Giáo án Giải Tích Lớp 12 - Chương trình cả năm

Chương I: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ Tiết dạy: 01 Bài 1: SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ I. MỤC TIÊU: Kiến thức: Hiểu định nghĩa của sự đồng biến, nghịch biến của hàm số và mối liên hệ giữa khái niệm này với đạo hàm. Nắm được qui tắc xét tính đơn điệu của hàm số. Kĩ năng: Biết vận dụng qui tắc xét tính đơn điệu của một hàm số và dấu đạo hàm của nó. Thái độ: Rèn luyện tính cẩn thận, chính xác. Tư duy các vấn đề toán học một cách lôgic và hệ thống. II. CHUẨN BỊ: Giáo viên: Giáo án. Hình vẽ minh hoạ. Học sinh: SGK, vở ghi. Ôn tập các kiến thức đã học về đạo hàm ở lớp 11. III. HOẠT ĐỘNG DẠY HỌC: 1. Ổn định tổ chức: Kiểm tra sĩ số lớp. 2. Kiểm tra bài cũ: (5') x2 1 ? Tính đạo hàm của các hàm số: a) y , b) y . Xét dấu đạo hàm của các hàm số đó? 2 x 1 Đ/A. a) y' x b) y' . x2 3. Giảng bài mới: Hoạt động của Giáo viên Hoạt động của Học sinh Nội dung Hoạt động 1: Nhắc lại các kiến thức liên quan tới tính đơn điệu của hàm số y I. Tính đơn điệu của hàm số 5 1. Nhắc lại định nghĩa Dựa vào KTBC, cho HS Giả sử hàm số y = f(x) xác nhận xét dựa vào đồ thị của các x định trên K. -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 hàm số. y = f(x) đồng biến trên K -5 x1, x2 K: x1 < x2 f(x1) < f(x2) f()() x1 f x 2 H1. Hãy chỉ ra các khoảng Đ1. 0 , x1 x 2 đồng biến, nghịch biến của các x2 y đồng biến trên (–∞; x ,x K (x x ) hàm số đã cho? 1 2 1 2 2 0), nghịch biến trên (0; +∞) y = f(x) nghịch biến trên K 1 H2. Nhắc lại định nghĩa tính y nghịch biến trên (–∞; 0), x1, x2 K: x1 < x2 x đơn điệu của hàm số? f(x1) > f(x2) (0; +∞) f()() x f x 1 2 0 , H3. Nhắc lại phương pháp xét x1 x 2 tính đơn điệu của hàm số đã x ,x K (x x ) 1 2 1 2 biết? H4. Nhận xét mối liên hệ giữa Đ4. đồ thị của hàm số và tính đơn y > 0 HS đồng biến điệu của hàm số? y < 0 HS nghịch biến GV hướng dẫn HS nêu nhận 1 xét về đồ thị của hàm số. y Nhận xét: Đồ thị của hàm số đồng biến x trên K là một đường đi lên từ O trái sang phải. y Đồ thị của hàm số nghịch biến trên K là một đường đi x xuống từ trái sang phải. O Hoạt động 2: Tìm hiểu mối liên hệ giữa tính đơn điệu của hàm số và dấu của đạo hàm Dựa vào nhận xét trên, GV 2. Tính đơn điệu và dấu của nêu định lí và giải thích. đạo hàm: Định lí: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên K. Nếu f '(x) > 0, x K thì y = f(x) đồng biến trên K. Nếu f '(x) < 0, x K thì y = f(x) nghịch biến trên K. Chú ý: Nếu f (x) = 0, x K thì f(x) không đổi trên K. Hoạt động 3: Áp dụng xét tính đơn điệu của hàm số Hướng dẫn HS thực hiện. HS thực hiện theo sự hướng VD1: Tìm các khoảng đơn dẫn của GV. điệu của hàm số: H1. Tính y và xét dấu y ? Đ1. a) y 2 x 1 a) y = 2 > 0, x b) y x2 2 x x y' y b) y = 2x – 2 x 1 y' 0 y Hoạt động 4: Củng cố Nhấn mạnh: – Mối liên quan giữa đạo hàm và tính đơn điệu của hàm số. 4. BÀI TẬP VỀ NHÀ: Bài 1, 2 SGK. Đọc tiếp bài "Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số". IV. RÚT KINH NGHIỆM, BỔ SUNG: ................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................... 