Giáo án Đại số giải tích 11 Bài 3: Hàm số liên tục

Bài 3: Hàm Số Liên Tục Tiết: Tuần: I. MỤC ĐÍCH BÀI DẠY: Kiến thức cơ bản: Khái niệm giới hạn hàm số liên tục tại 1 điểm; liên tục trên 1 khoảng, 1 đoạn, nữa đoạn; một số định lí có liên qua đến hàm số liên tục. Kỹ năng: Biết cách chứng minh hàm số liên tục tại 1 điểm; biết cách xác định tính liên tục của hàm số; biết cách chúng minh phương trình có nghiệm. Tư duy: Tư duy thuật toán, tư duy suy luận, khái quát vấn đề, khả năng áp dụng lí thuyết vào thực tế, Thái độ: Rèn luyện tính cẩn thận, chính xác, khả năng làm việc nhóm, khả năng thảo luận. II. PHƯƠNG PHÁP VÀ PHƯƠNG TIỆN DẠY HỌC: Phương pháp: Gợi mở, vấn đáp; hoạt động nhóm Phương tiện dạy học: Sách giáo khoa, bảng phụ, phiếu học tập. III. NỘI DUNG VÀ TIẾN TRÌNH LÊN LỚP Ổn định lớp Kiểm tra bài cũ Câu hỏi: Tính giới hạn của hàm số a. b. Gọi 2 học sinh trả bài, mỗi học sinh thực hiện 1 câu hỏi. Trình bày tài liệu mới: Nội dung (lưu bảng) Hoạt động của GV Hoạt động của HS I. HÀM SỐ LIÊN TỤC TẠI MỘT ĐIỂM 1. Định nghĩa: * Hoạt động 1: Cho các hàm số: ; Nếu x>1 Nếu x1 Nếu x1 Nếu x=1 a. Hãy vẽ đồ thị các hàm số trên, nhận xét đồ thị ? b. Trong mỗi hàm số, hãy tính giới hạn của hàm số khi , tính giá trị của hàm số tại x=1 và xem chúng có bằng nhau không? * Định nghĩa: Cho hàm số y=f(x) xác đinh trên khoảng K và x0 K; hàm số y=f(x) được gọi là liên tục tại x0 nếu 2. Ví dụ: Xét tính liên tục của hàm số tại x=3 Giải Hàm số xác định trên nên xác định trên chứa x0=3. Ta có: Vậy hàm số liên tục tại x=3. Để dẫn dắt học sinh đến định nghĩa hàm số liên tục tại 1 điểm, giáo viên tổ chức cho học sinh thực hiện hoạt động 1: - Yêu cầu 3 học sinh lên bảng vẽ đồ thị của 3 hàm số và nhận xét đồ thị ? (gợi ý để học sinh nhận xét được rằng, đồ thị hàm f(x) là nét liền tại điểm có hoành độ x=1. Đồ thị các hàm số g(x), h(x) bị đứt khoảng tại điểm có hoành độ x=1). - Yêu cầu 3 học sinh khác lên bảng tính giới hạn của hàm số khi , tính giá trị của hàm số tại x=1 và xem chúng có bằng nhau không. - Giáo viên khẳng định hàm số f(x) được gọi là liên tục tại x=1 và hàm số g(x), h(x) được gọi là gián đoạn tại x=1. - Vậy hàm số liên tục tại x0 khi nào? - Đưa ra định nghĩa hoàn chỉnh. - Đưa ra ví dụ và yêu cầu học sinh thực hiện, giáo viên điều chỉnh cách trình bày. - Vẽ đồ thị của các hàm số: - Thực hiện tính: g(1)=1, không tồn tại. - Dự đoán: hàm số liên tục tại x0 nếu II. HÀM SỐ LIÊN TỤC TRÊN MỘT KHOẢNG * Định nghĩa: - Hàm số y=f(x) được gọi là liên tục trên một khoảng nếu nó liên tục tại mọi điểm của khoảng đó. - Hàm sốy=f(x) được gọi là liên tục trên đoạn [a;b] nếu nó liên tục trên khoảng (a;b) và - Các khái niệm hàm số liên tục trên nữa khoảng được định nghĩa hoàn toàn tương tự. - Giáo viên nêu định nghĩa hàm số liên tục trên một khoảng, liên tục trên một đoạn. - Yêu cầu học sinh nêu định nghĩa hàm số liên tục trên nữa khoảng. - Dựa vào định nghĩa hàm số trên một đoạn đưa ra định nghĩa hàm số liên tục trên nữa khoảng. III. MỘT SỐ ĐỊNH LÍ CƠ BẢN 1. Định lí 1: a. Hàm số đa thức liên tục trên toàn bộ tập số thực R. b. hàm số phân thức hữu tỉ và các hàm lượng giác liên tục trên từng khoảng xác định của chúng. 2. Định lí 2: Giả sử y=f(x) và y=g(x) là hai hàm số liên tục tại x0 , khi đó: a. Các hàm số: y=f(x)+g(x); y=f(x)-g(x); y=f(x).g(x) liên tục tại x0. b. Hàm số liên tục tại x0 nếu g(x0) 0. 