Giáo án bồi dưỡng Toán 9 - Giáo viên: Lê Ngọc

Bài 6: A a. E ẻ đường tròn (C) ú cm OE = OA = OH (t.c trung tuyến của D vuông AEH) O b. cm: DE là tiếp tuyến của đường tròn (O) ú cm OE ^ DE H E ú cm góc OEH + HED = 900 ú cm góc OEA = góc BED ú cm góc OEA = OAE (D OEA cân) B D C góc BED = DBE (D EDB cân) góc DBE = OAE (góc có cạnh tương ứng vuông góc) Bài 7: M a. cm M; C; N ẻ tiếp tuyến tại C của đường tròn (O) Cần cm: M; C; N thẳng hàng và OC ^ MN * Ta có M đối xứng H qua AC => góc ACM = góc ACH (t.c ) (1) C Tương tự góc BCN = góc BCH (2) Từ (1) và (2) => góc MCH + NCH = 2ACB (3) N Mà OC = OA = OB => góc ACB = 1 vuông (4) A Từ (3) và (4) => góc MCH + NCH = 1800 O H B => 3 điểm M; C; N thẳng hàng. * cm OC ^ MN ú cm OC // AM // BN (và AM ^ MN; BN ^ MN) cm AM ^ MN ú cm D AMC = D AHC (c.g.c) BN ^ MN ú cm D CHB = D CBN (c.g.c) cm OC // MA // BN ú cm OC là đường trung bình hình thang AMNB. Bài 8: b. cm : BC là tiếp tuyến của (O; 5) Ta có D OCB = D OAB (c. g. c) => góc OCB = góc OAB = 900 => OC ^ BC hay BC là tiếp tuyến. c. Ta có BA = OA = BC = OC C 1 O => AOCB là hình thoi ; góc  = 900 2 => AOCB là hình vuông. * Củng cố: B A - Chứng minh 1 đường thẳng là tiếp tuyến của đường tròn. - Chứng minh 3 điểm thẳng hàng. - Tính chất của tiếp tuyến. Bài 17: Tính chất của tiếp tuyến A. Kiến thức: 1. Tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau. 2. Đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp tam giác. B. Bài tập: 61 – 62 – 63 SBT. Bài 1: Cho (O; 5cm). M nằm ngoài đường tròn, các tiếp tuyến MA, MB với đường tròn (A; B) là 2 tiếp điểm. Biết AMB = 600 a. Chứng minh D AMB là D đều. b. Tính chu vi của D AMB. c. Tia AO cắt đường tròn ở C. Tứ giác BMOC là hình gì? Vì sao? Bài 2: Cho đường tròn (O) nội tiếp tam giác ABC. Các tiếp điểm trên các cạnh AB, BC, CA lần lượt là M, N, S a. Chứng minh: AB + AC – BC = 2AM b. Cho AB = 4cm; BC = 7cm; AC = 5cm. Tính độ dài các đoạn AM, BM, CS. Bài 3: Cho đường tròn (O) và điểm M nằm ngoài đường tròn. Kẻ 2 tiếp tuyến MA; MB sao cho góc AMB = 900. Từ 1 điểm C trên cung nhỏ AB kẻ tiếp tuyến với đường tròn cắt MA; MB lần lượt ở P và Q. Biết bán kính của đường tròn bằng 5 cm. a. Tứ giác MAOB là hình gì? Vì sao? b. Tính chu vi của tam giác MPQ. c. Tính góc POQ Bài 4: Cho 1/2 đường tròn (O; R), đường kính AB; 2 tiếp tuyến Ax; By trên cùng 1/2 mặt phẳng bờ là AB. Trên Ax lấy C, qua O kẻ đường thẳng ^ OC cắt By tại D. a. Tứ giác ABCD là hình gì? Vì sao? b. Chứng minh đg tròn ngoại tiếp D COD tiếp xúc với đường thẳng AB tại O. c. Chứng minh: CA.CB = R2 Bài 5: Cho D ABC có AB = c; BC = a; CA = b. Gọi r là bán kính đường tròn nội tiếp D. S là diện tích tam giác. Chứng minh rằng S = r(a + b + c) : 2 Bài 6: Cho tam giác ABC có AB = 5cm; AC = 7cm; BC = 6cm. Đường tròn O1 . tiếp góc A, tiếp xúc 3 cạnh BC; AB; AC ở D; E; F. Gọi O là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC. a. Chứng minh A; O; O1 thẳng hàng. b. Tính độ dài các đoạn AE; AF; BE; CF Bài 7: Cho đường tròn tâm O; đường kính AB. Gọi M là một điểm