Giáo án Đại Số 9 - Nguyễn Tấn Cường

CHƯƠNG 1 CĂN BẬC HAI. CĂN BẬC BA BÀI 1 CĂN BẬC HAI Căn bậc hai số học: Định lí: Với A, căn bậc hai số học của A là . Chú ý: Căn bậc hai số học của 0 là . Căn bậc hai số học của 1 là . ?1 Tìm căn bậc hai số học của các số sau đây: 4; 9; 16; 25; 4044121 Định lí: Căn bậc hai số học của A là số tự nhiên khi và chỉ khi A là số chính phương. Kí hiệu: ó A ?2 Chứng minh rằng là số chính phương. Tương tự hãy chứng minh là số chính phương với Căn bậc hai: Định lí: Với A, số Acó hai căn bậc hai là và . Chú ý: Số 0 có duy nhất một căn bậc hai là 0. ?3 Tìm các căn bậc hai của các số sau: 36; 49; 64; 81; 100; 121; 144; 169 Định lí: Căn bậc hai của A nguyên khi và chỉ khi A là số chính phương. Kí hiệu: ó A BÀI 2 HẰNG ĐẲNG THỨC Hằng đẳng thức : Với mọi A, ta có: Chứng minh: Ta có: với với Nên . ?1 Tính: a) với b) với Khai phương một tích: Định lí: a) Định lí thuận: Với và thì b) Định lí đảo: Với và thì Khai phương một thương: Định lí: Định lí thuận: Với và thì . b) Định lí đảo: Với và thì . BÀI 3 SO SÁNH HAI CĂN BẬC HAI So sánh hai căn bậc hai: Định lí: Với và và thì Phân tích biểu thức dưới căn thành nhân tử: Các bước phân tích như sau: Xuất phát từ hạng tử có căn. Chia hạng tử đó cho 2. Lập ra tất cả các tích có được từ hạng tử sau khi chia 2. Chọn ra cặp a, b sao cho ab bằng hạng tử chứa căn chia 2 và bằng hạng tử tự do. Ví dụ: Bước 1: Xuất phát từ . Bước 2: Bước 3: Bước 4: Chọn và Vậy BÀI 4 BIẾN ĐỔI BIỂU THỨC CHỨA CĂN BẬC HAI Đưa thừa số ra ngoài căn: Với và thì Đưa thừa số vào trong căn: Với và thì Trục căn thức ở mẫu: Với và thì thì Rút gọn biểu thức chứa căn bâc hai: Rút gọn biểu thức chứa căn bâc hai là biến đổi biểu thức về dạng đơn giản nhất bằng các phương pháp đã học. Chú ý: Kết quả cuối cùng phải thỏa mãn tất cả các điều kiện sau: Kết quả phải tồn tại ( có điều kiện xác định nếu có ẩn ở mẫu). Mẫu thức không còn căn bậc hai. Phân thức phải ở dạng tối giản. BÀI 5. BẤT ĐẲNG THỨC CÔSI BẤT ĐẲNG THỨC CÔSI: Với hai số a, b dương ta có: . Dấu “=” xáy ra ó a=b ỨNG DỤNG: Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng diện tích thì hình vuông có chu vi bé nhất. Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng chu vi thì hình vuông có diện tích lớn nhất. Nếu x, y cùng dương và có tổng không đổi thì tích xy lớn nhất khi và chỉ khi x = y. Nếu x, y cùng dương và có tích không đổi thì tổng x+y nhỏ nhất khi và chỉ khi x = y. BÀI 6. CĂN BẬC BA VÀ HẰNG ĐẲNG THỨC (A+B)3=A3+B3+3AB(A+B) 1. Căn bậc ba: Với mọi A, gọi là căn bậc ba của A. 2. Căn bậc n: Ta có các công thức sau: (công thức hạ bậc). (với đk n dương thì a, b phải dương). (với đk k.n dương thì a phải dương). (với đk n dương thì a, b phải dương và b khác 0). (với đk n dương thì a, k phải dương). Ví dụ: Tính A=. Đáp số A=. 3. Hằng đẳng thức (A+B)3=A3+B3+3AB(A+B) Ví dụ tính B=. Đáp số B=2. CHƯƠNG II. ĐỒ THỊ HÀM SỐ BẬC NHẤT y=ax+b BÀI 1 KHÁI NIỆM HÀM SỐ; HÀM SỐ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN VÀ HÀM SỐ CHẲN, LẺ Khái niệm hàm số: Biểu thức dạng f(x): y=P(x) gọi là hàm số. Hàm số đồng biến, nghịch biến: Một hàm số với giá trị x tăng mà f(x) tăng theo thì f(x) đồng biến. Một hàm số với giá trị x tăng mà f(x) giảm thì hàm số nghịch biến. Quy tắc xét tính đồng biến, nghịch biến: Bước 1: sao cho Bước 2: tính T= Bước 3: nếu T>0 thì hàm số đồng biến và ngược lại Ví dụ: xét tính đồng biến của Tính chẳn, lẻ của hàm số: Quy tắc: Bước 1: tập xác định Bước 2: => Bước 3: F(-x)=f(x) => hs chẳn F(-x)=-f(x) => hs lẻ Ví dụ: xét tính chẳn lẻ của x3-1 BÀI 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT y = ax+b Định nghĩa: Hàm số có dạng gọi là hàm số bậc nhất. Đây là hàm số đồng biến khi và nghịch biến khi . Đồ thị hàm số : Với , đồ thị hàm số là đường thẳng đi qua hai điểm và . BÀI 3. HÀM SỐ y=a VÀ 1. Hàm số hằng y = a Hàm số hằng y = a là đường thẳng cắt Oy tại (0; a) và song song với Ox. Ví dụ: đồ thị hàm số y = 2. y 2 y = 2 x O 2. Hàm số Hàm số là hệ hai hàm số Ví dụ: Vẽ đồ thị hàm số Hàm số là hệ hàm số Hàm số đi qua (0; 1) và . Hàm số đi qua (0; -1) và . Đồ thị: x y= - 2x -1 1 O y Y= 2x+1 -1 Nhận xét: Đồ thị hàm số luôn đi qua một điểm cố định là . BÀI 4. SỰ TƯƠNG GIAO GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG 1. Định nghĩa: Cho hai đường thẳng và đường thẳng . Ta có: cắt khi và chỉ khi . trùng khi và chỉ khi . song song khi và chỉ khi . vuông góc khi và chỉ khi . 2. Tọa độ điểm tương giao của hai đường thẳng: Cho hai đường thẳng và đường thẳng với điều kiện chúng sẽ cắt nhau tại một điểm M(x; y) trong đó x, y là nghiệm chung của hai phương trình: . Giải hệ trên ta có được tổng quát: Cho hai đường thẳng và đường thẳng với điều kiện chúng sẽ cắt nhau tại một điểm M. 3. Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm: Để viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm và ta lần lượt thế tọa độ của A và B vào phương trình rồi giải hệ hai phương trình trên. Thế vào phương trình ta được Thế vào phương trình ta được Ta giải hệ Giải (1) ta được Thế vào (2) ta được . Từ đó tính được a và b. 4. Độ dài một đoạn thẳng bất kì: Cho hai điểm và thì độ dài đoạn thẳng AB được tính theo công thức: AB = . BÀI 5. GÓC TẠO BỞI MỘT ĐOẠN THẲNG VÀ HỆ TRỤC TỌA ĐỘ => a>0 => a<0 Định lí: Số đo một góc tạo bởi đường thẳng với hệ trục tọa độ tỉ lệ nghịch với hệ số góc của nó. Ta có công thức Từ công thức trên ta có: CHƯƠNG 3. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN VÀ HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN BÀI 1. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN Định nghĩa: Phương trình dạng trong đó gọi là phương trình bậc nhất hai ẩn x, y. Phương trình bậc nhất hai ẩn có vô số nghiệm. Nghiệm của nó là cặp giá trị (x, y) thõa mãn phương trình. Nghiệm nguyên của phương trình ax+b=c: Ví dụ: Tìm nghiệm nguyên của phương trình . Giải Đặt Vậy nghiệm của phương trình trên là: Chú ý: Với mọi phương trình bậc nhất hai ẩn, nghiệm nguyên của nó luôn có dạng: Tập nghiệm và biểu diễn tập nghiệm: Phương trình bậc nhất hai ẩn luôn có tập nghiệm S = {(x; y); } Tập nghiệm của phương trình là đường thẳng . Khi đó nó đi qua hai điểm và . Ví dụ: tập nghiệm của phương trình là đường thẳng đi qua và . y O x -3 BÀI 2. HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN 1. Định nghĩa: Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng: . Nghiệm của phương trình là (1) và (2). Hệ có nghiệm duy nhất . Hệ vô số nghiệm . Hệ vô nghiệm . 2. Biện luận hệ phương trình: Định thức là một thông số gồm hai cột, hai dòng có công thức . Trong hệ phương trình , ta có: ; ; . Nghiệm của hệ phương trình là . Từ hệ nghiệm trên ta có các hệ quả sau dùng để biện luận hệ phương trình: Hệ phương trình vô nghiệm . Hệ phương trình có nghiệm duy nhất . Hệ phương trình vô nghiệm . Ví dụ: Biện luận hệ phương trình: (1). Ta có: Nếu thì nên hệ phương trình vô nghiệm. Nếu thì nên hệ phương trình vô số nghiệm Nếu thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất Chú ý: phải phân tích D, Dx, Dy thành nhân tử! BÀI 3. GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP THẾ VÀ PHƯƠNG PHÁP CỘNG ĐẠI SỐ Ví dụ 1: Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp thế: . Giải: . Vậy tập nghiệm của phương trình là Chú ý: Để dễ dàng cho việc biến đổi ta biểu diễn biến có trị tuyệt đối của hệ số nhỏ nhất theo biến còn lại. Ví dụ 2: Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp cộng đại số Giải: Vậy tập nghiệm của phương trình là Hệ thức BƠDU CHƯƠNG 4. HÀM SỐ y = ax2 VÀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN BÀI 1. HÀM SỐ y = ax2 1. Định nghĩa: Hàm số y = ax2 gọi là hàm số bậc hai khuyết b và c. Đây là hàm số đồng biến khi a>0 và nghịch biến khi a<0 và đây luôn là hàm số chẳn. Chứng minh: Với a>0, , ta có: Vì nên . Hàm số đồng biến. Khi hàm số đồng biến thì hàm số thuộc về góc tọa độ (I) và (II) hay Min(y = ax2) = 0. Khi hàm số nghịch biến thì hàm số thuộc về góc tọa độ (III) và (IV) hay Max(y = ax2) = 0. 2. Đồ thị hàm số y = ax2: Ví dụ: Vẽ đồ thị hàm số y = 2x2 và y = - x2 Bảng giá trị: x -2 -1 0 1 2 Y = 2x2 8 2 0 2 8 Y = -x2 -4 -1 0 -1 -4 Đồ thị: y Y=2x2 x O Y=-x2 Nhận xét: Với mọi hàm số có giao là góc tọa độ Với , đồ thị hàm số là Parabol (P) đỉnh O, trục đối xứng Oy. 3. Đồ thị hàm số : Ví dụ: Vẽ đồ thị hàm số . Đồ thị hàm số là hàm số tạo bởi Bảng giá trị: X -2 -1 0 1 2 8 2 0 2 8 -8 -2 0 -2 -8 Đồ thị: BÀI 3. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN 1.