Giáo án Hình học 10 Áp dụng mệnh đề vào suy luận toán học (2tiết)

§2: ÁP DỤNG MỆNH ĐỀ VÀO SUY LUẬN TOÁN HỌC (2tiết). I. Mục tiêu 1. Về kiến thức - Hiểu rõ phương pháp suy luận toán học. - Nắm vững các phương pháp chứng minh trực tiếp và chứng minh bằng phản chứng. - Biết phân biệt giả thiết và kết luận của định lý. - Biết phát biểu mệnh đề đảo, định lý đảo, biết sử dụng các thuật ngữ “điều kiện cần”, “điều kiện đủ”, “điều kiện cần và đủ” trong phát biểu toán học. 2. Về kỹ năng Chứng minh được một số mệnh đề bằng phương pháp phản chứng. 3. Về tư duy Góp phần bồi dưỡng tư duy logic và năng lực tìm tòi sáng tạo. 4. Về thái độ Nề nếp, nghiêm túc, tích cực xây dựng bài. II. Chuẩn bi của giáo viên và của học sinh Chuẩn bị của GV: bài soạn, phấn, ... Chuẩn bị của HS: sgk, vở ghi, đồ dùng học tập và các kiến thức đã học có liên quan. Phương pháp: Vấn đáp, gợi mở vấn đề. III. Kế hoạch bài học Hoạt động 1: Kiểm tra bài cũ. Hoạt động 2: Định lý và chứng minh định lý. Hoạt động 3: Điều kiện cần và điều kiện đủ. Hoạt động 4: Định ý đảo, điều kiện cần và đủ. III. Tiến trình bài học Hoạt động 1: Kiểm tra bài cũ Yêu câu HS nhắc lại mệnh đề, mệnh đề phủ định, kéo theo, tương đương. Hoạt động 2: Định lý và chứng minh định lý. Hoạt động của HS Hoạt động của GV Nội dung ghi -VD1 – sgk 10 VD: “, nếu r là số hữu tỷ thì ” - Thử đưa ra nhận xét về sự giống nhau giữa các định lý đó. - Phát biểu lại các cách chứng minh định lý. - Chứng minh định lý trong VD1-sgk bằng cách chứng minh trực tiếp. - Chứng minh đlý trong vd2-sgk bằng cách chứng minh phản chứng. H1: Giả sử 3n +2 lẻ và n = 2k (). Khi đó 3n + 2 = 6k + 2 = 2(3k + 1) chẵn (mâu thuẫn) suy ra đpcm - VD1 – sgk 10 Yêu cầu HS phát biểu một vài định lý. - Có định lý không phát biểu ở dạng (1) ví dụ: “Có vô số số nguyên tố”. VD: phát biểu định lý “là số vô tỷ” dưới dạng (1)? - Điều chỉnh và xác nhận các nhận xét của HS. *) CM định lý - CM trực tiếp ta cần chứng tỏ với , đúng. Lấy tuỳ ý mà P(x) đúng (vì P(x) sai thì dù Q(x) đúng hay sai thì P(x) vẫn đúng). -CM phản chứng: MĐPĐ của dạng (1): để đi đến mâu thuẫn: (2) sai do đó (1) đúng. H1? Định lý : sgk 10. “” (1) trong đó P(x) và Q(x) là những mệnh đề chứa biến, X là một tập hợp nào đó. *) Chứng minh định lý: có 2 cách: trực tiếp và gián tiếp bằng phản chứng. - Chứng minh trực tiếp Khi đó việc chứng minh MĐ đúng tương đương với việc chứng minh mà P(x) đúng thì Q(x) đúng. - Chứng minh gián tiếp: + Giả sử tồn tại , đúng sai, tức là (1) sai. + Dùng suy luận và kiến thức toán học đã học để đi đến mâu thuẫn. suy ra đpcm. Hoạt động 3: Điều kiện cần và điều kiện đủ. Hoạt động của HS Hoạt động của GV Nội dung ghi - Trả lời vai trò của P(x), Q(x). - Phát biểu một vài định lý và phát biểu lại bằng cách sử dụng điều kiện cần và điều kiện đủ. H2: P(n):“n chia hết cho 24”. Q(n): “ n chia hết cho 8” - Đặt câu hỏi trong đlý P(x), Q(x) có vai trò gì? - HS phát biểu một đlý và phát biẻu lại bằng thuật ngữ “điều kiện cần”, “điều kiện đủ” - Điều chỉnh và xác nhận lai các phát biểu của HS - Lưu ý một điều kiện nào là dủ nhưng không là điều kiện cần hoặc ngược lại. H2? VD: Điều kiện: “tứ giác có 2 đường chéo bằng nhau” là điều kiện cần để tứ giác đó là HCN. + Điều kiện “tứ giác có 4 góc bằng nhau” là điều kiện đủ để tứ giác nội tiếp được. Cho định lý: “” P(x) được gọi là giả thiết và Q(x) là kết luận của định lý. - P(x) là điều kiện đủ để có Q(x). - Q(x) là điều kiện cần để có P(x). VD: HS điền từ thích hợp vào dấu “...” và giải thích? + Điều kiện ... để tứ giác là HCN là tứ giác có 2 đường chéo bằng nhau. + Điều kiện ... để một tứ giác lồi nội tiếp là tứ giác có 4 góc bằng nhau. Hoạt động 4: Định ý đảo, điều kiện cần và đủ. Hoạt động của HS Hoạt động của GV Nội dung ghi - Phát biểu mệnh đề đảo của đlí (1) - Phát biểu mệnh đề đảo của hai ví dụ. - Nhận xét về tính đúng sai của hai mệnh đề đảo đó. - Yêu cầu HS phát biểu mệnh đề đảo của đlý (1). - Nhận xét về tính đúng sai của hai mệnh đề đảo đó. - Xét cụ thể hai VD ở phần trên. - Nhận xét về tính đúng sai của hai mệnh đề đảo đó. - Điều chỉnh và xác nhận các nhận xét của HS. MĐ đảo của định lý dạng (1):“” (2). MĐ (2) có thể đúng hoặc sai. Nếu mệnh đề (2) đúng thì nó được gọi là định lý đảo của định lý dạng (1). Lúc đó định lý dạng (1) sẽ được gọi là định lý thuận. Định lý thuận và đảo có thể viết gộp thành một định lý “”. Khi đó, ta nói: P(x) là điều kiện cần và đủ để có Q(x). IV. Củng cố: Tóm tắt lại các kiễn thức đã học trong bài. Nhắc nhở HS làm bài tập về nhà SGK trang 12. *) Hướng dẫn HS làm BT Bài 8, 9 HS hiểu đk thế nào là đk cần nhưng chưa đủ hoặc ngược lại. Bài 8: “Điều kiện đủ để tổng a + b là số hữu tỷ là cả hai số a, b đều là số hữu tỷ” Chú ý: Đk này là đk đủ nhưng không cần vì : Chẳng hạn với ; thì a + b = 2 là số hữu tỷ nhưng a, b đều là số vô tỷ. Bài 9: Điều kiện cần “để một số chia hết cho 15 là nó chia hết cho 5” Chú ý: Đk này không đủ vì chia hết cho 5 chưa chắc đã chia hết cho 15. VD” 10 chia hết cho 5 nhưng 10 không chia hết cho 15. Bài 11: CM: “nếu thì ” Gợi ý: Chứng minh bằng phản chứng. CM bằng phản chứng gồm những bước gì? Chứng minh: Giả sử thì n không chia hết cho 5 suy ra + Nếu () ta có không chia hết cho 5 (1) + Nếu () ta có không chia hết cho 5 (2). Từ (1), (2) mâu thuẫn với do đó ta có đpcm. Bài 1.19 SBT 10. Cho các MĐ chứa biến P(n): “n là số chẵn” và Q(n): “7n+4 là số chẵn” a) MĐ : “, n là số chẵn thì 7n + 4 là số chẵn” Chứng minh: nếu n chẵn thì 7n cũng là số chẵn suy ra 7n + 4 là số chẵn vì tổng của hai số chẵn là số chẵn. b) Định lý đảo: “Mọi số tự nhiên n, nếu 7n + 4 là số chẵn thì n chẵn”. Chứng minh: Nếu 7n + 4 chẵn, đặt 7n + 4 = 2k 7n = 2k – 4 chẵn. Vì 7n chẵn nên n chẵn. c) Gộp định lý thuận và định lý đảo: “ Với mọi số tự nhiên n, n chẵn khi và chỉ khi 7n + 4 là số chẵn”. Bài 1.22+1.23 SBT 10. Sử dụng thuật ngữ “điều kiện cần” và “điều kiện đủ” để phát biểu định lý sau: Điều kiện đủ để hai tam giác đồng dạng là hai tam giác đó bằng nhau. Điều kiện đủ để một hình thang là hình thang cân là hai đường chéo của nó bằng nhau. Tam giác ABC là cân tại A điều kiện đủ để đường trung tuyến xuất phát từ A của tam giác ABC cũng là đường cao. Để một số nguyên dương lẻ biểu diễn thành tổng của hai số chính phương điều kiện cần là số đó có dạng 4k + 1. Cho m, n là hai số nguyên dương. Điều kiện cần để là số chính phương là tích mn chia hết cho 12. Bài 1.24 SBT 11. Định lý đảo: “Nếu m, n là hai số nguyen dương và chia hết cho 3 thì cả m và n đều chia hết cho 3”. Chứng minh: +) nếu một trong hai số m hoặc n không chia hết cho 3 thì tổng không chia hết cho 3. +) vai trò của m, n là như nhau nên ta giả sử m, n đều không chia hết cho 3. khi đó ta đặt chia cho 3 đều dư 1 nên chia cho 3 dư 2. Vậy điều giả sử m, n đều không chia hết cho 3 là sai do đó chia hết cho 3 khi cả hai số m, n đều chia hết cho 3. Vậy: “Cho hai số m, n nguyên dương. Điều kiện cần và đủ để chia hết cho 3 là cả hai số m, n đều chia hết cho 3”