Giáo án Hình học 10

HÌNH 10. CHƯƠNG 1: VECTO. BÀI 1: CÁC ĐỊNH NGHĨA Chương 1. VECTƠ Vecto - Tổng và hiệu của hai vecto - Tích của vecto với một số - Toạ độ của vecto và toạ độ của điểm Trong vật lí ta thường gặp các đại lượng có hướng như lực, vận tốc, ... Người ta thường dùng vecto để biểu diễn các đại lượng đó. BÀI 1. CÁC ĐỊNH NGHĨA 1. Khái niệm vectơ Các mũi tên trong hình 1.1 biểu diễn hướng chuyển động của ô tô và máy bay. Cho đoạn thẳng AB. Nếu ta chọn điểm A làm điểm đầu, điểm B làm điểm cuối thì đoạn thẳng AB có hướng từ A đến B. Khi đó ta nói AB là một đoạn thẳng có hướng. Định nghĩa Vec tơ có điểm đầu A, điểm cuối B được kí hiệu là và đọc là “vectơ AB”. Để vẽ vectơ ta vẽ đoạn thẳng AB và đánh dấu mũi tên ở đầu mút B (h.1.2a). Vectơ còn được kí hiệu là khi không cần chỉ rõ điểm đầu và điểm cuối của nó (h.1.2b). 1. Với hai điểm A, B phân biệt ta có được bao nhiêu vectơ có điểm đầu và điểm cuối là A hoặc B. 2. Vectơ cùng phương, vectơ cùng hướng Đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối của một vectơ được gọi là giá của vectơ đó. 2. Hãy nhận xét về vị trí tương đối của các giá của các cặp vectơ sau: Định nghĩa Trên hình 1.3, hai vectơ cùng phương và có cùng hướng đi từ trái sang phải. Ta nói là hai vectơ cùng hướng. Hai vectơ cùng phương nhưng có hướng ngược nhau. Ta nói hai vectơ là hai vectơ ngược hướng. Như vậy, nếu hai vectơ cùng phương thì chúng chỉ có thể cùng hướng hoặc ngược hướng. Nhận xét. Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi hai vectơ cùng phương. Thật vậy, nếu hai vectơ cùng phương thì hai đường thẳng AB và AC song song hoặc trùng nhau. Vì chúng có chung điểm A nên chúng phải trùng nhau. Vậy ba điểm A, B, C thẳng hàng. Ngược lại, nếu ba điểm A, B, C thẳng hàng thì hai vectơ có giá trùng nhau nên chúng cùng phương. 3. Khẳng định sau đúng hay sai: Nếu ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng thì hai vectơ cùng hướng. 3. Hai vectơ bằng nhau Mỗi vectơ có một độ dài, đó là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của vectơ đó. Độ dài của được kí hiệu là Vectơ có độ dài bằng 1 được gọi là vectơ đơn vị. Hai vectơ được gọi là bằng nhau nếu chúng cùng hướng và có cùng độ dài, kí hiệu . Chú ý. Khi cho trước vectơ và điểm O, thì ta luôn tìm được một điểm A duy nhất sao cho . 4. Gọi O là tâm hình lục giác đều ABCDEF. Hãy chỉ ra các vectơ bằng vectơ . 4. Vectơ – không Ta biết rằng mỗi vectơ có một diểm đầu và một điểm cuối và hoàn toàn được xác định khi biết điểm đầu và điểm cuối của nó. Bây giờ với một điểm A bất kì ta quy ước có một vectơ đặc biệt mà điểm đầu và điểm cuối đều là A. Vectơ này được kí hiệu là và gọi là vectơ – không. Vectơ nằm trên mọi đường thẳng đi qua A, vì vậy ta quy ước vectơ – không cùng phương, cùng hướng với mọi vectơ. Ta cũng quy ước rằng . Do đó có thể coi mọi vectơ – không đều bằng nhau. Ta kí hiệu vectơ – không là . Như vậy với mọi điểm A, B Câu hỏi và bài tập 2. Trong hình 1.4, hãy chỉ ra các vectơ cùng phương, cùng hướng, ngược hướng và các vectơ bằng nhau. 3. Cho tứ giác ABCD . Chứng minh rằng tứ giác đó là hình bình hành khi và chỉ khi . 