Đ 1. PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC
I. MỤC TIÊU.
1. Kiến thức: - Học sinh nắm được các bước chứng minh bài toán bằng phương pháp quy nạp.
2. Kỹ năng: - Học sinh chứng minh được bài toán bằng phương pháp quy nạp.
3. Tư duy: Tư duy các vấn đề của toán học một cách logic có hệ thống.
4. Thái độ: Tự giác tích cực trong học tập.
II. CHUẨN BỊ PHƯƠNG TIỆN DẠY HỌC.
1. Thực tiễn:
2. Phương tiện: Giáo án, SGK, thước kẻ, .
III. PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC. Gợi mở - vấn đáp - đan xen thảo luận nhóm
IV. TIẾN TRÌNH BÀI HỌC VÀ CÁC HOẠT ĐỘNG.
18 trang |
Chia sẻ: lephuong6688 | Lượt xem: 1052 | Lượt tải: 1
Bạn đang xem nội dung tài liệu Giáo án Đại số 11 cơ bản - Chương 3: Dãy số – cấp số cộng và cấp số nhân, để tải tài liệu về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
Chương III.
Dãy số – cấp số cộng và cấp số nhân
Ngày soạn: 05/12/2008 Tiết pp: 37-38
Đ 1. phương pháp quy nạp toán học
I. mục tiêu.
1. Kiến thức: - Học sinh nắm được các bước chứng minh bài toán bằng phương pháp quy nạp.
2. Kỹ năng: - Học sinh chứng minh được bài toán bằng phương pháp quy nạp.
3. Tư duy: Tư duy các vấn đề của toán học một cách logic có hệ thống.
4. Thái độ: Tự giác tích cực trong học tập.
II. Chuẩn bị phương tiện dạy học.
1. Thực tiễn:
2. Phương tiện: Giáo án, SGK, thước kẻ, .
III. Phương pháp dạy học. Gợi mở - vấn đáp - đan xen thảo luận nhóm
IV. Tiến trình bài học và các hoạt động.
1. ổn định:2P
2. Kiểm tra:
3. Bài mới:
Hoạt động của giáo viên
Hoạt động của học sinh
Nội dung
-Phương pháp quy nạp thường được áp dụng c/m các mđ chứa biến
n ẻN
- trường hợp thường gặp p =1,2
- giả thiết mđ đúng khi n = k gọi làgiả thiết quy nạp.
Hướng dẫn HS làm từng bước.
Với n = 1 thì VT và VP có giá trị như thế nào?
Ta có kết luận gì?
Hướng dẫn HS đặt giả thiết qui nạp. Chú ý khi thay n = k vào (1)
Gọi HS thay n = k + 1 vào (1)
Hướng dẫn HS dùng giả thiết qui nạp để cm (1) cũng đúng với n = k + 1
Cho hs làm hoạt động 1
yêu cầu hs làm theo từng bước
Bước 1 ta làm gì?
Giả thiết qui nạp của bài toán này như thế nào?
Gọi hs thay n = 2, a, k, k+1 vào đt(2)
Chú ý:
giả sử ax2 + bx + c = 0 có hai nghiệm phân biệt x1 và x2 thì được viết lại bằng
a(x - x1)(x - x2)
Bước 1 ta làm ntn
Gọi HS đặt giả thiết qui nạp
Gọi học sinh thay n = k+1 vào (3)
Hướng dẫn HS chứng minh dựa vào giả thiết qui nạp
- chú ý nắm bắt phương pháp cm bài toán bằng phương pháp qui nạp.
Thay n = 1 vào (1) ta có VT = 1, VP = 1
KL (1) đúng với n = 1
Chú ý khi thay n = k vào (1)
Thay n = k + 1 vào (1)
1 + 3 + 5 + ... + (2k – 1) + (2k + 1) = (k + 1)2
Thay n = 1 vào 2 vế của (2)
VT = 1, VP = 1
KL (2) đúng với n = 1
Đặt giả thiết qui nạp
Giả sử (2) đúng với n = k ³1
1+2+3 +.......+ k =
đi cm (2) đúng với n = k+1
Thử xem (3) có đúng với n = 1
VT = 1, VP = 1
Vậy (3) đúng với n = 1
Giả sử (3) đúng với n = k ³ 1 bất kì
Tức là :
12 + 22 + 32 +...+ k2 =
I. Phương pháp qui nạp toán học.
Để chứng minh những mệnh đề liên quan đến số tự nhiên n ẻ N* là đúng với mọi n mà không thể thử trực tiếp được thì có thể làm như sau:
Bước 1: Kiểm tra rằng mệnh đề đúng với n = 1
Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với một số tự nhiên bất kì n = k ³ 1 (gọi là giả thiết qui nạp), chứng minh rằng nó cũng đúng với n = k + 1.
Đó là phương pháp qui nạp toán học, hay còn gọi là phương pháp qui nạp.
