Giáo án Đại số 10 - Số phức
I. LÝ THUYẾT
1. Mỗi biểu diễn dạng
, , 1 z a bi ab i gọi là một số phức, a gọi là phần thực, b gọi
là phần ảo.
2. Cho các số phức
3. Mỗi số phức , z a bi ab được biểu diễn bởi một điểm M ; ab trên mặt phẳng tọa
độ.
Bạn đang xem nội dung tài liệu Giáo án Đại số 10 - Số phức, để tải tài liệu về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
Hoàng Trường Giang Trường THPT Thượng Lâm – Tuyên Quang
1
SỐ PHỨC
I. LÝ THUYẾT
1. Mỗi biểu diễn dạng 2, , 1z a bi a b i gọi là một số phức, a gọi là phần thực, b gọi
là phần ảo.
2. Cho các số phức ' ' ',z a bi z a b i . Ta có định nghĩa:
'
'
'.
a a
z z
b b
3. Mỗi số phức ,z a bi a b được biểu diễn bởi một điểm M ;a b trên mặt phẳng tọa
độ.
4. Môđun của số phức ,z a bi a b là số thực 2 2z a bi a b .
5. Số phức liên hợp của số phức ,z a bi a b là số phức z a bi .
6. Phép cộng và trừ hai số phức ,a bi c di được định nghĩa theo quy tắc cộng, trừ đa thức:
a bi c di a c b d i .
7. Phép nhân hai số phức ,a bi c di được định nghĩa theo quy tắc phép nhân đa thức, với lưu
ý 2 1i .
8. Phép chia hai số phức
a bi
c di
được tính bằng:
2
a bi c dia bi
c di c di
với 0c di .
9. Trong tập các số phức căn bậc hai số thực âm a là các số phức i a
10. Xét phương trình bậc hai 2 0 , ,ax bx c a b c và biệt số 2 4b ac .
+) 0 phương trình có các nghiệm thực 1,2
2
b
x
a
;
+) 0 phương trình có các nghiệm phức 1,2
2
b i
x
a
Hoàng Trường Giang Trường THPT Thượng Lâm – Tuyên Quang
2
II. BÀI TẬP
1. Các phép toán về số phức.
Bài 1. Tính.
a) 2 3 6 7 ;z i i b) 2 9 5 4 .z i i
Giải.
a) 2 3 6 7 2 6 3 7 4 4z i i i i .
b) 2 9 5 4 2 5 9 4 3 13z i i i i .
Bài 2. Tính.
a) 3 4 3 2 4 7i i i ; b) 7 5 1 3 2i i i ;
c)
2
3 4 5 7i i ; d) 2 3 2 5 4i i i ;
e) 2 4 5 2 3 4 6i i i i ; g)
3 2
3 1 2i i .
Giải.
a) 3 4 3 2 4 7 3 4 7 9i i i i i
221 27 28 36
15 27. 1 28
55 15 .
i i i
i
i
b) 27 5 1 3 2 7 7 5 5 3 2i i i i i i i
7 2 5 3 2
9.
i i
c)
2
3 4 5 7 7 24 5 7i i i i
133 169 .i
d) 2 3 2 5 4 4 7 5 4 8 51i i i i i i .
e) 2 4 5 2 3 4 6 18 16 14 27 4 43i i i i i i i .
g) 3 2 2 3 23 1 2 27 27 9 1 4 4i i i i i i i
27 27 9 1 4 4
21 30 .
i i i
i
Bài 3. Tính.
a)
5 5 20
3 4 4 3
i
i i
; b)
3 7 5 8
2 3 2 3
i i
i i
;
c)
5 7
3 4
6 5
i
i
i
; d)
3 2
3
2
i
i
i
.
Giải.
a)
5 5 3 4 20 4 35 5 20 5 35 80 60 75 25
3 .
3 4 4 3 3 4 3 4 4 3 4 3 25 25 25
i i ii i i i
i
i i i i i i
Hoàng Trường Giang Trường THPT Thượng Lâm – Tuyên Quang
3
b)
3 7 2 3 5 8 2 33 7 5 8 27 5 34 61 4
.