tuỳ ý trên đường tròn; x, y là tiếp tuyến của đường tròn tại A. Qua M kẻ MP ^ AB; MQ ^ xy. a. Tứ giác APMQ là hình gì? Vì sao? b. Gọi I là trung điểm của PQ. Chứng minh OI ^ AM c. Khi M di chuyển trên (O) thì I chuyển động trên đường nào? Vì sao? Bài 8: (61/ SBT): Cho 1/2 đường tròn O có bán kính AB. Vẽ các tiếp tuyến Ax và By (Ax; By và nửa đường tròn cùng ẻ 1/2 mặt phẳng bờ AB). Gọi M là điểm bất kỳ thuộc 1/2 đường tròn. Tiếp tuyến tại M cắt Ax; By theo thứ tự ở C và D. a. Cm rằng đường tròn có đường kính CD tiếp xúc với AB. b. Tìm vị trí của M để hình thang ABCD có chu vi nhỏ nhất. c. Tìm vị trí của C; D để hình thang ABCD có chu vi bằng 14 cm. Biết AB = 4cm. Bài 9: Cho nửa đường tròn O có đường kính AB. Vẽ các tiếp tuyến Ax; By (Ax; By và nửa đường tròn cùng thuộc 1/2 mặt phẳng bờ là AB. Qua 1 điểm M ẻ 1/2 đường tròn kẻ tiếp tuyến thứ 3 cắt Ax, By thứ tự ở C và D. Gọi N là giao điểm của AD và BC. H là giao điểm của MN và BC. Chứng minh: a. MN ^ AB b. MN = NH Bài 10: Cho D ABC vuông tại A. Đường tròn nội tiếp D ABC tiếp xúc với BC tại D. Chứng minh rằng SABC = BD. DC Phương pháp: Bài 3: Góc POQ = 900/2 = 450 Bài 4: b. chứng minh đường tròn ngoại tiếp D COD tiếp xúc đường thẳng AB tại O. ú chứng minh OI = ID = IC = 1/2 CD (t.c D vuông) I D và cm OI ^ AB y H => cm OI // với Ax và By C 2 ú cm OI là đường trung bình của hình thang ABCD 1 y c. Chứng minh: CA .CB = R2 = CH. HD (kẻ OH ^ CD) A O B cần cm H ẻ (O) ú cm D CAO = D COH A ú cm góc C1 = C2 (cùng bằng góc COI) y Bài 5: SABC bằng tổng S các D nhỏ => đpcm E F O Bài 6: 1. O1; O đều là giao của đường phân giác của góc A với các đường phân giác góc B; góc C B D C => O1; O; A thẳng hàng. 2. Tính AE và AF Ta có AE và AF là 2 tiếp tuyến của (C1) E => AE = AF; đường tròn tâm O1 tiếp xúc BC; AB; AC B => OE = OD = OF và EB = BD O1 CD = CF AE = AB + EB = AB + BD D O => 2AE = AB + AC + BD => AE = ? F A AF = AC + FC = AC + DC Từ đó tính BE và CF C Bài 7: x b. Chứng minh OI ^ AM (đ.l đường kính ^ dây cung tại trung điểm) Q I M c. Gọi E là trung điểm của AO. Cm I ẻ (E; OA/2) (t.c D vuông) A E O D B Bài 8: (Lấy hình bài 4 thay H bằng M) b. Tìm vị trí của M để hình thang ABCD có chu vi là nhỏ nhất. PABCD = AB + AC + CD + DB = CM + MD + CD => PABCD = 2CO + AB mà AB không đổi => P nhỏ nhất ú CD nhỏ nhất mà CD ³ AB => CD nhỏ nhất ú CD = AB ú CD // AB ú OM ^ AB Vậy khi OM ^ AB thì PABCD nhỏ nhất. c. Đặt AC = x; BD = y; => PABCD = AB + 2CD = AB + 2(x + y) = 14 14 = 4 + 2(x + y) => x + y = 5 xy = MC. MD = OM2 (hệ thức lượng trong tam giác vuông). => x y = 22 = 4 => x = ? x + y = 5 y = ? D Vậy C cách A là 1 cm hoặc 4 cm thì PABCD = 14 Bài 9: a. cm MN ^ AB M ú cm MN // AC // BD C ú cm CM/MD = CN/NB N ú cm CA/BD = CN/NB ú cm CA // DB A H O B b. Chứng minh MN = NH ú MN/BD = CN/CB = AN/AD = NH/BD ú MN = NH Bài 18: Vị trí tương đối của hai đường tròn A. Kiến thức: 1. 