Giáo án Đại số 9 - Bài 2: Căn thức bậc hai và hằng đẳng thức

Bài 2: CĂN THỨC BẬC HAI VÀ HẰNG ĐẲNG THỨC 1. Căn thức bậc hai. Nếu hình chữ nhật ABCD có đường chéo AC = 5 cm và cạnh BC = x (cm) thì cạnh AB = (cm). Giải thích, tại sao lại có kết quả đó? Giải: Ta có: ABCD là hình chữ nhật nên hay vuông tại B. Áp dụng định lý Pitago cho tam giác vuông ABC, ta có: Vậy: ®­îc gäi lµ c¨n thøc bËc hai cña 25 - x2, cßn 25 - x2 lµ biÓu thøc lÊy c¨n . Tæng qu¸t: Víi A lµ mét biÓu thøc ®¹i sè, ng­êi ta gäi lµ c¨n thøc bËc hai cña A, cßn A ®­îc gäi lµ biÓu thøc lÊy c¨n hay biÓu thøc d­íi dÊu c¨n. x¸c ®Þnh ( hay cã nghÜa) khi A lÊy gi¸ trÞ kh«ng ©m. VD: Với giá trị nào của x thì mỗi căn thức sau xác định (có nghĩa)? a) b) c) d) Giải: a) xác định khi và chỉ khi 3x ≥ 0 tức là khi x ≥ 0. b) có nghĩa khi và chỉ khi . Do nên khi và chỉ khi ( để cho có nghĩa). c) Ta thấy nên . Do đó với mọi x. Vậy không tồn tại x để có nghĩa. d) có nghĩa khi và chỉ khi . Do 4 > 0 nên khi và chỉ khi Chú ý: Vì x + 3 là mẫu số nên không được phép lấy vì nếu có thêm dấu = thì biểu thức không có nghĩa. Bài tập: Với giá trị nào của x thì mỗi căn thức sau có nghĩa? b) c) 2. Hằng đẳng thức . * Định lý: Víi mäi sè a, ta cã: = Chó ý: Mét c¸ch tæng qu¸t, víi A lµ mét biÓu thøc ta cã: VD1: Tính: a) b) Giải: a) = |12| = 12. b) = |−7| = 7. VD2: Rút gọn: a) b) Giải: a) = = (vì >1) Vậy = . b) (vì ). Vậy =. VD3: Rút gọn: a) với b) với a < 0. Giải: a) (vì x ≥ 2). b) . Vì a < 0 nên a3 < 0, do đó |a3| = −a3. Vậy = −a3 (với a < 0). VD4: Tìm x, biết: b) Chú ý: Ở các phương trình trên, ta thấy vế trái ( VT ) là một căn thức bậc hai nên hiển nhiên mà VT = VP (vế phải) . Vì vậy, trong quá trình giải phương trình nếu như VP có chứa biến hay ẩn x thì phải đặt điều kiện , từ đó suy ra điều kiện của ẩn x. Đặc biệt, sau khi giải bài xong và tìm được giá trị của x thì ta phải so sánh với điều kiện trên rồi kết luận thỏa mãn hay không thỏa mãn. Cuối cùng là kết luận nghiệm của phương trình. Giải : a) Ta có : Vậy các giá trị cần tìm là : x1 = 7 , x2 = -7 . b) Ta có : Vậy các giá trị cần tìm là: x1 = 4 , x2 = - 4. c)Điều kiện: Ta có: (Thỏa mãn) (Thỏa mãn) Vậy các giá trị cần tìm là: x1 = 1 , x2 =. VD5: Chứng minh: a) b) Giải: a) Biến đổi vế phải: Ta có vế phải bằng vế trái. Vậy đẳng thức xảy ra. b)Biến đổi: Khi đó vế trái: (vì ). Ta có vế trái bằng vế phải. Vậy đẳng thức xảy ra. PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ (tiếp theo) Phương pháp 1: ĐẶT NHÂN TỬ CHUNG VD: Ph©n tÝch B thµnh nh©n tö : Giải: Bài tập: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö : b) Q = 3x + 12y c) d) E = 10( - y) – 8y(y - ) e) F = 5( - 2010) - + 2010 = 0 Phương pháp 2 : DÙNG HẰNG ĐẲNG THỨC VD: Ph©n tÝch M thµnh nh©n tö : M = Giải: M = Bài tập: Ph©n tÝch N, P thµnh nh©n tö : () b) Phương pháp 3: NHÓM CÁC HẠNG TỬ VD: Ph©n tÝch D thµnh nh©n tö : Giải: Bài tập: Ph©n tÝch các đa thức sau thµnh nh©n tö : G = x - 3 + y – 3y LOẠI KHÁC VD1: Giải các phương trình sau: x2 – 5 = 0 b) Giải: a) Ta có: x2 – 5 = 0 Vậy phương trình có 2 nghiệm b) Ta có: Vậy phương trình có nghiệm VD2: Biểu thức sau đây xác định với giá trị nào của x? b) Giải: a) Ta có nên xác định, tức là xác định khi và chỉ khi nghĩa là x thỏa mãn một trong hai trường hợp sau: -Trường hợp 1: . -Trường hợp 2: Vậy giá trị cần tìm là: hoặc . Ta có xác định khi và chỉ khi nghĩa là x thỏa mãn một trong hai trường hợp sau: -Trường hợp 1: . -Trường hợp 2: Không có giá trị nào của x thỏa mãn. Vậy giá trị cần tìm là: Chú ý: Vì x – 5 là mẫu số nên không được lấy dấu x - 5 ≤ 0 hay x – 5 ≥ 0 vì nếu có thêm dấu = thì biểu thức không có nghĩa. VD3: So sánh: a) 3 và b) và 2 Giải: a) Để so sánh 3 và , ta quy về so sánh: và Hay 9 và Hay 5 + 2.2 và Vì và nên suy ra Vậy 5 + 2.2 < , từ đó ta có: 3 < . b)Ta thấy nên . Do đó, để so sánh và 2 , ta quy về so sánh: và 22 Hay và 4 Hay và 14 - 2.5 Vì và 52 = 25 nên suy ra Vậy < 14 - 2.5 , từ đó ta có: < 2. Chú ý: Trong bài toán so sánh, ta chỉ được phép áp dụng phương pháp Bình Phương cho các số không âm!