2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 13 13 13 13
i i i ii i i i
i
i i i i i i
c)
5 7 6 85 7 26 82 163 159
3 4 3 4 3 4
6 8 6 8 6 8 100 50 50
i ii i
i i i i
i i i
.
d)
3 2 23 2 4 7 4 22
3 3 3 .
2 2 2 5 5 5
i ii i
i i i i
i i i
Bài 4: Thực hiện phép chia các số phức sau:
a)
1
(1 )(4 3 )
z
i i
; b)
5 6
4 3
i
z
i
; c)
3 4
4
i
z
i
Giải.
a)
2 2
1 1 7 7 7 1
(1 )(4 3 ) 7 (7 )(7 ) 7 50 50
i i
z i
i i i i i i
.
b)
2 2
5 6 ( 5 6 )(4 3 ) 2 39 2 39
4 3 (4 3 )(4 3 ) 4 3 25 25
i i i i
z i
i i i
.
c)
2
3 4 (3 4 )(4 ) 16 13 16 13
4 (4 )(4 ) 4 1 17 17
i i i i
z i
i i i
.
Bài 5. Cho số phức z =
3 1
2 2
i . Tìm các số phức sau: z ; z2
Giải.
Vì
3 1
2 2
z i nên
3 1
2 2
z i
Ta có
2
2 23 1 3 1 3 1 3
2 2 4 4 2 2 2
z i i i i
.
Bài 6. Tính giá trị biểu thức
2 2
1 3 1 3P i i (TN 2008 – lần 1).
Giải.
2 2
2 21 3 1 3 1 2 3 3 1 2 3 3 2 6 4.P i i i i i i
Bài 7. Tìm số phức liên hợp của:
1
(1 )(3 2 )
3
z i i
i
Giải:
Ta có
3 3 53 9
5 5
(3 )(3 ) 10 10 10
i i
z i i i
i i
. Suy ra số phức liên hợp của z là:
53 9
10 10
z i .
Hoàng Trường Giang Trường THPT Thượng Lâm – Tuyên Quang
4
Bài 8. Cho số phức 4 3z i . Tìm số phức
2z z
z
Giải.
22 4 3 4 3 11 27z z i i i
2
2 2
11 27 4 311 27 37 141
4 3 4 3 25
i iz z i i
iz
Bài 9. Tìm số phức sau:
15
1z i .
Giải.
Ta có:
2 14 7 71 1 2 –1 2 1 2 128. 128i i i i i i i .
Nên
15 14
1 1 1 128 1 128 1 128 –128 .z i i i i i i i
Bài 10. Tìm phần thực và phần ảo của số phức sau:
a)
4 2
3
i
z i
i
; b)
2
7 2 3 2z i i ; c)
7 3 1 5
1 3 2
i i
z
i i
Giải
a) Ta có
4 2
3 3 4 2 1 3
i
z i i i i i
i
.
Vậy
4 2
3
i
z i
i
có phần thực là 1 và phần ảo là 3.
b) Ta có
2 27 2 3 2 7 2 9 12 4 2 10z i i i i i i .
Vậy
2
7 2 3 2z i i có phần thực là 2 và phần ảo là 10.
c) Ta có
7 3 1 1 5 3 27 3 1 5 10 4 13 13
4
1 3 2 1 1 9 4 2 13
i i i ii i i i
z i
i i
.
Vậy
7 3 1 5
1 3 2
i i
z
i i
có phần thực là 4 và phần ảo là -1.
Bài 11. Tìm phần ảo của số phức z thỏa mãn
2
2 1 2z i i .
(ĐH – A 2010 CB).
Giải.
2
2 1 2 1 2 2 1 2 5 2 5 2z i i i i i z i .
Số phức z có phần ảo bằng 2 .
Bài 12. Cho các số phức 1 21 2 , 2 3z i z i . Xác định phần thực, ảo của số phức 1 22z z
(TN 2010 – CB).
Giải.
Ta có 1 22 1 2 2 2 3 3 8z z i i i .
Phần thực: -3; phần ảo: 8.
Bài 13. Cho các số phức 1 22 5 , 3 4z i z i . Xác định phần thực, ảo của số phức 1 2.z z
(TN 2010 – NC).
Hoàng Trường Giang Trường THPT Thượng Lâm – Tuyên Quang
5
Giải.
Ta có 1 2. 2 5 3 4 26 7z z i i i .