Định nghĩa: Phương trình gọi là phương trình bậc hai một ẩn hay gọi tắt là phương trình bậc hai. 2. Giải phương trình bậc hai bằng phương pháp đơn giản: Giải phương trình dạng (phương trình bậc hai khuyết c): Ví dụ giải phương trình . Giải: Vậy tập nghiệm của phương trình là S={0; 2} Giải phương trình dạng (phương trình bậc hai khuyết b): Ví dụ: Giải phương trình Giải: Vậy tập nghiệm của phương trình là: . Chú ý: Giải phương trình bậc hai bằng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử: Ví dụ: Giải phương trình . Giải: Vậy tập nghiệm của phương trình là S={-1; -4}. 3. Công thức nghiệm tổng quát: Trường hợp áp dụng những cách trên không được ta dùng công thức nghiệm tổng quát: Phương trình bậc hai có Nếu , phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt: Nếu , phương trình có nghiệm kép: Nếu , phương trình vô nghiệm. 4. Công thức nghiệm thu gọn: Trường hợp hệ số b chẳn ta có công thức nghiệm thu gọn Phương trình bậc hai có , Nếu , phương trình có hai nghiệm phân biệt Nếu , phương trình có nghiệm kép: Nếu , phương trình vô nghiệm. Ví dụ: Giải phương trình Giải: Phương trình có hai nghiệm phân biệt: Vậy tập nghiệm của phương trình là . Ví dụ: Giải phương trình Giải: Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt Vậy tập nghiệm của phương trình là: S = {1; -2} Chú ý: Nếu hệ số a và hệ số c trái dấu nhau thì phương trình bậc hai luôn có nghiệm. 5. Sự tương giao của đường thẳng và Parapol: Cho đường thẳng và Parabol . Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P) là: Ta có Nếu , (d) và (P) cắt nhau. Nếu , (d) và (P) tiếp xúc. Nếu , (d) và (P) không tương giao nhau. BÀI 4. HỆ THỨC VIET VÀ ỨNG DỤNG Cho phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = 0 (a¹0) (*) Có hai nghiệm ; Suy ra: Vậy đặt : Tổng nghiệm là S: S = Tích nghiệm là P: P = Như vậy ta thấy giữa hai nghiệm của phương trình (*) có liên quan chặt chẽ với các hệ số a, b, c. Đây chính là nội dung của Định lí VI-ÉT, sau đây ta tìm hiểu một số ứng dụng của định lí này trong giải toán. I. NHẨM NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH : 1. Dạng đặc biệt: Xét phương trình (*) ta thấy : a) Nếu cho x = 1 thì ta có (*) ó a.12 + b.1 + c = 0 ó a + b + c = 0 Như vây nếu a + b + c = 0 thì phương trình có một nghiệm và nghiệm còn lại là b) Nếu cho x = 1 thì ta có (*) ó a.(1)2 + b(1) + c = 0 ó a b + c = 0 Như vậy nếu a – b + c = 0 thì phương trình có một nghiệm là và nghiệm còn lại là Ví dụ: Dùng hệ thức VI-ÉT để nhẩm nghiệm của các phương trình sau: 1) (1) 2) (2) Ta thấy: Phương trình (1) có dạng a b + c =0 nên có nghiệm và Phương trình (2) có dạng a + b + c = 0 nên có nghiệm và Bài tập áp dụng: Hãy tìm nhanh nghiệm của các phương trình sau: 1. 2. 3. 4. 