Giáo án Đại số 8 - Chương 1: Phép nhân và phép chia các đa thức

Chương 1: Phép nhân và phép chia các đa thức. A/Nhân đơn thức với đa thức - Nhân đa thức với đa thức. *) Quy tắc A(B+C) = AB + AC. (A+B)(C+D) = AC + AD + BC + BD *) Kiến thức bổ sung. - Hai đa thức đồng nhất P(x), Q(x) là 2 đa thức có giá trị bằng nhau với mọi giá trị của biến . KH: P(x) ≡ Q(x); P(x) = Q(x) "x. - Hai đa thức đồng nhát khi viết dưới dạng thu gọn với các hệ số cùng bậc bằng nhau. Đặc biệt: Nếu P(x) = a0xn + a1xn-1 + a2xn-2 +........+an-1x + an. luôn băng 0 với mọi x thì an = an-1 =...a0. Bài tập. Bài 1: Cho P(x) = )x + 56)(a x2 + bx + 25) và Q(x) = x3 + 125. a/Viết P dưới dạng một đa thức thu gọn theo luỹ thừa giảm dần của x. b/Với giá trị nào của a và b thì P(x) và Q(x) là 2 đa thức đồng nhất. Bài 2: Tìm các hệ số a, b,c biết : a/(2x – 5)(3x +b) = a x2 + x+ c b/ (a x + b) (x2 – x – 1) = a x3 + c x2 – 1 c/ (x -3)(x2 + a x + b) = x3 – 2x2 – 9. Bài 3: Tính giá trị của biểu thức sau bằng cách hợp lý: a/ A = x5 – 100x 4 + 100x3 – 100x2 + 100x – 9 với x = 99 HD: 100 = 99+ 1 => 99 = 100 – 1 = x – 1 thay vào A. b/ B = x6 – 20x5 – 20x4 – 20x3 – 20x2 – 20x + 3 với x = 21. c/. C = x7 – 26x6 + 27x5 -47x4 – 77x3 + 50x2 + x – 24 với x = 25 Bài 4: Cho x, y thuộc Z chứng minh rằng: a/ Nếu A = 5x + y 19 thì B = 4 x – 3y 19 HD: 5(5x + y) 19 => 19x - 3(5x + y) 19 => B 19 b/ Nếu C = 4x + 3y 13 thì D = 7x + 2y 13. Bài 5: a/Cho x2 – y = a; y2 – z = b và z2 – x = c ( với a, b,c là các hằng số)CMR: P = x3(z – y2) + y3(x – z2) + xyz(xyz – 1) không phụ thuộc vào các biến x, y z. HD: P = ( x2 – y)(z2 - x)(y2 – z) = abc ( chuyển sang PTĐT TNT) b/ 3(2x -1) – 5(x – 3) + 6(3x – 4) – 19x c/ 5(3xn+1 – yn-1 ) + 3(xn+1 + 5yn -1 ) – 5(3xn+1 + 2yn-1) – (3xn+1 -10). Bài 6: a/ CMR (x+1)(x+3)(x+5)(x+7) + 17 > 0 "x. b/ Cho b + c = 10 ( b,c là chữ số) CMR: ( a là chữ số). B/ Những hằng đẳng thức đáng nhớ. *) các HĐT đáng nhớ. *) Mở rộng : (a + b+ c)2 = a2 +b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac. (a - b+ c)2 = a2 +b2 + c2 -2ab - 2bc + 2ac. (a – b - c)2 = a2 +b2 + c2 - 2ab + 2bc - 2ac. (a + b - c)2 = a2 +b2 + c2 + 2ab - 2bc - 2ac. (a +b) n = S Cknan-kbk ( Ckn = ) ( khai triển tam giác pat can). an - bn = (a-b)( an-1+ an-2b + .....+.abn-2 + bn-1). an + bn = (a+b)( an-1- an-2b + ...... - abn-2 + bn-1) ( n lẻ). Bài 1: tính hợp lý: a/ (1002 + 982 + 962 + ......+42 + 22) –( 992 + 972 + 952 +......+ 32+12) HD: áp dụng HĐt thứ 3. b/ (1002 + 962 + 922 + ......+42 ) –( 982 + 942 + 902 +......+ 22) c/ 98 . 58 – ( 454 – 1)(454 + 1) d/ Bài 2 : a/ Rút gọn A = (22 + 1) (24 + 1) (28 + 1) (216 + 1) HD: (22 – 1)A = (22 - 1) (22 + 1) (24 + 1) (28 + 1) (216 + 1) b/So sánh: A = 4(32 + 1) (34 + 1) (38 + 1) và B = 316 : 2 Bài 3: a/ Cho a + b + c = 0 CMR: a3 + b3 + c3 = 3abc HD: CM: (a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 3 ( a +b)(b+ c)( c + a) b/ CM ( x – y)3 +( y – z)3 +( z – x)3 – 3( x- y)(y – z)( z- x) = 0 HD: Đặt x – y = a; y – z = b; z – x = c. c/ Cho : a3 + b3 + c3 = 3abc CM: a + b + c = 0 hoặc a = b = c. d/ Cho a + b +c = 0 CMR: Giải: Vì : a + b +c = 0 => (a + b +c)2 = 0 => a2 +b2 +c2 = -2(ab + bc + ca) (a2 +b2 +c2)2 = 4(ab + bc + ca)2 => (a2 +b2 +c2)2 = 4(a2b2 + c2b2 + a2c2) (1) Lại có: (a2 +b2 +c2)2 = 4(a2b2 + c2b2 + a2c2) => a4 + b4 + c4 + 2a2b2 + 2b2c2 + 2c2a2 = 4(a2b2 + c2b2 + a2c2) a4 + b4 + c4 = 2a2b2 + 2b2c2 + 2c2a2 ( 2) . Từ (1) và(2) suy ra đpcm. Bài 4: Cho M = 2(a4 + b4 + c4) vứi a, b, c thuộc Z CMR: M là bình phương của một số nguyên. Bài 5: a/Cho x + y = 1 . Tìm giá trị của biểu thức: A = x3 + y3 + 3xy. b/ Cho x – y = 7 Tính: x2(x + 1) – y2(y – 1) + xy – 3xy(x – y +1) – 95. c/ Cho x2 + y2 = 1 CMR biểu thức sau đây không phụ thuộc vào x, y: B = 2(x6 + y6) – 3 (x4 + y4) Bài 6: a/CMR các biểu thức sau đây không âm với mọi giá trị của biến: A= x2 -2x + 2. B = x2 + x + 1 C= 3x2 +4x + 2 b/CMR các biểu thức sau đây luôn dương với mọi giá trị của biến: D = x2 + y2 + 2x – 4y + 6. E = x2 – 4xy + 5y 2 + 10x – 22y + 100. Bài 7: Tìm x, y thoả mãn: 4x2 + 2y2 + 4xy – 4x + 2 = 0. Bài 8: a/Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: F= x2 – 5x + 1 G = 2x2 +3x +5 b/ Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: H = - x2 + 4x +1 K = 5x – 2x2 Bài 9: Cho M = a x2 + b x + c( a, b, c là các số) a/ Tìm giá trị nhỏ nhất của A khi a > 0 b/ Tìm giá trị lớn nhất của A khi a < 0. **) Chú ý : Muốn tìm Min của biểu thức A phụ thuộc vào biến ta làm theo các bước sau: B1: Đánh giá bt A ( chứng tỏ A > = k) B2: Chỉ ra A = k khi x = x0; y = y0... B3: KL min A = k khi .... Muốn tìm Max của biểu thức A phụ thuộc vào biến ta làm theo các bước sau: B1: Đánh giá bt A ( chứng tỏ A < = k) B2: Chỉ ra A = k khi x = x0; y = y0... B3: KL max A = k khi .... Làm thêm một số bài tập trong : Toán nâng cao và chuyên đề đại số 8- bài tập nang cao và một số chuyên đề toán 8 Bài10: Xác định các hệ số a, b, để đa thức A = x4 – 2x3 + 3x2 + a x + b là bình phương của một đa thức. HD : xét 2 t/h: TH1: A = ( x2 + cx + d)2 TH2: A = ( - x2 + cx + d)2 Bài 11: Cho a, b,c là 3 số không đồng thời bằng 0 . C/m có ít nhất 1 trong các biểu thức sau có giá trị dương: X = ( a – b + c)2 + 8ab Y = ( a – b + c)2 + 8cb Z = ( a – b + c)2 - 8ac Bài 33: tính tổng tất cả hệ số của các hạng tử trong khai triển nhị thức: a/ (5x – 3)6 và b/ (3x – 4y)20 HD: a/ cho x = 1 tính ( 5.1- 3)6 b/ cho x = 1; y = 1 tính ( 3.1 – 4. 1)20 C/ Phân tích đa thức thành nhân tử *) Lý thuyết: Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử: - Đặt nhân tử chung - Dùng HĐT - Nhóm các hạng tử -Phối hợp nhiều phương pháp -tách, thêm bớt các hạng tử Kiến thức bổ sung: - Nhẩm nghiệm của đa thức: Xét đa thức f(x) = anxn + an-1xn-1 +....+ a1x + a0 ( với ai thuộc Z và an khác 0). Nếu f(x) có nghiệm là x0 = p/q thì p là ước của a0 và q là ước của an. Đặc biệt:- nếu tổng các hệ số bằng không thì f(1) = 0. còn nếu tổng hệ số bậc chẵn bằng tổng hệ số bậc lẻ thì f(-1) = 0. - Khi nhẩm được nghiệm của đa thức là x = a thì ta thực hiện f(x) : (x – a)và làm tiếp tục như vậy... - Phương pháp đạt ẩn phụ - PP dùng hệ số bất định. Phân tíc đa thức thành nhân tử Bài1: ( Tách, thêm bớt cùng 1 hạng