3. Định lí 3: Nếu hàm số y=f(x) liên tục trên đoạn [a;b] và f(a).f(b)<0, thì c(a;b) sao cho f(c)=0. * Để chứng minh sự tồn tại nghiệm của phương trình trên 1 khoảng ta có thể phát biểu định lí dưới dạng khác như sau: Nếu hàm số y=f(x) liên tục trên đoạn [a;b] và f(a).f(b)<0, thì phương trình f(x)=0 có ít nhất một nghiệm nằm trong khoảng (a;b). * Giáo viên đưa ra định lí 1 và không cần chứng minh. Sau đó đưa ra ví dụ: - Xét tính liên tục của các hàm số sau: a. b. c. f(x)=tanx - Yêu cầu học sinh thực hiện ví dụ. * Giáo viên đưa ra định lí 2 và không cần chứng minh. Sau đó đưa ra ví dụ: - Xét tính liên tục của hàm số sau: Nếu x1 Nếu x=1 - Giáo viên gợi ý học sinh thực hiện ví dụ: + Tập xác định của hàm số là gì ? + Xét tính liên tục của hàm số khi x 1? + Xét tính liên tục của hàm số tại x=1. * Nêu định lí 3 và cần phân tích cách chứng minh sự tồn tại của phương trình trên 1 khoảng (a,b): + Chứng minh hàm số liên tục trên [a;b]. + Chứng minh f(a).f(b)<0. - Ví dụ: Chứng minh rằng phương trình có ít nhất một nghiệm. * Giáo viên gợi ý học sinh thực hiện ví dụ: Yêu cầu học sinh tìm hai số a, b để hàm số f(x)= thoả điều kiện của định lí 3. * Phân tích định lí 1 và thực hiện ví dụ: a.là hàm đa thức nên liên tục trên R. b. là hàm phân thức hữu tỉ xác định trên R\{1} nên liên tục trên R\{1}. c. f(x)=tanx là hàm lượng giác xác định trên nên liên tục trên . * Phân tích định lí 2 và thực hiện ví dụ theo gợi ý của giáo viên: + Tập xác định R. + Nếu x 1 ta có là hàm phân thức nên liên tục trên x 1. + Nếu x=1: Ta có Nên hàm số bị gián đoạn tại x=1. * Phân tích định lí 3 và thực hiện ví dụ: Ta có: f(x)= liên tục trên [0,2] và f(0).f(2)=-115<0 do đó pt có ít nhất 1 nghiệm thuộc (0;2) vậy có ít nhất một nghiệm. 3. Bài tập sách giáo khoa: Các dạng bài tập: 3.1. DẠNG 1: Xét tính liên tục của hàm số tại 1 điểm * Chú ý: - Hàm số y=f(x) được gọi là liên tục tại x0 - Hàm số y=f(x) được gọi là gián đoạn tại x0 nếu xảy ra 1 trong các trường hợp sau: + Không tồn tại hoặc f(x0) không xác đinh. + Bài 1/(trang 140): Ta có: , f(3)=32 hàm số f(x) = x3+2x-1 liên tục tại x0=3. Bài 2/(trang 141): Nếu x2 Nếu x=2 a. Ta có: ; g(2)=5 hàm số gián đoạn tại x0=2 b. Ta có hàm số g(x) liên tục tại x0=2 . Vậy để hàm số g(x) liên tục tại x0=3 ta cần thay số 5 bởi số 12. 3.2. DẠNG 2: Xét tính liên tục của hàm số trên tập xác định của nó: Nếu x<-1 Nếu x-1 * Chú ý: Ta cần dựa vào định lí 1 và định lí 2. Bài 3/(trang 141): a. Vẽ đồ thị hàm số: Nhận xét: Hàm số liên tục trên và gián đoạn taik x=-1. b. * Nếu x<-1 ta có: f(x)=3x+1 đây là hàm đa thức nên liên tục với x<-1. * Nếu x >-1 ta có: f(x)= x2-1 đây là hàm đa thức nên liên tục với x>-1 * Nếu x=1 ta có: không tồn tại nên hàm số gián đoạn tại x0=-1 Bài 4/(trang 141): * Ta có: là hàm phân thức xác định trên R\{-3,2} do đó nó liên tục trên các khoảng: * Ta có: g(x)=tanx+sinx là hàm lượng giác có tập xác định là } do đó nó liên tục trên các khoảng: . Bài 5/(trang 141): Đặt h(x)=f(x)+g(x), giả sử h(x) là hàm số liên tục tại x0. Ta có g(x)=h(x)-f(x). Mà f(x), h(x) là các hàm số liên tục tại x0 nên g(x) cũng liên tục tại x0 (trái giả thuyết). Vậy h(x) gián đoạn tại x0 ý kiến trên đúng. 3.3. DẠNG 3:chứng minh phương trình có nghiệm: * Chú ý: sử dụng định lí 3, cần tìm hai số a,b sao cho f(x) liên tục trên [a;b] và f(a).f(b)<0. Bài 6/(trang 141): a. Chứng minh pt 2x‏3-6x+1=0 (1) có ít nhất hai nghiệm. Đặt f(x)=2x‏3-6x+1 * Ta có: f(x) liên tục trên [-2,-1] và f(-2).f(-1)=-3.5=-15<0 pt (1) có ít nhất 1 nghiệm thuộc (-2;-1). * Ta có: f(x) liên tục trên [0,1] và f(0).f(1)=1.(-3)=-3<0 pt (1) có ít nhất 1 nghiệm thuộc (0;1). Mặt khác (-2;-1) (0;1) = nên (1) có ít nhất 2 nghiệm. b. Chứng minh cosx=x (1) có nghiệm. Ta có (1) cosx-x=0 Đặt f(x)=cosx-x, ta có f(x) liên tục trên và <0 (1) có nghiệm.