4. Cho lục giác đều có tâm . a) Tìm các vectơ khác và cùng phương với . b) Tìm các vectơ bằng vectơ . HÌNH 10: CHƯƠNG 1. BÀI 2: TỔNG VÀ HIỆU CỦA HAI VECTO 1. Tổng của hai vectơ Trên hình 1.5, hai người đi dọc hai bên bờ kênh và cùng kéo một con thuyền với hai lực và . Hai lực và tạo nên hợp lực là tổng của hai lực và , làm thuyền chuyển động. Định nghĩa 2. Quy tắc hình bình hành Nếu là hình bình hành thì Trên hình 1.5, hợp lực của hai lực và là lực được xác định bằng quy tắc hình bình hành. 3. Tính chất của phép cộng các vectơ Hình 1.8 minh họa cho các tính chất trên. ?1. Hãy kiểm tra các tính chất của phép cộng trên hình 1.8. 4. Hiệu của hai vectơ a) Vectơ đối Ví dụ 1. Nếu lần lượt là trung điểm của các cạnh của tam giác (h.1.9), khi đó ta có: b) Định nghĩa hiệu của hai vectơ Như vậy: Từ định nghĩa hiệu của hai vectơ, suy ra: Với ba điểm tùy ý ta có: Chú ý. 1) Phép toán tìm hiệu của hai vectơ còn được gọi là phép trừ vectơ. 2) Với ba điểm tùy ý ta luôn có: Thực chất hai quy tắc trên được suy ra từ phép cộng vectơ. Ví dụ 2. Với bốn điểm bất kì ta luôn có: Thật vậy, lấy một điểm tùy ý ta có: 5. Áp dụng Chứng minh: b) Trọng tâm G của tam giác ABC nằm trên trung tuyến AI. Lấy D là điểm đối xứng với G qua I. Khi đó là hình bình hành và là trung điểm của đoạn thẳng . Suy ra: Do đó ba điểm thẳng hàng, , điểm nằm giữa và . Vậy là trọng tâm của tam giác . Câu hỏi và bài tập 1. Cho đoạn thẳng và điểm nằm giữa và sao cho . Vẽ các vectơ: 2. Cho hình bình hành và một điểm tùy ý. Chứng minh rằng: 3. Chứng minh rằng đối với tứ giác bất kì ta luôn có: 4. Cho tam giác . Bên ngoài của tam giác vẽ các hình bình hành . Chứng minh rằng: 5. Cho tam giác đều cạnh bằng . Tính độ dài của các vectơ : 6. Cho hình bình hành có tâm . Chứng minh rằng: Bài đọc thêm Thuyền buồm chạy ngược chiều gió Thông thường người ta vẫn nghĩ rằng gió thổi về hướng nào thì sẽ đẩy thuyền buồm về hướng đó. Trong thực tế con người đã nghiên cứu tìm cách lợi dụng sức gió làm cho thuyền buồm chạy ngược chiều gió. Vậy người ta đã làm như thế nào để thực hiện được điều tưởng chừng như vô lí đó? Nói một cách chính xác thì người ta có thể làm cho thuyền chuyển động theo một góc nhọn, gần bằng 1/2 góc vuông đối với chiều gió thổi. Chuyển động này được thực hiện theo đường dích dắc nhằm tới hướng cần đến của mục tiêu. Để làm được điều đó ta đặt thuyền theo hướng và đặt buồm theo phương như hình vẽ. Khi đó gió thổi tác động lên mặt buồm một lực. Tổng hợp lực là lực có điểm đặt ở chính giữa buồm. Lực được phân tích thành hai lực: lực vuông góc với cánh buồm và lực theo chiều dọc cánh buồm. Ta có . Lực này không đẩy buồm đi đâu cả vì lực cản của gió đối với buồm không đáng kể. Lúc đó chỉ còn lực đẩy buồm dưới một góc vuông. Như vậy khi có gió thổi, luôn luôn có một lực vuông góc với mặt phẳng của buồm. Lực này được phân tích thành lực vuông góc với sống thuyền và lực dọc theo sống thuyền hướng về mũi thuyền. Khi đó ta có . Lực rất nhỏ so với sức cản rất lớn của nước, do thuyền buồm có sống thuyền rất sâu. Chỉ còn lực hướng về phía trước dọc theo sống thuyền đẩy thuyền đi một góc nhọn ngược với chiều gió thổi. Bằng cách đổi hướng thuyền theo con đường dích dắc, thuyền có thể