2 Tiết dạy: 02 Bài 1: SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ (tt) I. MỤC TIÊU: Kiến thức: Hiểu định nghĩa của sự đồng biến, nghịch biến của hàm số và mối liên hệ giữa khái niệm này với đạo hàm. Nắm được qui tắc xét tính đơn điệu của hàm số. Kĩ năng: Biết vận dụng qui tắc xét tính đơn điệu của một hàm số và dấu đạo hàm của nó. Thái độ: Rèn luyện tính cẩn thận, chính xác. Tư duy các vấn đề toán học một cách lôgic và hệ thống. II. CHUẨN BỊ: Giáo viên: Giáo án. Hình vẽ minh hoạ. Học sinh: SGK, vở ghi. Ôn tập các kiến thức đã học về đạo hàm ở lớp 11. III. HOẠT ĐỘNG DẠY HỌC: 1. Ổn định tổ chức: Kiểm tra sĩ số lớp. 2. Kiểm tra bài cũ: (5') H. Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số y 2 x4 1? Đ. Hàm số đồng biến trong khoảng (0; +∞), nghịch biến trong khoảng (–∞; 0). 3. Giảng bài mới: Hoạt động của Giáo viên Hoạt động của Học sinh Nội dung Hoạt động 1: Tìm hiểu thêm về mối liên hệ giữa đạo hàm và tính đơn điệu của hàm số I. Tính đơn điệu của hàm số GV nêu định lí mở rộng và 2. Tính đơn điệu và dấu của giải thích thông qua VD. đạo hàm Chú ý: Giả sử y = f(x) có đạo hàm trên K. Nếu f (x) 0 (f (x) 0), x K và f (x) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm thì hàm số đồng biến (nghịch biến) trên K. VD2: Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số y = x3. Hoạt động 2: Tìm hiểu qui tắc xét tính đơn điệu của hàm số II. Qui tắc xét tính đơn điệu GV hướng dẫn rút ra qui tắc của hàm số xét tính đơn điệu của hàm số. 1. Qui tắc 1) Tìm tập xác định. 2) Tính f (x). Tìm các điểm xi (i = 1, 2, , n) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định. 3) Sắp xếp các điểm xi theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên. 4) Nêu kết luận về các khoảng đồng biến, ng.biến của hàm số. 3 Hoạt động 3: Áp dụng xét tính đơn điệu của hàm số 2. Áp dụng Chia nhóm thực hiện và gọi HS Các nhóm thực hiện yêu cầu. lên bảng. a) đồng biến (– ; –1), (2; + ) VD3: Tìm các khoảng đơn nghịch biến (–1; 2) điệu của các hàm số sau: b) đồng biến (– ; –1), (–1; + ) 1 1 a) y x3 x 2 2 x 2 3 2 x 1 GV hướng dẫn xét hàm số: b) y x 1 trên 0; . 2 H1. Tính f (x) ? VD4: Chứng minh: Đ1. f (x) = 1 – cosx 0 x sin x (f (x) = 0 x = 0) trên khoảng 0; . f(x) đồng biến trên 0; 2 2 với 0 x ta có: 2 f( x ) x sin x > f(0) = 0 Hoạt động 4: Củng cố Nhấn mạnh: – Mối liên quan giữa đạo hàm và tính đơn điệu của hàm số. – Qui tắc xét tính đơn điệu của hàm số. – Ứng dụng việc xét tính đơn điệu để chứng minh bất đẳng thức. 4. BÀI TẬP VỀ NHÀ: Bài 3, 4, 5 SGK. IV. RÚT KINH NGHIỆM, BỔ SUNG: ................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................... 