II. Ví dụ áp dụng
1 Ví dụ 1. CMR " n ẻ N* thì
1 + 3 + 5 + ... + (2n – 1) = n2 (1)
Giải:
Với n = 1 , ta có:
VT = 1
VP = 1
Vậy (1) đúng với n = 1
Giả sử (1) đúng với n = k bất kì (k ³ 1)
Túc là: 1 + 3 + 5 + ... + (2k – 1) = k2
Ta đi cm (1) cũng đúng với n = k + 1, tức là
1 + 3 + 5 + ... + (2k – 1) + (2k + 1) = (k + 1)2
Thật vậy theo giả thiết qui nạp, ta có:
{1 + 3 + 5 +...+ (2k – 1)] + (2k + 1)
= k2 + 2k + 1 = (k + 1)2
Vậy (1) đúng với mọi n ẻ N*
Hoạt động 1.
CMR "nẻN* thì
1 + 2 + 3 + ... + n = (2)
+ n =1 ta có vt =1, vp =1
vậy mđ (1) đúng
+ Giả thiết mđ(1) đúng với n = k ³1 ,
ta có
1 + 2 + 3 +.......+ k =
ta cm mđ(1) cũng đúng với n = k+1,
tức là chứng minh
1+ 2 +3 +....+ k + (k+1) =
Tacó :
( 1 + 2 + 3 +....+ k ) + (k +1) =
= + (k +1)
=
=
Vậy đẳng thức (1) đúng với mọi n³1.
Bài 1c/ 82 SGK
CMR " n ẻ N*, ta có
12 + 22 + 32 +...+ n2 = (3)
Giải.
Với n = 1, ta có
VT = 12 = 1
VP = 1
Vậy (3) đúng với n = 1
Giả sử (3) đúng với n = k ³ 1 bất kì
Tức là :
12 + 22 + 32 +...+ k2 =
Ta cm (3) cũng đúng với n = k + 1
Tức là cm:
12+22+32+...+k2+(k+1)2=
Thật vậy theo gt qui nạp, ta có:
12 + 22 + 32 +...+ k2 + (k+1)2
= + (k+1)2
= (k + 1)
=
Vậy (3) đúng " n ẻ N*
4. Củng cố bài : Để cm một bài toán bằng pp qui nạp phải làm theo 2 bước
5. Hướng dẫn về nhà : làm các bài tập trong SGK.
Ngày soạn: 11/12/2008 Tiết pp: 39-40
Đ 2. dãy số
I. mục tiêu.
1. Kiến thức: - Nắm được định nghĩa dãy số cách chodãy số, ĐN dãy số tăng, dãy số giảm, dãy số bị chặn.
2. Kỹ năng: - Học sinh biết cách cho dãy số
- Xét được tính đơn điệu của dãy số
- Chứng minh được dãy số bị chặn
3. Tư duy: Tư duy các vấn đề của toán học một cách logic có hệ thống.
4. Thái độ: Tự giác tích cực trong học tập.
II. Chuẩn bị phương tiện dạy học.
1. Thực tiễn:
2. Phương tiện: Giáo án, SGK, thước kẻ, .
III. Phương pháp dạy học. Gợi mở - vấn đáp - đan xen thảo luận nhóm
IV. Tiến trình bài học và các hoạt động.
1. ổn định:2P
2. Kiểm tra: Nêu các bước cm bài toán bằng phương pháp qui nạp
CMR CMR "nẻN* thì 1 + 2 + 3 + ... + n =
3. Bài mới:
Hoạt động của giáo viên
Hoạt động của học sinh
Nội dung
Giỏo viờn phõn tớch diễn giải vớ dụ trong sỏch sgk , sau đú rỳt ra định nghĩa dóy số.
GV yờu cầu học sinh trả lời cõu hỏi H1
GV đưa ra ký hiệu dóy số, ký hiệu số hạng tổng quỏt.
- GV cho học sinh ghi dạng khai triển của dóy số ở Vớ dụ 1.
GV nờu chỳ ý cho học sinh về dóy số hữu hạn
.
Số hạng đầu và số hạng cuối là bao nhiêu
GV tiếp tục phõn tớch Vớ dụ 2 để học sinh hiểu hơn khỏi niệm dóy số hữu hạn
GV phõn tớch thớ dụ, giỳp học sinh hiểu cỏch cho một dóy số theo cụng thức tổng quỏt.
GV yờu cầu học sinh trả lời cõu hỏi H2.
GV kiểm tra và nhận xột
GV phõn tớch vớ dụ 3, giỳp học sinh biết cỏch cho dóy số bằng bới cụng thức truy hồi.
+ số hạng thứ hai u2 cú liờn quan như thế nào đến số hạng thứ nhất u1 ?
+ số hạng thứ ba cú liờn quan như thế nào đến số hạng thứ hai u2 ?
GV hướng dẫn cho học sinh trả lời Vớ dụ 4.
+ Theo cụng thức của vn, ta muồn tỡm vn thỡ ta cần tớnh điều gỡ?
+ Từ dú, muốn tỡm v4 như thế nào?
+ Muốn tỡm v3 bằng cỏch nào?
GV đưa ra một dóy số (un) với un = n3, sau đú yờu cầu học sinh so sỏnh un và un+1. Từ đú đưa ra định nghĩa dóy số tăng cũng như dóy số giảm.