đi tới đích theo hướng ngược chiều gió mà không cần lực đẩy. Hình 10: Bài 3. HIỆU CỦA HAI VECTƠ Vectơ đối của một vectơ Nếu tổng của hai vectơ và là vectơ-không, thì ta nói là vectơ đối của vectơ , hoặc là vectơ đối của . ?1. Cho đoạn thẳng AB. Vectơ đối của vectơ là vectơ nào? Phải chăng mọi vectơ cho trước đều có vectơ đối? Vectơ đối của vectơ được kí hiệu là . Như vậy Ta có nhận xét sau đây Ví dụ. Giả sử ABCD là hình bình hành (h. 18). Khi đó hai vectơ và có cùng độ dài nhưng ngược hướng. Bởi vậy và Tương tự, ta có và 1. Gọi O là tâm của hình bình hành ABCD. Hãy chỉ ra các cặp vectơ đối nhau mà có điểm đầu là O và điểm cuối là đỉnh của hình bình hành đó. 2. Hiệu của hai vectơ ĐỊNH NGHĨA Sau đây là cách dựng hiệu nếu đã cho vectơ và vectơ (h. 19). Lấy một điểm O tùy ý rồi vẽ và . Khi đó . ?2. Hãy giải thích vì sao ta lại có (h. 19). Quy tắc về hiệu vectơ Quy tắc sau đây cho phép ta hiển thị một vectơ bất kì thành hiệu của hai vectơ có chung điểm đầu. Bài toán. Cho bốn điểm bất kì A, B, C, D. Hãy dùng quy tắc về hiệu vectơ để chứng minh rằng . Giải. Lấy một điểm O tùy ý, theo quy tắc về hiệu vectơ, ta có So sánh hai đẳng thức trên ta suy ra . 2. (Giải bài toán trên bằng những cách khác) a) Đẳng thức cần chứng minh tương đương với đẳng thức . Từ đó hãy nêu cách chứng minh thứ hai của bài toán. b) Đẳng thức cần chứng minh cũng tương đương với đẳng thức . Từ đó hãy nêu cách chứng minh thứ ba của bài toán. c) Hiển nhiên ta có . Hãy nêu cách chứng minh thứ tư. Câu hỏi và bài tập 14. Trả lời các câu hỏi sau đây a) Vectơ đối của vectơ là vectơ nào? b) Vectơ đối của vectơ là vectơ nào? c) Vectơ đối của vectơ là vectơ nào? 15. Chứng minh các mệnh đề sau đây a) Nếu thì , ; b) ; c) . 16. Cho hình bình hành ABCD với tâm O. Mỗi khẳng định sau đây đúng hay sai? a) ; b) ; c) ; d) ; e) . 17. Cho hai điểm phân biệt a) Tìm tập hợp các điểm O sao cho ; b) Tìm tập hợp các điểm O sao cho . 18. Cho hình bình hành ABCD. Chứng minh rằng . 19. Chứng minh rằng khi và chỉ khi trung điểm của hai đoạn thẳng AD và BC trùng nhau. 20. Cho sáu điểm A, B, C, D, E, F.Chứng minh rằng Hình 10: Chương 1. VECTƠ - Bài 4. TÍCH CỦA MỘT VECTƠ VỚI MỘT SỐ Bài 4. TÍCH CỦA MỘT VECTƠ VỚI MỘT SỐ Ta đã biết thế nào là tổng của hai vectơ. Bây giờ nếu ta lấy vectơ cộng với chính nó thì ta có thể nói kết quả là hai lần vectơ , viết là 2, và gọi là tích của số 2 với vectơ , hay là tích của với 2. Trong mục này ta sẽ nói đến tích của một vectơ với một số thực bất kì. 1. Định nghĩa tích của một vectơ với một số ĐỊNH NGHĨA Tích của vectơ với số thực k là một vectơ, kí hiệu là k, được xác định như sau 1) Nếu k 0 thì vectơ k cùng hướng với vectơ ; Nếu k < 0 thì vectơ k ngược hướng với vectơ ; 2) Độ dài vectơ k bằng . Phép lấy tích của một vectơ với một số gọi là phép nhân vectơ với số (hoặc phép nhân số với vectơ). Nhận xét. Từ định nghĩa ta thấy ngay 1 = , (˗1) là vectơ đối của , tức là (˗1) = ˗. Ví dụ. Trên hình 21, ta có tam giác ABC với M và N lần lượt là trung điểm hai cạnh AB và AC. Khi đó ta có Hình 21 2. Các tính chất của phép nhân vectơ với số Dựa vào định nghĩa phép nhân vectơ với số ta có thể chứng minh các tính chất sau đây 