2. Cho phương trình , có một hệ số chưa biết, cho trước một nghiệm tìm nghiệm còn lại và chỉ ra hệ số của phương trình : Vídụ: a) Phương trình . Có một nghiệm bằng 2, tìm p và nghiệm thứ hai. b) Phương trình có một nghiệm bằng 5, tìm q và nghiệm thứ hai. c) Cho phương trình : , biết hiệu 2 nghiệm bằng 11. Tìm q và hai nghiệm của phương trình. d) Tìm q và hai nghiệm của phương trình : , biết phương trình có 2 nghiệm và có một nghiệm bằng 2 lần nghiệm kia. Bài giải: a) Thay và phương trình ban đầu ta được: Từ suy ra b) Thay và phương trình ban đầu ta được Từ suy ra c)Vì vai trò của x1 và x2 bình đẳng nên theo đề bài giả sử và theo VI-ÉT ta có , ta giải hệ sau: Suy ra d) Vì vai trò của x1 và x2 bình đẳng nên theo đề bài giả sử và theo VI-ÉT ta có . Suy ra Với th ì Với th ì II. LẬP PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI 1. Lập phương trình bậc hai khi biết hai nghiệm Ví dụ : Cho ; lập một phương trình bậc hai chứa hai nghiệm trên Theo hệ thức VI-ÉT ta có vậy là nghiệm của phương trình có dạng: Bài tập áp dụng: 1. x1 = 8 và x2 = -3 2. x1 = 3a và x2 = a 3. x1 = 36 và x2 = -104 4. x1 = và x2 = 2. Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm thoả mãn biểu thức chứa hai nghiệm của một phương trình cho trước: V í dụ: Cho phương trình : có 2 nghiệm phân biệt . Không giải phương trình trên, hãy lập phương trình bậc 2 có ẩn là y thoả mãn : và Theo hệ thức VI- ÉT ta c ó: Vậy phương trình cần lập có dạng: hay Bài tập áp dụng: 1/ Cho phương trình có 2 nghiệm phân biệt . Không giải phương trình, Hãy lập phương trình bậc hai có các nghiệm và (Đáp số: hay ) 2/ Cho phương trình : có 2 nghiệm . Hãy lập phương trình bậc 2 có ẩn y thoả mãn và (có nghiệm là luỹ thừa bậc 4 của các nghiệm của phương trình đã cho). (Đáp số : ) 3/ Cho phương trình bậc hai: có các nghiệm . Hãy lập phương trình bậc hai có các nghiệm sao cho : a) và b) và (Đáp số a) b) III. TÌM HAI SỐ BIẾT TỔNG VÀ TÍCH CỦA CHÚNG Nếu hai số có Tổng bằng S và Tích bằng P thì hai số đó là hai nghiệm của phương trình : (điều kiện để có hai số đó là S2 4P ³ 0 ) Ví dụ : Tìm hai số a, b biết tổng S = a + b = 3 và tích P = ab = 4 Vì a + b = 3 và ab = 4 nên a, b là nghiệm của phương trình: giải phương trình trên ta được và Vậy nếu a = 1 thì b = 4 nếu a = 4 thì b = 1 Bài tập áp dụng: Tìm 2 số a và b biết Tổng S và Tích P 1. S = 3 và P = 2 2. S = 3 và P = 6 3. S = 9 và P = 20 4. S = 2x và P = x2 y2 Bài tập nâng cao: Tìm 2 số a và b biết 1. a + b = 9 và a2 + b2 = 41 2. a b = 5 và ab = 36 3. a2 + b2 = 61 v à ab = 30 Hướng dẫn: 1) Theo đề bài đã biết tổng của hai số a và b , vậy để áp dụng hệ thức VI- ÉT thì cần tìm tích của a v à b. T ừ Suy ra: a, b là nghiệm của phương trình có dạng: Vậy: Nếu a = 4 thì b = 5 nếu a = 5 thì b = 4 2) Đã biết tích: ab = 36 do đó cần tìm tổng : a + b Cách 1: Đ ặt c = b ta có: a + c = 5 và a.c = 36 Suy ra a,c là nghiệm của phương trình: Do đó nếu a = 4 thì c = 9 nên b = 9 nếu a = 9 