x2 + 3x + 9) + x(x + 2)(2 - x) = 1 x3 - 27 - x(x + 2)(x - 2) = 1 x3 - 27 - x(x2 - 4) = 1 x3 - 27 - x3 + 4x = 1 4x = 28 x = 7 HS ghi ®Ò, t×m c¸ch gi¶i §¹i diÖn HS lªn tr×nh bµy( NÕu kh«ng gi¶i ®­îc th× theo Hd cña GV) A = a2+ b2+ c2 +2ab+2bc+ 2 ca+ a2+ b2+ c2 = (a2+ 2ab+ b2) + (a2 +2ac+ c2) + (b2+ 2bc+ c2) = (a + b)2 + (a + c)2 + (b + c)2 HS gi¶i A = (x + y)(x2 + y2 - xy) = 2( 10 - xy) (1) HS suy nghÜ, t×m c¸ch tÝnh xy Tõ x + y = 2x2 + y2 + 2xy = 4 xy = - 3 (2) Thay (2) vµo (1) ta cã : A = 2(10 + 3) = 26 HS ghi ®Ò B×nh ph­¬ng Bt: a2 + b2 + c2 = 1, ta cã a4 + b4 + c4 + 2(a2b2 + b2c2 + c2a2) = 1 a4 + b4 + c4 = 1 - 2(a2b2 + b2c2 + c2a2) (1) TÝnh: 2(a2b2 + b2c2 + c2a2) ta ph¶i b×nh ph­¬ng Bt: (ab + bc + ca) Ta b×nh ph­¬ng Bt: a + b + c = 0, ta cã: (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca) = 0 ab + bc + ca = (ab + bc + ca)2 = a2b2 + b2c2 + c2a2 + 2(a + b + c) abc = a2b2 + b2c2 + c2a2 = (2) Thay (2) vµo (1) ta cã: B = 1 - 2. = 1 - = HS ghi ®Ò, t×m c¸ch gi¶i §Ó chøng minh mét tæng lµ mét sè chÝnh ph­¬ng, ta cÇn c/m nã b»ng b×nh ph­¬ng cña mét sè A = + + + 8 = () + () + 6( ) + 8 = + + 6. + 8 = = = x2 + 4y2 + z2 - 4x + 4y - 8z + 23 = 0 (x2- 4x+ 4)+(4y2+4y+1)+(z2- 8z +16)+ 2 = 0 (x - 2)2 + (2y + 1)2 + (z - 4)2 + 2 = 0 Râ rµng, vÕ tr¸i cña ®¼ng thøc lµ mét sè d­¬ng víi mäi x, y, z; cßn vÕ ph¶i b»ng 0 VËy kh«ng tån t¹i c¸c sè x, y, z tho· m·n ®¼ng thøc: x2 + 4y2 + z2 - 4x + 4y - 8z + 23 = 0 Bài tập về nhà Bài 1: Rút gọn biểu thức: a) (y - 2)(y + 2)(y2 + 4) - (y + 3)(y - 3)(y2 + 9) b) 2(x2 - xy + y2)(x - y)(x2 + xy + y2)(x + y) - 2(x6 - y6) Bài 2: a) Cho x - y = 1. Tính giá trị Bt: A = x3 - y3 - 3xy b) Cho x + y = a + b; x2 + y2 = a2 + b2 . Tính x3 + y3 theo a và b Bài 3: Chứng minh rằng Nếu a + b + c = 0 thì a3 + b3 + c3 = 3 abc BUỔI 3 : ĐƯỜNG TRUNG BÌNH CỦA TAM GIÁC, HÌNH THANG A. MỤC TIÊU: - Củng cố và nâng cao kiến thức về hình thang, đường trung bình của tam giác, đường trung bình của hình thang - Tiếp tục rèn luyện kỷ năng chứng minh hình học cho HS - tạo niềm tin và hứng thú cho HS trong khi học nâng cao B. HOẠT ĐỘNG DẠY HỌC: I. Nhắc lại một số kiến thức bài học: 1. Đường trung bình của tam giác * Đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh của tam giác gọi là đường trung bình của tam giác - E là trung điểm AB, F là trung điểm AC thi EF là đường trung bình của ABC - Nếu E là trung điểm AB và EF // BC thì F là trung điểm AC - EF là đường trung bình của ABC thì