3 vị trí tương đối của hai đường tròn. 2. Tiếp tuyến chung trong, tiếp tuyến chung ngoài. B. Bài tập: Bài 1: Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B (O và O’ thuộc 2 nửa mặt phẳng bờ AB. Kẻ các đường kính BOC và BO’D a. Chứng minh 3 điểm C, A, D thẳng hàng. b. Cho OO’ = 5cm; OB = 4cm; O’B = 3 cm. Tính diện tích tam giác BCD. Bài 2: Cho hai đường tròn (O1) và (O2) tiếp xúc ngoài tại A. Đường thẳng qua A cắt đường tròn (O1) ở B; cắt đường tròn (O2) ở C. Qua B kẻ tiếp tuyến Bx với đường tròn (O1), qua C kẻ tiếp tuyến Cy với đường tròn (O2) Chứng minh: a. O1B // O2C b. Bx // Cy Bài 3: Cho 2 đường tròn (O1); (O2) tiếp xúc ngoài ở M. Qua M vẽ 2 đường thẳng, đường thẳng thứ nhất cắt (O1) tại A1; cắt (O2) tại B1, đường thẳng thứ 2 cắt (O1) ở A2; cắt (O2) ở B2 a. D O1A1M đồng dạng D O2B1M b. D MA1A2 đồng dạng D MB1B2 c. A1A2 // B1B2 Bài 4: Cho hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài tại A. Đường nối tâm OO’ cắt (O) ở B ; cắt đường tròn (O’) ở C. DE là một tiếp tuyến chung ngoài của 2 đường tròn D ẻ (O); E ẻ (O’). Gọi M là giao điểm của 2 đường thẳng BD và CE. Chứng minh: a. Góc DME = 900 b. MA là tiếp tuyến chung của 2 đường tròn (O) và (O’) c. MD. MB = ME. MC Bài 5: Cho D vuông ABC vuông tại A a. Trình bày cách vẽ đường tròn (O1) đi qua A tiếp xúc BC tại B; đường tròn (O2) đi qua A tiếp xúc BC tại C. b. Chứng minh đường tròn (O1) và (O2) tiếp xúc ngoài tại A. c. Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh AM là tiếp tuyến chung của 2 đường tròn (O1); (O2) tại A. Bài 6: Cho 2 đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài tại A. Kẻ các đường kính AOB; AO’C. Gọi DE là tiếp tuyến chung của 2 đường tròn D ẻ (O); E ẻ (O’). Gọi M là giao điểm của BD và CE a. Tính góc DAE b. Tứ giác ADME là hình gì? Vì sao? c. Chứng minh MA là tiếp tuyến chung của 2 đường chéo. Bài 7: Cho 2 đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B. Dây AC của đường tròn tâm O tiếp xúc với đường tròn (O’) tại A. Dây AD của đường tròn (O’) tiếp xúc với đường tròn (O) tại A. Gọi K là điểm đối xứng với A qua trung điểm I của OO’; E là điểm đối xứng với A qua B. Chứng minh rằng: a. AB ^ KB b. 4 điểm A; C; E; D cùng nằm trên một đường tròn. Bài 8: Cho hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài, tại A kẻ tiếp tuyến chung ngoài MN với M ẻ (O) và N ẻ (O’). Gọi P là điểm đối xứng với M qua OO’; Q là điểm đối xứng N qua OO’. Chứng minh rằng: a. MNPQ là hình thang cân. b. PQ là tiếp tuyến chung của 2 đường tròn (O) và (O’) c. MN + PQ = MP + NQ Bài 9: Cho hai đường tròn (O; 2cm) và (O’; 3cm); OO’ = 6cm. a. Hai đường tròn trên có vị trí tương đối như thế nào? b. Vẽ đường tròn (O’; 1cm) rồi kẻ tiếp tuyến OA với đường tròn đó (A là tiếp điểm). Tia O’A cắt (O’; 3cm) ở B. Kẻ bán kính OC của đường tròn (O) // O’B. B và C ẻ 1/2 mặt phẳng có bờ OO’. Chứng minh BC là tiếp tuyến chung của 2 đường tròn (O; 2) và (O’; 3cm) c. Tính độ dài BC d. Gọi I là giao điểm của BC và OO’. Tính độ dài IO Phương pháp: Bài 1: Chứng minh: C1: C; A; D thẳng hàng ú cm góc CAB + BAD = 900 + 900 C2: cm tại A có 2 đường thẳng cùng // OO’ b. cm D BCD vuông tại B theo pitago => SBCD = 1/2 BC.BD Bài 