Giáo án Đại số giải tích 11 Bài 2: Dãy Số

Bài 2: Dãy Số Tiết: 39, 40 Tuần: 13,14. I. MỤC ĐÍCH BÀI DẠY: Kiến thức cơ bản: Định nghĩa dãy số, dãy số tăng, dãy số giảm, dãy số bị chặn. Kỹ năng: Nắm được định nghĩa dãy số, biết cách cho dãy số, chứng minh dãy số tăng, dãy số giảm; biết cách chứng minh dãy số bị chặn. Giáo dục tư tưởng: Rèn luyện tư duy logic, sáng tạo, khả năng so sánh, tổng hợp, vận dụng kiến thức vào thực tiễn, tự giác trong học tập cho học sinh. II. PHƯƠNG PHÁP VÀ PHƯƠNG TIỆN DẠY HỌC: Phương pháp: Đàm thoại, gợi mở. Phương tiện dạy học: Sách giáo khoa, phấn, bông bảng. III. NỘI DUNG VÀ TIẾN TRÌNH LÊN LỚP Chuẩn bị: Kiểm tra bài cũ: không có Vào bài. Trình bày tài liệu mới: Nội dung (lưu bảng) Hoạt động của GV Hoạt động của HS I. ĐỊNH NGHĨA 1. Định nghĩa dãy số: * Hoạt động 1: Cho hàm số , Tính f(1),f(2),f(3),f(4),f(5). * Định nghĩa dãy số: Mỗi hàm số u xác định trên tập các số nguyên dương N* được gọi là một dãy số vô hạn và kí hiệu là: * Ta viết dãy số dưới dạng khai triển: trong đó un=u(n) hoặc viết tắt là (un), u1 gọi là số hạng đầu, un là số hạng thứ n và được gọi là số hạng tổng quát. * Ví dụ: Dãy số tự nhiên lẻ 1,3,5,7 có số hạng đầu là u1=1 và số hạng tổng quát là un=2n-1. 2. Định nghĩa dãy số hữu hạn: * Một hàm số u xác định trên tập M={1,2,3,,m} với m N* được gọi là một dãy số hữu hạn. Vd: 1,3,5,7,9 là dãy số hữu hạn có u1=1 và u5=9. - Tổ chức học sinh thực hiện hoạt động 1: yêu cầu 1 học sinh thực hiện và các học sinh còn lại nhận xét. - Nêu định nghĩa dãy số - Cho ví dụ về dãy số. - Yêu cầu học sinh cho ví dụ về dãy số. - Nêu định nghĩa dãy số hữu hạn, và cho ví dụ minh hoạ. - Thực hiện hoạt dộng 1. - Cho ví dụ về dãy số. II. CÁCH CHO DÃY SỐ 1. Dãy số cho bằng công thức của số hạng tổng quát: - Ví dụ: Cho dãy số (un) với un=. Từ công thức số hạng tổng quát của dãy số ta có thể xác định bất kì một số hạng nào của dãy số. Chẳng hạng: 2. Dãy số cho bằng phương pháp mô tả: - Ví dụ: cho dãy số 3. Dãy số cho bằng phương pháp truy hồi: Ví dụ: Dãy Phi-bô-na-xi là dãy số (un)được xác định như sau: Cách cho dãy số bằng công thức truy hồi là: * Cho số hạng đầu. * Cho biểu thức truy hồi tức là cho biểu thức biểu thị số hạng thứ n qua số hạng ( hay vài số hạng) đứng trước nó. - Hoạt động 4: Viết 10 số hạng đầu của dãy số Phi-bô-na-xi . - Nêu các cách cho dãy số và cho ví dụ minh hoạ. - Yêu cầu học sinh cho thêm ví dụ. - Tổ chức học sinh thực hiện hoạt động 4. - Dựa và các cách cho dãy số mà giáo viên nêu ra, học sinh cho thêm ví dụ dãy số trong từng cách. - Thực hiện hoạt động 4. III. BIỂU DIỄN HÌNH HỌC CỦA DÃY SỐ 1. Biểu diễn dãy số bằng đồ thị: * Vì dãy số là 1 hàm số nên trên mặt phẳng toạ độ dãy số được biểu