EF // BC và EF = BC 4. Đường trung bình của hình thang: * Đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh bên của hình thang gọi là đường trung bình của hình thang + Hình thang ABCD (AB // CD) có M là trung điểm AD, N là trung điểm BC thì MN là đường trung bình của hình thang ABCD + Nếu MA = MD, MN // CD // AB thì NB = NC + MN là đường trung bình của hình thang ABCD thì MN // AB // CD và MN = (AB + CD) A B C E F II. Bµi tËp ¸p dông: Bài 1: Cho ABC đều cạnh a. Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của AB và AC a) Tứ giác BCMN là hình gì? vì sao? b) Tính chu vi của tứ giác BCNM theo a Cho HS tìm lời giải ít phút Dự đoán dạng của tứ giác BCNM? Để c/m tứ giác BCNM là hình thang cân ta cần c/m gì? Vì sao MN // BC Vì sao ? Từ đó ta có KL gì? Chu vi hình thang cân BCNM tính như thế nào? Hãy tính cạnh BM, NC theo a BC = ? vì sao? Vậy: chu vi hình thang cân BCNM tinh theo a là bao nhiêu? Bài 2: Cho ABC có ba góc đều nhọn; AB > AC Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, AC, BC. Vẽ đường cao AH a) C/m: MP = NH b) Giả sử: MH PN. C/m: MN + PH = AH Để C/m MP = NH ta cần C/m gì? Từ GT suy ra MP có tính chất gì? Ta cần C/m gì? Gọi I = MN AH thì ta có điều gì? Vì sao? Hoàn thành lời giải? Khi MH PN thì MH AB? Vì sao? AMH là tam giác gì? vì sao? ABH là tam giác gì? vì sao? Từ đó suy ra điều gì? Bài 3: Cho ABC. Gọi I là giao điểm của các tia phân giác trong. kẻ IM AB; IN BC và IK AC. Qua A vẽ đường thẳng a // MN; đường thẳng b // NK. A cắt NK tại E, b cắt NM tại D, ED lần lượt cắt AC, AB tại P, Q. Cmr: PQ // BC Gọi giao điểm của BC và AD là L, của BC và AE là H Để c/m: AM = AK ta c/m gì?, Tương tự hãy c/m: BN = BM, CN = CK MNHA là hình gì? Vì sao Ta suy ra điều gì? KNLA là hình gì? Vì sao? Từ đó ta có điều gì? Ta có thể KL gì về Mqh giữa ND, NE trong ALH DE có tính chất gì? Bài 4: Cho ABC có AB = c, BC = a, AC = b Qua A vẽ đường thẳng song song với BC cắt các tia phân giác của góc B và góc C tại D và E. Từ A vẽ AP BD; AQ CE. PQ lần lượt cắt BE, CD tại M và N Tính MN, PQ theo a, b, c Dự đoán xem MN có tính chất gì? Hãy C/m BCDE là hình thang Dự đoán và c/m dạng của BAD Tõ ®ã ta cã ®iÒu g×? PQ cã tÝnh chÊt g×? Suy ra tÝnh chÊt cña MN H·y tÝnh MN vµ PQ theo a, b, c HS ghi ®Ò bµi ViÕt GT, KL, vÏ h×nh HS suy nghÜ, t×m lêi gi¶i HS dù ®o¸n c/m: MN // BC vµ Tõ GT MN lµ ®­êng trung b×nh cña ABC MN // BC (1) vµ MN = BC (2) ABC ®Òu nªn (3) Tõ (1) vµ (3) suy ra tø gi¸c BCNM lµ h×nh thang c©n Chu vi h×nh thang c©n BCNM lµ PBCNM = BC +BM + MN + NC (4) BM = NC = AB = BC = a BC = a, MN = BC = a VËy : PBCNM = BC +BM + MN + NC = a + a + a + a = a VÏ h×nh Tø gi¸c MPHN lµ h×nh thang c©n hoÆc C/m: MP vµ NH cïng b»ng mét ®o¹n nµo ®ã MP lµ ®­êng Tb cña ABC nªn MP // AC vµ MP = AC Ta cÇn C/m NH = AC M lµ trung ®iÓm AB vµ MI // BH ( do MN lµ ®­êng trung b×nh cña ABC) nªn I lµ trung ®iÓm AH vµ AI MN (Do AH BC ) ANH c©n t¹i N NH = NA = AC VËy: MP = NH HS hoµn thµnh lêi gi¶i c©u a Khi MH PN th× MH AB v× NP // AB AMH lµ tam gi¸c vu«ng c©n t¹i M v× cã vµ cã MI võa lµ trung tuyÕn võa lµ ®­êng cao ABH cã mµ nªn ABH vu«ng c©n t¹i H. Suy ra BH = AH Mµ BH = BP + PH = MN + PH VËy: MN + PH = AH HS ghi ®Ò, VÏ h×nh, AMI = AKI (C. huyÒn – g. nhän) AM = AK (1) BMI = BNI (C. huyÒn – g. nhän) BM = BN (2) CNI = CKI (C. huyÒn – g. nhän) CN = CK (3) MNHA lµ h×nh thang c©n( v× cã: MN//AH, ) NH = AM (4) KNLA lµ h×nh thang c©n NL = AK (5) Tõ (1), (4), (5) NL = NH (6) NE, ND lµ ®­êng trung b×nh cña ALH nªn: EA = EH (7) vµ DA = DL (8) Tõ (7) vµ (8) suy ra: DE lµ ®­êng trung b×nh cña ALH DE // LH PQ // BC HS vÏ h×nh Dù ®o¸n: MN lµ ®­êng trung b×nh cña h×nh thang BCDE Tõ gt BCDE lµ h×nh thang v× cã DE // BC mµ (so le trong – do BC // DE) BAD c©n t¹i A. mµ AP BD PB = PD; AB = AD = c T­¬ng tù CAE c©n t¹i A Vµ AQ CE QC = QE vµ AC = AE = b PQ lµ ®o¹n th¼ng nèi trung ®iÓm cña hai ®­êng chÐo h×nh thang BCDE nªn PQ // AB MN lµ ®­êng trung b×nh cña h×nh thang BCDE nªn: MN = = PQ = MN–(MQ + NP) = - BC = III. Bµi tËp vÒ nhµ: Bµi 1: Cho h×nh thang vu«ng ABCD (AB // CD, = 900); AB = CD = AB kÎ CH AB, Gäi giao ®iÓm cña AC vµ DH lµ E, giao ®iÓm cña BD vµ CH lµ F Tø gi¸c ADCH lµ h×nh g×? b) C/m : AC BC c) EF = DC = AB Bµi 2: Chøng minh r»ng: §o¹n th¼ng nèi trung ®iÓm hai ®­êng chÐo cña h×nh thang th× song song víi hai ®¸y vµ b»ng nöa hiÖu hai ®¸y BUỔI 4 – PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ A. MỤC TIÊU: * Củng cố, khắc sâu và nâng cao kiến thức về phân tích đa thức thành nhân tử * HS sử dụng thành thạo các phương pháp để phân tích đa thức thành nhân tử * Vận dụng việc phân tích đa thức thành nhân tử vào các bài toán chứng minh, tìm giá trị của biểu thức, của biến B. HOẠT ĐỘNG DẠY HỌC: I. Nh¾c l¹i kiÕn thøc bµi häc: C¸c ph­¬ng ph¸p ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö: * Ph­¬ng ph¸p ®Æt nh©n tö chung: AB + AC + AD = A(B + C + D) * Ph­¬ng ph¸p dïng h»ng ®¼ng thøc: Sö dông H®t ®Ó viÕt ®a thøc thµnh tÝch * Ph­¬ng ph¸p nhãm c¸c h¹ng tö: Nhãm c¸c h¹ng tö nµo ®ã víi nhau ®Ó lµm xuÊt hiÖn nh©n tö chung hoÆc xuÊt hiÖn h»ng ®¼ng thøc * Ph­¬ng ph¸p t¸ch h¹ng tö : Víi ®a thøc d¹ng: a x2 + bx + c ta lµm nh­ sau: ViÕt tÝch ac = b1b2 = b3b4 = sau ®ã chän ra 2 thõa sè cã tæng b»ng b. T¸ch bx = (b1x + b2x) nÕu b = b1 + b2 Khi ®ã a x2 + bx + c = (b1 x2 + b1x) + ( b2x + b2) = * Ph­¬ng ph¸p ®Æt Èn phô: §Æt Èn phô ®Ó ®­a biÓu thøc cÇn ph©n tÝch thµnh mét biÓu thøc dÔ ph©n tÝch h¬n * Ph­¬ng ph¸p Thªm bít cïng mét h¹ng tö : Thªm hoÆc bít cïng mét h¹ng tö ®Ó lµm xuÊt hiÖn nh©n tö chung hoÆc mét h»ng ®¼ng thøc * Phèi hîp nhiÒu ph­¬ng ph¸p: sö dông ®ång thêi nhiÒu ph­¬ng ph¸p ®Ó ph©n tÝch II. Bµi tËp vËn dông: Ho¹t ®éng cña Gi¸o viªn Ho¹t ®éng cña häc sinh Bµi 1: Ph©n tÝch thµnh nh©n tö: a) 25x4 – 10x2y + y2 ¸p dông ph­¬ng ph¸p nµo ®Ó ph©n tÝch ®a thøc nµy b) 8m3 + 36m2n + 54mn2 + 27n3 c) (4x2 – 3x -18)2 – (4x2 + 3x)2 Bµi 2: Ph©n tÝch thµnh nh©n tö a) x4 + 2x3 – 4x - 4 Ta ¸p dông ph­¬ng ph¸p nµo ®Ó ph©n tÝch b) x3 +2x2y – x – 2y c) ac2x – adx – bc2x + cdx +bdx – c3x 3. Bµi 3: Ph©n tÝch thµnh nh©n tö a) x2 – 6x + 8 ¸p dông ph­¬ng ph¸p nµo ®Ó ph©n tÝch? Ph©n tÝch b»ng c¸ch t¸ch h¹ng tö nµo? t¸ch nh­ thÕ nµo? Cã thÓ t¸ch nh­ thÕ nµo kh¸c n÷a ®Ó xuÊt hiÖn h»ng ®¼ng thøc råi tiÕp tôc ph©n tÝch T­¬ng tù, GV cïng HS t×m ra c¸c c¸ch ph©n tÝch kh¸c trong ph­¬ng ph¸p t¸ch h¹ng tö b) a4 + a2 + 1 H·y t¸ch a2 thµnh 2 h¹ng tö ®Ó ph©n tÝch c) x3 – 19x – 30 H·y t¸ch h¹ng tö -19x ®Ó ph©n tÝch Bµi 4: Ph©n tÝch thµnh nh©n tö a) a4 + 64 D¹ng a2 + b2 nªn ta thªm vµ bít h¹ng tö nµo ®Ó xuÊt hiÖn mét h»ng ®¼ng thøc b) x5 – x4 - 1 c) a3 + b3 + c3 - 3abc Ta ®· cã a3 + b3, vËy nªn thªm bít c¸c h¹ng tö nµo ®Ó xuÊt hiÖn h»ng ®¼ng thøc H·y ph©n tÝch ®a thøc trªn thµnh nh©n tö Bµi 5: Ph©n tÝch thµnh nh©n tö a) (x2 + x )2 + 4x2 + 4x - 12 Ta sö dông ph­¬ng ph¸p nµo ®Ó ph©n tÝch b) (x2 + 8x + 7)(x2 + 8x + 15) + 15 Yc HS lµm t­¬ng tù nh­ c©u a Bµi 6: a) Cho a + b + c = 0 c/m r»ng: a4 + b4 + c4 = 2(a2b2 + b2c2 + c2a2) Tõ a + b + c = 0 ? b) cho xy0; (a2+b2)(x2+y2) = (ax + by)2 C/m: HS: ¸p dông PP dïng H®t 25x4 – 10x2y + y2 = (5x2)2 – 2. 5x2.y + y2 = (5x2 – y)2 b) 8m3 + 36m2n + 54mn2 + 27n3 = (2m)3 + 3.(2m)2.3n + 3.2m.