GV cho học sinh dựa vào định nghĩa để nhận biết:
Dóy số (un) với un= là dóy số tăng hóy dóy số giảm?
GV nêu chú ý
Cho ví dụ:
Viết dạng khai triển của dãy số sau un = (-3)n
Chia nhúm học tập
+GV yờu cầu mỗi nhúm học sinh tự cho một dóy số tăng, một dóy số giảm, dóy số khụng tăng khụng giảm.
+ GV theo dừi và yờu cầu đại diện nhúm phỏt biểu, nhúm cũn lại nhận xột.
+ GV nhận xột đỏnh giỏ
GV cho học sinh đọc định nghĩa trong sgk, sau đú đưa ra cõu hỏi:
+ Em hiểu như thế nào là dóy số bị chặn trờn?
+ Em hiểu như thế nào là dóy số bị chặn dưới?
Gv yờu cầu học sinh dựa vào định nghĩa để xột tớnh bị chặn của cỏc dóy số sau:
a) un = n2, với mọi n.
b) un = với mọi n.
Gv theo dừi và nhận xột
- Học sinh quan sỏt và ghi nhớ
- Mỗi học sinh độc lập suy nghĩ và trả lời.
- Học sinh ghi dạng khai triển của dóy số ở vớ dụ 1.
HS chú ý định nghĩa hữu hạn
số hạng đầu u1 = -2 và số hạng cuối u6 = 13
- Học sinh quan sỏt và ghi nhớ.
- Học sinh độc lập suy nghĩ và trả lời
Học sinh lĩnh hội kiến thức
- Học sinh trả lời: vn-1 và vn-2
- Học sinh trả lời: v.3 và v2
- Học sinh trả lời: thụng qua v1 và v2 đó cho.
- Học sinh độc lập suy nghĩ trả lời
Học sinh so sỏnh un và un+1.
- Học sinh dựa vào định nghĩa để xột tớnh tăng giảm của dóy số mà giỏo viờn đưa ra.
-3, 9, -27, 81, ...
Mỗi nhúm học sinh tự suy nghĩ và cho vớ dụ.
- Đại diện mỗi nhúm tham gia phỏt biểu ý kiến, đại diện nhúm cũn lại nhận xột
Học sinh đọc định nghĩa và trả lời cõu hỏi của giỏo viờn.
- Học sinh dựa vào đ/n để trả lời.
I. Định nghĩa
1. định nghĩa dãy số
Mỗi hàm số u xác định trên tập các số nguyên dương N* được gọi là dãy số vô hạn (gọi tắt là dãy số). Kí hiệu
u: N* đ R
n u(n)
Viết dãy số dưới dạng khai triển
u1, u2, u3 ,..., un, ...
trong đó:
u1 được gọi là sô hạng đầu
un là số hạng thứ n hay số hạng tổng quát
Ví dụ: cho dãy các số tự nhiên lẻ 1, 3, 5, ...
Số hạng đầu u1 = 1
Số hạng tổng quát un = 2n – 1
2. Định nghĩa dãy số hữu hạn
Mỗi hàm số u xác định trên tập M = (1, 2, 3, ..., m) với m ẻ N* được gọi là một dãy số hữu hạn.
Dạng khai triển là: u1, u2, u3,..., um
Trong đó: u1là số hạng đầu, um là số hạng cuối
Ví dụ1:
-2, 1, 4, 7, 10, 13 là dãy số hữu hạn có số hạng đầu u1 = -2 và số hạng cuối u6 = 13
Vớ dụ 2: Hàm số u(n) = n3; xỏc định trờn tập hợp M = , là một dóy số hữu hạn. Dóy số này gồm cú 5 số hạng:
n
1
2
3
4
5
un
1
8
27
64
125
II. Cách cho một dãy số
1. Dóy số cho bằng cụng thức của số hạng tổng quỏt.
Chẳng hạn: Cho dóy số (un) với un =
H2. Tỡm số hạng u55 và u555 của dóy số trờn?
Giải
u55 =
u555 =
2. Dãy số cho bằng phương pháp mô tả (SGK)
3. Dãy số cho bằng phương pháp truy hồi
Vớ dụ 3: Xột dóy số (un) xỏc định bởi cụng thức:
Tỡm số hạng thứ 2 và số hạng thứ 3?
u2 = 2.u1 + 1 = 3
u3 = 2.u2 + 1 = 7
Vớ dụ 4: Xột dóy số (vn) xỏc định bởi: v1 = -1, v2 = 2 và
Tỡm số hạng thứ 4 ?
Giải
Ta cú: v3 =...... = 0
v4 =....... = 4
III. Biểu diẽn hình học của dãy số
IV. Dãy số tăng,dãy số giảm và dãy số bị chặn
1. Dãy số tăng, dãy số giảm
Định nghĩa 1.
