Giáo án bồi dưỡng Toán 9 - Trường THBC Trần Quốc Tuấn

ÔN TẬP GÓC Ớ TÂM – LIÊN HỆ CUNG VÀ DÂY- GÓC NỘI TIẾP A.Bài tập trắc nghiệm: Câu 1. Hãy chọn câu trả lời sai: Trong hai cung nhỏ của một đường tròn, cung nào có số đo nhỏ hơn thì nhỏ hơn. Với ba điểm A; B; C; trên đưòng tròn ta luôn có sđ cung AB = sđ AC + sđ BC. Số đo nửa đường tròn bằng 1800 . Góc tâm bằng sđ cung bị chắn. Sđ cung lớn bằng hiệu 3600 và sđ cung nhỏ. Câu 2. Từ năm giờ đến 9 giờ, kim giờ quay được góc ở tâm là : A. 700 B. 800 C. 900 D. 1000 E. 1100 . Câu 3. Hãy chọn câu trả lời sai: Cho tam giác đều ABC . Gọi O là tâm của đường tròn đi qua ba đỉnh của tam giác. Số đo góc tạo bởi hai trong ba tia OA, OB, OC là: A. AOB = 1200 B. AOC = 1200 C. BOC = 1200 D. AOB = 600 E AOB = AOC. Câu 4. Cho (O; R) và một dây cung AB sao cho số đo của cung lớn AB gấp đôi cung nhỏ AB . Số đo cung nhỏ AB là : A. 600 B. 700 C. 900 D. 1100 E. 1200 . Câu 5. Cho đường tròn (O) và K nằm ngoài đường tròn. Qua K kẻ các tiếp tuyến KA và Kb với đwongf tròn (O). Biết góc AKB = 460 . Góc ở tâm AOB là: A. 500 ; B. 720 ; C. 1340 D. 1550 E. 1540 . Câu 6. Hãy chọn câu trả lời sai: Trong hai cung nhỏ của một đường tròn , hai dây bằng nhau căng hai cung bằng nhau. Trong hai cung nhỏ của một đường tròn , hai cung bằng nhau căng hai dây bằng nhau. Trong một đường tròn hai cung chắn giữa hai dây song song thì bằng nhau. Trong một đường tròn hai cung bằng nhau chắn giữa hai dây song song. Đưòng kính đi qua trung điểm của một cung thì đi qua trung điểm và vuông góc với dây căng cung. Câu 7. Cho ba điểm A, B, C thuộc đường tròn (O) sao cho BC < AC <AB . Hãy chọn khẳng định đúng: A. COA < AOB < BOC; B. BOA < BOC < COA; C. BOC < COA < AOB; D. AOB < COA < BOC E. BOC < COA < AOB. Câu 8. Cho đường tròn (O, R) góc AOB = 1200 . Độ dài dây AB là : A. B. C. D. E. R. Câu 9.Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) . Gọi M,N, P là trrung điểm các cạnh AB; BC; AC , Biểt OP > ON > OM . Hãy chọn cách sắp xếp đúng: A. AB > AC> BC B. BC >AB > AC C. CA> AB > BC D. BC > AC > AB E. AB> BC> AC. Câu 10. Tuấn 19: Gãc ë t©m - sè ®o cung Bµi 1: Cho ®­êng trßn (O), 2 tiÕp tuyÕn cña ®­êng trßn ë A vµ B c¾t nhau ë M. BiÕt gãc AMB = 650. a. TÝnh sè ®o gãc ë t©m t¹o bëi 2 b¸n kÝnh OA; OB b. TÝnh sè ®o cung nhá AB vµ sè ®o cung lín AB Bµi 2: Cho ®­êng trßn (O; R) vµ ®­êng trßn (O’; R’) c¾t nhau ë A vµ B a. Tø gi¸c AOBO’ lµ h×nh g×? V× sao? b. BiÕt AB = R. TÝnh sè ®o c¸c cung nhá AB, cung lín AB thuéc 2 ®­êng trßn (O) vµ (O’), cã nhËn xÐt g× vÒ c¸c cung ®ã. Bµi 3: Cho tam gi¸c c©n ABC néi tiÕp ®­êng trßn (O) cung nhá BC cã sè ®o b»ng 1000, tia AO c¾t cung nhá AC ë E a. TÝnh sè ®o c¸c gãc ë t©m BOE; COE b. TÝnh sè ®o c¸c cung nhá AB vµ AC Bµi 4: Cho tam gi¸c c©n AOB cã gãc AOB = 1100. VÏ ®­êng trßn (O; OA). Gäi C lµ 1 ®iÓm trªn ®­êng trßn. BiÕt cung AC = 400 TÝnh sè ®o cña cung nhá BC vµ cung lín BC Bµi 5: Cho ®­êng trßn t©m O néi tiÕp tam gi¸c ABC (¢ > B > C) a. Gäi I, J, K lµ tiÕp ®iÓm cña ®­êng trßn (O) víi