(3n)2 + (3n)3 = (2m + 3n)3 c) (4x2 – 3x -18)2 – (4x2 + 3x)2 = [(4x2 – 3x -18) – (4x2 + 3x)][(4x2 – 3x -18) + (4x2 + 3x)] = (8x2 – 18) (- 6x – 18) = 2(4x2 – 9)[- 6(x + 3)] = -12(2x + 3)(2x – 3)(x + 3) ¸p dông ph­¬ng ph¸p nhãm h¹ng tö a) x4 + 2x3 – 4x – 4 = (x4 – 4 ) + (2x3 – 4x) = (x2 + 2)(x2 – 2) + 2x(x2 – 2) = (x2 – 2)(x2 + 2x + 2) b) x3 +2x2y – x – 2y = x2 (x + 2y) – (x + 2y) = (x + 2y)(x2 – 1) = (x + 2y)(x – 1)(x + 1) c) ac2x – adx – bc2x + cdx + bdx – c3x = (– adx + bdx + cdx) + (ac2x – bc2x – c3x) = dx( -a + b + c) + c2x(a – b – c) = x[(b + c – a)d – c2(b + c – a)] = x(b + c – a) (d - c2) HS ghi ®Ò C¸ch 1: V× 1.8 = 2.4 = (-4)(-2); -6 = (-2) + (-4) nªn ta cã: x2 – 6x + 8 = (x2 - 2x) – (4x – 8) = x(x – 2) – 4(x – 2) = (x – 2)(x - 4) C¸ch 2: x2 – 6x + 8 = (x2 – 6x + 9) – 1 = …? C¸ch 3: x2 – 6x + 8 = (x2 – 4) – 6x + 12 =…? C¸ch 4: x2 – 6x + 8 = (x2 – 16) – 6x + 24 =..? HS vÒ nhµ t×m thªm c¸ch kh¸c b) a4 + a2 + 1 = (a4 + 2a2 + 1 ) – a2 = (a2 + 1)2 – a2 = (a2 – a + 1)(a2 + a + 1) c) x3 – 19x – 30 = (x3 – 9x) – (10x + 30) = x(x2 – 9) – 10 (x + 3) = (x + 3)[x(x – 3) – 10] = (x + 3)(x2 – 3x – 10) = (x + 3) [(x2 – 5x) + (2x – 10)] = (x + 3)[x(x – 5) + 2(x – 5)] = (x + 3)(x – 5)(x + 2) thªm vµ bít 2ab ta cã; a4 + 64 = (a2)2 + 2.8a2 + 64 – 2.8a2 = (a2 + 8)2 – (4a)2 = (a2 + 4a + 8)(a2 - 4a + 8) b) x5 – x4 – 1 = (x5 - x4 + x3) - (x3- x2 + x) - (x2 - x + 1) = x3 (x2 - x + 1) - x (x2 - x + 1) - (x2 - x + 1) = (x2 - x + 1)(x3 - x - 1) HS suy nghÜ, tr¶ lêi c) a3 + b3 + c3 - 3abc = (a3+ b3+ 3a2b+ 3ab2)+ c3- (3a2b+ 3ab2+3abc) = (a + b)3+ c3- 3ab(a+ b+ c) = (a+ b+ c)[(a+ b)2- (a+ b)c + c2] - 3ab(a+b+c) = (a+ b+ c)(a2+ b2+ c2 - ab - ac - bc) a) (x2 + x )2 + 4x2 + 4x - 12 = (x2 + x )2 + 4(x2 + x ) – 12 (*) §Æt (x2 + x ) = y ta cã (*) = y2 + 4y – 12 = (y2 + 4y + 4) – 16 = (y + 2)2 – 42 = (y + 6)(y – 2) = (x2 + x +6 )(x2 + x - 2) = (x2 + x +6 )[(x2 – x) + (2x – 2)] = (x2 + x +6 )[x(x – 1) + 2(x – 1)] = (x2 + x +6 )(x – 1)(x + 2) b) §Æt y = x2 + 8x + 7 th× x2 + 8x + 15 = y + 8 ta cã: (x2 + 8x + 7)(x2 + 8x + 15) + 15 = y(y + 8) + 15 = y2 + 8y + 15 = y2 + 8y +16 – 1 = (y + 4)2 – 1 = (y + 3)(y + 5) =(x2 + 8x + 10)(x2 + 8x + 12) a) Tõ a + b + c = 0 (a + b + c )2 = 0 a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca) = 0 (a2 + b2 + c2)2 = [ - 2(ab + bc + ca)]2 a4 + b4 + c4 + 2( a2b2 + b2c2 + c2a2) = 4[a2b2 + b2c2 + c2a2 + 2abc(a + b + c) a4 + b4 + c4 + 2( a2b2 + b2c2 + c2a2) = 4(a2b2 + b2c2 + c2a2). V× a + b + c = 0 a4 + b4 + c4 = 2( a2b2 + b2c2 + c2a2) b) Tõ (a2 + b2)(x2 + y2) = (ax + by)2 (a2 + b2)(x2 + y2) - (ax + by)2 = 0 a2x2 + a2y2 + b2x2 + b2y2 - a2x2 - 2abxy - b2y2 = 0 a2y2 - 2abxy + b2x2 = 0 (ay – bx)2 = 0 ay – bx = 0 ay = bx (®pcm) III. Bài tập về nhà: Bài 1: Phân tích thành nhân tử a) 25x2 – 20xy + 4y2 b) x3 – 4x2 – 9x + 36 c) x2 – 7xy + 10y2 d) (x2 + x + 1)(x2 + x + 2) – 12 Bài 2: Chứng minh rằng a) Hiệu các bình phương của hai số lẻ liên tiếp thì chia hết cho 8 b) A = (n + 1)4 + n4 + 1 chia hết cho một số chính phương khác 1 với BÀI 5: HÌNH BÌNH HÀNH – HÌNH CHỮ NHẬT A. MUÏC TIEÂU: * Cuûng coá vaø naâng cao kieán thöùc veà hình bình haønh vaø hình chöõ nhaät * Vaän duïng thaønh thaïo kieán thöùc vaøo caùc baøi taäp veà Hbh vaø hcn * HS coù höùng thuù vaø nghieâm tuùc trong hoïc taäp B. HOAÏT ÑOÄNG DAÏY HOÏC: I. Nhaéc laïi kieán thöùc baøi hoïc: Kiến thức Hình bình hành Hình chữ nhật 1. Định nghĩa ABCD là Hbh ABCD là Hcn 2. Tính chất ABCD là Hbh , AC BD = O ABCD là Hcn , AC BD = O 3. Dấu hiệu nhận biết ABCD là Hbh + + ABCD có AB // CD Và + ABCD là Hbh có: - - AC = BD ABCD Là hcn II. Bài tập vận dụng: Hoạt động của GV Hoạt động của HS 1. Bài 1: Cho Hbh ABCD có . Đường phân giác của góc D đi qua trung điểm của AB a) C/m: AB = 2AD b) Gọi F là trung điểm của CD. C/m ADF đều, AFC cân c) C/m AC AD Giải Gọi E là trung điểm của AB. Ta có ADE là tam giác gì? Vì sao? Hãy C/m điều đó Hãy C/m ADF cân tại A có một góc 600 Hãy C/m AFC cân tại F Từ AFC cân tại F ta suy ra điều gì? Góc DFA bằng hai lần góc nào củaAFC =? 2. Bài 2: Cho ABC và O là điểm thuộc miền trong của tam giác đó. Gọi D, E, F lần lượt là trung điểm của AB, BC, CA và L, M, N lần lượt là trung điểm của OA, OB, OC Chứng minh rằng các đoạn thẳng EL, FM, DN đồng quy Giải Để C/m ba đoạn thẳng EL, FM, DN đồng quy ta C/m gì? Ta C/m các đoạn thẳng đó là đường chéo của hai hbh có chung một đường chéo Để C/m tứ giác EFLM là Hbh ta c/m như thế nào? Tương tự ta có tứ giác NLDE là hình gì? Hai Hbh này có chung đường chéo nào? Từ đó ta có kết luận gì? Những Hbh nào có tâm trùng nhau? 3. Bài 3: Cho hìn chữ nhật ABCD; kẻ BHAC. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AH, CD. Chứng minh BE EF Giải Gọi K là trung điểm của AB ta có điều gì? Vì sao? Tứ giác BCFK là hình gì? Vì sao? EI có tính chất gì? Vì sao? BFE là tam giác gì? Vìa sao? 4. Bài 4: Cho ABC cân tại A. Từ điểm D trên BC kẻ đường vuông góc với BC cắt AB, AC lần lượt tại E, F. Dựng các hình chữ nhật BDEH và CDFK a) C/m: ba điểm A, H, K thẳng hàng b) C/m: A là trung điểm của HK c) Goi I, J theo thứ tự là tâm của các hình chữ nhật BDEH và CDFK. Tìm tập hợp