2. (Để kiểm chứng tính chất 3 với k = 3) a) Vẽ tam giác ABC với giả thiết và . b) Xác định điểm A' sao cho và điểm C' sao cho . c) Có nhận xét gì về hai vectơ và ? d) Hãy kết thúc việc chứng minh tính chất 3 bằng cách dùng quy tắc ba điểm. CHÚ Ý Bài toán 1. Chứng minh rằng điểm I là trung điểm của đoạn thẳng AB khi và chỉ khi với điểm M bất kì, ta có . Giải. (h. 22) Với điểm M bất kì, ta có Như vậy Ta biết rằng I là trung điểm của AB khi và chỉ khi . Từ đó suy ra điều phải chứng minh. Hình 22 Bài toán 2. Cho tam giác ABC với trọng tâm G. Chứng minh rằng với điểm M bất kì, ta có 3. (Để giải bài toán 2) (h. 23) Hình 23 a) Tương tự Bài toán 1, hãy biểu thị các vectơ qua vectơ và từng vectơ. b) Tính tổng . Với chú ý rằng G là trọng tâm tam giác ABC, hãy suy ra điều phải chứng minh. 3. Điều kiện để hai vectơ cùng phương Ta đã biết rằng nếu = k thì hai vectơ và cùng phương. Điều ngược lại có đúng hay không? Hình 24 ?1. Xem hình 24. Hãy tìm các số k, m, n, p, q sao cho . Một cách tổng quát ta có ?2. Trong phát biểu ở trên, tại sao phải có điều kiện ? Điều kiện để ba điểm thẳng hàng Chứng minh. Ba điểm A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi hai vectơ và cùng phương. Bởi vậy theo trên ta phải có . Bài toán 3. Cho tam giác ABC có trực tâm H, trọng tâm G và tâm đường tròn ngoại tiếp O. a) Gọi I là trung điểm của BC. Chứng minh . b) Chứng minh . c) Chứng minh ba điểm O, G, H thẳng hàng. Giải. (h. 25) Hình 25 a) Dễ thấy nếu tam giác ABC vuông. Nếu tam giác ABC không vuông, gọi D là điểm đối xứng của A qua O. Khi đó BH // DC (vì cùng vuông góc với AC), BD // CH (vì cùng vuông góc với AB). Suy ra BDCH là hình bình hành, do đó I là trung điểm của HD. Từ đó . Suy ra ba điểm O, G, H thẳng hàng. Đường thẳng đi qua ba điểm này gọi là đường thẳng Ơle của tam giác ABC. 4. Biểu thị một vectơ qua hai vectơ không cùng phương Cho hai vectơ và. Nếu vectơ có thể viết dưới dạng , với m và n là hai số thực nào đó, thì ta nói rằng: Vectơ biểu thị được qua hai vectơ và . Một câu hỏi đặt ra là: Nếu đã cho hai vectơ không cùng phương và thì phải chăng mọi vectơ đều có thể biểu thị được qua hai vectơ đó? Ta có định lí sau đây ĐỊNH LÍ Chứng minh Từ một điểm O nào đó, ta vẽ các vectơ (h. 26). Hình 26 Nếu điểm X nằm trên đường thẳng OA thì ta có số m sao cho . Vậy ta có (lúc này n = 0). Tương tự, nếu điểm X nằm trên đường thẳng OB thì ta có (lúc này m = 0). Nếu điểm X không nằm trên OA và OB thì ta có thể lấy điểm A' trên OA và B' trên OB sao cho OA'XB' là hình bình hành. Khi đó ta có , và do đó có các số m, n sao cho , hay Bây giờ nếu còn có hai số m' và n' sao cho , thì . Câu hỏi và bài tập 21. Cho tam giác vuông cân OAB với OA = OB = a. Hãy dựng các vectơ sau đây và tính độ dài của chúng 22. Cho tam giác OAB. Gọi M, N lần lượt là trung điểm hai cạnh OA và OB. Hãy tìm các số m và n thích hợp trong mỗi đẳng thức sau đây 23. Gọi M và N lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng AB và CD. Chứng minh rằng 24. Cho tam giác ABC và điểm G. Chứng minh rằng a) Nếu thì G là trong tâm tam giác ABC; 25. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Đặt . Hãy biểu thị mỗi vectơ qua các vectơ và . 