c¸c c¹nh t­¬ng øng BC; CA; AB. So s¸nh c¸c gãc ë t©m gãc IOJ; JOK; KOI b. Chøng minh r»ng, víi ®Ønh A th× gãc BOC = 900 + ¢/2. T×m c¸c c«ng thøc t­¬ng tù víi c¸c ®Ønh B vµ C råi so s¸nh c¸c gãc ACB; BOC; COA. c. Gäi O1; O2; O3 theo thø tù lµ t©m ®­êng trßn bµng tiÕp tam gi¸c ABC t¹i c¸c gãc BAC; CBA; ACB. So s¸nh c¸c gãc ë t©m BO1C; gãc CO2A; gãc AO3B Bµi 6: Cho tam gi¸c ABC néi tiÕp ®­êng trßn (O). VÏ h×nh b×nh hµnh ADBC. Gäi H lµ trùc t©m cña tam gi¸c ABC vµ H’ lµ trùc t©m cña tam gi¸c ABD. M lµ trung ®iÓm cña c¹nh AB. Chøng minh: a. §iÓm H n»m trªn ®­êng trßn (O) b. 3 ®iÓm H; H’; M th¼ng hµng Bµi 2: a. Tø gi¸c OAO’B lµ h×nh thoi (4 c¹nh b»ng nhau) b. H¹ OH ^ AB ∩ cung AmB t¹i E => gãc EOA = EOB = gãc AOB/2 sin cung EOA = HA/QA = 1/2R/R = 1/2 => Sè ®o cung EOA = s®o cung AMB Bµi 3: a. S® gãc BOE = s® COE = s® BnC/2 = 500 b. S® cung AB = s® cung AC = 3600 – 1000/2 = 1300 Bµi 4: S® AC = s® AB + s® AC S® BC = s® AB – s® AC Bµi 5: a. Gãc A > B > C; ZOK < KOI < IOZ b. Do t©m ®­êng trßn néi tiÕp lµ giao ®iÓm cña 3 ®­êng ph©n gi¸c => gãc OBC = 1/2B gãc OCB = 1/2C mµ Gãc ¢ + B + C = 1800 => gãc BOC = 180 – 1/2(B + C) = 1800 – 1/2(180 - ¢) = 900 + ¢/2 T­¬ng tù chøng minh tiÕp. c. ¤1; ¤2; ¤3 lµ t©m ®­êng trßn => O1C ^ OC; O1B ^ OB; O2A ^ OA CO1B vµ BO3A vµ AO2C Bµi 6: a. Chøng minh H’ Î ®­êng trßn (O) KÎ AA’ ^ DB c¾t ®trßn (O) t¹i H’. Cm H’ lµ trùc t©m D ADB Ta cã AA’ ^ DB => AA’ ^ AC DB // AC => gãc H’AC = 900 => H’C lµ ®­êng kÝnh. H’BC = 900 => H’B ^ BC hay BB’ ^ BC hay BB’ lµ ®­êng cao D ABD => H’ lµ trùc t©m cña D ABD b. Tø gi¸c AHBH’ lµ h×nh b×nh hµnh (®Þnh nghÜa) => ®­êng chÐo HH’ ®i qua trung ®iÓm AB => H’; M; H th¼ng hµng. * Cñng cè: Sè ®o gãc ë t©m = sè ®o cung bÞ ch¾n. Bµi 3: ¤n tËp Gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh bËc nhÊt hai Èn A. KiÕn thøc c¬ b¶n: 1. Quy t¾c thÕ: C¸c b­íc gi¶i hÖ b»ng ph­¬ng ph¸p thÕ. 2. Quy t¾c céng: C¸c b­íc gi¶i hÖ b»ng ph­¬ng ph¸p céng. Gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh bËc nhÊt hai Èn I. Gi¶i c¸c hÖ ph­¬ng tr×nh b»ng ph­¬ng ph¸p thÕ: Bµi 1: a. 3x – y = 5 b. x – 2y = 1 c. 2y + 5x = 28 2x – y = 4 Bµi 2: a. b. Bµi 3: Gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh b»ng ph­¬ng ph¸p ®Æt Èn phô: a. b. c. 2. Gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh b»ng ph­¬ng ph¸p céng ®¹i sè: Bµi 1: a. -5x + y = 10 b. 4x – 3y = -10 c. x + 3y = -18 2x + 5y = 8 x – 3y/5 = 0,8 Bµi 2: a. 5(x + 2y) – 3(x – y) = 99 b. 2(3y + 1) – 4(x – 1) = 5 x – 3y = 7x – 4y – 17 5(3y + 1) = -8(x – 1) = 9 c. 5x - 2y = d. 4x – y = 3 5x + y = -5 x+ y = -1 Bµi 3: X¸c ®Þnh a, b ®Ó ®å thÞ hµm sè y = ax + b ®i qua A vµ B trong mçi tr­êng hîp sau: a. A(-3; 3); B(-1; 2) b. A(-5; -3); B(3; 1) 3. Bµi tËp chung: Bµi 1: X¸c ®Þnh a, b ®Ó hÖ: 3x + by = 7 cã nghiÖm (;) ax + 6y = 5 Bµi 2: Mét ®a thøc f(x) ∶ x – a ó f(a) = 0. T×m gi¸ trÞ cña m vµ n sao cho ®a thøc f(x) = mx3 + (m + 1)x2 – (4m + 3)x + 5n chia hÕt cho x + 2 vµ x + 1 Bµi 3: T×m gi¸ trÞ cña m ®Ó ba ®­êng th¼ng sau ®ång quy: d1: 5x + 11y = 8 d2: 10x – 7y = 74 d3: 4mx + (2m – 1)y = m + 2 Bµi 4: Cho hÖ ph­¬ng tr×nh: ax + ay = a2 x + ay = 2 a. Gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh víi a = 2 b. T×m tÊt c¶ c¸c gi¸ trÞ cña a ®Ó hÖ ph­¬ng tr×nh cã 1 nghiÖm duy nhÊt. Bµi 5: Cho hÖ ph­¬ng tr×nh: 2x + my = m + 2 (m + 1)x + 2my = 2m + 4 a. Gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh víi m = 1b. b. T×m m ®Ó hÖ ph­¬ng tr×nh v« sè nghiÖm. Bµi 6: BiÕt f(x) ∶ x – a ó f(a) = 0 h·y gi¶i hÖ sau: a. x + y = 5 b. 2x – y = 3 x3 – 4x2 – x + 4 = 0 6x4 + 5x3 – 38x2 + 5x + 6 = 0 Ph­¬ng ph¸p: Bµi tËp chung: Bµi 4: b. + a = 0 => hÖ pt v« sè nghiÖm x = 2 y Î R víi a ¹ 0 => ax + ay = a2 ó a(2 – ay) + ay = a2 x = 2 – ay x = 2 – ay ó a(1 – a)y = (a(a – 2) x = 2 – ay (1) Muèn hÖ (1) cã nghiÖm th× a ¹ 0 vµ a ¹ 1 Bµi 5: b. BiÓu thÞ y theo x : m + 10(m + 2 – my) + 4my = 4m + 8 ó m(-m + 3)y = -m2 + m + 6 * m ¹ 0; m ¹ 3 => hÖ ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm duy nhÊt. * m = 0 => hÖ ph­¬ng tr×nh cã d¹ng 2x = 2 hÖ v« nghiÖm x = 4 * m = 3 => 2x + 3y = 5 4x + 6y = 10 HÖ v« sè nghiÖm Bµi 6: a. ó x + y = 5 (x – 4)(x2 – 1) = 0 => nghiÖm cña hÖ b. y = 2x – 3 (1) 6x4 + 5x3 – 38x2 + 5x + 6 = 0 (2) nhÈm nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh (2) ta cã f(x) = 0 => f(x) ∶ x – 2 => f(x) = (x – 2)(x3 + 17x2 – 4x – 3) = 0 Q(x) = x3 + 17x2 – 4x – 3 cã Q(1/2) = 0 ó Q(x) ∶ (x – 1/2) => Q(x) = (x – 1/2)(6x2 + 20x + 6) = (x – 1/2)(x + 3)(3x + 1) ó y = 2x – 3 (II) (x – 2)(x – 1/2)(x + 3)(3x + 1) = 0 HÖ (II) t­¬ng ®­¬ng 4 hÖ ph­¬ng tr×nh => t×m nghiÖm. * Cñng cè: - C¸c b­íc gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh b»ng 2 ph­¬ng ph¸p. - C¸c d¹ng to¸n kh¸c. TuÇn 20: ¤n tËp liªn hÖ gi÷a cung vµ d©y Bµi 1: Cho ®­êng trßn (O) vµ d©y AB kh«ng ®i qua O. Trªn d©y AB lÊy 3 ®iÓm C, D, E sao cho AC = CD = DE = EB. C¸c tia OC; OD; OE c¾t ®­êng trßn lÇn l­ît M, N, P. Chøng minh r»ng: a. Cung MA = PB vµ cung MN = NP b. Cung AM < MN Bµi 2: Cho D MNP víi c¸c gãc nhän vµ MN < MP. Trªn c¸c c¹nh MP lÊy c¸c ®iÓm sao cho MD = MN. VÏ ®­êng trßn ngo¹i tiÕp D NDP a. So s¸nh c¸c cung nhá PD; DN; PN b. Tõ O kÎ OI; OH; OK lÇn l­ît vu«ng gãc PN; PD; ND. So s¸nh c¸c ®o¹n OI; OH; OK. Bµi 3: Cho 2 ®­êng trßn đồng tâm (O; R); (O; r) víi R > r. Tõ 1 ®iÓm P cña (O; R) kÎ 2 tia Px vµ Py kh«ng qua O c¾t 2 ®­êng trßn theo thø tù ë A; B; E vµ C; D; F. BiÕt AB > CD a. Chøng minh PA = BE b. So s¸nh c¸c cung PE; PF cña ®­êng trßn (O; R) Bµi 4: Chøng minh r»ng ®­êng kÝnh ®i qua ®iÓm chÝnh gi÷a cña 1 cung th× ®i qua trung ®iÓm cña d©y cung Êy. MÖnh ®Ò ®¶o cã ®óng kh«ng? H·y nªu ®iÒu kiÖn ®Ó mÖnh ®Ò ®¶o còng ®óng. Bµi 5: Cho ®­êng trßn (O) ®­êng kÝnh AB. Qua trung ®iÓm I cña b¸n kÝnh OB kÎ d©y CD ^ AB, kÎ d©y CE // AB. Chøng minh r»ng: a. AE = BC = BD b. E; O; D th¼ng hµng c. Tø gi¸c ADBE lµ h×nh ch÷ nhËt. Bµi 6: Cho 2 ®­êng trßn b»ng nhau (O) vµ (O’) c¾t nhau t¹i A, B. KÎ c¸c ®­êng kÝnh AOC; AO’D. Gäi E lµ giao ®iÓm thø 2 cña AC víi ®­êng trßn (O). a. So