tử) *)Với đa thức bậc 2 một biến( a x2 + b x + c) cần lưu ý : D= b2 – 4ac. Nếu D > 0 không phân tích được. Nếu D = 0 không cần thêm bớt viết ngay dưới dạng bình phương của một nhị thức. Nếu D < 0 thì phân tích được và tách hoặc thêm bớt cùng một hạng tử: C1: nếu b = m +n và ac = mn ât tách bx = mx + nx. +) x2 + 4x + 3 +) 8x2 – 2x – 1 +) x2 + 7x +12 +) x2 – 8x + 9 *)Với đa thức bậc 2 hai biến coi một biến là hằng số và làm như đa thức một biến. +) 6x2 + 7xy + 2y2 +)x2 – 11xy + 28y2 +) x2 -3xy – 40y2 +) x2-2xy+y2+4x+4y+3 +)x2 –y2+10x-6y+16 +)x2-2y2-xy +3y -1 +) *) Với đa thức 1 biến từ bậc 3 trở nên tách để xuất hiện HĐT hoặc tách để tạo ra hệ số tỷ lệ ( thông thường là nhẩm nghiệm.. Bài 2: (Thêm bớt cùng một hạng tử). *) Thêm bớt tạo ra HĐT. VD: x4 + 9 +) 36x4 + 9y4 *) Thêm bớt tạo ra nhân tử chung: VD: x4 +x2 + 1. *) TQ: Với dda thức có dạng : x3m+2 + x3n+ 1 + 1 ( m, n thuộc N) ta chứng minh được đa thức này luôn chứa nhân tử: x2 + x + 1 Bài 72- 75 ( 21- BTNC và MSCĐ Toán 8). Bài 3 :( Phương pháp đổi biến). Đa thức nhìn ngay được cách đổi biến: VD: (x2 +x + 1)(x2 + x+ 2) – 12 Đa thức có dạng: ( x + a)(x + b)( x + c)( x + d) + m trong đó : a + b = c + d. Cách đặt: y = x2 +(a + d)x + (ad+bc)/2. Đa thức đối xứng : đặt (x + 1/x ) = y. +) ( x + 1)( x+ 2)(x + 3)( x+ 4) – 24 +) x(x+4)(x+6)(x+10) +128. +) x4 – 7x3 + 14x2 – 7x + 1 +) (x + 2)( x+ 3)( x + 8)( x + 12) – 4x2. Bài 4:( Phương pháp hệ số bất định) Phương pháp hệ số bất định hay chính là phương pháp đồng nhất hệ số. Cơ ở của phương pháp này là: Hai đa thức được viết dưới dạng thu gọn đồng nhất khi và chỉ khi mọi hệ số của các đơn thức đồng dạng chứa trong hai đa thức đó phải bằng nhau. +) x4 + 2x3 + 4x2 + 3x + 2 +) x4 – 3x3 + 6x2 – 5x + 3 +)3x4 + 11x3 -7x2 – 2x + 1 +) x4 – 6x3 + 11x2 – 6x + 1 +) x4 – x3 +2x2 -11x -5. Bài 5: ( phương pháp giá trị riêng). Đối với các đa thức nhiều hơn một biến ta có thể lần lượt coi các biến là một số để nhẩm nghiệm của đa thức . Sau đó đưa đa thức về một tích các đa thức nhân với k và cần tìm k với k là một số hoặc là đa thức. Để tìm k ta gán cho các biến các giá trị riêng sao cho kết quả của hai vế là đơn giản. +) xy(x+y) + yz(y+z) + zx(z + x) + 2xyz +)ab(a-b) + bc( b – c) + ca( c+ a). Các bài tập ứng dụng của PTĐTTNT. Bài 1: Tìm các cặp số 9 x; y) thoả mãn điều kiện sau: x( y+ 1) – y = 1 Bài 2: Tìm các cặp số nguyên (x ; y) thoổa mãn điều kiên: 2(x- 2) – (2 – x)y – 2 ( x – 2) = 3 Bài 3: Biết x + 2y = 5 . Tìm tập hợp các ước nguyên của : A = 7( x + 2y) + 3(-x – 2y) – x – 2y. Bài 4: Tìm nghiệm của đa thức : f(x) = xn( x + 1) – xn –x –n-1 ( n thuộc N, n >1) Bài 5: ( Bài 70- 21 – Toán CBNC và CĐ 8) Cho x > y > z CMR: A = x4( y – z) + y4( z- x) + z4( x – y) > 0. Bài 6: ( Bài 71- 21 – Toán CBNC và CĐ 8) cho x, y, z là các số dương thoả mãn điều kiện: ( x + y)(y + z)(z+ x) = 8 xyz. CMR x = y =z. Bài 7: cho x thuộc Z CMR: x200 + x100 + 1 chia hêt cho x2 + x + 1. Bài 8: ( Bài 7- 30 – KT CBNC và T 8) CMR: Nếu a, b, c là độ dài 3 cạnh của tam giác ABC thoả mãn điều kiện : a2 ( b – c) – b 2( a – c) + c2(a – b) = 0 thì