Giáo án giải tích 12 - Thể tích vật thể tròn xoay

Thể tích vật thể tròn xoay I.cơ sở xây dựng: a.mối liên hệ giữa tích phân xác định với gới hạn của tổng số: cho đường cong y=f(x) và đồng biến trên khoảng (a;b)gọi S là diện tích hình aAbB.ta có: Chia đoạn trục hoành từ x=a đến x=b thành n đoạn nhỏ bằng nhau,độ dài mỗi đoạn là:.từ các điểm chia :a=x1,..b=xn+1 kẻ các đường thẳng song song với oy cắt đường cong tại các điểm có tung độ tương ứng:.từ các điểm kẻ các đường song song với trục hoành chia hình aAbB thành n hình cn ,các hình còn lại là những tam giác cong.diện tích tổng cộng của các hình cn là:( chữ xích ma ký hiệu của tổng số).nếu tăng dần số đoạn chia n thì độ dài mỗi đoạn nhỏ dần tức là nhỏ dần .đồng thời diện tích tổng cộng tăng lên .vậy khi rát nhỏ thì ta có :.khi .mặt khác Chú ý : +ông thức (1) có thể ứng dụng tích phân để tìm một số giới hạn. để tính giới hạn(thông thường giưói hạn cho dưới dạng tổng) sử dụng tích phân ta thực hiện theo quy trình sau: -xét hàm số tương ứng trên đoạn thông thường chọn =. -nhận xét hàm số tồn tại đạo hàm trên . -tiến hành phân hoạch thành n đoạn nhỏ có độ dài bằng nhau. Từ đó xá định . áp dụng công thức (1). Vd: Cho . Bài giải: .xét hàm số : Hàm số có đạo hàm . xét phân hoạch B b. lập công thức tính thể tích : + diện tích hình tròn: + thể tích hình trụ:(h là đường cao,R bk đáy) Cách1(phân tích sâu) Trên đường cong y=f(x) lấy hai điểm A,B có hoành độ làn lượt là a,b .cho hình aAbB quay đủ một vòng quanh trục hoành ta được một khối tròn xoay nhạn Ox làm trục đối xứng.ta xây dựng công thức tính thể tích khối tạo thành.. Chi phần trục hoành từ x=a đén x=b thành n đoạn nhỏ bằng nhau có độ dài .qua mỗi điểm chia cắt khối tròn xoay bằng một mặt phẳng vuông góc với Ox được thiếtdiện thẳng là những hình tròn. Bán kính chính bằng tung độ tại mỗi điểm chia .vậy khối tròn xoay chia thành nhiều khối tròn xoay nhỏ nhận thiết diện thẳng làm đáy ,mỗi phần khối nhỏ này có phần chính là một khối trụ có thể tích Và tổng tất cả các khối trụ thành phần : .gọi V là thể tích khối tròn xoay thì khi nhỏ ta có:.khi là công thức tính thể tích khối tròn xoayquay quanh trục hoành. Cách2: (chấp nhận trực quan) Vật thể (T) giới hạn bởi hai mặt phẳng song song (hv) .cắt vật thể bằng mặt phẳng vuông góc với trục hoành.được thiết diện là đường tròn bán kínhy=f(x). ta có (chấp nhận): .mặt khác : (3) là công thức tính thể tích vạt thể quay quanh trục hoành. Chú ý : +để tính thể tích vật thể cuẩ khối tròn xoay ta phải xác định được hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường sau đó mới cho hình này quay. sau đó áp dụng công thức: +có thể xâydựng tương tự khi cho vật thể quay quanh trục tung ta có công thức tính vật thể tròn xoay quay quanh oy: .(để tính theo hướng này cần biểu diễn sđược x theo y tức :y=f(x) ta có y=g(y) +phải điền (đvtt) vào kết quả II.các dạng toán tính thể tích vật thể tròn xoay(cần nhận dạng quay quanh trục nào:Ox,Oy) 1.dạng 1: tính thể tích vật thể sinh ra bởi hình phẳng giới hạn bởi một đường cong: Kn1: quay quanh trục hoành: (H): Kn2: quay quanh trục tung: B1: B2: (đvtt) Vd: 1. (h1).:tính thể tích khối tạo thành bởi hình phẳng giới hạn bởi para bol y=x2 trục hoành và hai đường thẳng x=0;x=2 khi quay quanh trục Ox. V=. 