s¸nh c¸c cung BC; BD cña c¶ 2 ®­êng trßn. b. Chøng minh B lµ ®iÓm chÝnh gi÷a cña cung EBD c. Chøng minh O’B ^ DE Bµi 7: Cho ®­êng trßn (O) ®­êng kÝnh AB. Qua trung ®iÓm E cña ®o¹n OB ta kÎ ®­êng th¼ng vu«ng gãc víi OB c¾t ®­êng trßn (O) ë M vµ N. KÎ d©y MP // AB. Gäi I lµ ®iÓm chÝnh gi÷a cña cung nhá PM a. Chøng minh: cung AP = BN b. OI c¾t PM ë K. Chøng minh tø gi¸c OKME lµ h×nh ch÷ nhËt. c. Chøng minh KE // PN Ph­¬ng ph¸p: Bµi 1: a. Chøng minh cung MA = MB; MN = NP Ta cã D AOB c©n (OA = OB cïng b¸n kÝnh) => ¢ = B => D CAO = D EBO (c.g.c) => gãc COA = gãc EOB => cung AM = PB T­¬ng tù ta cã D AOD = D DOB (c.g.c) => Gãc AOD = BOD mµ gãc COA = EOB => gãc COD = DCE => cung MN = NP b. Chøng minh: cung AM < MN ó cm gãc AOM < MON Trªn tia CM lÊy Q sao cho QC = CO => tø gi¸c QAOD lµ h×nh b×nh hµnh => OA = QD => QD > AQ = OD OA > OD XÐt D QOD cã QD > OD => gãc DOQ > DQO mµ gãc DQO = AOM (slt) => gãc QOD > MOA => AM < MN Bµi 2: a. So s¸nh cung MD víi DP vµ NP XÐt D NDP cã: NP > PM – MN = PM – MD Hay NP > DP => cung NP > DP D Î cung NP mµ PD + DN = NP => cung NP > DN b. So s¸nh OI; OH; OK XÐt c¸c tr­êng hîp PD = DN; PD > DN vµ PD < DN Bµi 3: a. Chøng minh PA = BE h¹ OH ^ PE => HP = HE; HB = HA => §iÒu ph¶i chøng minh. b. So s¸nh cung PE vµ PF cña (O; R) h¹ OK ^ PF Ta cã AB > CD => OH PK < PH => PE > PF Bµi 4: a. Chøng minh IA = IB a. XÐt M lµ ®iÓm chÝnh gi÷a cung AB nhá => cung MA = MB => gãc AOM = MOB mµ D AOB c©n => OM lµ ph©n gi¸c lµ trung tuyÕn => IA = IB b. XÐt M’ lµ ®iÓm chÝnh gi÷a cña cung lín AB Ta cã cung M’AM = M’BM mµ cung MB = M => cung MA = MB MÖnh ®Ò ®¶o ó AB kh«ng ®i qua t©m. Bµi 5: a. Chøng minh AE = BC = BD AB lµ trung trùc CD => cung CB = BD Gãc ¤2 = C1 (slt) Gãc C1 = E1 (D ECO c©n) => Gãc E1 = ¤2; ¤4 = £1 => ¤1 = ¤4 => cung AE = CB => ®pcm b. Chøng minh 3 ®iÓm E; O; D th¼ng hµng. ó gãc DOA + AOE = 1800 ó cm gãc DOB = EOA (cïng b»ng gãc BOC) gãc BOD + DOA = 1800 (®k AB) => gãc DOA + AOE = 1800 => ®pcm c. Chøng minh tø gi¸c ADBE lµ h×nh ch÷ nhËt (cã 2 ®­êng chÐo c¾t nhau t¹i trung ®iÓm vµ b»ng nhau. Bµi 6: a. So s¸nh cung BC vµ cung BD cña 2 ®­êng trßn. D ABC vu«ng t¹i B D ADB vu«ng t¹i B => D vu«ng ABD = D vu«ng ABC (c¹nh huyÒn c¹nh gãc vu«ng) => BC = BD => cung BC = BD b. Chøng minh B lµ ®iÓm chÝnh gi÷a cung EBD. ó cm cung BE = BD ó cm EB = BD hay D CED vu«ng t¹i E Ta cã gãc B1 = 900; B2 = 900 (cmtrªn) => gãc CBD = 1800 => 3 ®iÓm C, B, D th¼ng hµng Ta cã gãc AED = 900 => gãc CED = 900 Mµ BC = BD => BE lµ trung tuyÕn D CDE => BE = BD = BC => cung BE = BD c. Cm O’B ^ DE Ta cã BD = BE (cmt); OE = OD (cïng b¸n kÝnh). => B, O’ Î ®­êng trung trùc ED => BO’ ^ DE (®pcm) Bµi 7: C¸ch lµm t­¬ng tù bµi 5. * Cñng cè: Nh¾c l¹i c¸c ®Þnh lý. TuÇn 21: ¤n tËp gi¶i bµi to¸n b»ng c¸ch lËp hÖ ph­¬ng tr×nh B. Bµi tËp: D¹ng to¸n t×m sè vµ n¨ng suÊt lao ®éng. Bµi 1: T×m 2 sè tù nhiªn biÕt hiÖu cña chóng lµ 1275 vµ nÕu lÊy sè lín chia sè nhá th× ®­îc thang lµ 3, sè d­ lµ 125. Bµi 2: Cho mét sè tù nhiªn cã 2 ch÷ sè. NÕu ®æi 2 ch÷ sè