2: y E a. cm O1B1 // O2C ú cm góc B1 = C1 (s.l.tr) C b. cm Bx // Cy c1: ú cm góc C2 = B2 (s.l.tr) 1 4 A O’1 c2: Kẻ tiếp tuyến chung của 2 đ tròn O2 2 => IA = IB (t.c tiếp tuyến) 3 1 => góc B2 = A3 2 Tương tự góc C2 = A4 B Mà Â3 = Â4 (đối đỉnh) I => B2 = C2 (s.l.tr) => đpcm Bài 3: A1 B2 a. cm D O1A1M đồng dạng D O2B1M b. cm D MA1A2 đồng dạng D MB1B2 O1 M O2 ú (M chung) mà D O1A1M đồng dạng D O2B1M A2 B1 => (1) D MO1A2 đồng dạng D MO2B2 (g.c) => (2) Góc M1 = M2 (đối đỉnh) (3) Từ (1); (2); (3) => đpcm Bài 4: a. cm góc DME = 900 ú cm góc B + C = 900 ú cmgóc B + C = 1/2DOA + 1/2AO’E B O A O’ C (góc DOA và AO’E là 2 góc ngoài của 2 D cân BOD và EO’C) b. cm MA là tiếp tuyến chung cho 2 đường tròn. D I E ú cm OA ^ MA và O’A ^ MA Ta có tứ giác ADME là hình chữ nhật (góc D = Ê = M = 900) => IA = ID M => D DOI = D IOA (c.c.c) => góc OAI = ODI = 900 => IA ^ BC => đpcm c. Chứng minh MD . MB = ME. MC Xét D vuông BMC có MA là đường cao áp dụng hệ thức lượng vào 2 D vuông BAM và CAM ta có MA2 = BM. DM (1) MA2 = ME. MC (2) Từ (1) và (2) => đpcm Bài 5: B a. Dựng đường tròn (O1) H Dựng trung trực của AB (d) O1 M Dựng đường ^ BC tại B (Bx) 1 2 C Bx ∩ d = O1 A 3 1 Tương tự dựng (O2) b. cm (O1); (O2) tiếp xúc tại A ú cm O1; A; O2 thẳng hàng O2 và O1A + O2A = O1O2 cm O1; A; O2 thẳng hàng ú cm góc Â1 + Â3 = 900 ú cm góc B1 + C2 = 900 mà góc B1 + B2 = 900 C1 + C2 = 900 C2 + B2 = 900 => B1 + C1 = 900 => đpcm c. M là trung điểm của BC. Chứng minh AM là tiếp tuyến chung của đường tròn tâm O1 và tâm O2 ú cm O1M ^ AM ú cm D MAO1 = D MBO1 (c.c.c) Bài 6: a. Tính góc DAE Ta có OD // O’E (cùng ^ DE) B O 1 A O’ C => Ô1 + Ô’1 = 1800 1 1 3 2 1 Xét 2 D cân AOD và AO’E có 1 2 2 D I E M => góc DAE = 900 b. Tứ giác ADME là hình chữ nhật c. Chứng minh MA là tiếp tuyến chung của 2 đường tròn ú cm MA ^ BC Xét 2 D cân ODA và AID có góc D1 + D2 = Â1 + Â3 = 900 => đpcm Bài 7: a. cm KB ^ AB Gọi H là giao điểm của AB và OO’ A Ta có IK = IA => IH = KB HA = HB I Mà OO’ ^ AB tại H => KB ^ AB O H O’ b. cm 4 điểm E; A; C; D cùng thuộc 1 C đ. tròn ú cm KA = KE = KC = KD K B Ta có E đối xứng A qua B mà KB ^ AE => KB là đg trung trực AE E D => KE = KA (1) Ta có tứ giác AOKO’ là hình bình hành (2 đường chéo giao nhau tại trung điểm mỗi đường) => KO ^ AC => KO là đường trung trực AC (t.c đường kính dây cung) => KA = KC (2) Tương tự KA = KD (3) Từ (1); (2) và (3) => đpcm Bài 8: M E N a. cm tứ giác MNPQ là hình thang b. cm PQ là tiếp tuyến chung của 2 đường tròn (O; O’) O A O’ => cm OP ^ PQ và O’Q ^ PQ Ta có M, P đối xứng OO’ => OO’ là trung trực MP và NQ => OM = OP => D POM cân P F Q => góc OPM = OMD và góc PMN = MPQ (t.c hình thang cân) góc O’Q = O’N => NO’Q cân => góc O’PN = O’QN mà góc MNQ = PQN => góc OPM + MPQ = góc OMP + PMN = 900 => OP ^ PQ => góc NQP – O’QN = MNQ – O’NQ = 900 => O’Q ^ PQ => đpcm c. cm MN + QP = MP + NQ Kẻ tiếp tuyến chung trong của 2 đường tròn là EF ta có: EA = ME = EN (tính chất D vuông) => MN + PQ = 2EF (1) FA = FP = FQ Mà EF là đường trung bình của hình thang MNQP => 