26. Chứng minh rằng nếu G và G' lần lượt là trọng tâm tam giác ABC và tam giác A'B'C' thì 27. Cho lục giác ABCDEF. Gọi P, Q, R, S, T, U lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC, CD, DE, EF, FA. Chứng minh rằng hai tam giác PRT và QSU có trọng tâm trùng nhau. 28. Cho tứ giác ABCD. Chứng minh rằng a) Có một điểm G duy nhất sao cho . Điểm như thế gọi là trọng tâm của bốn điểm A, B, C, D. Tuy nhiên, người ta vẫn quen gọi G là trọng tâm của tứ giác ABCD. b) Trọng tâm G là trung điểm của mỗi đoạn thẳng nối các trung điểm hai cạnh đối của tứ giác, nó cũng là trung điểm của đoạn thẳng nối trung điểm hai đường chéo của tứ giác. c) Trọng tâm G nằm trên các đoạn thẳng nối một đỉnh của tứ giác và trọng tâm của tam giác tạo bởi ba đỉnh còn lại. 29. Trong mặt phẳng tọa độ, mỗi mệnh đề sau đúng hay sai? a) Hai vectơ và bằng nhau. b) Hai vectơ bằng nhau khi và chỉ khi chúng có hoành độ bằng nhau và tung độ bằng nhau. c) Hai vectơ đối nhau thì chúng có hoành độ đối nhau. d) Vectơ cùng phương với vectơ nếu có hoành độ bằng 0. e) Vectơ có hoành độ bằng 0 thì cùng phương với vectơ . 30. Tìm tọa độ của các vectơ sau trong mặt phẳng tọa độ 31. Cho . a) Tìm tọa độ của vectơ . b) Tìm tọa độ của vectơ sao cho . c) Tìm các số k, l để . 32. Cho . Tìm các giá trị của k để hai vectơ cùng phương. 33. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? a) Tọa độ của điểm A bằng tọa độ của vectơ , với O là gốc tọa độ. b) Hoành độ của một điểm bằng 0 thì điểm đó nằm trên trục hoành. c) Điểm A nằm trên trục tung thì A có hoành độ bằng 0. d) P là trung điểm của đoạn thẳng AB khi và chỉ khi hoành độ điểm P bằng trung bình cộng các hoành độ của hai điểm A, B. e) Tứ giác ABCD là hình bình hành khi và chỉ khi xA + xC = xB + xD và yA + yC = yB + yD. 34. Trong mặt phẳng tọa độ, cho ba điểm A(-3 ; 4), B(1 ; 1), C(9 ; -5). a) Chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng. b) Tìm tọa độ điểm D sao cho A là trung điểm của BD. c) Tìm tọa độ điểm E trên trục Ox sao cho A, B, E thẳng hàng. 35. Cho điểm M(x ; y). Tìm tọa độ của các điểm a) M1 đối xứng với M qua trục Ox; b) M2 đối xứng với M qua trục Oy; c)M3 đối xứng với M qua gốc tọa độ O; 36. Trong mặt phẳng tọa độ, cho ba điểm A(-4 ; 1), B(2 ; 4), C(2 ; -2). a) Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC. b) Tìm tọa độ điểm D sao cho C là trọng tâm tam giác ABD. c) Tìm tọa độ điểm E sao cho ABCE là hình bình hành. Hình 10 - Chương I - Bài 6. Ôn tập chương I I. Tóm tắt những kiến thức cần nhớ 1. Vectơ - Vectơ khác là một đoạn thẳng có hướng. Vectơ-không có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau. Vectơ-không có độ dài bằng 0, có phương và hướng tùy ý. - Hai vectơ bằng nhau nếu chúng có cùng hướng và cùng độ dài. 2. Tổng và hiệu các vectơ - Quy tắc ba điểm: Với ba điểm M, N, P bất kì, ta có - Quy tắc hình bình hành: Nếu OABC là hình bình hành thì - Quy tắc về hiệu vectơ: Cho vectơ . Với điểm O bất kì, ta có 3. Tích của một vectơ với một số - Nếu thì và: cùng hướng với khi k > 0 hoặc k = 0, ngược hướng với khi k < 0. - Các tính chất - Điểm I là trung điểm đoạn thẳng AB khi và chỉ khi với điểm O bất kì, ta có - Điểm G là trọng tâm tam giác ABC khi và chỉ khi với điểm O bất kì, ta có 4. Tọa độ của vectơ và của điểm II. Câu hỏi tự kiểm tra 1. Hãy nói rõ vectơ khác đoạn thẳng như thế nào. 2. Nếu hai vectơ và bằng nhau và có giá trị không trùng nhau thì bốn đỉnh A, B, C, D có là bốn đỉnh của một hình bình hành hay không? 