cña nã th× ®­îc mét sè lín h¬n sè ®· cho lµ 36. Tæng cña sè ®· cho vµ sè míi t¹o thµnh lµ 110. T×m sè ®· cho. Bµi 3: Tæng cña ch÷ sè hµng ®¬n vÞ vµ 2 lÇn ch÷ sè hµng chôc cña mét sè cã 2 ch÷ sè lµ 17. NÕu ®æi ch÷ sè hµng chôc vµ ch÷ sè hµng ®¬n vÞ cho nhau ta ®­îc sè míi h¬n sè cò lµ 45 ®¬n vÞ. T×m sè ®· cho. Bµi 4: Hai xÝ nghiÖp theo kÕ ho¹ch tæng céng 360 dông cô. Nhê s¾p xÕp hîp lý d©y chuyÒn nªn xÝ nghiÖp I ®· v­ît møc 12% kÕ ho¹ch. XÝ nghiÖp II ®· v­ît møc 10% kÕ ho¹ch do ®ã c¶ 2 xÝ nghiÖp ®· lµm ®­îc 400 dông cô. TÝnh sè dông cô mçi xÝ nghiÖp ph¶i lµm theo kÕ ho¹ch. Bµi 5: Mét ®éi thuû lîi theo kÕ ho¹ch ph¶i söa ch÷a mét ®o¹n ®ª theo thêi gian quy ®Þnh. BiÕt r»ng nÕu bít 3 ng­êi th× ®éi ph¶i kÐo dµi thªm 6 ngµy. Cßn nÕu thªm 2 ng­êi th× ®éi hoµn thµnh tr­íc thêi gian quy ®Þnh lµ 2 ngµy. Hái ®éi cã bao nhiªu ng­êi vµ kÕ ho¹ch dù ®Þnh lµ bao nhiªu ngµy, nÕu n¨ng suÊt mçi ®éi lµ nh­ nhau. Bµi 6: Cã 2 ph©n x­ëng, ph©n x­ëng I lµm trong 20 ngµy, ph©n x­ëng II lµm trong 15 ngµy ®­îc 1600 dông cô. BiÕt sè dông cô ph©n x­ëng I lµm trong 4 ngµy b»ng sè dông cô ph©n x­ëng II lµm trong 5 ngµy. TÝnh sè dông cô mçi ph©n x­ëng ®· lµm. Bµi 7: 1 D cã chiÒu cao b»ng 3/4 ®¸y. NÕu chiÒu cao t¨ng thªm 3dm vµ ®¸y gi¶m 2dm th× diÖn tÝch t¨ng 12dm2. TÝnh chiÒu cao vµ ®¸y. Bµi 8: Mét thöa ruéng h×nh ch÷ nhËt, nÕu t¨ng chiÒu dµi 2m vµ t¨ng chiÒu réng 3 m th× diÖn tÝch t¨ng 100m2. NÕu cïng gi¶m c¶ chiÒu dµi vµ chiÒu réng ®i 2 m th× diÖn tÝch gi¶m 68m2. TÝnh diÖn tÝch cña thöa ruéng. * Ph­¬ng ph¸p: Bµi 1: 1 Èn HiÖu Th­¬ng Sè d­ Sè lín : a 3 125 Sè nhá 1275 - a Ph­¬ng tr×nh: a (1275 – a) = (1275 – a) . 3 + 125 2 Èn: Sè lín a, sè nhá b => a – b = 1275 a = b.3 + 125 Bµi 2: Hµng chôc Hµng ®¬n vÞ Sè ®· cho x y Sè míi y x HÖ ph­¬ng tr×nh: xy + 36 = yx xy + yx = 110 Bµi 3: Hµng chôc Hµng ®¬n vÞ Sè ®· cho x 17 – 2x Sè míi 17 – 2x x Ph­¬ng tr×nh: (17 – 2x). 10 + x – 45 = 10x + 17 – 2x Bµi 4: 1 Èn: KÕ ho¹ch Thùc lµm I x x + 12/100x II 360 – x 360 – x + 10/100.(360 – x) Ph­¬ng tr×nh: 2 Èn: x + y = 360 Bµi 5: Sè ng­êi Thêi gian C«ng viÖc KÕ ho¹ch x y xy LÇn ®Çu x - 3 y + 6 (x – 3)(y + 6) LÇn 2 x + 2 y – 2 (x + 2)(y – 2) Bµi 6: Thêi gian Dông cô lµm trong 1 ngµy C«ng viÖc X­ëng I 20 x 20. x X­ëng II 15 y 15. y X­ëng I 4 x 4.x X­ëng II 5 y 5.y HÖ ph­¬ng tr×nh: 20x + 15y = 1600 4x = 5y Bµi 7: §¸y ChiÒu cao S Lóc ®Çu x y 1/2xy LÇn 1 x – 2 y + 3 1/2(x-2)(y+3) HÖ ph­¬ng tr×nh: y = 3/4x 1/2 (x – 2)(y + 3) = 1/2 xy + 12 Bµi 8: ChiÒu réng ChiÒu dµi DiÖn tÝch Lóc ®Çu x y xy T§ lÇn 1 x + 3 y + 2 (x + 3)(y + 2) T§ lÇn 2 x – 2 y – 2 (x – 2)(y – 2) HÖ ph­¬ng tr×nh: (x + 3)(y + 2) = xy + 100 (x – 2)(y – 2) = xy – 68 ¤n gãc néi tiÕp Bµi 1: Cho 1/2 (O) ®­êng kÝnh AB. Trªn nöa ®­êng trßn lÊy 2 ®iÓm C; D (D Î cung AC) sao cho gãc COD = 900. C¸c tia AD vµ BC c¾t nhau ë P. AC vµ BD c¾t nhau t¹i H. Chøng minh: a. D ACP vµ D BDP lµ tam gi¸c vu«ng c©n. b. PH vu«ng gãc víi AB. Bµi 2: Cho D ABC c©n t¹i A néi tiÕp ®­êng trßn (O). D lµ mét ®iÓm tuú ý trªn BC. Tia AD c¾t ®­êng