Dãy số un được gọi là dãy số tăng nếu ta có un+1 > un với mọi n ẻ N*
Dãy số un được gọi là dãy số giảm nếu ta có un+1 < un với mọi n ẻ N*
Ví dụ. Dãy số un = 2n – 1 là dãy số tăng
Vì, "nẻN* xét hiệu un+1 – un , ta có
un+1 – un = 2(n+1) – (2n – 1) = 2 > 0
Chú ý: Không phải mọi dãy số đều tăng hoặc giảm.
Chẳng hạn, dãy số (un) với un = (-3)n không tăng cũng không giảm
2. Dãy số bị chặn
Định nghĩa.
Dãy số (un) được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại một số M sao cho
un Ê M, "nẻN*
Dãy số (un) được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại một số m sao cho
un ³ m, "nẻN*
Dãy số (un) được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới, tức là tồn tại một số m, M sao cho
m Ê un Ê M, "nẻN*
Ví dụ:
Dãy số un =n
dạng khai triển 1,2,3 ,.....,n,....
bị chặn dưới vì un ³1 "nẻN*
nhưng không bị chặn trên,suy ra dãy số đã
cho không bị chặn.
c/m dãy số un = (n-1)/n bị chặn
Giải :
Tacó un = (n-1)/n = 1 - 1/n < 1 "nẻN*
un = (n-1)/n ³0 "nẻN*
suy ra 0Êun Ê 1 "nẻN*
Do đó dãy số đã cho bị chặn.
4. Củng cố bài : - Phỏt biểu đ/n về dóy số.
- Phỏt biểu đ/n dóy số tăng, giảm, bị chặn
- Nờu cỏc cỏch cho một dóy số.
Cho dóy số (un) bởi cụng thức truy hồi sau:
Hỏi số hạng tổng quỏt un cú dạng như thế nào?
A) B) C) D)
5. Hướng dẫn về nhà : làm các bài tập trong SGK.
Ngày soạn: 15/12/2008 Tiết pp: 41 - 42
Đ 3. cấp số cộng – bài tập
I. mục tiêu.
1. Kiến thức: - Nắm được định nghĩa cấp số cộng, số hạng tổng quát, tính chất các số hạng và tổng n số hạng đầu của cấp số cộng
2. Kỹ năng: - Học sinh chứng minh được dãy số đã cho là cấp số cộng
- Tính được số hạng thứ n và tổng n số hạng đầu của cấp số cộng
3. Tư duy: Tư duy các vấn đề của toán học một cách logic có hệ thống.
4. Thái độ: Tự giác tích cực trong học tập.
II. Chuẩn bị phương tiện dạy học.
1. Thực tiễn:
2. Phương tiện: Giáo án, SGK, thước kẻ, .
III. Phương pháp dạy học. Gợi mở - vấn đáp - đan xen thảo luận nhóm
IV. Tiến trình bài học và các hoạt động.
1. ổn định:2P
2. Kiểm tra: Định nghĩa dãy số tăng, dãy số giảm
Xét tính đơn điệu của dãy số sau: (un) =
3. Bài mới:
Hoạt động của giáo viên
Hoạt động của học sinh
Nội dung
Thực hiện hoạt động 1 Tiếp cận và nờu định nghĩa:
GV nhấn mạnh: dóy số trờn thoả mỗi số hạng sau bằng số hạng đứng kề trước cộng với một hằng số d = 4. từ đú giỏo viờn hướng dẫn học sinh đưa ra khỏi niệm cấp số cộng.
Củng cố định nghĩa
CH1:
Cho cấp số cộng: 1; 3; 5;..., 2n-1; ...
Tỡm cụng sai của cấp số cộng đú
CH2: Cho cỏc dóy số, dóy nào là cấp số cộng, vỡ sao?
a. -6; -1; 4; 9; 14.
b. 10; 7; 4; 1; -2; -5; -8.
c. 4; 6; 9; 13; 18.
Cho nhúm 1, 4 làm cõu a; nhúm 2, 5 làm cõu b và nhúm 3, 6 làm cõu c
Thực hiện hoạt động 3 - Tiếp cận định lý
Cho CSC cú số hạng đầu là u1 và cụng sai d. Tớnh u2; u3; u4; u5 theo u1 và d.
CH2: Từ đú hóy dự đoỏn cụng thức tớnh un theo u1 và d.
Nờu định lý và cm
Cho HS về nhà chứng minh định lý 2 theo phương phỏp quy nạp
Củng cố định lý
Cho HS làm H3
Tiếp cận và lĩnh hội định lý 2
CH1:
Với cấp số cộng: 10; 7; 4; 1; -2; -5; -8; ...
Hóy nhận xột mối quan hệ giữa bộ ba số hạng liờn tiếp trong dóy. Vớ dụ: 10; 7; 4 hay 7; 4; 1 ...
CH2: Từng bộ 3 số cú một quy tắc chung, đú là quy tắc gỡ?
GV hướng dẫn học sinh hỡnh thành định lý
Hỡnh thành và chứng minh định lý: yờu cầu học sinh ỏp dụng định nghĩa để chứng minh định lý
Củng cố định lý
CH1: Cú u1; u3, tớnh u2 bằng cụng thức nào?