thì c = 4 nên b = 4 Cách 2: Từ *) Với và ab = 36, nên a, b là nghiệm của phương trình : Vậy a = thì b = *) Với và ab = 36, nên a, b là nghiệm của phương trình : Vậy a = 9 thì b = 4 3) Đã biết ab = 30, do đó cần tìm a + b: T ừ: a2 + b2 = 61 *) Nếu và ab = 30 thì a, b là hai nghiệm của phương trình: Vậy nếu a = thì b = ; nếu a = thì b = *) Nếu và ab = 30 thì a, b là hai nghiệm của phương trình : Vậy nếu a = 5 thì b = 6 ; nếu a = 6 thì b = 5. IV. TÍNH GIÁ TRỊ CỦA CÁC BIỂU THỨC NGHIỆM Đối các bài toán dạng này điều quan trọng nhất là phải biết biến đổi biểu thức nghiệm đã cho về biểu thức có chứa tổng nghiệm S và tích nghiệm P để áp dụng hệ thức VI-ÉT rổi tính giá trị của biểu thức 1. Biến đổi biểu thức để làm xuất hiện : () và Ví dụ 1 a) b) c) d) Ví dụ 2: Ta biết Từ các biểu thức đã biến đổi trên hãy biến đổi các biểu thức sau: 1. ( =.) 2. ( = =. ) 3. ( = = ) 4. ( = = ..) Bài tập áp dụng 5. 6. 7. 8. 2. Không giải phương trình, tính giá trị của biểu thức nghiệm a) Cho phương trình : Không giải phương trình, hãy tính 1. (34) 2. 3. 4. (46) b) Cho phương trình : Không giải phương trình hãy tính: 1. 2. c) Cho phương trình : Không giải phương trình, hãy tính: 1. 2. (138) d) Cho phương trình : Không giải phương trình, hãy tính: 1. (3) 2. (1) 3. (1) 4. e) Cho phương trình có 2 nghiệm x1 ; x2 , không giải phương trình, tính HD: V. TÌM HỆ THỨC LIÊN HỆ GIỮA HAI NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH SAO CHO HAI NGHIỆM NÀY KHÔNG PHỤ THUỘC (HAY ĐỘC LẬP) VỚI THAM SỐ Để làm các bài toán loại này, ta làm lần lượt theo các bước sau: - Đặt điều kiện cho tham số để phương trình đã cho có hai nghiệm x1 và x2 (thường là a ¹ 0 và D ³ 0) - Áp dụng hệ thức VI-ÉT viết S = x1 + x2 v à P = x1 x2 theo tham số - Dùng quy tắc cộng hoặc thế để tính tham số theo x1 và x2 . Từ đó đưa ra hệ thức liên hệ giữa các nghiệm x1 và x2. Ví dụ 1: Cho phương trình : có 2 nghiệm . Lập hệ thức liên hệ giữa sao cho chúng không phụ thuộc vào m. Để phương trình trên có 2 nghiệm x1 và x2 th ì : Theo hệ th ức VI- ÉT ta có : Rút m từ (1) ta có : (3) Rút m từ (2) ta có : (4) Đồng nhất các vế của (3) và (4) ta có: Ví dụ 2: Gọi là nghiệm của phương trình : .Chứng minh rằng biểu thức không phụ thuộc giá trị của m. Để phương trình trên có 2 nghiệm x1 và x2 th ì : Theo hệ thức VI- ÉT ta có : thay vào A ta có: Vậy A = 0 với mọi và . Do đó biểu thức A không phụ thuộc vào m Nhận xét: - Lưu ý điều kiện cho tham số để phương trình đã cho có 2 nghiệm - Sau đó dựa vào hệ thức VI-ÉT rút tham số theo tổng nghiệm, theo tích nghiệm sau đó đồng nhất các vế ta sẽ được một biểu thức chứa nghiệm không phụ thuộc vào tham số. Bài tập áp dụng: 1. Cho phương trình : có 2 nghiệm . Hãy lập hệ thức liên hệ giữa sao cho độc lập đối với m. Hướng dẫn: Dễ thấy do đó phương trình đã cho luôn có 2 nghiệm phân