2EF = MP + NQ (2) Từ (1) và (2) => đpcm Bài 9: a. OO’ = 6 > 2 + 3 nên (O) và (O’) ở ngoài nhau. B C A I O O’ Tứ giác BAOC là hình bình hành mà  = 900 => BAOC là hình chữ nhật => Góc B = C = 900 => BC là tiếp tuyến chung (O) và (O’) b. Tính => c. OC // O’B => => IO/OO’ = 2 => IO = 2OO’ = 12 cm * Củng cố: - Kỹ năng xác định vị trí tương đối của 2 đường tròn - Kỹ năng chứng minh 1 đường thẳng là tiếp tuyến của đường tròn. Trưòng THBC Trần Quốc Tuấn- GA Bồi dưỡng toán 9 Bài 19: Ôn tập chương đường tròn I. Học sinh: Làm hết bài tập trong SGK và SBT phần ôn tập chương II. II. Bài tập thêm: A. Bài tập trắc nghiệm: Bài 1: Điền vào chỗ () để được phát biểu đúng. a. Tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông .. b. Nếu 1 tam giác có 1 cạnh . thì tam giác đó là tam giác vuông. c. Trong 1 đường tròn: - Đường kính .. với 1 dây thì đi qua trung điểm của dây ấy. - Đường kính đi qua . thì vuông góc với dây ấy. d. Nếu một đường thẳng là .. thì nó vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm. e. Nếu một đường thẳng đi qua 1 điểm của đường tròn và . là tiếp tuyến của đường tròn. f. Tâm của đường tròn ngoại tiếp D là g. Nếu hai đường tròn cắt nhau thì đường nối tâm là Bài 2: Hãy nối 2 cột để được câu trả lời đúng: a. Tiếp tuyến của đường tròn b. Trong các dây của đường tròn c. Trong một đường tròn 2 dây bằng nhau d. Đường kính vuông góc với 1 dây e. Tâm đường tròn nội tiếp tam giác f. Tâm đối xứng của đường tròn g. Đường tròn ngoại tiếp của tam giác 1. Đường kính là dây lớn nhất. 2. Thì cách đều tâm 3. là đường thẳng chỉ có 1 điểm chung với đường tròn. 4. thì chia dây ấy bằng 2 phần bằng nhau 5. là tâm của đường tròn 6. là giao của 3 đường phân giác trong D 7. là giao của 3 đường trung trực của D 8. là đg tròn tiếp xúc với 3 cạnh của D 9. là đường tròn đi qua 3 đỉnh của D Bài 3: Chọn câu trả lời đúng: Cho đường tròn tâm (O; 15 cm) và dây AB = 24cm. Khoảng cách từ AB đến O là: A: 12 cm B: 9cm C: 8cm D: 6cm Bài 4: Cho đoạn thẳng OI = 8cm; vẽ các đường tròn (O; 10cm) và (I; 2cm). Hai đường tròn (O) và (I) có vị trí như thế nào với nhau: A: (O) và (I) cắt nhau B: (O) và (I) tiếp xúc C: (O) và (I) tiếp xúc trong D: (O) và (I) đựng nhau Bài 5: Cho (O; 6cm) và đường thẳng a có khoảng cách đến O là d, điều kiện để a là tiếp tuyến của đường tròn (O) là: A: d < 6cm B: d = 6cm C: d ≤ 6 cm D: d ≥ 6cm Bài 6: Bán kính đường tròn ngoại tiếp D đều cạnh 6 cm là: A: cm B: cm C: cm D: cm Bài 7: Hãy nối mỗi ô ở cột trái với 1 ô cột phải để được khẳng định đúng. a. Đường tròn nội tiếp tam giác b. Đường tròn báng tiếp tam giác c. Đường tròn ngoại tiếp tam giác d. Tâm đường tròn nội tiếp tam giác e. Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác f. Tâm đường tròn báng tiếp tam giác trong góc A g. Tâm đường tròn báng tiếp tam giác trong góc B 1. Là đường tròn đi qua 3 đỉnh của tam giác. 2. là đường tròn tiếp xúc với 3 cạnh của tam giác. 3. là đường tròn tiếp xúc 1 cạnh của tam giác và tiếp xúc với phần kéo dài của 2 cạnh kia. 4. là giao điểm 3 đường trung tuyến trong tam giác. 5. là giao điểm 3 đường phân giác trong của tam giác. 6. là giao của 3 đường trung trực trong tam giác. 7. là giao của 2 đường phân giác các góc ngoài tại B và C 8. là giao điểm của đường phân giác góc B và đường phân giác góc ngoài tại C Bài 8: Hình tròn tâm O, bán kính 3 cm là hình gồm toàn thể các điểm cách O cố định 1 khoảng d với: A: d = 3cm B: d < 3 cm C: d ³ 3 cm D: d ≤ 3cm Bài 9: Từ 1 điểm A ngoài đường tròn vẽ 2 tiếp tuyến đến đường tròn (O) AC và AB (B; C là tiếp điểm). Câu nào sau đây sai: A: AB = AC B: góc BAO = CAO C: AO là trung trực BC D: D ABC đều Bài 10: Đường tròn (0; 4cm) nội tiếp tam giác đều. Độ dài cạnh tam giác đều là bao nhiêu? A: cm B: cm C: cm D: cm Bài 11: D ABC nội tiếp (O) biết góc  = 650; góc B = 500. Gọi I; K; L là trung điểm AB; AC; BC. Các cách sắp xếp nào sau đây là đúng? A: OI < OL < OK B: OL < OK < OI C: OK < OI < OL D: cả 3 đều sai B: Bài tập: Bài 1: Cho đường tròn (O; AB/2) và I là điểm nằm giữa A và O. Qua I kẻ dây cung CD rồi kẻ AH, OE; BK ^ CD. Đường thẳng OE cắt BH tại F. Chứng minh: a. F là trung điểm của HB và CH = KD b. c. AI. IK = IH. IB Bài 2: Cho 2 đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B (O và O’) thuộc 2 nửa mặt phẳng bờ (AB). Một cát tuyến qua A cắt đường tròn (O) ở C, đường tròn (O’) ở D. Kẻ OM ^ CD và O’N ^ CD a. Chứng minh MN = 1/2CD b. Gọi I là trung điểm của MN. Chứng minh rằng đường thẳng kẻ qua I ^ DC đi qua 1 điểm cố định khi cát tuyến CD kẻ qua A thay đổi. c. Qua A kẻ cát tuyến // với đường nối tâm OO’ cắt đường tròn (O) ở P; cắt đường tròn (O’) ở Q. So sánh độ dài các đoạn PQ và CD. Bài 3: Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB, 2 tiếp tuyến By và Ax trên cùng 1/2 mặt phẳng bờ AB chứa nửa đường tròn tâm (O). Tiếp tuyến tại M của nửa đường tròn cắt Ax ở C, cắt By ở D. a. D COD là D gì? Vì sao? b. Chứng minh CD = AC + BD c. AM và BM cắt OC và OD theo thứ tự ở E và F. Tứ giác DEMF là hình gì? Vì sao? d. Gọi I là giao điểm 2 đường chéo OM và EF của tứ giác OEMF khi M thay đổi trên nửa đường tròn (O) thì điểm I chuyển động trên đường nào? Vì sao? e. Xác định vị trí của M để tứ giác OEMF là hình vuông. Tính diện tích hình vuông này. Cho biết AB = 6cm Bài 4: Cho nửa đường tròn O; đường kính AB và 1 điểm I nằm giữa A và B. C là 1 điểm trên 1/2 đường tròn (O), đường thẳng kẻ qua C ^ IC cắt các tiếp tuyến của nửa đường tròn tại A và B lần lượt ở M và N. a. Chứng minh D CAI đồng dạng D CBN b. So sánh D ABC và INC c. Chứng minh góc MIN = 900 Bài 5: Cho D MAB. Vẽ đường tròn tâm O, đường kính AB cắt MA ở C, cắt MB ở D. Kẻ AP ^ CD; BQ ^ CD. Gọi giao của AD với BC là H. Chứng minh: a. CP = DQ b.PD. DQ = PA.BQ và QC. CP = PD. QD c. MH ^ AB Bài 6: Cho đoạn thẳng AB, trên cùng 1/2 mặt phẳng bờ AB vẽ 2 tia Ax và By song song với nhau. Một đường tròn tâm M tiếp xúc AB tại C với Ax ở D; với By ở E a. Trình bày cách dựng đường tròn tâm M b. Chứng minh rằng tổng AD + BE không phụ thuộc vào vị trí Ax ; By c. Chứng minh rằng 3 điểm M, D, E thẳng