CH2: Muốn tớnh u4 ta cần cú dữ kiện gỡ?
Yờu cầu HS lờn bảng trỡnh bày.
Tiếp cận định lý
GV treo bảng phụ: Cho CSC gồm 7 số hạng
1
3
5
7
9
11
13
Yờu cầu HS viết cỏc số hạng của cấp số đú vào dũng dưới theo thứ tự ngược lại.
CH1: hóy nhận xột về tổng của cỏc số hạng ở mỗi cột
CH2: Tớnh tổng cỏc số hạng của cấp số cộng.
GV treo bảng phụ: Cho CSC gồm n số hạng đầu tiờn
u1
u2
u3
....
un
Cỏc cõu hỏi tương tự như trờn và tớnh tổng n số hạng đầu tiờn
: Nờu định lý
HĐTP3: hỡnh thành cụng thức tớnh tổng khỏc
CH: Từ định lý 3 ta cú thể tớnh Sn theo u1 và d?
HĐTP4: Củng cố định lý
GV hd cho học sinh làm H4
Trỡnh baứy caựch giaỷi baứi 1 ?
- Xeựt bieồu thửực un+1 – un , neỏu bieồu thửực laứ haống soỏ " n ẻ N* thỡ (un) laứ CSC vaứ ngửụùc laùi khoõng phaỷi laứ CSC
+ GV goùi hoùc sinh leõn baỷng giaỷi caõu a,b theo caựch giaỷi treõn .
H- Caõu b) coự caựch giaỷi khaực khoõng ?
- CM baống phaỷn chửựng. Giaỷ sửỷ (un) laứ CSC vụựi coõng sai d.
Ta coự: hay
Û ( >< ) ị (un) khoõng phaỷi CSC
H- Neõu caựch giaỷi baứi 2 ? - ẹửa heọ veà heọ pt 2 aồn u1 vaứ d
+ GV laàn lửụùt hoùc sinh leõn baỷng giaỷi caõu a,b.
* Lửu yự hoùc sinh caõu a) coự 2 CSC .
Hs thực hiện yờu cầu của giỏo viờn
Áp dụng định nghĩa tớnh cụng sai
Học sinh làm việc theo nhúm và cỏc nhúm 1, 2, 3 trả lời cõu hỏi. Cỏc nhúm cũn lại nhận xột.
HS sử dụng định nghĩa tớnh
u2 = u1 + d
u3 = u2 + d = u 1 +2d
HS ỏp dụng định lý 2 và làm H3.
Học sinh nhận nhiệm vụ và trả lời
HS thực hiện yờu cầu
u4= u3 + d
d = u2 - u1
Nghe hiểu nhiệm vụ và trả lời
phỏt hiện định lý và trả lời
Lên bảng gải bài 1
Lên bảng gải bài 2
I. Định nghĩa.
Cấp số cộng là một dãy sô (hữu hạn hoặc vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng ngảytước nó cộng với một số không đổi d.
Số d được gọi là công sai của cáp số cộng
un+1 = un + d với n ẻ N*
Nếu (un) là cấp số cộng với công sai d, ta có công thức truy hồi
Đặc biệt khi d = 0 thì cấp số cộng là một dãy số không đổi
Ví dụ: SGK
HĐ2: Cho un là cấp số cộng có 6 số hạng với u1 = 2, công sai d = 3. viết dạng khai triển của cấp số cộng đó.
Dạng khai triển là: 2, 5, 8, 11, 14, 17
II. Số hạng tổng quát.
Định lí.
Nếu cấp số cộng (un) có số hạng đầu u1 và công sai d thì số hạng tổng quát un được xác định bởi công thức:
Chứng minh: SGK
VD; Tính số lẻ thứ n
giải: ta có dãy số lẻ 1,3,5,7,......... lập thành một cấp số cộng với u1 = 1 và công sai d = 2
Số lẻ thứ n là: un = u1 + (n-1)d = 2n -1
III. Tính chất các số hạng của cấp số cộng
Định lí 2.
Trong một cấp số cộng, mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và cuối) đều là trung bình cộng của hai số hạng đứng kề với nó, nghĩa là
uk = với k ³ 2
un = u1 + (n – 1)d với n ³ 2
Chứng minh: SGK
IV. Tổng n số hạng đầu của một cấp số cộng
Định lí 3.
Cho cấp số cộng (un). Đặt Sn = u1 + u2 + ... + un
Khi đó: Sn =
Chú ý:
Vì un = u1 + (n – 1)d nên công thức trên có thể viết: Sn = nu1 + d
Ví dụ: SGK
Tớnh toồng cuỷa 100 soỏ haùng ủaàu cuỷa CSC bieỏt u1 = 1 ; d = -1
Giaỷi :
Ta coự S100 =[2.1+(100-1)(-1)] = -4850
Bài tập
Baứi 1 : Trong caực daừy soỏ (un) sau,daừy soỏ naứo laứ CSC. Khi ủoự cho bieỏt soỏ haùng ủaàu,coõng sai.
a) un = b) un = n2
Giaỷi :
a)
Ta coự:un+1 – un = ,n ³1 ị (un) laứ 1 CSC.Coự: u1 = 1 vaứ d =
b) Ta coự:un+1 – un = (n+1)2-n2 =2n+1 phuù thuoọc n ị (un) khoõng phaỷi laứ CSC.