4 Tiết dạy: 03 LUYỆN TẬP SỰ ĐỒNG BIẾN NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ I. MỤC TIÊU: Kiến thức: Hiểu định nghĩa của sự đồng biến, nghịch biến của hàm số và mối liên hệ giữa khái niệm này với đạo hàm. Nắm được qui tắc xét tính đơn điệu của hàm số. Kĩ năng: Biết vận dụng qui tắc xét tính đơn điệu của một hàm số và dấu đạo hàm của nó. Thái độ: Rèn luyện tính cẩn thận, chính xác. Tư duy các vấn đề toán học một cách lôgic và hệ thống. II. CHUẨN BỊ: Giáo viên: Giáo án. Hình vẽ minh hoạ. Học sinh: SGK, vở ghi. Ôn tập các kiến thức đã học về đạo hàm ở lớp 11. III. HOẠT ĐỘNG DẠY HỌC: 1. Ổn định tổ chức: Kiểm tra sĩ số lớp. 2. Kiểm tra bài cũ: (Lồng vào quá trình luyện tập) 3. Giảng bài mới: Hoạt động của Giáo viên Hoạt động của Học sinh Nội dung Hoạt động 1: Nắm được quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số Cho các nhóm thực hiện. Các nhóm thảo luận và trình 1. Xét sự đồng biến và nghịch bày. Đ1. biến của các hàm số sau: H1. Nêu các bước xét tính đơn 3 3 a) y 4 3 x - x2 a)ĐB:(– ; ); NB:( ;+ ) điệu của hàm số? 2 2 b)ĐB: (– ;-7) và (1;+ ) 1 b) y x3 3 x 2 7 x 2 NB: (–7;1) 3 c)ĐB: (–1;0) và (1;+ ) c) y x4 2 x 2 3 NB: (– ;-1) và (0;1) d)ĐB: (0;2/3) 3 2 NB: (– ;0) và (2/3;+ ) d) y x x 5 Cho các nhóm thực hiện. Các nhóm thảo luận và trình 2. Tìm các khoảng đơn điệu bày. của hàm số: H/s nhớ lại cách tìm TXĐ Đ1. 3x 1 a) y những hàm không phải dạng đa a) ĐB: ( ; 1); (1; ) 1 x thức, và xét tính đơn điệu. x2 2 x b) NB: ( ; 1); (1; ) b) y 1 x c) ĐB: (5; ) c) y x2 x 20 NB: ( ; -4) 2x d) y d) NB ( ; -3); (-3;3); x2 9 (3; ) 4. BÀI TẬP VỀ NHÀ: Làm các bài tập còn lại trong SGK và bài tập thêm. Đọc trước bài "Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số". IV. RÚT KINH NGHIỆM, BỔ SUNG: ................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................... 5 Tiết dạy: 04 Bài 2: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ I. MỤC TIÊU: Kiến thức: Mô tả được các khái niệm điểm cực đại, điểm cực tiểu, điểm cực trị của hàm số. Mô tả được các điều kiện đủ để hàm số có điểm cực trị. Kĩ năng: Sử dụng thành thạo các điều kiện đủ để tìm cực trị. Thái độ: Rèn luyện tính cẩn thận, chính xác. Tư duy các vấn đề toán học một cách lôgic và hệ thống. II. CHUẨN BỊ: Giáo viên: Giáo án. Hình vẽ minh hoạ. Học sinh: SGK, vở ghi. Ôn tập các kiến thức đã học về tính đơn điệu của hàm số. III. HOẠT ĐỘNG DẠY HỌC: 1. Ổn định tổ chức: Kiểm tra sĩ số lớp. 2. Kiểm tra bài cũ: (3') x H. Xét tính đơn điệu của hàm số: y ( x 3)2 ? 3 4 4 Đ. ĐB: ; ,(3; ) , NB: ;3 . 3 3 3. Giảng bài mới: Hoạt động của Giáo viên Hoạt động của Học sinh Nội dung Hoạt động 1: Tìm hiểu khái niệm cực trị của hàm số Dựa vào KTBC, GV giới I. KHÁI NIỆM CỰC ĐẠI, thiệu khái niệm CĐ, CT của CỰC TIỂU hàm số. Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) xác định và liên tục trên khoảng (a; b) Nhấn mạnh: khái niệm cực trị mang tính chất "địa phương". và điểm x0 (a; b). a) f(x) đạt CĐ tại x0 h > 0, f(x) < f(x0), x S(x0, h)\ {x0}. b) f(x) đạt CT tại x0 h > 0, f(x) > f(x0), x S(x0, h)\ {x0}. Chú ý: H1. Xét tính đơn điệu của hàm Đ1. a) Điểm cực trị của hàm số; số trên các khoảng bên trái, Bên trái: hàm số ĐB f (x) 0 Giá trị cực trị của hàm số; bên phải điểm CĐ? Bên phái: h.số NB f (x) 0. Điểm cực trị của đồ thị hàm số. b) Nếu y = f(x) có đạo hàm trên (a; b) và đạt cực trị tại x0 (a; b) thì f (x0) = 0. Hoạt động 2: Tìm hiểu điều kiện đủ để hàm số có cực trị GV phác hoạ đồ thị của các II. ĐIỀU KIỆN ĐỦ ĐỂ HÀM hàm số: a) không có cực trị. SỐ CÓ CỰC TRỊ a) y 2 x 1 