Phần thực: 26; phần ảo: 7.
Bài 14. Tìm phần thực và phần ảo của số phức
3
1 3
1
i
z
i
(ĐH – B 2011 NC).
Giải.
3
3
3
1 3 11 3
1 1 1
1 3 3 1
2
i ii
z
i i i
i
3 2 2 3
2 31 1 3 3 1 3 1 3 3 1 3 1 3 1 3
8
1
10 6 3 6 1 3 6 1 3 10 6 3
8
i i i
i i
1
16 16
8
2 2
i
i
Chú ý: Nếu áp dụng dạng lượng giác của số phức thì tính toán sẽ nhanh hơn.
Bài 15
a) Cho số phức
1
1
i
z
i
tính giá trị của 2010z .
b) Chứng minh: 2010 2008 20063(1 ) 4 (1 ) 4(1 )i i i i .
Giải.
a) Ta có:
21 (1 )
1 2
i i
z i
i
nên z 2010 2010 4.502 2 4.502 2 1( 1) 1i i i i .
b) Ta có:
2010 2008 2006 4 2
4 2
3(1 ) 4 (1 ) 4(1 ) 3(1 ) 4 (1 ) 4
(1 ) 4 4 4 4 4.
i i i i i i i
i i
Bài 16
a) Tính tổng sau: 2 3 20091 ..i i i i .
b) Cho 2 số phức z1, z2 thỏa mãn 1 2 1z z ; 1 2 3z z tính 1 2z z .
Giải.
a) Ta có 2010 2 3 20091 (1 )(1 .. )i i i i i i
mà: 20101 2i nên: 2 3 20091 ..i i i i =
2
1
1
i
i
.
b) Đặt 1 1 1z a b i ; 2 2 2z a b i .
Hoàng Trường Giang Trường THPT Thượng Lâm – Tuyên Quang
6
Từ giả thiết ta có:
2 2 2 2
1 1 2 2
2 2
1 2 1 2
1
( ) ( ) 3.
a b a b
a a b b
Suy ra: 2 21 1 2 2 1 2 1 2 1 22( ) 1 ( ) ( ) 1 1a b a b a a b b z z .
2. Số phức bằng nhau.
Bài 1. Tìm các số thực x, y biết:
a) 2 1 5 4 3 2x i y i
b) ( 2) 4 3 ( 1)x i y i ;
c) 2 1 3 2 2 4x y i x y i ;
d) 1 3 1 2 1x y i x y x i .
Giải.
a)
5
2 1 4 2
2 1 5 4 3 2
75 3 2
3
x
x
x i y i
y
y
b)
2 3 3 2
( 2) 4 3 ( 1)
4 ( 1) 3.
x x
x i y i
y y
c)
2 1 2 1
2 1 3 2 2 4
3 2 4 2.
x x x
x y i x y i
y y y
d)
3
1 3 4 1
1 3 1 2 1 2
1 (2 1) 2 2
5.
x x y x y x
x y i x y x i
y x x y
y
Bài 2. Tìm các số thực x, y biết:
a) 5 1 2 1 2 5x y i y y i ;
b) 3 1 2 2 2 7x x i y y i ;
c) 2 5 1 1 5x x i y y i .
Giải.
a)
5 1 2y 8
5 (1 2 ) 1 2 ( 5)
1 2 5 2.
x x
x y i y y i
y y y
b)
9
3 2 2y 2 3 (1 ) 2 2 (2 7)
1 2 7 7
4
x
x
x x i y y i
x y
y
Hoàng Trường Giang Trường THPT Thượng Lâm – Tuyên Quang
7
c)
10
2 5 1 3
2 5 (1 ) 1 ( 5)
1 5 8
3
x
x y
x x i y y i
x y
y
Bài 3. Tìm các số thực x, y thỏa mãn:
a) 1 2 1 2 1i x y i i ;
b)
3 3
3 3
x y
i
i i
;
c) 2 2 2 214 3 3 2 4 3 2
2
i x i xy y x xy y i .