3. Nếu có nhiều vectơ thì xác định tổng của chúng như thế nào? 4. Hiệu hai vectơ được định nghĩa qua khái niệm tổng hai vectơ như thế nào? 5. Cho hai điểm A, B phân biệt. Với một điểm O bất kì, mỗi đẳng thức sau đây đúng hay sai? 6. Có thể dùng phép nhân vectơ với một số để định nghĩa vectơ đối của một vectơ hay không? 7. Cho hai vectơ và không cùng phương. Trong các vectơ sau đây, hãy chỉ ra các vectơ cùng hướng và các vectơ ngược hướng Hai vectơ và có cùng phương hay không? Tại sao? 8. Cho tam giác ABC với trung tuyến AM và trọng tâm G. Mỗi khẳng định sau đây đúng hay sai? 9. Cho biết tọa độ của hai điểm A và B. Làm thế nào để a) Tìm tọa độ của vectơ ? b) Tìm tọa độ trung điểm của đoạn thẳng AB? 10. Cho biết tọa độ ba đỉnh của một tam giác. Làm thế nào để tìm tọa độ của trọng tâm tam giác đó? III. Bài tập 1. Cho tam giác ABC. Hãy xác định vectơ 2. Cho ba điểm O, A, B không thẳng hàng. Tìm điều kiện cần và đủ để vectơ có giá là đường phân giác của góc AOB. 3. Gọi O là tâm của hình bình hành ABCD. Chứng minh rằng với điểm M bất kì, ta có 4. Cho tam giác ABC. a) Tìm các điểm M và N sao cho b) Với các điểm M, N ở câu a), tìm các số p và q sao cho 5. Cho đoạn thẳng AB và điểm I sao chho a) Tìm số k sao cho b) Chứng minh rằng với mọi điểm M, ta có 6. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba điểm A(-1 ; 3), B(4 ; 2), C(3 ; 5). a) Chứng minh rằng ba điểm A, B, C không thẳng hàng b) Tìm tọa độ điểm D sao cho c) Tìm tọa độ điểm E sao cho O là trọng tâm tam giác ABE. IV. Bài tập trắc nghiệm 1. Cho tam giác ABC. Gọi A’, B’, C’ lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB. Vectơ cùng phương với vectơ nào trong các vectơ sau đây? 2. Cho ba điểm M, N, P thẳng hàng, trong đó điểm N nằm giữa hai điểm M và P. Khi đó các cặp vectơ nào sau đây cùng hướng? 3. Cho hình chữ nhật ABCD. Trong các đẳng thức dưới đây, đẳng thức nào đúng? 4. Cho tam giác đều ABC với đường cao AH. Đẳng thức nào dưới đây đúng? 5. Cho điểm B nằm giữa hai điểm A và C với AB = 2a, CB = 5a. Độ dài vectơ bằng bao nhiêu? 6. Cho bốn điểm A, B, C, D. Đẳng thức nào dưới đây đúng? 7. Cho sáu điểm A, B, C, D, E, F. Đẳng thức nào dưới đây đúng? 8. Cho hình thang ABCD với hai cạnh đáy là AB = 3a và CD = 6a. Khi đó bằng bao nhiêu? 9. Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. Khi đó giá trị bằng bao nhiêu? 10. Cho ba điểm bất kì A, B, C. Đẳng thức nào dưới đây đúng? 11. Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng a. Giá trị bằng bao nhiêu? 12. Cho hai tam giác ABC và A’B’C’ lần lượt có trọng tậm là G và G’. Đẳng thức nào dưới đây là sai? 13. Cho điểm B nằm giữa hai điểm A và C, với AB = 2a, AC = 6a. Đẳng thức nào dưới đây đúng? 14. Cho ba điểm phân biệt A, B, C. Nếu thì đẳng thức nào dưới đây đúng? 15. Điều kiện nào dưới đây cần và đủ để điểm O là trung điểm của đoạn thẳng AB? 16. Nếu G là trọng tâm tam giác ABC thì đẳng thức nào dưới đây đúng? 17. Gọi AM là trung tuyến của tam giác ABC, và I là trung điểm của AM. Đẳng thức nào sau đây là đúng? 18. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai điểm A(-1;4) và B(3;-5). Khi đó tọa độ của vectơ là cặp số nào? 19. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai điểm A(0;5) và B(2;-7). Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng AB là cặp số nào? 20. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai điểm M(8;-1) và N(3;2). Nếu P là điểm đối xứng với điểm M qua điểm N thì tọa độ của P là cặp số nào? 21. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho ba điểm A(5;-2), B(0;3) và C(-5;-1). Khi đó trọng tâm tam giác ABC có tọa độ là cặp số nào? 22. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC với trọng tâm G. Biết rằng A = (-1 ; 4), B = (2 ; 5), G = (0 ; 7). Hỏi tọa độ đỉnh C là cặp số nào? 23. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho bốn điểm A(3;1), B(2;2), C(1;6), D(1;-6). Hỏi điểm G (2;-1) là trọng tâm của tam giác nào? (A) Tam giác ABC; (B) Tam giác ABD; (C) Tam giác ACD; (D) Tam giác BCD. Hình 10- Nâng Cao - Chương 2. TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG - Bài 1. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC BẤT KÌ Bài 1. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC BẤT KÌ (từ 0o đến 180o) Ở lớp 9, các em đã biết về giá trị lượng giác (tỉ số lượng giác): sin, côsin, tang, côtang của một góc nhọn α và kí hiệu là sinα, cosα, tanα, cotα. Trên hình 32 có một hệ tọa độ Oxy và một nửa đường tròn tâm O bán kính R = 1, nằm phía trên trục Ox. Ta gọi nó là nửa đường tròn đơn vị. Nếu cho trước một góc nhọn α thì ta có thể xác định một điểm M duy nhất trên nửa đường tròn đơn vị sao cho . 1. Giả sử (x ; y) là tọa độ điểm M (h.32). Hãy chứng tỏ rằng Bây giờ chúng ta mở rộng định nghĩa giá trị lượng giác cho góc α bất kì (0o≤ α ≤ 180o). Ta làm điều đó bằng cách vẫn dùng nửa đường tròn đơn vị như trên. 1. Định nghĩa Các số sinα, cosα, tanα, cotα gọi là các giá trị lượng giác của góc α. Như vậy . Ví dụ 1. Tìm các giá trị lượng giác của góc 135o. Giải. (h.33) Ta lấy điểm M trên nửa đường tròn đơn vị sao cho . Khi đó hiển nhiên . Từ đó suy ra độ của điểm M là Vậy . ?1. Tìm các giá trị lượng giác của các góc 0o, 180o, 90o. ?2. Với các góc α nào thì sinα < 0 ? Với các góc α nào thì cosα < 0? 2. (h.34) Lấy hai điểm M và M’ trên nửa đường tròn đơn vị sao cho MM’ // Ox. a) Tìm sự liên hệ giữa hai góc và . b) Hãy so sánh các giá trị lượng giác của hai góc α và α’. Từ đó ta suy ra các tính chất sau đây Nếu hai góc bù nhau thì sin của chúng bằng nhau, còn côsin, tang và côtang của chúng đối nhau; nghĩa là sin(180o - α) = sin α; cos(180o - α) = -cos α; tan(180o - α) = -tan α (α≠ 90o) cot(180o - α) = -cot α(0o < α < 180o). Ví dụ 2. Tìm các giá trị lượng giác của góc 150o. Giải. Góc 150o bù với góc 30o nên 2. Giá trị lượng giác của một số góc đặc biệt Sau đây là giá trị lượng giác của một số góc đặc biệt mà ta nên nhớ (trong bảng dưới đây, kxđ là viết tắt của nhóm từ không xác định). Giá trị lượng giác của các góc bất kì có thể tìm thấy trong