diễn bằng các điểm có toạ độ (n,un). * Ví dụ: Biểu diễn dãy số (un) với un=. bằng đồ thị: 2. Biểu diễn dãy số trên trục số: - Ví dụ: Biểu diễn dãy số (un) với un=. Trên trục số: - Nêu các cách biểu diễn hình học của dãy số và cho ví dụ minh hoạ. - Cùng giáo viên thực hiện ví dụ để nắm được cách biểu diễn hình học của dãy số. IV. DÃY SỐ TĂNG, DÃY SỐ GIẢM, DÃY SỐ BỊ CHẶN. 1. Dãy số tăng, dãy số giảm: * Hoạt động 5: Cho dãy số (un) và (vn) với a) Tính un+1; vn+1 ? b) Cm: un+1vn ? * Định nghĩa: @ Dãy số (un) được gọi là dãy số tăng nếu ta có un+1>un với mọi n N*. @ Dãy số (un) được gọi là dãy số giảm nếu ta có un+1<un với mọi n N*. * Ví dụ 1: Dãy số (un) với: un=2n-1 là hàm số tăng ? Giải Với mọi n N* ta có: un+1-un=[2(n+1)-1]-(2n -1)=2>0 un+1>un dãy số tăng ? Ví dụ 2: Chứng minh rằng dãy số (un) với . Giải Với mọi n N* ta có: dãy số giảm. - Ví dụ 3: Xét tính tăng giảm của dãy số: Giải Ta có dãy số không tăng, không giảm * Chú ý: Không phải mọi dãy số đều tăng hoặc giảm. 2. Dãy số bị chặn: * Dãy số (un) được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại số M sao cho: . * Dãy số (un) được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại số m sao cho: . * Dãy số (un) được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên, vừa bị chặn dưới, tức là tồn tại các số m, M sao cho: Vd1 : Chứng minh dãy số phi-bô-na-xi bị chặn dưới. Vd2: chứng minh dãy số (un) với un= bị chặn. - Tổ chức cho học sinh thực hiện hoạt động 5: Yêu cầu học sinh thực hiện từng phần nhỏ. - Giới thiệu dãy số tăng, giảm. Yêucầu học sinh phát biểu định nghĩa dãy số tăng, giảm. - Nêu định nghĩa. - Nêu ví dụ, và hướng dẫn học sinh thực hiện ví dụ. - Nêu định nghĩa dãy số bị chặn. - Cho ví dụ. - Thực hiện hoạt động 5. - Nêu định nghĩa dãy số tăng, giảm. - Thực hiện ví dụ qua sự hướng dẫn của giáo viên. - Thực hiện ví dụ dựa vào định nghĩa. 3.Bài tập: Bài 1: a) b) c), d) tương tự. Bài 2: a) b) * Bước 1: n= 1 ta có 1=3.1-1=1 (đúng) * Bước 2: Giả sử uk=3k-1 Ta chúng minh uk+1=3(k+1)-1=3k+2 Thật vậy: Ta có uk+1= uk+3=3k-1+3=3k+2 Vậy un=3n-1 với mọi n N* Bài 3: a) Ta có: b) Dự đoán công thức số hạng tỏng quát là: un= * Chứng minh bằng phương pháp quy nạp: - Bước 1: Với n=1 ta có: (đúng) - Bước 2: Giả sử: uk=. Ta chứng minh uk+1=. Thật vậy: ta có Vậy công thức tổng quát trên đúng với mọi n N*. Bài 4: a) Ta có: un+1<un dãy số giảm. b) Ta có: un+1>un dãy số tăng. c) Ta có: u1=-3<u2=5; u3=-9<u2 dãy số không tăng, không giảm. d) Ta có: un+1<un dãy số giảm. Bài 5: a) Ta có: dãy số bị chặn dưới. Dãy số không bị chặn trên vì khi n vô cùng lớn thì un vô cùng lớn. b) Ta có: un>0. Ta có: Vậy dãy số bị chặn. c) Vì Vì Vậy dãy số bị chặn. d) Ta có Mà dãy số bị chặn.