tam giác ABC là tam giác cân. Bài 9: ( Bài 8- 30 – KT CBNC và T 8) CMR: Nếu a, b, c là độ dài 3 cạnh của tam giác ABC thoả mãn điều kiện : a2 + b 2 + c2= ab + bc + ca thì tam giác ABC là tam giác đều. Bài 10: Tìm các số a, b, c sao cho đa thức : x3 + a.x2 + bx + c phân tíc thành ( x+ a)(x+b)(x+c). Bài 11: Tìm a, b thuộc Z sao cho: 1/a + 1/b = 1/2 Bài 12: ( Bài 63- 21 – Toán Nc và CĐ ĐS 8) Cho x là số nguyên.CMR: B= x4 – 4x3 – 2x 2 +12x + 9 là bình phương của một số nguyên. Bài13: ( Bài 64 21 – Toán Nc và CĐ ĐS 8) Cho x, y ,z là các số tự nhiên. CMR: C = 4x(x +y)(x + y+ z)( x +z) +y2z2 là một số chính phương. Bài 14: ( Bài 66- 21 – Toán NC và CĐ ĐS 8) Tìm số tự nhiên n để giá trị của biểu thức sau : P = n3 – n2 – n – 2 là một số nguyên tố. Bài Về Nhà Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tử (Phương pháp tách hạng tử ) 1) 6x2 – 11x + 3 3) x2 – 7x + 12 2) 2x2 + 3x – 27 4) 4x2 – 3x –1 5)65 – 96 x +48x+2 -8x3 6) x3 -7x +6 7) 3x3 + 4x2 – x - 6. 8) 2x3 – 3x2 – 5x – 6 9) 3x3 + 7x2 + 8x + 2. 10) x3 – 2x – 4. 11) x3 + x2 + 4 12) x3 + 9x2 + 26x +24 13) 2x3 – 3x2 +3x -1. 14) x4 – 3x3 + 4x2 - 3x + 1 15)2x3 – x2 + 5x + 3 16) (x2 – 3)2 +16. Bài 61 – 68 ( 20 – BTNC Và MSCĐ toán 8). Bài 2: Phân tích đa thức thành nhân tử (Phương pháp thêm bớt hạng tử ) a) Dùng hằng đẳng thức A2+2AB +B2 và A2-B2 = (A+B)(A-B). Thêm bớt hạng tử 2AB 1) x4 + 4 2) x4 + 64 3) 64x4 + 1 4) 81x4 + 4 b) Thêm bớt hạng tử để xuất hiện nhân tử x2+x+1 1) x5+x+1 2) x7+x2+1 3) x5+x4+1 4) x8+x7+1 5) x8+x+1 6) x10+x5+1 Bài 3: Phân tích đa thức thành nhân tử (Phương pháp đổi biến ) 1) 6x4 – 11x2 + 3 7) (x2+x+1)(x2+x+2)-12 2) (x2+x)2 - 2(x2+x) -15 8) x(x+1)(x+2)(x+3)+1 3) (x2+x)2+3(x2+x) +2 9) (a+b+c)3-4(a3+b3+c3)-12abc 4) x2+2xy+y2-x-y-12 10) (x+2)(x+3)(x+4)(x+5)-24 5) x2-2xy+y2+3x-3y-10 11) (x+1)(x+3)(x+5)(x+7)+12 6) x2-7xy+12y2 12) (x+a)(x+2a)(x+3a)(x+4a)+a4 13) (x2+y2+z2)(x+y+z)2+(xy+yz+zx)2 14) 2(x4+y4+z4) - (x2+y2+z2)2 - 2(x2+y2+z2)(x+y+z)2 + (x+y+z)4 Bài 4: Phân tích đa thức thành nhân tử (Phương pháp nhẩm nghiệm) 1) x3-3x+2 9) 2x3-12x2-17x-2 2) x3-2x-4 10) x3+3x2+3x+2 3) x3+4x2+4 11) x3+9x2+26x+24 4) x3-5x2+8x-4 12) 2x3-3x2+3x-1 5) x3-5x2+3x+9 13) 3x3-14x2+4x+3 6) x3+8x2+17x+10 14) x3+4x2-7x-10 7) x3+3x2+6x+4 8) x3+5x2+3x-9 Bài 5: Phân tích đa thức thành nhân tử (Phương pháp xét giá trị riêng ) 1) (xy+1)2-(x+y)2 2) (a+b+c)2+(a+b-c)2-4c2 3) 4a2b2- (a2+b2-c2 )2 4) a(b2-c2)+b(c2-a2)+c(a2-b2) 5) ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)+2abc 6) ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)+3abc 7) a(b3-c3)+b(c3-a3)+c(a3-b3) 8) a3(b2-c2)+b3(c2-a2)+c3(a2-b2) 9) a(b-c)2+ b(c-a)2+ c(a-b)2-a3-b3-c3+4abc 10) a3+b3+c3-3abc 11) (a+b+c)3-a3-b3-c3 12) 8(x+y+z)3-(x+y)3-(y+z)3-(z+x)3 13) (x-y)3+(y-z)3+(z-x)3 D.Chia đa thức I. Kiến thức cần nắm vững 1) Ta nói đa thức A(x) chia hết cho đa thức B(x) nếu tồn tại đa thức Q(x) sao cho A(x) = B(x).Q(x) Chú ý: A(x) : B(x) = Q(x) B(x) và Q(x) có bậc nhỏ hơn A(x) 2)Với mọi cặp đa thức A(x), B(x) trong đó B(x) khác 0. Tồn tại duy nhất cặp đa thức Q(x), R(x) sao cho: A(x) = B(x).Q(x) + R(x) R(x) gọi là đa thức dư và có bậc nhỏ hơn bậc của B(x). Khi R(x) là đa thức 0 ta nói A(x) chia hết cho B(x) Khi R(x) khác đa thức 0 ta nói A(x) không chia hết cho B(x) 3) Định lí Bơzu: Phần dư của phép chia đa thức f(x) cho nhị thức x-a là giá trị của f(x) tại x = a (Tức là r = f(a) Hệ quả: Nếu đa thức chia là ax – b thì r = f () Nếu x = a là nghiệm của f(x) thì f(x) chia hết cho (x-a) hay f(x) có chứa nhân tử (x-a) Nếu f(x) có tổng các hệ số bằng 0 thì x=1 là nghiệm và f(x) chia hết cho x-1 Nếu f(x) có tổng các hệ số bậc chẵn bằng tổng các hệ số bậc lẻ thì x =-1 là nghiệm và f(x) chia hết cho x+1 II.Các dạng bài tập Dạng 1: Tìm đa thức dư trong phép chia đa thức. 1. Dùng phép chia đa thức cho đa thức Ví dụ1: Tìm dư trong phép chia f(x) = x3- (a+2)x2+(2a+1)x+a cho x-2 2. Dùng định lí Bơzu Ví dụ1: Tìm dư trong phép chia f(x) = x3- (a+2)x2+(2a+1)x+a cho x-2 Giải: Theo Định lí Bơzu ta có: Dư trong phép chia f(x) cho x-2 là r = f(2) = 23-(a+2)22+(2a+1)2+a = a+2 3. Phương pháp xét giá trị riêng Ví dụ1: Tìm dư trong phép chia f(x) = x3- (a+2)x2+(2a+1)x+a cho x-2 Giải: Giả sử f(x) chia cho x-2 được thương là Q(x) và dư là r. Ta có: x3- (a+2)x2+(2a+1)x+a cho x-2 = (x-2).Q(x)+r Xét với a=2 ta có: 23-(a+2)22+(2a+1)2+a = (2-2).Q(2)+r a+2 = r 4. Phương pháp hệ số bất định Ví dụ1: Tìm dư trong phép chia f(x) = x3- (a+2)x2+(2a+1)x+a cho x-2 Giải: Giả sử f(x) chia cho x-2 được thương là x2+mx+n và dư là r. Ta có f(x) = (x-2)( x2+mx+n) = x3+(m-2)x2+(n-2m)x-2n+r Đồng nhất các hệ số tương ứng của đa thức f(x) ta có: 5. Dùng hằng đẳng thức (có thêm bớt hạng tử) Với nẻN và n ³ 2 ta có: an-bn = (a+b)(an-1+an-2b+an-3b2 + ... +a2bn-3+abn-2+bn-1) an+bn = (a+b)(an-1-an-2b+an-3b2 - ... +a2bn-3-abn-2+bn-1) (với n lẻ) Ví dụ1: Tìm dư trong phép chia f(x) = x7+x5+x3+1 cho a) x2-1 b) x2+1 Giải: a)Ta có: xn -1 = (x-1)(x n-1+x n-2+x n-3+...+x+1). Nên xn -1x-1 Tương tự ta có : x2n -1 = (x2)n -1 x2 -1 (*) Lại có f(x) = x7-x+x5-x +x3-x +1+3x = x(x6-1)+ x(x4-1)+ x(x2-1)+3x+1 Theo (*) ta có: x6 -1x2-1; x4-1x2-1; x2 -1x2-1 Vậy dư của phép chia là 3x+1 Chú ý: có thể dùng phương pháp xét giá trị riêng b) Ta có f(x) = (x7+x5)+(x3+x) - x +1 = x5(x2+1)+ x(x2+1) - x+1 Vậy dư của phép chia là 3x+1 Chú ý: Dùng xn +1x2+1 với n lẻ Dạng 2: Chứng minh một đa thức chia hết cho một đa thức khác 1. Dùng các phương pháp tìm dư Chú ý: dư phải bằng 0 2. Dùng phân tích đa thức thành nhân tử Ví dụ: CMR: Với "nẽN thì x8n+x4n+1x2n+xn+1 Ta có A= x8n+x4n+1= x8n+2x4n+1-x4n= (x4n+1)2- (x2n)2 = (x4n+x2n+1)(x4n-x2n+1) = (x2n+xn+1)( x2n+xn+1)( x4n-x2n+1) Suy ra A x2n+xn+1 (đpcm) 3. Biến đổi đa thức bị chia thành tổng các đa thức chia hết cho đa thức chia (áp dụng: Nếu AM; BM thì A+BM) Ví dụ: CMR: "m,nẽN và m, n lẻ thì: x3m+1-x3n+2+1x2-x+1 Giải: x3m+1-x3m+2+1= (x3m+1+x)- (x3n+2+x2)+x2-x+1 = x(x3m+1)-x2(x3n+1)+x2-x+1 (1) Với m, n lẻ thì x3m+1x3+1và x3n+1x3+1 (2) Mà x3+1=(x+1)(x2-x+1)x2-x+1 (3) Từ (1); (2) và (3) ta có: x3m+1-x3n+2+1x2-x+1 4. Dùng phương pháp xét hiệu hai đa thức (áp dụng: Nếu A-MM thì AM) Ví dụ: Cho f(x)=x44+x33+x22+x11+1 và