biệt x1 và x2 Theo hệ thức VI- ÉT ta có Từ (1) và (2) ta có: 2. Cho phương trình : . Tìm hệ thức liên hệ giữa và sao cho chúng không phụ thuộc vào m. Hướng dẫn: Dễ thấy do đó phương trình đã cho luôn có 2 nghiệm phân biệt x1 và x2 Theo hệ thức VI- ÉT ta có Từ (1) và (2) ta có: VI.TÌM GIÁ TRỊ THAM SỐ CỦA PHƯƠNG TRÌNH THOẢ MÃN BIỂU THỨC CHỨA NGHIỆM ĐÃ CHO Đối với các bài toán dạng này, ta làm như sau: - Đặt điều kiện cho tham số để phương trình đã cho có hai nghiệm x1 và x2 (thường là a ¹ 0 và D ³ 0) - Từ biểu thức nghiệm đã cho, áp dụng hệ thức VI-ÉT để giải phương trình (có ẩn là tham số). - Đối chiếu với điều kiện xác định của tham số để xác định giá trị cần tìm. Ví dụ 1: Cho phương trình : Tìm giá trị của tham số m để 2 nghiệm và thoả mãn hệ thức : Bài giải: Điều kiện để phương trình c ó 2 nghiệm x1 và x2 l à : Theo h ệ th ức VI- ÉT ta c ó: và từ giả thiết: . Suy ra: (thoả mãn điều kiện xác định ) Vậy với m = 7 thì phương trình đã cho có 2 nghiệm và thoả mãn hệ thức : Ví dụ 2: Cho phương trình: . Tìm m để 2 nghiệm và thoả mãn hệ thức : Bài giải: Điều kiện để phương trình có 2 nghiệm là : Theo hệ thức VI-ÉT ta có: và từ giả thiết . Suy ra Vậy với m = 2 thì phương trình có 2 nghiệm và thoả mãn hệ thức : Bài tập áp dụng 1. Cho phương trình : Tìm m để 2 nghiệm và thoả mãn hệ thức : 2.Cho phương trình : Tìm m để 2 nghiệm và thoả mãn hệ thức: 3. Cho phương trình : . Tìm m để 2 nghiệm và thoả mãn hệ thức : Hướng dẫn cách giải: Đối với các bài tập dạng này ta thấy có một điều khác biệt so với bài tập ở Ví dụ 1 và ví dụ 2 ở chỗ + Trong ví dụ thì biểu thức nghiệm đã chứa sẵn tổng nghiệm và tích nghiệm nên ta có thể vận dụng trực tiếp hệ thức VI-ÉT để tìm tham số m. + Còn trong 3 bài tập trên thì các biểu thức nghiệm lại không cho sẵn như vậy, do đó vấn đề đặt ra ở đây là làm thế nào để từ biểu thức đã cho biến đổi về biểu thức có chứa tổng nghiệm và tích nghiệm rồi từ đó vận dụng tương tự cách làm đã trình bày ở Ví dụ 1 và ví dụ 2. BT1: - ĐKX Đ: -Theo VI-ÉT: - Từ Suy ra: (2) - Thế (1) vào (2) ta đưa được về phương trình sau: BT2: - ĐKXĐ: - Theo VI-ÉT: - Từ : . Suy ra: (2) - Thế (1) vào (2) ta có phương trình : (thoả mãn ĐKXĐ) BT3: - Vì với mọi số thực m nên phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt. - -Theo VI-ÉT: - Từ giả thiết: . Suy ra: (2) - Thế (1) vào (2) ta được phương trình: (thoả mãn ) VII. XÁC ĐỊNH DẤU CÁC NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI Cho phương trình: (a ¹ 0) .Hãy tìm điều kiện để phương trình có 2 nghiệm: trái dấu, cùng dấu, cùng dương, cùng âm. Ta lập bảng xét dấu sau: Dấu nghiệm x1 x2 D Điều kiện chung trái dấu P < 0 D ³ 0 D ³ 0 ; P < 0. cùng dấu, P > 0 D ³ 0 D ³ 0 ; P > 0 cùng dương, + + S > 0 P > 0 D ³ 0 D ³ 0 ; P > 0 ; S > 0 cùng âm S < 0 P > 0 D ³ 0 D ³ 0 ; P > 0 ; S < 0. Ví dụ: Xác định