trung điểm M của đoạn thẳng IJ khi D di động trên BC Để C/m A, H, K thẳng hàng ta c/m gì? Hãy C/m AH, AK cùng song song với một đường thẳng nào ? Hãy c/m tứ giác AIDJ là Hbh? Như thế nào? Từ I, J là tâm của các hình chữ nhật BDEH và CDFK và M là trung điểm của IJ ta suy ra điều gì? Từ MI // AH và MJ // AK ta suy ra điều gì Có cách C/m nào khác? Ta đã có A, H, K thẳng hàng nên để c/m A là trung điểm của HK ta C/m gì? Hãy C/m AB // DK và kết hợp với I là trung điểm của DH để AH = AK Kẻ MN BC và đường cao AG thì MN có tính chất gì? M cách BC một khoảng không đổi thì m nằm trên đường nào? HS ghi đề, vẽ hình a)ADE là tam giác cân Ta có , mà ABCD là Hbh nên ADE cân tại A AD = AE mà AB = 2 AE Nên AB = 2AD b) AB = CD (do ABCD là Hbh) mà DF = CD, AD = AB. Suy ra AD = DF ADF cân trại D có vậy: ADF là tam giác đều Ta có AF = DF (do ADF đều) Mà DF = FC (F là trung điểm của BC) Suy ra AF = FC AFC cân tại F c) AFC cân tại F (Góc ngoài tại đỉnh của tam giác cân) Mà (do ADF đều). Suy ra hay AC AD HS ghi đề, vẽ hình HS suy nghĩ , phát biểu HS ghi nhớ phương pháp c/m E, F là trung điểm của BC, CA EF là đường trung bình của ABC suy ra EF // AB, EF = AB (1) Tương tự LM là đường trung bình của OAB suy ra LM // AB, LM =AB (2) Từ (1) và (2) suy ra tứ giác EFLM là Hbh C/m tương tự ta có tứ giác NLDE là Hbh (Vì có NE //= LD) Hai Hbh EFLM và NLDE có chung đường chéo LE hay ba đoạn thẳng EL, FM, DN đồng quy tại trung điểm của LE Hay ba Hbh EFLM , NFDM và NLDE có tâm trùng nhau HS ghi đề, vẽ hình Gọi K là trung điểm của AB ta có EK // HB (Vì EK là đường trung bình của AHB) mà BHAC EK AC suy ra CEK vuông tại E Tứ giác BCFK có BK //= CF và có nên là hình chữ nhật nên hai đường chéo BF và CK cắt nhau tại I và BF = CK I là trung điểm của BF , CK EI là trung tuyến thuộc cạnh huyền CK của CEK EI = CK = BF BFE có trung tuyến EI = BF nên là tam giác vuông tại E BE EF HS ghi đề , vẽ hình HS phát biểu C/m AH, AK cùng song song với IJ HS nêu cách c/m Từ I, J là tâm của các hình chữ nhật BDEH và CDFK và M là trung điểm của IJ ta suy ra MI và MJ lần lượt là đường trung bình của các tam giác AHD và AKD Nên MI // AH và MJ // AK hay AH và AK cùng song song với IJ nên A, H, K thẳng hàng (theo tiên đề Ơclít) HS nêu cách C/m khác ABC cân tại A nên (1) I là tâm của hcn BDEH nên suy ra BID cân tại I hay (2) Từ (1) và (2) suy ra AB // DK mà IH = ID nên AH = AK mà A, H, K thẳng hàng nên A là trung điểm của HK c) Kẻ MN BC (N BC); đườ