trßn (O) ë E. Chøng minh: a. Gãc AEC = ACB b. D AEC ®ång d¹ng D ACD c. TÝch AE . AD kh«ng ®æi khi D thay ®æi trªn c¹nh BC. Bµi 3: Cho D nhän ABC néi tiÕp (O), ®­êng cao AH ∩ (O) t¹i M; ®­êng cao BK giao víi (O) ë N. a. Chøng minh cung CM = cung CN b. Chøng minh AC lµ ph©n gi¸c gãc MAN Bµi 4: Cho D ABC néi tiÕp (O; R); ®­êng cao AH (H Î BC) tia AO c¾t ®­êng trßn ë D. Chøng minh: a. D ABH ®ång d¹ng D ADC b. 2R = AB.AC/AH Bµi 5: Cho D ABC néi tiÕp ®­êng trßn (O) cã trùc t©m H n»m trong tam gi¸c. Tia AO c¾t ®­êng trßn D. a. Tø gi¸c BHCD lµ h×nh g×? V× sao? b. Gäi I lµ trung ®iÓm cña BC, chøng minh H, I, D th¼ng hµng. c. Chøng minh OI = 1/2AH Bµi 6: Cho 2 ®­êng trßn (O) vµ (O’) c¾t nhau ë A vµ B. Qua A kÎ c¸t tuyÕn CD vµ EF, biÕt gãc CAB = gãc BAF (C, E Î O) vµ D, F Î O’. Tõ B kÎ BH ^ CD; BK ^ EF . a. Chøng minh D BHC = D BKE b. So s¸nh CD vµ EF Bµi 7: Cho D ®Òu ABC néi tiÕp ®­êng trßn (O). Gäi M lµ 1 ®iÓm trªn cung nhá BC. Trªn tia MA lÊy D sao cho MD = MB. a. Chøng minh: MA lµ ph©n gi¸c gãc BMC b. D BMD lµ tam gi¸c g×? V× sao? c. So s¸nh D ADB vµ D CMB d. Chøng minh MA = MB + MC * Ph­¬ng ph¸p: Bµi 1: a. Ta cã gãc ACB = BDA = 900 (gãc nt ch¾n 1/2 ®­êng trßn) => cm D DPB vµ D ACP c©n => cm gãc PAC = 450 = 1/2 s® DC cm gãc DBP = 450 = 1/2 s® DC b. PH ^ AB (tÝnh chÊt 3 ®­êng cao) Bµi 2: a. Chøng minh gãc AEC = ACB ó cung AB = AC b. cm D AEC ®ång d¹ng D ACD (g-c) c. cm AE . AD kh«ng ®æi. ó cm AE . AD = AC2 ó cm D AEC ®ång d¹ng D ACD Bµi 3: a. Chøng minh: cung CM = CN ó cm gãc MAC = NBC (gãc cã c¹nh t­¬ng øng vu«ng gãc) b. Chøng minh AC lµ tia ph©n gi¸c gãc MAN ó chøng minh gãc ¢1 = ¢2 Bµi 4: a. cm D AHB ®ång d¹ng D ACD (gãc H = C = 900; gãc B = D) b. cm 2R = AB. AC/AH ó cm AD/AB = AC/AH Bµi 5: a. Tø gi¸c BACD lµ h×nh b×nh hµnh (®/n) b. cm H; I; D th¼ng hµng (I lµ trung ®iÓm HD tÝnh chÊt hbh) c. cm OI = 1/2AH ó cm OI lµ ®­êng trung b×nh cña D AHD Bµi 6: a. cm D CHB = D BKE ó cm gãc C = £ vµ BH = BK D vu«ng BHA = D BKA (c¹nh huyÒn gãc nhän) b. So s¸nh CD vµ EF ó so s¸nh HD vµ KE ó cm D BHD = D BKF (gãc nhän c¹nh gãc vu«ng) Bµi 7: a. Chøng minh MA lµ tia ph©n gi¸c gãc BMC ó cm gãc BMA = AMC ó cm cung AB = AC ó cm AC = AB b. cm D BMD ®Òu ó cm MD = MB; gãc BMD = 600 (ch¾n cung AB = ACB) c. So s¸nh D ABD vµ D CBM ó cm AB = BC; ¢1 = C1 (ch¾n cung BM) gãc B1 = B3 (cïng céng B2 = 600) d. Chøng minh MA = MB + MC ó cm MD = BM; DA = MC * Cñng cè: Nªu l¹i ®Þnh nghÜa, ®Þnh lý, hÖ qu¶ cña gãc néi tiÕp. Bµi 7: ¤n gi¶i to¸n b»ng c¸ch lËp hÖ ph­¬ng tr×nh D¹ng to¸n: ChuyÓn ®éng + riªng chung A. KiÕn thøc: 1. To¸n chuyÓn ®éng: S = Vt V kh«ng ®æi; S vµ t lµ 2 ®¹i l­îng tØ lÖ thuËn. S kh«ng ®æi; V vµ t lµ 2 ®¹i l­îng tØ lÖ nghÞch. 