Baứi 2 : Xaực ủũnh u1,d cuỷa caực CSC sau :
a) b)
Giaỷi :
a) Ta coự: Û
Û Û V
b) Ta coự
ÛÛ
4. Củng cố bài : Cho học sinh lấy cỏc vớ dụ thực tế về cấp số cộng
Từ định nghĩa: un = un-1 +d.
Học sinh biểu diễn trờn rục toạ độ. Rỳt ra nhận xột: cỏc điểm đú cỏch đều nhau
Cỏc số hạng của cấp số cộng liờn tiếp thỡ cỏch đều nhau
Một số cõu hỏi trắc nghiệm (phỏt phiếu học tập và làm theo nhúm)
Cõu 1: Số hạng thứ 6 của một cấp số cộng là -5, cụng sai d = 3. Số hạng thứ 46 của cấp số cộng này là:
A. 130 B. 136 C. 115 D. -125
Cõu 2: Hóy điền vào ? để hoàn thành cỏc phỏt biểu sau:
a1 = 7; d = 4; a2 =?; a3 = ?
a1 = 2; d = 4; a21 =?; a31 = ?
a1 = 18; a20 = 75; S20 = ?
Cõu 3: Một cấp số cộng cú 5 số hạng, số hạng cuối bằng 29. Tổng cỏc số hạng là 65 thỡ cụng sai d của cấp số cộng là:
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
Cõu 4: Nếu a, b, c là ba số hạng liờn tiếp của một cấp số cộng thỡ đẳng thức nào dưới đõy đỳng:
A. b2 = ac B. 2a = b + c C. 2b = a + c D. 2c = ab.
Phõn chia: Nhúm 1(cõu 1), nhúm 2(cõu 2a), nhúm 3(cõu 2b), nhúm 4(cõu 2c), nhúm 5( cõu 3), nhúm 6 (cõu 4)
5. Hướng dẫn về nhà : làm các bài tập trong SGK.
Ngày soạn: 21/12/2008 Tiết pp: 43 - 44
Đ 4. cấp số nhân – bài tập
I. mục tiêu.
1. Kiến thức: - Nắm được định nghĩa cấp số nhân, số hạng tổng quát, tính chất các số hạng và tổng n số hạng đầu của cấp số nhân
2. Kỹ năng: - Học sinh chứng minh được dãy số đã cho là cấp số nhân
- Tính được số hạng thứ n và tổng n số hạng đầu của cấp số nhân
3. Tư duy: Tư duy các vấn đề của toán học một cách logic có hệ thống.
4. Thái độ: Tự giác tích cực trong học tập.
II. Chuẩn bị phương tiện dạy học.
1. Thực tiễn:
2. Phương tiện: Giáo án, SGK, thước kẻ, .
III. Phương pháp dạy học. Gợi mở - vấn đáp - đan xen thảo luận nhóm
IV. Tiến trình bài học và các hoạt động.
1. ổn định:2P
2. Kiểm tra: Nêu định lí về tính chất các số hạng của cấp số cộng
Cho cấp số cộng có số hạng đầu u1 = 1 và công sai d = 2, tính tổng 10 số hạng đầu.
3. Bài mới:
Hoạt động của giáo viên
Hoạt động của học sinh
Nội dung
Nờu yờu cầu (bảng phụ)
Hướng dẫn cụ thể cho học sinh túm tắt bài toỏn:
Gọi , lập cụng thức tớnh theo
Nhấn mạnh đặc điểm của () ị ĐN
Nhấn mạnh cụng bội và số hạng đầu,
?1 Một CSN được xỏc định nếu ta biết những yếu tố nào?
Yờu cầu HS giải thớch cụ thể
Cho HS làm vớ dụ 2 tr 166
?2 Để chứng minh () là CSN ta cần c/m () thoó điều kiện nào?
Từ HĐ1 gọi HS tính số thóc ở ô thư 11
GV dẫn dắt HS liên kết các kết quả tính được từ ô thứ nhất đến ô thứ 11 đưa ra công thức tổng quát .
Cho ví dụ hướng dẫn HS áp dụng công thức số hạng tổng quát tính u5 , u10
Cho CSN -1;2;-4;8;-16;
Nờu yờu cầu và chọn HS làm
Cho CSN ()
Yờu cầu HS tỡm mối liờn hệ của ba số hạng liờn tiếp của CSN đú
Cho HS nhận xột về dấu của tớch
Cho CSN ()
Giới thiệu tổng:
Với :
?2 q.Sn =?;
Sn – q.Sn =?
Hướng dẫn học sinh làm ví dụ trong SGK
Hỏi: Cách tính q?
TL: ADCT: un = u1 .qn-1 với n = 11
suy ra q10 = 32
Vấn đáp cách giải:
- ADCT un=u1 .qn-1 tacó
u2 = u1.q
u3= u1 .q2
u4 =u1 .q3
Đưa về hai pt 2 ẩn.