g(x)=x4+x3+x2+x+1 CMR: f(x) g(x) Ta xét f(x)-g(x) = (x44-x4)+(x33-x3)+(x22-x2) +(x11-x) = x4(x40-1)+x3(x30-1)+x2(x20-1)+ x(x10-1)(1) Ta có: x10n-1= (x10)n -1x10-1 Tương tự ta có: x40-1x10-1; x30-1x10-1; x20-1x10-1 (2) Lại có: x10-1 = (x5+1)( x5-1) = (x5+1)(x-1)(x4+x3+x2+x+1) Nên x10-1 x4+x3+x2+x+1. hay x10-1g(x) (3) Từ (1); (2) và (3) ta có: f(x) g(x) (đpcm) 5. Dùng phương pháp xét nghệm riêng áp dụng: Nếu x = a là nghiệm của f(x) (tức là f(a) = 0) thì f(x) chứa nhân tử x – a Ví dụ: Cho f(x) = (x2+x-1)10+( x2-x+1)20-2 và g(x) = x2-x CMR: f(x) g(x) Giải: Xét f(0)=(02+0-1)10+(02-0+1)20-2=0 ị f(x) chứa nhân tử x Xét f(1)=(12+1-1)10+(12-1+1)20-2=0 ị f(x) chứa nhân tử x-1 Do x và x-1 không có nhân tử chung ị f(x) chứa nhân tử x(x-1) ị f(x)x(x-1) hay f(x) g(x) Dạng 3: Xác định đa thức f(x) khi đa thức f(x) không chia hết cho một số nhị thức VD1: Tìm đa thức f(x) biết: +) f(x) là đa thức bậc 3 +) Hệ số bậc cao nhất là 1, hệ số bậc 2 là 0 +) f(x) chia x – 1 dư 4 và chia x + 2 dư 2. HD: áp dụng định lý bơdu: r(1) = 4, r(-2) = 2. VD2: Tìm đa thức f(x) biết khi chia f(x) cho: +) x +1 dư 4 +) x + 2 dư 2 +) (x +1)(x +2) được thương là x2 và còn dư. HD: f(x) = (x +1)Q(x) + 4 => f(x)(x +2) = (x +1)(x +2)Q(x) + 4(x +2) F(x) = (x+2)R(x) + 2 => f(x)(x +1) = (x +1)(x +2)R(x) + 2(x +1) f(x) = (x +1)(x +2)[Q(x) – R(x)]+ 2x + 6 => f(x) = (x +1)(x +2)x2 + 2x +6 VD3: Cho đa thức f(x) bậc 5 có hệ số bậc cao nhất là 1 biết : f(1) = 1, f(2) = 3, f(3) = 7, f(4) = 13, f(5) = 21. Tính f(6) =? HD: C1: Đặt f(x) = x5 + a x4 +bx3 + cx2 + dx + e. Thay vào GHPT tìm a,b, c, d, e=> tìm f(6). C2: f(x) = (x – 1)Q(x) + m ( degQ(x) = 4, hệ số bậc cao nhất của Q(x) = 1) Q(x) = (x – 2)P(x) + n ( degP(x) = 3, hệ số bậc cao nhất của P(x) = 1) P(x) = (x – 3)R(x) + p ( degR(x) = 2, hệ số bậc cao nhất của R(x) = 1) R(x) = (x – 4)G(x) + r ( degP(x) = 1, hệ số bậc cao nhất của G(x) = 1) G(x) = x -5 + q Thay dần vào f(x) ta được : f(x) = (x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5) +............ f(1) = 1, f(2)= 3........ C3: Đặt P(x) = f(x) – (x2 – x +1) Xét P(1), P(2), P(3), P(4), P(5)........ VD4: Cho đa thức P(x) có bậc 4 và P(-1) = 0 , P(x) – P(x -1) = x(x+1)(2x+1) với mọi x. a, tìm P(x) b, AD tính: 1.2.3+2.3.5+3.4.7+ .....+ n(n+1)(2n+1) HD: a,-Đặt P(x) = a x4 + bx3 + cx2 + dx + e. -P(0) – P(0 -1)=....-. P(0) = 0 =>.............(1) -P(1) – P(1 -0) =.....................=> .............(2) -P(-1) – P(-2).............................................(3) -P(P(2) – P(1) =.........................................(4) Kết hợp 1,2,3,4 và gt tính được a,b,c,d,e. b, 1.2.3 = P(1) –P(0)....... VD5: Vho f(x) là đa thức bậc 6 t/m f(1) = f(-1),f(2) = f(-2), f(3) = f(-3), CMR: f(x) =f(-x) với mọi x. HD: -Đặt g(x) = f(x) – f(-x) degg(x) < 6 -Xét g(-1) => g(x) chia hết cho x + 1 Tương tự xét g(1), g(2), g(-1), g(-2), g(3), g(-3). Đa thức g(x) chia hết cho x + 1, x+2, x+3, x-1, x-2, x- 3. do degg(x) g(x) = 0 . Vậy..... VD6: Cho đa thức f(x) bậc 4 có hệ số bậc cao nhất là 1 biết : f(1) = 10, , f(3) = 30, f(2) = 20. Tính f(-8) + f(12) HD: -Đặt P(x) = f(x) – 10x -Tính P(1)....... -P(x) = (x-1)(x-2)(x-3)(x-m). -f(x) = P(x) + 10x. -f(-8)+f(12) = 19840. Dạng 4:Các bài toán định tính. VD1: CMR: (xm+xn + 1) chia hết cho x2 +x +1 (mn-2) chia hết cho 3( n,m thuộc N và nmkhác 0) HD: m = 3p + q, n= 3k + r ( p, q, k, r thuộc N ; 0<= q, r<= 2) => xm+xn + 1 = x3p+q+x3k+r + 1 xq(x3)p +xr (x3)k + 1.