bảng số hoặc bằng máy tính bỏ túi. Em có biết ? CÁC TỪ SIN, CÔSIN, TANG, CÔTANG Từ xa xưa, do nhu cầu đo đạc thiên văn, nhiều nhà toán học đã lập bảng độ dài dây cung căng bởi cung tròn (bán kính cho trước) có số đo 1o, 2o, 3 o,, 180 o, trong đó có Hip-pac (Hipparque) ở thế kỉ thứ II trước công nguyên, Ptô-lê-mê (Ptolemey) ở thế kỉ thứ II sau công nguyên, v.v Đó là nguồn gốc của khái niệm sin. Qua nhiều giai đoạn lịch sử, từ “jiva” (tiếng Ấn, có nghĩa là “dây cung”) được diễn dịch, phiên âm, đổi dần thành từ sinus bởi các nhà thiên văn, toán học như An Bat-ta-ni (Al Battani) ở thế kỉ thứ X, Giê-ra Crê-môn (Gérard Crémone) ở thế kỉ thứ XII, v.v Khái niệm tang, côtang nảy sinh từ việc khảo sát bong của vật thẳng đứng trên nền nằm ngang để tìm giờ trong ngày. Từ xa xưa, người ta cũng đã lập bảng các “bóng” (tức bảng tang, côtang). Đến thế kỉ thứ XVI mới xuất hiện kí hiệu sin, tang (Tô-mat Phin (Thomas Finck)) và đầu thế kỉ thứ XVII mới xuất hiện kí hiệu côsin, côtang để chỉ sin, tang của góc phụ (Et-mơn Gơn-tơ (Edmund Gunter)). Các kí hiệu này dần dần được chấp nhận và sử dụng phổ cập. Câu hỏi và bài tập 1.Tính giá trị đúng của các biểu thức sau (không dung máy tính bỏ túi hoặc bảng số). a) (2sin30o + cos135o – 3tan150o)(cos180o – cot60o); b) sin290o + cos2120o+ cos20o – tan260o + cot2135o 2.Đơn giản biểu thức a) sin100o + sin80o + cos16o + cos164o; b) 2sin(180o - α)cotα– cot(180o - α)tanαcot(180o - α) với 0o < α < 90o 3.Chứng minh các hệ thức sau a) sin2α + cos2α = 1; b) c) Hình 10 - Chương II - Bài 2. Tích vô hướng của hai vectơ. 1. Định nghĩa 2. Các tính chất của tích vô hướng Người ta chứng minh được các tính chất sau đây của tích vô hướng: Nhận xét. Từ các tính chất của tích vô hướng của hai vectơ ta suy ra: 3. Biểu thức tọa độ của tích vô hướng 4. Ứng dụng a) Độ dài của vectơ b) Góc giữa hai vectơ Từ định nghĩa tích vô hướng của hai vectơ ta suy ra: c) Khoảng cách giữa hai điểm Câu hỏi và bài tập 1. Cho tam giác vuông cân ABC có AB = AC = a. Tính các tích vô hướng 2. Cho ba điểm O, A, B thẳng hàng và biết OA = a, OB = b. Tính tích vô hướng trong hai trường hợp: a) Điểm O nằm ngoài đoạn AB. b) Điểm O nằm trong đoạn AB. 3. Cho nửa đường tròn tâm O có đường kính AB = 2R. Gọi M và N là hai điểm thuộc nửa đường tròn sao cho hai dây cung AM và BN cắt nhau tại I. 4. Trên mặt phẳng Oxy, cho hai điểm A(1;3), B(4;2). a) Tìm tọa độ điểm D nằm trên trục Ox sao cho DA = DB. b) Tính chu vi tam giác DAB. c) Chứng tỏ OA vuông góc với AB và từ đó tính diện tích tam giác OAB. 6. Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho bốn điểm A(7;-3), B(8;4), C(1;5), D(0;-2). Chứng minh rằng tứ giác ABCD là hình vuông. 7. Trên mặt phẳng Oxy cho điểm A(-2;1). Gọi B là điểm đối xứng với điểm A qua gốc tọa độ O. Tìm tọa độ của điểm C có tung độ bằng 2 sao cho tam giác ABC vuông ở C. Hình 10 - Chương 1. VECTƠ - BÀI 3. TÍCH CỦA VECTƠ VỚI MỘT SỐ 1. Định nghĩa Ta quy ước Người ta còn gọi tích của vectơ với một số là tích của một số với một vectơ. 2. Tính chất 3. Trung điểm của đoạn thẳng và trọng tâm của tam giác a) Nếu là trung điểm của đoạn thẳng thì với mọi điểm ta có . b) Nếu là trọng tâm của