Giải tương tự cho câu b
Gọi HS lên bảng giải
Hỏi: Cách tìm các số hạng csn?
Vấn đáp:
- ADCT : un=u1.qn-1
- Ta cần tìm trước u1 và q
Giải tương tự.
Gợi ý: ADCT u5=u1.q4
s5 =
Đọc đề
Tỡm cỏch tớnh số hạt thóc ở ô thứ 1 đến thứ 6
Thiết lập cụng thức sau khi được gợi ý
Nhận xột về dóy số
Phỏt biểu ĐN
Trả lời ?1
Cho vớ dụ CSN và chỉ ra SH đầu và cụng bội
Làm H1 tr 166
Trả lời ?2
Lập luận ị kết luận
Tính số thóc ở các ô mà giáo viên yêu cầu bằng định nghĩa
Rút ra công thức tổng quát
HS áp dụng công thức số hạng tổng quát tính
u5 = 32
u10 = 1024
Tớnh cỏc tớch
So sỏnh tớch đầu với và tớch sau với
Thực hiện yờu cầu
Phỏt hiện và phỏt biểu định lớ
Tớnh Sn khi q = 1
Trả lời ?2 và biểu diễn q.Sn và Sn - q.Sn theo và q
ị(1-q).Sn = ?
ị đ/lớ 3
Phỏt biểu định lớ 3
HS làm ví dụ
Học sinh giải bài 1
Hai HS lên bảng giải bài 2
HS chú ý GV hướng dẫn lên bảng giải
Hoạt động 1
I. Định nghĩa.
Cấp số nhân là một dãy số (hữu hạn hay vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều là tích của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đổi q.
Số q được gọi là công bội của cấp số nhân.
Nếu (un) là CSN với công bội q, ta có công thức truy hồi:
un+1 = un.q với n ẻ N*
Đặc biệt:
- Khi q = 0, CSN có dạng u1, 0, 0, ...,0,...
- Khi q = 1, CSN có dạng u1, u1,..., u1,...
- Khi u1 = 0, CSN có dạng 0, 0, ..., 0, ...
Ví dụ: SGK
II. Số hạng tổng quát
Định lí.
Nếu cấp số nhân có số hạng đầu u1 và công bội q thì số hạng tổng quát un được xác định bởi công thức
un = u1.qn – 1 với n ³ 2
Ví dụ: Cho CSN có số hạng đầu u1= 2 và công bội q = 2. Tính
a/ u5
áp dụng công thức un = u1.qn – 1
Với n = 5 ta có u5 = 2. 24 = 32
b/ u10
áp dụng công thức un = u1.qn – 1
Với n = 10 ta có u10 = 2. 29 = 1024
III. tính chất các số hạng của cấp sô nhân
Định lí 2.
Trong một cấp số nhân, bình phương của mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và cuối) đều là tích của hai số hạng đứng kề với nó, nghĩa là
với k ³ 2
Chứng minh: SGK
IV. tổng n số hạng đầu của một cấp số nhân
Định lí 3.
Cho cấp số nhân (un) với công bội q ạ 1. Đặt
Sn = u1 + u2 +...+ un
Khi đó
Sn =
Chú ý: Nếu q = 1
thì cấp số nhân là u1, u1,..., u1,...
Khi đó Sn = nu1
Ví dụ: SGK
Bài tập
Bài 1: Cho u1= 2 ,u11= 64. Tính q ?
Giải:
u11 = u1.q10 Û q10 = = = 32
Û q= ±
Bài 2: Tính u1 và q:
a/ Û
Û
Û
b/ Û
Bài 3: Tìm các số hạng cấp số nhân
a/ gồm 5 số hạng, u1=3, u5 = 243
Ta có u5 = u1 .q4 Û q4 = = = 81
Û q= ± 3
*Với q= 3, u2 = u1.q = 9
u3 = u2 .q = 27
u4 = u3 .q = 81
* Với q= -3, u2 = u1.q = -9
u3= u2 .q = 27
u4 =u3 .q = -81
Kết luận: có hai CSN 3, 9, 27, 81, 243
và 3, -9, 27, -81, 243
b/ 6 số hạng và u1 = 243, u6 = 1
Tương tự như trên ta có CSN:
243, 81, 27, 9, 3, 1
4. Củng cố bài : Tóm tắt lại nbài học, các công thức.
B ài 1 Cho CSN c ú , cụng thức SHTQ của CSN đú là:
a. ; b.; c.; d.