Giải.
a)
1 2 1 2 1 2 2 1 1
1
2 2 1 1
1
1
i x y i i x x y i
x
x y
x
y
b)
3 3
3 3 3 3 10
3 3
3 6 10
3 6 0
10
6
10
2
8
x y
i x i y i i
i i
x y x y i i
x y
x y
x y
x y
x
y
c)
2 2 2 2
2 2 2 2 2
2 2 2
2 2
1
4 3 3 2 4 3 2
2
1
4 3 3 2 4 3 2
2
1
4 3 4
2
3 2 3 2
i x i xy y x xy y i
x xy x xy i y x xy y i
x xy y x
x xy xy y
2 2
2 2
9
3 4 0
2
3 2 0 *
x xy y
x xy y
Hoàng Trường Giang Trường THPT Thượng Lâm – Tuyên Quang
8
2 2 2 29 3 4 3 2
2
x xy y x xy y
2 215 4 6 0
2
2
3
6
5
x xy y
x y
x y
Thế lần lượt vào * ta được nghiệm duy nhất
0
0
x
y
Bài 4. Tìm các số thực x, y sao cho z x yi thỏa mãn 3 18 26z i .
Giải.
Ta có:
33
3 2 2 3
3 2
2 3
18 26 18 26
3 3 18 26
3 18
3 26
z i x yi i
x xy x y y i i
x xy
x y y
Đặt x ty ta có hệ
3 33 3 3 3
22 3 3 2 3
3 183 18 3 18 1
3 1 26 33 26 3 1 26
t t yt y ty t t
t
tt y y t y
.
Từ đó ta có
3
1.
x
y
3. Giải phương trình phức.
Trong phần này chúng ta sẽ vận dụng các phép tính về số phức và định nghĩa hai số phức
bằng nhau để giải quyết bài toán.
Bài 1. Giải các phương trình sau:
a) 5 7 2z i i ;
b) 3 2
1 3
z
i
i
;
c) 3 4 5 10i z i .
Giải.
a) 5 7 2 2 5 7 7 8z i i z i i i .
b) 3 2 3 2 1 3 9 7
1 3
z
i z i i i
i
.
c)
5 10 3 45 10 25 50
3 4 5 10 1 2
3 4 3 4 3 4 25
i ii i
i z i z i
i i i
.
Bài 2. Tìm số phức x biết:
Hoàng Trường Giang Trường THPT Thượng Lâm – Tuyên Quang
9
a) (5 3 ) 2 (1 2 )(3 4 )i x i i ;
b) (3 7 ) 2 (4 )(5 2 )i ix i i ;
c) 5 3 4 3i x i .
Giải.
a) Ta có:
(5 3 ) 2 (1 2 )(3 4 ) (5 3 ) 2 11 2
2 (11 2 ) (5 3 ) 2 6
1 2
(6 ) 3 2 .
22
i x i i i x i
x i i x i
x i i
b) Ta có:
(3 7 ) 2 (4 )(5 2 ) 2 4 (5 2 ) (3 7 )
2 22 3 (3 7 )
2 19 10
19 10 10 19
2 2
i ix i i ix i i i
ix i i
ix i
i i
x
i
i
c)
4 3 11 27
5 3 4 3
5 3 34
i i
i x i x
i
Bài 3. Cho số phức z thỏa mãn điều kiện
2
1 2 8 1 2i i z i i z . Xác định phần thực
và ảo của số phức z (CĐ - 2009).
Giải.
2
1 2 8 1 2 2 2 8 1 2i i z i i z i i z i i z
2 4 1 2 8i z i z i
1 2 8
8 1 28 10 15
2 3 .
1 2 1 2 1 2 5
i z i
i ii i
z i
i i i
Số phức z có phần thực bằng 2, phần ảo bằng -3.
Bài 4. Tìm số phức z thỏa mãn
3
2 2 1z z i i .
Giải.
Giả sử z a bi . Khi đó:
3
2 2 1 2 2 11 1
3 13 9
3 13
9
13
3
9
z z i i a bi a bi i i
a bi i
a
b
a
b
Hoàng Trường Giang Trường THPT Thượng Lâm – Tuyên Quang
10
Vậy
13
9
3
z i .
Bài 5. Tìm số phức z thỏa mãn
2
3 3 2 2 .z z i i
Kết quả :
11 19
2 2
z i .
Bài 6. Tìm số phức z thỏa mãn
3
3 2 2 .z z i i
Kết quả :
15
10
4
z i .