Đưa về đa thức chứad HĐT x3 - 1 Để xm+xn + 1)chia hết cho x2 +x +1 xq+xr + 1) chia hết cho x2 +x +1. Mà q, r = {0,1,2}nên qr = 2 mn = 3(....)+ qr => mn – qr = 3(....) chia hết cho 3. Ta chứng minh được: xm+x + 1 chia hết cho x2 +x +1 (m + 1) chia hết cho 3. xm+x2 + 1 chia hết cho x2 +x +1 (m + 2) chia hết cho 3. VD2:CMR với mọi x thuộc Z thì đa thức f(x) = (x5 – x): 5 + ( x3 –x): 3 + x nhận giá trị nguyên. Dạng5: Các bài toán về nghiệm của đa thức. VD1: Cho đa thức P(x) có hệ số nguyên. Biết a,b, c là 3 số nguyên đôi một khác nhau thoả mãn:/P(a)/= /P(b)/=/P(c)/= 1CMR đa thức P(x) không có nghiệm nguyên. HD: C1: G/S P(x) có nghiệm nguyên x = x0 khi đó: P(x) = (x – x0)Q(x) là đa thức hệ số nguyênta có : P(a), P(b), P(c), áp dụng Gt=> /a-x0/ =/b-x0/ = /c-x0/ = 1=> a= b trái gt ..... C2: Đặt: Q(x) = /P(x)/ - 1 tính Q(a)...... VD2:Cho đa htức P(x) = a x2 + bx + c; a,b,c, là các số thức xác định. CMR: P(P(x)+x) = P(x+1)P(x). VD3: Cho 2 đa thức P(x) và Q(x) có hệ số nguyên thoả mãn:[P(x3) +xQ(x3)] chia hết cho (x2 + x + 1).Gọi d là ƯCLN của [P(2007), Q(2007)]. CMR: d chia hết cho 2006. HD: -Xét : P(x3) + x Q(x3) = P(x3) – P(1) + x[Q(x3) – Q(1)] + [P(1) +xQ(1)]. -[P(x3) +xQ(x3)] chia hết cho (x2 + x + 1) [P(1) +xQ(1)] chia hết cho (x2 + x + 1) -Mà deg[P(1) +xQ(1)] [P(1) +xQ(1)] = 0 P(1) = 0 và Q(1) = 0 -Theo bơzu P(x) = (x-1)H(x); Q(x) = (x -1)R(x).Trong đó H(x) và R(x) là các đa thức với hệ số nguyên. -P(2007)= -Q(2007) = ..... VD4: CMR đa thức f(x) = x4 – 2009x3 +(2008+a)x2 = 2007x + a. không thể có 2 nghiệm nguyên phân biệt. HD: -x1,x2  là 2 nghiệm nguyên khác nhau. Xét f(x1) – f(x2)=......... -Mặt khác nếu x0 là một nghiệm của f(x) thì f(x0) = 0 -f(x0) – f(1) chia hết cho x0 – 1 nê 2a – 2007 chia hết cho (x0 -1) => x0 – 1 không chia hết cho 2 => x0 chia hết cho 2. Vậy nếu đa thức có nghiệm nguyên thì nghiệm nguyên đó phải chia hết cho 2 =>..... Bài về nhà Bài 1: Tìm a để 1) 10x2 - 7x + a chia hết cho 2x - 3 2) 2x2 + ax + 1 chia cho x – 3 dư 4 3) 27x2 + a chia hết cho 3x + 2 4) 3x2 + ax + 27 chia cho x + 5 dư 2 5) x2 - ax - 5a2 - chia hết cho x + 2a 6) 6x4 – 13x3 + 13a2x2 - 13 a3x – 64a4 + 7) ax5 + 5x4 - 9 chia hết cho (x - 1)2 8) x4 + ax2 + 1 chia hết cho x2 + 2x + 1 9) x3 + 2x2 + 2x + a chia hết cho x + 1 10) x3 + x2 - 22x + 24 - a chia hết cho x + 1 11) x4 + 7x3 + 2x2 + 13x - a chia cho x + 7 dư 3 Bài 2: Tìm a, b để 1) x4 + ax2 + b chia hết cho x2 - x + 1 2) x4 + ax2 + b chia hết cho x2 + x + 1 3) x4 – 3x3 + 3x2 + ax + b chia hết cho x2 - 3x + 2 4) ax3 + bx2 - 5x- 50 chia hết cho x2 + 3x + 10 5) ax4 + bx3 + 1 chia hết cho (x + 1)2 6) x4 + 4 chia hết cho x2 + ax + b 7) x3 + ax + b chia cho x + 1 dư 7; chia cho x – 3 dư -5 8) x3 + bx - 24 chia hết cho (x+1)(x+3) 9) x4 - x3 - 3x2 + ax + b chia cho x2 - x – 2 dư 2x - 3 10) 2x3 + ax + b chia cho x + 1 dư - 6; chia cho x – 2 dư 21 11) x3 + ax2 + bx – 5 chia hết cho x2 + x + 1 12) x4 – 9x3 + 21x2 + ax + b chia hết cho x2 - x - 2 13) x3 + ax2 + 2x + b chia hết cho x2 + x + 1 Bài 3: Tìm a, b, c sao cho 1) ax3 + bx + c chia hết cho x + 2 và chia cho x2-1 dư x+5 2) 2x4+ax2+bx+c chia hết cho x-2 và chia cho x2-1 dư 2x Bài 4: Tìm các số nguyên x, n, k sao cho: 1) 2x2 + x – 7 chia hết cho x - 2 2) 10x2 - 7x – 5 chia hết cho 2x - 3 3) 25n2 - 97n +11 chia hết cho n - 4 4) 103n2 + 21n +70 chia hết cho n - 1 5) n3  - 3n2 - 3n –1 chia hết cho n2  + n + 1 6) n3  - n2 + 2n +7 chia hết cho n2  + 1 7) x2n + xn + 1 chia hết cho x2 + x + 1 8) k3 + 2k2 + 15 chia hết cho k + 3 9) 10n2+n-10 chia hết cho n-1 10) n3-3n2-3n-1 chia hết cho n2+n+1 11) n3-n2+2n+7 chia hết cho n2+1 Bài 5: 1) Cho đa thức F(x) = x + x3 + x9 + x27 + x81. Tìm dư trong phép chia F(x) cho: a) x – 1 b) x + 1 c) x2 – 1 d) x2 + 1 2) Cho đa thức G(x) = x99 + x55 + x11 + x + 7. Tìm dư trong phép chia G(x) cho: a) x – 1 b) x + 1 c) x2 – 1 d) x2 + 1 3) Cho đa thức H(x) = x + x3 + x9 + x27 + x243. Tìm dư trong phép chia H(x) cho: a) x – 1 b) x + 1 c) x2 – 1 d) x2 + 1 4) Cho đa thức L(x) = x54 + x45 + x36 +...+ x9 + 1. Tìm dư trong phép chia L(x) cho: a) x – 1 b) x + 1 c) x2 – 1 d) x2 + 1 5) Cho đa thức K(x) = (x+1)( x+3)( x+5)( x+7) + 1999 Tìm dư trong phép chia K (x) cho: x2 + 8x +12 6) Tìm dư trong phép chia đa thức f(x) cho đa thức g(x) trong các trường hợp sau a) f(x) = x21+x20+x19+101 ; g(x) = x+1 b) f(x) = 3x3+4x2-2x+7 ; g(x) = x+2 c) f(x) = x4-5x3+2x-10 ; g(x) = x-5 Bài 6: a) Tính 2a-3b biết 4x3+ax+b chia hết cho x-2 và x+1 b) Tìm b biết: Đa thức ax2+bx+c khi chia cho x+1 và x+1 có cùng số dư c) CMR: Nếu x4-4x3+5ax2-4bx+c chia hết cho x3+3x2-9x-3 thì a+b+c = 0 Bài 7: Tìm đa thức f(x) biết: 1) f(x) chia cho x – 3 dư 7; chia cho x – 2 dư 5; chia cho (x - 3)(x - 2) được thương là 3x và còn dư. 2) f(x) chia cho x – 1 dư 4; chia cho x + 2 dư 1; chia cho (x - 1)(x + 2) được thương là 5x2 và còn dư. 3) f(x) chia cho x – 2 dư 2; chia cho x - 3 dư 7; chia cho x2-5x+6 được thương là 1-x2 và còn dư. 4)f(x) bậc 3 và khi f(x) chia x – 1, x- 2, x -3 dư 6 và f(-1) = -18. Bài 8: a. Cho đa thức f(x) bậc 5 có hệ số bậc cao nhất là 1 biết : f(1) = 2, f(2) = 6, f(3) = 12, f(4) = 20, f(5) = 30. Tính f(6) =? b. Cho đa thức f(x) bậc 4 có hệ số bậc cao nhất là 1 biết : f(1) = 3, , f(3) = 11, f(5) = 27. Tính f(-2) + 7 f(6) =? Bài 9: Chứng minh rằng: 1) Với mọi số tự nhiên n thì đa thức nn – n2 + n – 1 chia hết cho (n - 1)2 2) Không tồn tại số tự nhiên n để đa thức 2n3 – 3n2 + n + 3 chia hết cho n2 - n Bài 10: Chứng minh rằng: 1) f(x)=(x2-3x+1)31-( x2-4x+5)30+2 chia hết cho x-2 2) x95+x94+x93+...+x2+x+1 x30+x31+x29+...+x2+x+1 Bài 11: xm+xn + 1 chia hết cho x4 +x 2+1 (mn -2) chia hết cho 6, n + m chia hết cho 6. Chuyên đề 1: Phép chia hết phép chia có dư trong số học. Kiến thức cơ bản. 1, Định lý 1 Cho 2 số nguyên a,b ( b khác 0) luôn luôn tồn tại duy nhất cặp số ng