2. To¸n riªng chung: - C«ng viÖc lµ 1 ®¬n vÞ c«ng nh©n - N¨ng suÊt = KLCV : thêi gian B. Bµi tËp: Bµi 1: 1 « t« ®i SAB víi vËn tèc 50 km/h råi ®i tiÕp BC víi vËn tèc 45 km/h biÕt SAB + SBC = 165 km. Thêi gian ®i trªn qu·ng ®­êng AB Ýt h¬n thêi gian ®i trªn SBC lµ 30’. TÝnh thêi gian ®i trªn SAB vµ SBC. Bµi 2: 1 ca n« ®i tõ A ®Õn B víi vËn tèc vµ thêi gian ®· ®Þnh. NÕu ca n« t¨ng tèc thªm 3km/h th× thêi gian rót ng¾n ®­îc 2 giê. NÕu ca n« gi¶m vËn tèc 3km/h th× thêi gian t¨ng thªm 3 giê. TÝnh vËn tèc vµ thêi gian dù ®Þnh. Bµi 3: Mét ng­êi dù ®Þnh ®i xe ®¹p tõ A ®Õn B c¸ch nhau 36 km trong mét thêi gian nhÊt ®Þnh. Sau khi ®i 1/2 qu·ng ®­êng ng­êi ®ã dõng l¹i nghØ 18’. Sau ®ã ®Ó ®Õn B ®óng h¹n ng­êi ®ã t¨ng thªm vËn tèc 2km/h trªn S cßn l¹i. TÝnh vËn tèc ban ®Çu vµ thêi gian xe l¨n b¸nh. Bµi 4: Mét ng­êi ®i xe ®¹p tõ tØnh A ®Õn B c¸ch nhau 50km. Sau ®ã 1h30’ mét ng­êi ®i xe m¸y còng ®i tõ A ®Õn B vµ ®Õn B sím h¬n 1h. TÝnh vËn tèc mçi xe biÕt r»ng xe m¸y gÊp 2,5 lÇn vËn tèc xe ®¹p. Bµi 5: Hai m¸y b¬n cïng b¬m vµo bÓ th× 12 phót th× ®Çy bÓ. NÕu m¸y b¬m 1 b¬m 10 phót, m¸y b¬m 2 b¬m trong 6 phót th× ®­îc 7/10 bÓ. Hái mçi m¸y b¬m mét m×nh th× bao l©u sÏ ®Çy bÓ. Bµi 6: Hai vßi n­íc cïng ch¶y vµo bÓ c¹n th× sau 48 phót sÏ ®Çy bÓ. NÕu më vßi 1 40 phót råi kho¸ l¹i vµ më vßi 2 30 phót th× ®­îc 3/4 bÓ. Hái nÕu më riªng mçi vßi th× bao l©u sÏ ®Çy bÓ. Bµi 7: Hai tæ c«ng nh©n lµm chung trong 12 giê th× hoµn thµnh c«ng viÖc ®· ®Þnh. NÕu hä lµm chung trong 4 giê th× tæ 1 ®iÒu ®i lµm viÖc kh¸c, tæ thø 2 lµm nèt c«ng viÖc trong 10 phót. Hái tæ 2 lµm mét m×nh thi bao l©u sÏ song c«ng viÖc. Bµi 8: Hai ng­êi thî cïng lµm mét c«ng viÖc trong 16 h th× xong. Ng­êi thø nhÊt lµm 3 h vµ ng­êi thø hai lµm 6 h th× hä lµm ®­îc 25% c«ng viÖc. Hái mçi ng­êi lµm c«ng viÖc mét m×nh th× trong mÊy giê th× xong. C. Ph­¬ng ph¸p: Bµi 1: a. 1 Èn b. 2 Èn t v S AB -1/2 + x 50 (x-1/2).50 BC x 45 45.x Pt: (x – 1/2) . 50 + 45x = 165 t v S AB x 50 50x BC y 45 45y Pt1: x + 1/2 = y Pt 2: 50x + 45y = 165 Bµi 2: 2 Èn t v S D § y X xy LÇn 1 y- 2 x + 3 (x + 3)(y – 2) LÇn 2 y + 3 x - 3 (x – 3)(y + 3) Pt 1: (x + 3)(y – 2) = xy Pt 2: (x – 3)( y + 3) = xy Bµi 3: a. 1 Èn b. 2 Èn t v S DA 36/x x 36 1/2SAB 18/x x 18 1/2SAB 18/x+2 x + 2 18 Pt: t v S DA y x 36 1/2SAB 18/x x 18 1/2SAB 18/x+2 x + 2 18 Pt1: xy = 36 Pt 2: Bµi 4: a. 1 Èn b. 2 Èn S v t Xe ®¹p 50 x 50 : x Xe m¸y 50 2,5x 50 : 2,5x Pt: S v t Xe ®¹p 50 x 50 : x Xe m¸y 50 y 50 : y Pt1: 2,5 . x = y Pt 2: Bµi 5: a. 1 Èn b. 2 Èn KLCV NS t M1 1 1/x x M2 1 1/12 - 1/x 1:(1/12-1/x) M1 1/6.1/x 1/x 1/6 M2 (1/12-1/x). 1/10 1/12-1/x 1/10 Pt: KLCV NS t M1 1 1/x x M2 1 1/y y M1 1/6.1/2 1/x 1/6 M2 1/10.1/y 1/y 1/10 Pt1: Pt 2: Bµi 6: 48’ = 48/60 = 4/5 h; 40’ = 2/3h; 30’ = 1/2h a. 1 Èn b. 2 Èn KLCV NS t Vßi 1 1 1/x x Vßi 2 1 5/4 - 1/x 1:(5/4 -1/x) Vßi 1 2/3 . 1/x 1/x 2/3 Vßi 2 1/2(5/4-1/x) 1/2 Pt: KLCV NS t Vßi 1 1 1/x x Vßi 2 1 1/y y Vßi 1 2/3. 