Bài 7. Cho số phức z thỏa mãn điều kiện
2
2 3 4 1 3i z i z i . Xác định phần thực và
ảo của z. (CĐ – D 2010 CB).
Giải.
Giả sử ,z a bi a b .
2 2
2 3 4 1 3 2 3 4 1 3
2 3 3 2 4 4 8 6
i z i z i i a bi i a bi i
a b a b i a b a b i i
6 4 2 2 8 6
6 4 8
2 2 6
2
5
a b a b i i
a b
a b
a
b
Số phức z có phần thực -2, phần ảo 5.
Bài 8. Tìm số phức z thỏa mãn điều kiện
5 3
1 0
i
z
z
(ĐH – B 2011 CB).
Giải.
Giả sử ,z a bi a b .
2 2
2 2
5 3
1 0 . 5 3 5 3
5
3
1
2
3
i
z z z z i a b a bi i
z
a b a
b
a
a
b
Các số phức z thỏa mãn đề bài là 1 3 , 2 3z i z i .
Bài 9. Tìm số phức z thỏa mãn 2 3 1 9z i z i (ĐH – D 2011 CB).
Giải.
Giả sử ,z a bi a b .
Hoàng Trường Giang Trường THPT Thượng Lâm – Tuyên Quang
11
2 3 1 9 2 3 1 9
2 3 3 2 1 9
3 3 3 1 9
3 1
3 3 9
2
1
z i z i a bi i a bi i
a bi a b a b i i
a b a b i i
a b
a b
a
b
Vậy 2z i .
4. Phương trình bậc hai với hệ số thực.
Bài 1. Giải phương trình 2 4 7 0z z .
Giải.
Ta có ' 3 0 nên phương trình có hai nghiệm phức z 2 3i .
Bài 2. Giải các phương trình sau trên tập số phức.
a) 22 5 4 0x x (TN 2006).
b) 2 4 7 0x x (TN 2007 – lần 1).
c) 2 6 25 0x x (TN 2007 – lần 2).
d) 2 2 2 0x x (TN 2008 – lần 2).
e) 28 4 1 0z z (TN 2009 – CB).
g) 22 6 5 0z z (TN 2010 – BT-THPT).
Bài 3. Giải phương trình 4 3 22 – 2 1 0 1z z z z .
Giải:
Do z = 0 không là nghiệm của (1). Chia hai vế của phương trình cho 2z ta được:
2 2
2 2
2
2 1 1 1
– 2 1 0 2 1 0
1 1
2 3 0.
z z z z
z z z z
z z
z z
Đặt
1
y z
z
phương trình có dạng: y2 – 2y – 3 = 0
1
3.
y
y
Với y = -1 = z +
1
z
= -1 z =
1 3
2
i
Với y = 3 = z +
1
z
= 3 z =
3 5
2
Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm.
Bài 4. Giải phương trình:
22 24 12 0z z z z .
Giải.
Hoàng Trường Giang Trường THPT Thượng Lâm – Tuyên Quang
12
Đặt 2t z z , khi đó phương trình đã cho có dạng:
2
2
2
1 23
2
6 6 0 1 23
t 4t –12 0
2 2 0 2
1
2
i
z
t z z i
z
t z z
z
z
.
Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm như trên.
5. Môdun của số phức.
Bài 1. Cho 1 23 , 2z i z i . Tìm môdun của số phức 1 1 2z z z .
Giải.
1 1 2 3 3 2 3 7 10z z z i i i i i . Vậy 1 1 2 10z z z .
Bài 2. Tìm mô đun của số phức z, biết:
a) z (2 3 )(1 ) 4i i i ; b) 2(1 ) (2 ) 8 (1 2 )i i z i i z ;
c) (2 4 ) 2 (1 3 )z i i i ; d) 31 4 (1 )z i i .
Giải.
a) Ta có (2 3 )(1 ) 4 5z i i i i . Do đó 2 25 1 26z .
b) 2(1 ) (2 ) 8 (1 2 ) 2 5i i z i i z z i . Do đó 2 2( 2) 5 29z .
c) Ta có (2 4 ) 2 (1 3 ) 8 6z i i i i . Do đó 2 28 6 100 10z .
d) Ta có 3(1 ) 2 2i i . Suy ra: 2 21 2 ( 1) 2 5z i z .