B ài 2: Cho CSN c ú q = 2 v à . Giỏ trị 9 số h ạng đầu tiờn của CSN đú là:
a. -1 ; b. -2 ; c. -3 ; d. - 4 ;
5. Hướng dẫn về nhà : làm các bài tập trong SGK.
Ngày soạn: 25/12/2008 Tiết pp: 45
ôn tập chương iii
I. mục tiêu.
1. Kiến thức: - Các kiến thức về dãy số, cấp số cộng, cấp số nhân.
2. Kỹ năng: Giải được các dạng bài tập
3. Tư duy: Tư duy các vấn đề của toán học một cách logic có hệ thống.
4. Thái độ: Tự giác tích cực trong học tập.
II. Chuẩn bị phương tiện dạy học.
1. Thực tiễn:
2. Phương tiện: Giáo án, SGK, thước kẻ, .
III. Phương pháp dạy học. Gợi mở - vấn đáp - đan xen thảo luận nhóm
IV. Tiến trình bài học và các hoạt động.
1. ổn định:2P
2. Kiểm tra:
3. Bài mới:
Hoạt động của giáo viên
Hoạt động của học sinh
Nội dung
Nêu các bước chứng minh bài toán bằng phương pháp qui nạp.
Gọi HS lên bảng chứng minh, kiểm tra vở bài tập của HS.
H- Khi n = 1 thỡ n3 + 11n coự chia heỏt cho 6 khoõng ? Vỡ sao ?
H- Trong bieồu thửực k3 + 11k + 3k2 + 3k + 12 ta coự nhoựm naứo chia heỏt cho 6 ?
H- 3k2 + 3k coự chia heỏt cho 6 khoõng ?
Coự , vỡ 3k2+3k = 3k(k+1) vửứa chia heỏt cho 2 vaứ cho 3 neõn noự chia heỏt cho 6 .
H- Neõu daỏu hieọu nhaọn bieỏt 1 daừy soỏ laứ taờng (giaỷm) ?
+ GV goùi hoùc sinh leõn giaỷi caõu a) theo caựch laọp thửụng ! ( Coứn caựch hieọu veà nhaứ )
H- Neõu caựch giaỷi baứi 3 ?
- ẹửa heọ veà heọ pt 2 aồn u1 vaứ d .
+ GV laàn lửụùt hoùc sinh leõn baỷng giaỷi caõu a,b.
* Lửu yự hoùc sinh caõu a) coự 2 CSC
Vấn đáp: Cách tìm u1 và q?
+ biến đổi u5 = u1.q4
u9 =192
+ giải hệ với hai ẩn u1 và d
Tương tự như trên.
Nêu các bước theo yêu cầu của giáo viên.
HS lên bảng chứng minh.
- Xeựt hieọu : un+1 – un
- Xeựt thửụng: ( ủk un > 0,"n ³1 )
HS lên bảng làm bài.
Học sinh lên bảng giải
HS nghe hướng dẫn của giáo viên, chuẩn bị – lên bảng làm bài
Bài 1. CMR n3 + 11n chia heỏt cho 6 vụựi n ẻ N*
Giaỷi :
Ta coự : - vụựi n = 1 : (ủuựng)
Giaỷ sửỷ mủeà ủuựng với n = k ³ 1, nghúa laứ k3+11k 6
Ta chửựng minh mủeà ủuựng n = k + 1.
VT = k3+3k2+3k+1+11k+11
= k3+11k+3k2+3k+12
Maứ: k3+11k 6 ; 12 6 ; 3k2+3k = 3k(k+1) 6
ị VT 6 .
Vaọy n3 + 11n chia heỏt cho 6 vụựi n ẻ N*
Baứi 2 : CMR caực daừy soỏ (un) sau ủaõy laứ ủụn ủieọu: un =
Giaỷi :
Vỡ un = > 0, "n ẻ N* neõn ta coự :
<<1
ị (un) laứ daừy giaỷm. Vaọy (un) laứ daừy ủụn ủieọu.
Baứi 3 : Xaực ủũnh u1,d cuỷa caực CSC sau :
a) b)
Giaỷi :
a) Ta coự: Û
Û Û V
b) Ta coự
ÛÛ
Bài 4: Xác định số hạng đầu và công bội của cấp số nhân biết:
a/ Û
Û
b/
Û
4. Củng cố bài :
5. Hướng dẫn về nhà : Ôn tập chuẩn bị kiểm tra HKI
Ngày soạn: 25/12/2008 Tiết pp: 46
ôn tập cuối học kỳ i
I. mục tiêu.
1. Kiến thức: - Hệ thống lại kiến thức đã học
2. Kỹ năng: Giải được các dạng bài tập
3. Tư duy: Tư duy các vấn đề của toán học một cách logic có hệ thống.
4. Thái độ: Tự giác tích cực trong học tập.
II. Chuẩn bị phương tiện dạy học.
1. Thực tiễn:
2. Phương tiện: Giáo án, SGK, thước kẻ, .
III. Phương pháp dạy học. Gợi mở - vấn đáp - đan xen thảo luận nhóm
IV. Tiến trình bài học và các hoạt động.
1. ổn định:2P
2. Kiểm tra:
3. Bài mới:
Hoạt động của giáo viên
Hoạt động của học sinh
Nội dung
GV: yêu cầu học sinh thực hiện
GV: cho HS nhận xét, chỉnh sửa và hoàn thiện
GV: yêu cầu hai HS lên bảng giải,
GV cùng HS chỉnh sửa và hoàn thiện
Đây là pt
File đính kèm:
- Dai so 11 Chuong III Co ban.doc