1/x 1/x 2/3 Vßi 2 1/2 .1/y 1/y 1/2 Pt1: Pt 2: Bµi 7: a. 1 Èn b. 2 Èn t NS KLCV Tæ 2 x 1/x 1 Tæ 1 2 tæ 4 1/12 3/4 Tæ 2 10 1/x 10/x Pt: t NS KLCV Tæ 2 x 1/x 1 2 tæ 4 1/12 3/4 Tæ 2 10 1/x 10/x Tæ 1 y 1/y 1 Pt1: Pt 2: Bµi 8: C¸ch lµm t­¬ng tù. * Cñng cè: - C¸c ®¹i l­îng ®· biÕt. - C¸c ®¹i l­îng cÇn t×m. - Mèi liªn quan gi÷a c¸c ®¹i l­îng. - C¸c c«ng thøc. Bµi 8: ¤n tËp gãc t¹o bëi tiÕp tuyÕn vµ d©y cung A. KiÕn thøc c¬ b¶n: §Þnh lý vÒ gãc t¹o bëi tiÕp tuyÕn vµ d©y cung. B. Bµi tËp. Bµi 1: Cho 2 ®­êng trßn (O) vµ (O’) tiÕp xóc ngoµi t¹i A. Mét c¸t tuyÕn kÎ qua A c¾t ®­êng trßn (O) ë B, c¾t ®­êng trßn (O’) ë C. KÎ c¸c ®­êng kÝnh BD vµ CE cña 2 ®­êng trßn (O) vµ (O’) a. Chøng minh D; A; E th¼ng hµng. b. Chøng minh BD // CE c. NÕu ®­êng trßn (O) b»ng ®­êng trßn (O’) th× tø gi¸c BDCE lµ h×nh g×? V× sao? Bµi 2: Cho ®­êng trßn (O) ®­êng kÝnh AB vµ 1 ®iÓm C trªn nöa ®­êng trßn. Qua C kÎ ®­êng th¼ng // AB c¾t ®­êng trßn ë D; kÎ AH ^ CD. Chøng minh: a. AH lµ tiÕp tuyÕn cña ®­êng trßn (O) b. Gãc ACD = DAH c. AH2 = HC. HD Bµi 3: Cho nöa ®­êng trßn (O) ®­êng kÝnh AB. TiÕp tuyÕn Ax. Gäi C lµ 1 ®iÓm trªn nöa ®­êng trßn. Tia ph©n gi¸c cña gãc Cax c¾t nöa ®­êng trßn ë E. AE vµ BC c¾t nhau ë K. a. D ABK lµ D g×? V× sao? b. Gäi I lµ giao ®iÓm cña AC vµ BE. Chøng minh KI // Ax c. Chøng minh OE // BC Bµi 4: Tõ mét ®iÓm B bÊt kú trªn ®­êng trßn t©m O kÎ ®­êng vu«ng gãc víi BH víi tiÕp tuyÕn cña ®­êng trßn (O) t¹i A cho tr­íc. Gäi I lµ giao ®iÓm thø 2 cña BH víi ®­êng trßn (O). Gäi B’ lµ ®iÓm ®èi xøng cña B qua t©m O. a. Chøng minh cung IA = AB b. Chøng minh BA lµ ph©n gi¸c cña gãc OBH c. Khi B di ®éng trªn ®­êng trßn. Chøng minh ®­êng ph©n gi¸c ngoµi cña gãc OBH ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh. d. Gäi M lµ giao ®iÓm cña BH víi ®­êng ph©n gi¸c cña gãc AOB, khi B di ®éng, M ch¹y trªn ®­êng nµo? Bµi 5: Cho ®­êng trßn (O) d©y AB. Gäi M lµ ®iÓm chÝnh gi÷a cña cung AB vµ C lµ ®iÓm bÊt kú n»m gi÷a A, B. Tia MC c¾t ®­êng trßn (O) t¹i D. a. Chøng minh CM . MD = MA2 b. Chøng minh D MBC ®ång d¹ng D MDB c. Chøng minh MB lµ tiÕp tuyÕn cña (O1) ®i qua 3 ®iÓm B, C, D t¹i B. d. Chøng minh khi C di ®éng trªn AB th× tæng c¸c b¸n kÝnh O1 vµ O2 ®i qua 3 ®iÓm A, C, D kh«ng ®æi. Bµi 6: Cho 2 ®­êng trßn ®ång t©m vµ 1 ®iÓm M cè ®Þnh trªn ®­êng trßn nhá. Qua M kÎ 2 ®­êng th¼ng vu«ng gãc víi nhau. Mét ®­êng th¼ng c¾t ®­êng trßn nhá ë A kh¸c M, ®­êng th¼ng kia c¾t ®­êng trßn lín ë B vµ C. Khi 2 ®­êng trßn nµy quay quanh M mµ vÉn vu«ng gãc víi nhau. Chøng minh: a. Tæng MA2 + MB2 + MC2 kh«ng ®æi. b. Träng t©m tam gi¸c ABC lµ ®iÓm cè ®Þnh. * Ph­¬ng ph¸p: D Bµi 1: C a. Chøng minh AE ^ BC; AD ^ BC => AE º AD cm: Gãc CAE + DAB = CAD + EAB = 1800 O’ A O b. cm CE // BD ó cm gãc C = B = ¢1 = ¢3 d. Tø gi¸c BDEC lµ h×nh thoi. B Bµi 2: a. cm AH lµ tiÕp tuyÕn cña ®­êng trßn (O) C D H => cm AH ^ AB t¹i A b. cm gãc ACD = DAH (ch¾n cung DA) c. cm AH2 = HC . HD B O A ó cm D AHD ®ång d¹ng D CHA K x E Bµi 3: I C a. D ABK lµ D c©n ó ¢ = B b. cm IK // Ax ó xm IK ^ AB hay KI lµ ®­êng cao cña D AKB A O B c. cm OE // BC ó cm gãc B1 = B2 = £1 B I M Bµi 4: H a. Cm IA = cung AB’ ó cm IA = AB’ ó cm D IAB’ c©n t¹i A ó cm AO lµ trung trùc lµ trung tuyÕn. A’ O A b. cm BA lµ ph©n gi¸c OBH ó cm gãc HBA = gãc ABO’ c. cm ph©n gi¸c ngoµi BA’ cña gãc OBH B’ qua 1 ®iÓm cè ®Þnh ó A’Î ®­êng trßn (O) Ta cã BA’ ^ BA (t.c tia ph©n gi¸c 2 gãc kÒ bï) => gãc A’BA = 900 => AA’ lµ ®­êng kÝnh cña (O) => A’