hàng. d. Xác định vị trí tương đối của đường thẳng DE với đường tròn ngoại tiếp tam giác MAB. Bài 7: Cho 3 điểm J; I; J’ cùng nằm trên 1 đường thẳng theo thứ tự đó. Cho biết IJ = 10cm; IJ’ = 4cm. Vẽ đường tròn (O) đường kính IJ và đường tròn (O’) đường kính IJ’ a. Chứng minh đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài ở I b. Gọi A là một điểm trên đường tròn (O), tia AI cắt đường tròn (O’) ở A’. Chứng minh D AIJ đồng dạng D A’IJ’ c. Qua I kẻ 1 cát tuyến cắt đường tròn (O) ở B (B và A thuộc 2 nửa mặt phẳng bờ là IJ) cắt đường tròn (O’) ở B’. Chứng minh D IAB đồng dạng D IA’B’ d. Chứng minh: D OAB đồng dạng D CA’B’ e. Tứ giác AA’BB’ là hình gì? Vì sao? Bài 8: Cho đường tròn (O; R), đường kính BC, dây cung AB biết R = 65 cm. AB = 126 cm. a. Tính AC và khoảng cách từ O đến các dây AB và AC b. Trên 1/2 mặt phẳng bờ AB không chứa điểm C kẻ dây AD, trên nửa mặt phẳng còn lại kẻ dây BE. Cho biết góc BAD = ABE = 450 và DE ^ AB tại P. Tứ giác ACED là hình gì? Vì sao? c. Chứng minh PA2 + PB2 + PC2 + PD2 = 4R2 Bài 9: Cho 2 đường tròn (O; R) và (O’; R’) (R > R’). Hai tiếp tuyến chung ngoài MN và PQ (M, P ẻ (O); N, Q ẻ (O’) a. Chứng minh các đường thẳng MN; PQ; OO’ đồng quy b. Chứng minh tứ giác MNPQ là hình thang cân c. Xác định vị trí tương đối của (O) và (O’) sao cho đường tròn đường kính OO’ tiếp xúc với đường thẳng MN. Phương pháp: Bài 1: K D a. Chứng minh FH = FB ú cm OF là đường trung bình D AHB E b. (Chứng minh ) A I O B a. cm CH = KD ú cm EC = ED và EK = EH H F cm EK = EH ú cm EF là đường trung bình D HKB (OE ^ CD => ED = EC => đpcm b. Chứng minh Ta có EF = 1/2BK (t.c đường trung bình) OE + OF = 1/2BK OE + 1/2AH = 1/2BK => đpcm c. Chứng minh: AI. IK = IH. IB ú cm D AHI đồng dạng D BKI (g.g) Bài 2: P H A N a. Chứng minh MN = 1/2CD D b. Chứng minh đường thẳng qua I ^ CD C M I K Q đi qua 1 điểm cố định E O Ta có OM // IE // NO’ E O’ mà IM = IN => EO = EO’ OO’ cố định => OO’ không đổi => E không đổi. B c. cm: So sánh PQ và CD Ta có MN CD < 2OO’ Kẻ OH ^ PQ; O’K ^ QP => HK = 1/2PQ và HK = OO’ => PQ > CD D Bài 3: a. D COD là D gì? (HS tự chứng minh) x y b. cm CD = AC + BD (t.c tiếp tuyến) M c. tứ giác EMFO là hình gì? Vì sao? C D MOA cân => OE là phân giác, là đường cao E I F => góc Ê = M = Ô = 900 => Tứ giác EMFO là hình chữ nhật A H O K B d. I chuyển động trên đường nào? Vì sao? Ta có OI = 1/2OM mà M chuyển động trên (O; OM) => I chuyển động trên đường tròn (O; OM/2) M chuyển động trên 1/2 (O; AB/2) => I chuyển động trên 1/2 (O; HK/2) e. Xác định vị trí của M để tứ giác OEMF là hình vuông, tính diện tích tứ giác này biết AB = 6cm. c1: Muốn hình chữ nhật OEMF là hình vuông => ME = MF => MA/2 = MB/2 => AM = MB hay M là trung điểm cung AB c2: Muốn hình chữ nhật OEMF là hình vuông ú MO là phân giác của EMB ú D AMB cân (vì OM là trung tuyến là phân giác). ú M là giao của (O) và đường trung trực AB Bài 4: a. Chứng minh D CAI đồng dạng D CBN Ta có góc ACB = 900; góc C1 = C3 (cùng phụ C2) Góc Â1 = B2 (cùng phụ B1) => đpcm b. So sánh 2 D ABC và