Giáo án Đại số 10 nâng cao - Tiết 40 ,41, 42 - Bài 1: Bất Đẳng Thức Và Chứng Minh Bất Đẳng Thức

Tiết 40 ,41, 42 §1 BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC A . Mục tiêu : Kiến thức: Khái niệm bất đẳng thức và ứng dụng Kỹ năng : Biết cách chứng minh bất đẳng thức và ứng dụng Thái độ : Tích cực xây dựng bài học , tiếp thu và vận dụng kiến thức sáng tạo Tư duy : Phát triển tư duy logic toán học , suy luận và sáng tạo B . Chuẩn bị : Sách giáo khoa , bài tập C . Tiến trình bài dạy: Oån định lớp : Dạy bài mới : T Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh Lưu bảng Giả sử avà b là 2 số thực .Các mệnh đề : “ a > b” , “ a < b” ”” ,”. Gọi là những bđt Một bđt cũng có thể đúng hoặc sai Chứng minh bđt là chứng minh bđt đó đúng Ví dụ 1: Không dùng bảng số hoặc máy tính ,hãy so sánh 2 số và 3 Ví dụ 2: Chứng minh rằng : Ví dụ 3: Chứng minh rằng nếu a,b,c là đôï dài 3 cạnh của một tam giác thì : (b +c- a)(c +a-b)(a+b-c) CM : Ta có : |a + b| |a| + |b| (a + b)2 + 2|ab| + ab |ab| Đây là bđt đúng nên ta có điều phải chứng minh Phát biểu định lý bằng lời ? Gv hướng dẫn hs cm định lý Đẳng thức xảy ra khi nào? Yêu cầu hs tính OD và CH theo a,b? Ví dụ 4: Chứng minh rằng nếu a, b, c là 3 số dương bất kì thì : ++ 6. Chứng minh : Giả sử hai số dương x và y có tổng x + y = S không đổi. Khi đó nên xy . Đẳng thức xảy ra khi x= y. Do đó tích xy đại giá trị lớn nhất là bằng khi x = y Ví dụ 5 : Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số : f(x) = x + với x > 0. Số được gọi là trung bình cộng, còn số được gọi là trung bình nhân của ba số a, b, c. Chú ý : Bất đẳng thức trên còn có dạng : a+b+c 3 (a 0,b 0,c 0) Hãy phát biểu định lý này bằng lời? Ví dụ 6: Chứng minh rằng nếu a,b,c là 3 số dương thì : Khi nào xảy ra đẳng thức? H3: Phát biểu kết quả tương tự hệ quả ở phần a) cho trường hợp ba số dương * Suy ra từ tính chất bắc cầu *cộng, nhân vào 2 vế của bdt 1bt thì ta được 1 bđt tương đương * Cộng vế với vế 2 bđt cùng chiều thì ta được 1 bđt cùng chiều *2 vế của bđt không âm, sau khi lấy căn bậc 2 hai vế ta được bđt tương đương cùng chiều Giải : giả sử do 2 vế của bđt đều dương nên vô lí. vậy Giải : x2 – 2x + 2 > 0 Hiển nhiên đúng với mọi x nên ta có bđt cần chứng minh Giải: Ta có : - (b – c)2 = (a – b + c)(a + b – c) - (c – a)2 = (b – c + a)(b + c – a) - (a – b)2 = (c – a + b)(c + a – b) nhân các vế tương ứng của 3 bđt trên ta được: (b + c – a)2.(c + a – b)2.(a + b – c)2 Lấy căn bậc 2 hai vế ta được bđt cần cm H1: sử dụng bđt vừa cm và đẳng thức : để cm bđt Giải Trung bình cộng của hai số không âm không nhỏ hơn trung bình nhân của chúng. CM : -=(a +b -2) = 0. Do đó . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ( -)2 = 0 tức a = b H2: Trong Hình 4.1, cho AH = a, BH = b. Hãy tính các đoạn OD và HC theo a và b. Từ đó suy ra bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân của a và b. Giải : Vì Giải : Ta có ++= + + + + + = Giải : Do x > 0 nên ta có f(x) = x+ Và f(x) = 2x = Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) = x+ với x > 0 là f() = 2. HS: Trung bình cộng của 3 số không âm lớn hơn hoặc bằng trung bình nhân của chúng . Trung bình côïng của 3 số không âm bằng trung bình nhân của chúng khi và chỉ khi 3 số đó bằng nhau Giải : Vì a,b,c là 3 số dương nên : a + b + c Do đó : = 9 Đt xảy ra khi và chỉ khi : Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c HS: _ Nếu 3 số dương thay đổi nhưng có tổng không đổi thì tích của chúng lớn nhất khi và chỉ khi 3 số đó bằng nhau . _ Nếu 3 số dương thay đổi nhưng có tích không đổi thì tổng của chúng nhỏ nhất khi và chỉ khi 3 số đó bằng nhau 1.Ôn tập và bổ sung tính chất của bất đẳng thức: Một số tính chất đã biết : a > b và b > c a > c Nếu c>0 thì a > b ac > bc Nếu c b ac < bc Ta có hệ quả: Qui ước : Bất đẳng thức A > B (A,B là những biểu thức chứa biến) mà không có nêu điều kiện đối với các biến thì ta hiểu rằng bđt xảy ra với mọi giá trị của biến thuộc R 2. Bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối: Từ định nghĩa ta suy ra tính chất sau: với mọi a R |x| 0) |x| > ax a (với a > 0) Ta có bđt quan trọng khác : |a| - |b| |a + b| |a| + |b| (với mọi a, b R) 3. Bất đẳng thức giữa TB cộng và TB nhân: a) Đối với hai số không âm Định lý: , ( a 0, b 0) Đẳng thức xảy ra khi a=b Hệ quả : _ Nếu hai số dương thay đổi nhưng có tổng không đổi thì tích của chúng lớn nhất khi và chỉ khi hai số đó bằng nhau _ Nếu hai số dương thay đổi nhưng có tích không đổi thì tổng của chúng nhỏ nhất khi và chỉ khi hai số đó bằng nhau Ứng dụng: - Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng chu vi, hình vuông có diện tích lớn nhất. -Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng diện tích , hình vuông có chu vi nhỏ nhất b) Đối với ba số không âm Định lý: , ( a0,b 0, c 0) = a= b = c D . Luyện tập và củng cố : _ Nhắc lại các t/c của bđt và bđt về giá trị tuyệt đối , bất đẳng thức Côsi _ luyện tập tại lớp các bài : 3 , 5, 6, 7, 8 trang 110 SGK E . Bài tập về nhà: Làm bài 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20 trg 112 sgk