2 .(hv2):tính thể tích khối nón tạo thành do tam giác vuông OAH quay quanh trục hoành trong đó:OH=h,HA=R. Bg: tìm phương trình đường sinh AO:.gọi là góc tạo bởi AO với chiều dương của Ox.do AO đI qua O(0;0) nên ta có:y=ax=tg.x=Rx/h. vậy thể tích cần tìm là:(đvtt) 3.(hv3):tìm thể tích hình nón cụt do hình thang vuông OABC quay quanh trục hoành biết :OA=r;BC=R;OC=h. Bg: tìm phương trình đường sinh AB: đI qua 2 điểm A(0;r);B(h;R) nên có dạng: (đvtt) 4.(hv4):tính thể tích khối cầu do nửa đường tròn tâm O bánh kính R có phương trình quay quanh trục hoành. Bg: 5.(hv5)tính thể tích khối chỏm cầu do một nửa hình viên phân ABC có phương trình quay quanh trục hoành trong đó BC=h Bg: 6. (hv6) gọi S là diện tích của (E):.tìm thể tích khối tròn xoay khi cho (E) quay quanh : a. trục hoành b.trục tung: bầi giải: a. b. 7.tính thể tích của vật thể sinh ra bởi phép quay quanh trục tung của hình giới hạn bởi các đường : Bg: Bài tập tương tự: 1.tính thể tích vật thể tròn xoay sinh bởi hình phẳng giới hạn bởi các đường sau đây khi quay quanh ox: 1.y=cos x ;y=0;x=0; .ds: 2. 3. 4.y=sin x;y=0;x=0; .ds: 5.. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14.tính thể tích vật thể tròn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi các đường: y=ex ; và trục tung quay trục Oy. ĐS: . 15.tính thể tích của khối tròn xoay tạo nên do quay hình H quanh trục Ox với H là hình được giới hạn bởi các đường: . 16. Dạng2: thể tích vật thể sinh ra bỏi hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong quay quanh trục 1.trường hợp 1: hai đường không giao nhau Kn1: quay quanh trục hoành. (S): Kn2: quay quanh trục tung: (S): B1: từ B2: qua đồ thị : 2.trường hợp2: hai đường cong giao nhau Kn1:quay quanh trục hoành (S) B1: giải phương trình : B2:giả sử: Kn2: quay quanh trục tung: (S) B1: từ: B2: giải phương trình: B3: giả sử Chú ý: nhiều bài toán cần chia thành tổng các thể tích thành phần: Vd: tính thể tích vật thể sinh ra bởi hình phẳng: 1(h1). (S) Tìm : 2(h2). (S) . Tìm : 3(h3)(S) . Tìm : 4. (h4). (S) . Tìm : 5.(h5) (S) Tìm : 6(h6) (S) Tìm : 7.(h7) (S) Tìm : 8. (h8). (S) Tìm : 9. (h9). (S) Tìm : 10. (S) Tìm : 11.(S) Tìm : 12. (S) Tìm : 12(h12).cho (H) :và (d) là tiếp tuyến của (H) đI qua A(2;-1) với hệ số góc dương .tính thể tích khối tròn xoay tạo bởi miền phẳng giới hạn bởi (H),(d), và trục Ox khi quay quanh trục Oy ((d):) 13.(h13)cho (S): Tìm : Dạng3: thể tích hình phẳng sinh ra bởi đường cong bậc hai Kn1: quay quanh Ox. B1: tách đường cong bậc hai thành các cung đường cong: B2:xác định cận :x=a;x=b B3: giả sử Kn2:quay quanh Oy. B1: tách đường cong bậc hai thành các cung đường cong: B2:xác định cận :y=a;y=b B3: giả sử Chú ý: đối với đường cong bậc hai quay quanh tâm của nó (tức tâm thuộc trục tung, hoành với phép quay tương ứng ) ta sử dụng tính đối xứng.tức rút mà không phải tách thành hai cung đường cong. Bài tập: 1.Cho (S):. Tìm Bài2:cho(S):. Tìm Bài 3: tính thể tích khối tròn xoay tạo nên khi cho hình tròn tâm I(2;0) bán kính R=1 quay quanh trục Oy