INC Ta có góc ACB = ICN = 900 M D CAI đồng dạng D CBN => CA/CB = CI/CN C => đpcm 3 N c. cm góc MIN = 900 ú cm góc M1 + N1 = 900 1 2 ú cm góc N1 = B1 (D ACB đồng dạng D ICN) cm góc M1 = Â1 (cm D ICM đồng dạng D BCA) A I O B góc B1 + Â1 = 900 => M1 + N1 = 900 => đpcm Bài 5: a. cm CP = PQ Vẽ OI ^ CD , cm IC = ID và IP = IQ => đpcm M b. cm PD.DQ = PA.BQ và CQ.CP = PD. DQ cm: PD. DQ = PA. QB C I D Q ú cm PD/PA = QB/DQ => đpcm (1) P ú cm D vuông PQD đồng dạng D vuông QDB H (góc D = B góc có cạnh tương ứng vuông góc) cm CQ. CP = PD. DQ A O B ú cm CQ/PD = DQ/CP ú cm D QCB đồng dạng D PAC (g.g) => QC/PA = QB/PC => QC.PC = PA.AB (2) Từ (1) và (2) => đpcm c. H là trực tâm D MAB => MH ^ AB Bài 6: x a. Trình bày cách dựng đường tròn (M) Dựng tia phân giác góc yBA và tia phân giác góc xAB D Chúng giao nhau tại M b. cm AD + BE không phụ thuộc vào vị trí Ax và By M c. cm M; D; E thẳng hàng. Chứng minh MD = ME d. Xác định vị trí DE với đường tròn ngoại tiếp D MAB A y cm D AMB vuông tại M. O là trung điểm AB O E => OM là đường trung bình của hình thang ADEB => OM ^ DE => DE là tiếp tuyến của đường tròn (O; OM) B Bài 7: A B’ a. OO’ = OJ + O’i => đpcm b. cm D AIJ đồng dạng D A’IJ (g.g) c. cm D AIB đồng dạng D A’IB’ J O I O’ J’ ú cm và góc AIB = B’IA’ B A’ ú cm ú cm D AIJ đồng dạng D A’IJ’ và ú cm D BIJ đồng dạng D B’IJ’ d. cm D OAB đồng dạng D O’A’B’ ú cm e. Tứ giác ABA’B’ là hình thang vì AB // A’B’ ú góc ABI = A’B’I’ (cm góc OBA = O’B’A’) (d) góc OBI = IO’B’ cùng bằng góc OIB) Bài 8: a. R = 65cm; AB = 126 cm Tính OK và OH b. Tứ giác ACED là hình gì; DE // CP (cùng ^ AB) (1) góc PAD = PDA = 450 (D APD vuông cân) (2) E góc PBE = PEB = 450 (D EPB vuông cân) (3) => ACED là hình thang cân. c. cm: PA2 + PB2 + PC2 + PD2 = 4R2 C O B Ta có: PA2 + PD2 = DA2 = CE2 H PB2 + PE2 = EB2 A P K => PA2 + PD2 + PB2 + PE2 = EC2 + EB2 = BC2 = 4R2 Bài 9: M D a. cm: MN; OO’; PQ đồng quy I N MN ∩ PQ = O1 Ta có OO1 là phân giác góc MOP O’O1 là phân giác góc NO’Q O K O’ => O; O’; O1 thẳng hàng => đpcm b. cm tứ giác MNPQ là hình thang cân Ta có OO1 là phân giác, đồng thời là đường cao P Q => MP // NQ; góc NMP = QNO1 => đpcm c. Gọi K là trung điểm của OO’ kẻ OI ^ MN Điều kiện cần và đủ để MN tiếp xúc (K; KO) và hay OO’ = 2KO = MO + O’N = R + R’ ú đường tròn (O) tiếp xúc đường tròn (O’) Vậy điều kiện cần và đủ để đường tròn (K; KO) tiếp xúc MN là đường tròn (O) và đường tròn (O’) tiếp xúc ngoài. * Củng cố: Các kiến thức chính trong chương. Đề cương Ôn tập học kỳ I A. Lý thuyết: Câu 1: Nêu định nghĩa căn bậc hai số học. Cho ví dụ minh hoạ. Chứng minh Câu 2: Phát biểu và chứng minh định lý về khai phương của 1 tích. Câu 3: Viết các công thức biến đổi đơn giản căn thức bậc hai. Câu 4: Phát biểu định nghĩa, tính chất của hàm số bậc nhất? Cho ví dụ minh hoạ. Câu 5: Cho 2 đường thẳng y = ax + b (d) và y = a’x + b’ (d’). Tìm mối liên hệ giữa các hệ số để hai đường thẳng (d) và (d’) cắt nhau, song song, trùng nhau. Câu 6: Phát biểu các định lý về cạnh và đường cao trong tam giác vuông, có hì