Bài 3.
Cho số phức 3 2z i . Tìm mô đun của số phức 2z z .
Giải.
Ta có 2 8 14z z i . Do đó 2 28 14 260z .
Bài 4. Tìm mô đun của số phức 2z z biết z 3 4i .
Giải.
Ta có 2 9 4z z i . Do đó
229 4 97z .
Bài 5. Tính Modun của các số phức sau:
a) (1 2 ) 1 3z i i ; b) 3 2
1 3
z
i
i
; c)
2 1 3
1 2
i i
z
i i
.
Đáp số.
a)
10
2
5
z ; b) 130z ; c)
2 5
5
z .
Hoàng Trường Giang Trường THPT Thượng Lâm – Tuyên Quang
13
Bài 6. Cho 1 22 3 , 1z i z i . Tìm môdun của các số phức
1 2
1 2
2
3 , ,
z z
z z
z
31 23zz .
Giải.
+) 1 2 1 23 5 6 3 61z z i z z .
+) 1 2 1 2
2 2
7 1 5 2
2 2 2
z z z z
i
z z
.
+) 3 31 2 1 23z 49 6 3z 2437z i z .
Bài 7 (A - 2009). Gọi 1 2z , z là các nghiệm phức của phương trình
2 2 10 0z z . Tính
2 2
1 2z z .
Giải.
Các nghiệm phức của phương trình 2 2 10 0z z là 1,2 1 1z 1 3 z z 10i .
Vậy
2 2
1 2z 20z .
Bài 8. Cho số phức z thỏa mãn
2
1 2 4 20i z z i . Tính môđun của z.
(CĐ – 2011 CB).
Giải.
Giả sử ,z a bi a b .
2
1 2 4 20 3 4 4 20
3 4 4 3 4 20
2 4 4 4 4 20
2 4 20
4 4 4
4
3
i z z i i a bi a bi i
a b a b i a bi i
a b a b i i
a b
a b
a
b
Vậy 4 3z i và 5z .
Bài 9 (A, A1 - 2012). Cho số phức z thỏa nãm
5
2
1
z i
i
z
. Tính môđun của số phức
21 z z .
Giải.
Giả sử z a bi . Khi đó:
5 5
2 2 5 2 1
1 1
2 2 3 4 0
z i a bi i
i i a bi i i a bi
z a bi
a b a b i
Hoàng Trường Giang Trường THPT Thượng Lâm – Tuyên Quang
14
2 2 0
3 4
1
1
a b
a b
a
b
Ta có 21 2 3 13z z i .
Bài 10 (D - 2012). Cho số phức z thỏa mãn
2 1 2
2 7 8
1
i
i z i
i
. Tính môđun của số phức
1z i .
Giải.
Giả sử z a bi . Khi đó:
2 1 2 2 1 2
2 7 8 2 7 8
1 1
2 1 2 1 7 8
2 3 2 1 7 8
2 3 7
2 1 8
3
2
i i
i z i i a bi i
i i
i a bi i i i
a b a b i i
a b
a b
a
b
Ta có 3 4 5i .
Bài 11 (A - 2011). Tính môđun của số phức z biết 2z 1 1 1 1 2 2i z i i .
Giải.
Giả sử z a bi . Khi đó:
2 1 1 1 1 2 2
2 1 1 1 1 2 2
3 3 2 2 2
3 3 2
2 2
1
3
1
3
z i z i i
a bi i a bi i i
a b a b i i
a b
a b
a
b
Vậy
2
3
z
Bài 12. Cho số phức z thỏa mãn
3
1 3
1
i
z
i
. Tìm môđun của số phức z iz .
(ĐH – A 2010 NC).
Hoàng Trường Giang Trường THPT Thượng Lâm – Tuyên Quang
15
Giải.
3 2 3
1 3 1 3. 3 3. 3 3 8 9 9
4 4
1 1 1 2 2
i i i i
z i z i
i i i
.
Khi đó 4 4 4 4 8 8 8 2z iz i i i i z iz .
Bài 13 (A - 2011). Tìm tất cả các số phức z thỏa mãn
22z z z .
Giải.