b) có CĐ, CT. Định lí 1: Giả sử hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng K = x 2 b) y ( x 3) (;)x h x h và có đạo hàm 3 0 0 Từ đó cho HS nhận xét mối trên K hoặc K \ {x0} (h > 0). liên hệ giữa dấu của đạo hàm a) f (x) > 0 trên (;)x h x , 0 0 và sự tồn tại cực trị của h/số. f (x) < 0 trên (;)x0 x 0 h thì x0 6 là một điểm CĐ của f(x). b) f (x) < 0 trên (;)x0 h x 0 , f (x) > 0 trên (;)x x h thì x 0 0 0 là một điểm CT của f(x). Nhận xét: Hàm số có thể đạt GV hướng dẫn thông qua cực trị tại những điểm mà tại việc xét hàm số y x . đó đạo hàm không xác định. Hoạt động 3: Áp dụng tìm điểm cực trị của hàm số GV hướng dẫn các bước thực VD1: Tìm các điểm cực trị của hiện. Đ1. hàm sô: H1. a) D = R a) y f( x ) x2 1 – Tìm tập xác định. y = –2x; y = 0 x = 0 b) y f( x ) x3 x 2 x 3 – Tìm y . Điểm CĐ: (0; 1) 3x 1 – Tìm điểm mà y = 0 hoặc b) D = R c) y f() x không tồn tại. y = 3x2 2 x 1; x 1 – Lập bảng biến thiên. x 1 – Dựa vào bảng biến thiên để y = 0 1 kết luận. x 3 1 86 Điểm CĐ: ; , 3 27 Điểm CT: (1;2) c) D = R \ {–1} 2 y' 0,  x 1 (x 1)2 Hàm số không có cực trị. Hoạt động 4: Củng cố Nhấn mạnh: – Khái niệm cực trị của hàm số. – Điều kiện cần và điều kiện đủ để hàm số có cực trị. 4. BÀI TẬP VỀ NHÀ: Làm bài tập 1, 3 SGK. Đọc tiếp bài "Cực trị của hàm số". IV. RÚT KINH NGHIỆM, BỔ SUNG: ................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................... 7 Tiết dạy: 05 Bài 2: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ (tt) I. MỤC TIÊU: Kiến thức: Mô tả được các khái niệm điểm cực đại, điểm cực tiểu, điểm cực trị của hàm số. Mô tả được các điều kiện đủ để hàm số có điểm cực trị. Kĩ năng: Sử dụng thành thạo các điều kiện đủ để tìm cực trị. Thái độ: Rèn luyện tính cẩn thận, chính xác. Tư duy các vấn đề toán học một cách lôgic và hệ thống. II. CHUẨN BỊ: Giáo viên: Giáo án. Hình vẽ minh hoạ. Học sinh: SGK, vở ghi. Ôn tập các kiến thức đã học về tính đơn điệu và cực trị của hàm số. III. HOẠT ĐỘNG DẠY HỌC: 1. Ổn định tổ chức: Kiểm tra sĩ số lớp. 2. Kiểm tra bài cũ: (3') H. Tìm điểm cực trị của hàm số: y x3 3 x 1? Đ. Điểm CĐ: (–1; 3); Điểm CT: (1; –1). 3. Giảng bài mới: Hoạt động của Giáo viên Hoạt động của Học sinh Nội dung Hoạt động 1: Tìm hiểu Qui tắc tìm cực trị của hàm số Dựa vào KTBC, GV cho HS HS nêu qui tắc. III. QUI TẮC TÌM CỰC TRỊ nhận xét, nêu lên qui tắc tìm Qui tắc 1: cực trị của hàm số. 1) Tìm tập xác định. 2) Tính f (x). Tìm các điểm tại đó f (x) = 0 hoặc f (x) không xác định. 3) Lập bảng biến thiên. 4) Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị. Hoạt động 2: Áp dụng qui tắc 1 tìm cực trị của hàm số Cho các nhóm thực hiện. Các nhóm thảo luận và trình VD1: Tìm các điểm cực trị của bày. hàm số: a) CĐ: (–1; 3); CT: (1; –1). a) y x( x2 3) b) CĐ: (0; 2); b) y x4 3 x 2 2 3 1 3 1 x 1 CT: ; , ; c) y 2 4 2 4 x 1 c) Không có cực trị x2 x 1 d) CĐ: (–2; –3); CT: (0; 1) d) y x 1 Hoạt động 3: Tìm hiểu qui tắc 2 để tìm cực trị của hàm số GV nêu định lí 2 và giải thích. Định lí 2: Giả sử y = f(x) có đạo hàm cấp 2 trong (;)x0 h x 0 h (h > 0). a) Nếu f (x0) = 0, f (x0) > 0 thì x0 là điểm cực tiểu. H1. Dựa vào định lí 2, hãy nêu b) Nếu f (x ) = 0, f (x ) < 0 qui tắc 2 để tìm cực trị của h/s? Đ1. HS phát biểu. 0 0 thì x0 là điểm cực đại. 8 Qui tắc 2: 1) Tìm tập xác định. 2) Tính f (x). Giải phương trình f (x) = 0 và kí hiệu xi là nghiệm 3) Tìm f (x) và tính f (xi). 