tham số m sao cho phương trình: có 2 nghiệm trái dấu. Để phương trình có 2 nghiệm trái dấu thì Vậy với thì phương trình có 2 nghi ệm trái dấu. Bài tập tham khảo: 1. có 2 nghiệm cùng dấu. 2. có 2 nghiệm âm. 3. có ít nhất một nghiệm không âm. VIII. TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT HOẶC GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA BIỂU THỨC NGHIỆM Áp dụng tính chất sau về bất đẳng thức: trong mọi trường hợp nếu ta luôn phân tích được: (trong đó A, B là các biểu thức không âm ; m, k là hằng số) (*) Thì ta thấy : (v ì ) (v ì) Ví dụ 1: Cho phương trình : Gọi và là các nghiệm của phương trình. Tìm m để : có giá trị nhỏ nhất. Bài giải: Theo VI-ÉT: Theo đ ề b ài: Suy ra: Ví dụ 2: Cho phương trình : Gọi và là các nghiệm của phương trình. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức sau: Ta có: Theo hệ thức VI-ÉT thì : Cách 1: Thêm bớt để đưa về dạng như phần (*) đã hướng dẫn Ta biến đổi B như sau: Vì Vậy m = 1 Với cách thêm bớt khác ta lại có: Vì Vậy Cách 2: Đưa về giải phương trình bậc 2 với ẩn là m và B là tham số, ta sẽ tìm điều kiện cho tham số B để phương trình đã cho luôn có nghiệm với mọi m. (Với m là ẩn, B là tham số) (**) Ta có: Để phương trình (**) luôn có nghiệm với mọi m thì D ³ 0 hay Vậy: m = 1 Bài tập áp dụng 1. Cho phương trình : .Tìm m để biểu thức có giá trị nhỏ nhất. 2. Cho phương trình . Tìm m sao cho nghiệm thỏa mãn điều kiện. 3. Cho phương trình : xác định m để phương trình có 2 nghiệm thỏa mãn a) đạt giá trị lớn nhất b) đạt giá trị nhỏ nhất 4. Cho phương trình : . Với giá trị nào của m, biểu thức dạt giá trị nhỏ nhất. 5. Cho phương trình . Xác định m để biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất. Chú ý: Phương trình bậc hai có hai nghiệm và thì: Phương trình có hai nghiệm và thì có thể phân tích Phương trình có: Hai nghiệm cùng dấu Hai nghiệm cùng dấu dương Hai nghiệm cùng dấu âm Hai nghiệm trái dấu Hai nghiệm nghịch đảo BÀI 5. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯA ĐƯỢC VỀ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI Phương trình trùng phương: Phương trình dạng gọi là phương trình trùng phương. Cách giải: Đặt Phương trình trở thành . Giải phương trình này và nhận t dương. Khi đó . Phương trình chứa ẩn ở mẫu: Ví dụ: Giải phương trình . Giải: Điều kiện xác định: Vậy tập nghiệm của phương trình là: . Phương trình phản thương loại 1: Phương trình phản thương loại 1 có dạng trong đó và . Phương pháp giải: Vì không phải là nghiệm của phương trình nên ta chia hai vế của phương trình cho . Ta được: Đặt Phương trình trở thành: Giải phương trình bậc hai ẩn y ta được y = y0 Giải phương trình bậc hai ẩn x để tìm x. Phương trình phản thương loại 2: Phương trình phản thương loại 2 có dạng trong đó và . Phương pháp giải tương tự phương trình phản thương loại 1.