Giả sử z a bi . Khi đó:
2 22 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
2
2
0
1 1
;
2 2
1 1
;
2 2
z z z a bi a b a bi
a b abi a b a bi
a b a b a
ab b
a b
a b
a b
Bài 14. Tìm số phức z thỏa mãn :
a) 2 3 4z z i ;
6 21
2
3
z i
.
b) 3 4z z i .
7
4
6
z i
.
Bài 15. Tìm số phức z thỏa mãn
22
2 . 8z z z z và 2z z .
Giải.
Giả sử ,z x yi x y .
Ta có
2 2 2 2 2 22 . 8 4( ) 8 2 1z z z z x y x y .
z+ 2 2 2 1 2z z x x .
Từ (1) và (2) tìm được: 1; 1x y .
Vậy các số phức cần tìm là: 1 , 1i i .
Bài 16. Tìm số phức z thỏa mãn 2 10z i và . 25z z (ĐH – B 2009).
Giải.
Giả sử ,z a bi a b .
Xét hệ:
Hoàng Trường Giang Trường THPT Thượng Lâm – Tuyên Quang
16
2 2
2 2
2 2
2 10 2 10
25. 25
2 1 10
25
z i a bi i
a bz z
a b
a b
2 2
4 2 20
25
a b
a b
3
4
5
0
a
b
a
b
Các số phức thỏa mãn đề bài là 3 4 , 5z i z .
Bài 17. Tìm số phức z thỏa mãn điều kiện 2z và 2z là số thuần ảo. (ĐH – D 2010 CB).
Giải.
Giả sử ,z a bi a b .
Xét hệ
2 2
2 2
2 22
2
2 2 1
10
a b
z a b a b
a b
a ba biz
a b
Các số phức thỏa mãn đề bài là 1 , 1 , 1 , 1z i z i z i z i .
Bài 18. Tìm số phức z thỏa mãn: 2 2z i biết phần ảo nhỏ hơn phần thực 3 đơn vị.
Giải.
Gọi số phức cần tìm là z a bi .
Theo bài ra ta có:
2 2
2 2
1 22 ( 1) 2 ( 2) ( 1) 4
23 2 2
1 2.
a
ba b i a b
b ab a a
b
Vậy các số phức cần tìm là: 2 2 ( 1 2) ; 2 2 ( 1 2)z i z i .
6. Biểu diễn hình học của số phức.
Bài 1. Tìm hợp các điểm biểu diễn số phức z sao cho
2 3z i
u
z i
là một số thuần ảo.
Giải.
Giả sử ,z a bi a b .
Hoàng Trường Giang Trường THPT Thượng Lâm – Tuyên Quang
17
22
22
2 32 3
1
2 3 1
1
2 3 1 3 2 1
1
a b iz i
u
z i a b i
a b i a b i
a b
a a b b a b a b i
a b
Để u là số thuần ảo thì điều kiện cần và đủ là:
2 2
2 2
22 22
2 3 1 0 1 1 5
1 1 5
3 2 1 0 2 1
; 0;1 , 2; 3
1 01 0
a a b b a b
a b
a b a b a b
a b
a ba b
Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường tròn tâm 1; 1I , bán kính 5R trừ các
điểm 0;1 , 2; 3 .
Bài 2. Tìm tập các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn hệ thức
2 3
1
4
z i
z i
.
Giải.
Giả sử ,z a bi a b .
2 2 2 2
2 2
2 2
2 3 4 12 32 3
1 1
4 14 4 1 0
3 1
4 1 0
3 1.
a b a ba b iz i
a b iz i a b
a b
a b
a b
Tập các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn hệ thức
2 3
1
4
z i
z i
là đường thẳng 3 1y x .
Bài 3. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy tìm tập hợp các số phức z thỏa mãn điều kiện
3 4 2z i (ĐH – D 2009).
Giải.
Giả sử ,z a bi a b .
2 2
3 4 2 3 4 2
3 4 2
3 4 4.
z i a bi i
a b i
a b
Trong mặt phẳng tọa độ tập các điểm ;M a b thỏa mãn phương trình
2 2
3 4 4a b
là đường tròn tâm 3; 4I bàn kính 2R .
Bài 4. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy tìm tập hợp các số phức z thỏa mãn
File đính kèm:
Phan loai bai tap so phuc co loi giai.pdf