4) Dựa vào dấu của f (xi) suy ra tính chất cực trị của xi. Hoạt động 4: Áp dụng qui tắc 2 để tìm cực trị của hàm số Cho các nhóm thực hiện. Các nhóm thảo luận và trình VD2: Tìm cực trị của hàm số: bày. x4 a) y 2 x2 6 a) CĐ: (0; 6) 4 CT: (–2; 2), (2; 2) b) y sin 2 x b) CĐ: x k 4 3 CT: x k 4 Hoạt động 5: Củng cố Nhấn mạnh: – Các qui tắc để tìm cực trị của hàm số. – Nhận xét qui tắc nên dùng Đối với các hàm đa thức bậc ứng với từng loại hàm số. cao, hàm lượng giác, nên dùng qui tắc 2. Câu hỏi: Đối với các hàm số Đối với các hàm không có sau hãy chọn phương án đúng: đạo hàm không thể sử dụng qui 1) Chỉ có CĐ. tắc 2. 2) Chỉ có CT. 3) Không có cực trị. 4) Có CĐ và CT. a) y x3 x 2 5 x 3 a) Có CĐ và CT 3 2 b) Không có CĐ và CT b) y x x 5 x 3 c) Có CĐ và CT x2 x 4 c) y d) Không có CĐ và CT x 2 x 4 d) y x 2 4. BÀI TẬP VỀ NHÀ: Làm bài tập 2, 4, 5, 6 SGK. IV. RÚT KINH NGHIỆM, BỔ SUNG: ................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................... 9 Tiết dạy: 06 BÀI TẬP CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ I. MỤC TIÊU: Kiến thức: Mô tả được các khái niệm điểm cực đại, điểm cực tiểu, điểm cực trị của hàm số. Mô tả được các điều kiện đủ để hàm số có điểm cực trị. Kĩ năng: Sử dụng thành thạo các điều kiện đủ để tìm cực trị. Thái độ: Rèn luyện tính cẩn thận, chính xác. Tư duy các vấn đề toán học một cách lôgic và hệ thống. II. CHUẨN BỊ: Giáo viên: Giáo án. Hệ thống bài tập. Học sinh: SGK, vở ghi. Ôn tập các kiến thức đã học về tính đơn điệu và cực trị của hàm số. III. HOẠT ĐỘNG DẠY HỌC: 1. Ổn định tổ chức: Kiểm tra sĩ số lớp. 2. Kiểm tra bài cũ: (Lồng vào quá trình luyện tập) 3. Giảng bài mới: Hoạt động của Giáo viên Hoạt động của Học sinh Nội dung Hoạt động 1: Sử dụng qui tắc 1 để tìm cực trị của hàm số Cho các nhóm thực hiện. Các nhóm thảo luận và trình 1. Tìm các điểm cực trị của bày. hàm số: H1. Nêu các bước tìm điểm Đ1. a) y 2 x3 3 x 2 36 x 10 cực trị của hàm số theo qui tắc a) CĐ: (–3; 71); CT: (2; –54) b) y x4 2 x 2 3 1? b) CT: (0; –3) 1 c) CĐ: (–1; –2); CT: (1; 2) c) y x x 1 3 d) CT: ; 2 2 2 d) y x x 1 Hoạt động 2: Sử dụng qui tắc 2 để tìm cực trị của hàm số Cho các nhóm thực hiện. Các nhóm thảo luận và trình 2. Tìm các điểm cực trị của bày. hàm số: H1. Nêu các bước tìm điểm Đ1. a) y x4 2 x 2 1 cực trị của hàm số theo qui tắc a) CĐ: (0; 1); CT: ( 1; 0) b) y sin 2 x x 2? c) y sin x cos x b) CĐ: x k 6 d) y x5 x 3 2 x 1 CT: x l 6 c) CĐ: x 2 k 4 CT: x (2 l 1) 4 d) CĐ: x = –1; CT: x = 1 Hoạt động 3: Vận dụng cực trị của hàm số để giải toán H1. Nêu điều kiện để hàm số Đ1. Phương trình y = 0 có 2 3. Chứng minh rằng với mọi m, luôn có một CĐ và một CT? nghiệm phân biệt. hàm số y x3 mx 2 2 x 1 y' 3 x2 2 mx 2 = 0 luôn luôn có một điểm CĐ và một có 2 nghiệm phân biệt. điểm CT. 2 = m + 6 > 0, m 10