Giáo án Các vấn đề phổ biến của giải tích hàm một biến

Các vấn đề phổ biến của giải tích hàm một biến : Đạo hàm : Đ/n ; tính chất . Các ứng dụng đầu tiên Tiếp tuyến : Đ/n ; pp viết pttt, các bài toán liên quan đến tiếp tuyến. Sự biến fthiên của hàm số . Các thuật ngữ : hs đồng biến , hs nghịch biến , hs đơn điệu . Đạo hàm dương , đạo hàm âm , đạo hàm không âm , đạo hàm không dương . đ k cần để hàm số đơn điệu : Đl : y= f(x) , có txđ D = R . I là khoảng con của D . +) hs đb trên I thì f’(x) . +) h s nb trên I thì f’ (x) +) hàm số không đổi trên I thì f’(x) =0 trên I. Đ k đủ để hàm số đơn điệu : ĐL2: : y= f(x) , có txđ D = R . I là khoảng con của D. +) f’(x) >0 trên I thì y= f(x) đb trên I. +) f’ (x) <0 trên I thì y= f(x) nb trên I. +) f’(x) =0 trên I thì y= f(x) không đổi trên I. Cm : định lý la gơ răng : y=f (x) l tục trên [a;b] . y= f(x) có đạo hàm trên khoảng (a;b) . khi đó tồn tại số c thuộc khoanh (a;b) sao cho : Các VD : VD1 : xét cbt của hàm số : Y =. VD2 : xét cbt của hàm số : y = -x3 + 3x +10 . VD3 : cmr hs y = f(x) = 2x + sin x đồng biến trên tập x định . VD4: Khảo sát sự biến thiên của hàm số ; Y = . Chú ý : 1)Mở rộng định lý 2 ta có định lý 3: y=f(x) có txđ D . I là tập con của D. +) f’(x) không âm trên I, bằng O tại hữu hạn điểm thì h s đb trên I. +) f’(x) không dương trên I , bằng 0 tại hữu hạn điểm trên I thì h s nb trên I. VD : cm hs y= x3 đb trên R . 2) Đk để hs đ đ trên một tập : VD : ( ĐH thủy lợi HN năm 1997) Tìm m để hs đb trên toàn bộ txđ : Y=. Đk để một tam thức bậc hai luôn giữa một dấu trên R . T(x)= t(x) a + - Chú ý : nếu a chưa khác 0 thì phải xét th a bằng 0. Cực tri hàm số: Thuật ngữ : cực trị , cực tiểu , cực đại . lân cân , khoảng . Gtln , gtnn địa phương . người đẹp địa phương . Đạo hàm đổi dấu . đk cấn để có cực tri , đk đủ để có cực tri . Dấu hiệu nhận biết cực trị. Điểm cđ , điểm ct : Đ/N : y=f(x) có txđ là D. +) x 0 đgl điểm cđ của hàm số f nếu tồn tại một khoảng K của x0 (K. sao cho : f(x) .Khi đó gths tại x đgl gtcđ , k hiệu : fcđ hay ycđ và x =xcđ . +) x đgl điểm ct của hàm số f nếu tồn tại một khoảng K của x ( K sao cho : f (x) (x0) ,. Khi đó gths tại x0 đgl gtcđ , khí hiệu là fcđ hay ycđ . và x0 =xcđ. b) Đk cần để h/s có cực trị : Đl pec ma : nếu x0 : c trị , tồn tai f’(x0) thì f’(x0)=0. Cm : pp giới hạn .chuyển về cm f’(x0) f’(x0) Chú ý : hàm số có cực trị tại xo thì f’(x0)=0. hoặc ko tồn tại f’(x0). c ) Đk đủ để có cực trị : Dấu hiệu I : Đl : y= f(x) có Txđ D ; x0 thuộc D . i ) đạo hàm đổi dấu từ dương sang âm khi x đi qua x0 thì xo : cđ . ii ) đạo hàm đổi dấu từ âm sang dương khi x đi qua x0 thì xo : ct. Dấu hiệu II Đl : Y= f(x) có Txđ D . ; x0 thuộc D . Nếu f’’ (x0) +) f’’ (x0) >0 thì x0 là điểm CT. +) f’’ (x0)<0 thì x0 là điểm CĐ . pp tìm cực trị : Nếu xét dấu f’ thuận tiện thì ta dùng dấu hiệu I .còn ngược lại ta dùng dấu hiệu II . Các ví dụ : VD1 : tìm cực tri hàm số :