Giáo án Hình học Hyperbolic

Chương II hình học hyperbolic ò.1 trắc địa và không gian con hyperbolic I.Trắc địa và không gian con Hyperbolic trong mô hình Hyperboloid. 1.Trắc địa Hyperbolic Định lý 1.1 Cho x. Khi đó đường trắc địa trên bắt đầu tại x với vận tốc y là giao của với không gian con tuyến tính của sinh bởi x và y . Hơn nữa nó được cho bởi tham số hoá . Chứng minh Gọi W là không gian con tuyến tính hai chiều của sinh bởi x và y , w là đường trắc địa cực đại của bắt đầu tại x với vận tốc y . Xét là phép đối xứng qua W, suy ra . Vì nên là đường trắc địa bắt đầu tại với vận tốc . Do đó là bất biến suy ra . Mặt khác dễ thấy là một tham số hoá của thoả mãn nên là tham số hoá của w. ÿ Nhận xét 1.2 Từ định lý trên suy ra mọi đường trắc địa cực đại trong Hn xác định trên toàn bộ R nên theo định lý Hopf-Rinow Hn là đa tạp Riemann đầy đủ. Hệ quả 1.3 Tồn tại một và chỉ một đường trắc địa đi qua hai điểm phân biệt của Hn. Chứng minh (Xét mô hình Hyperboloid) Vì qua hai điểm phân biệt của I n tồn tại duy nhất một không gian con tuyến tính hai chiều của R n+1 nên theo định lý 1.1 ta có điều phải chứng minh . ÿ Mệnh đề 1.4 Cho ,khi đó đường trắc địa trên Sn bắt đầu tại x với vận tốc y là giao của với không gian con tuyến tính hai chiều của sinh bởi x và y . Hơn nữa nó được cho bởi tham số hoá . Chứng minh Gọi W là không gian con tuyến tính hai chiều của sinh bởi x và y , w là đường trắc địa cực đại của bắt đầu tại x với vận tốc y . Xét là phép đối xứng tuyến tính trực giao qua W suy ra . Vì nên là đường trắc địa bắt đầu tại với vận tốc . Do đó là bất biến suy ra . Mặt khác dễ thấy là một tham số hoá của thoả mãn nên là tham số hoá của w . ÿ 2.Không gian con Hyperbolic Định nghĩa 1.5 Tập con N của Hn là một không gian con Hyperbolic nếu nó chứa trắc địa đầy (trắc địa cực đại) đi qua hai điểm bất kỳ của nó. Định lý 1.6 là một không gian con Hyperbolic nếu và chỉ nếu N là giao của với một không gian con tuyến tính của . Chứng minh Giả sử M là một không gian con tuyến tính của . Khi đó qua hai điểm bất kỳ của tồn tại một không gian con tuyến tính hai chiều W của . Hiển nhiên suy ra trắc địa đầy qua hai điểm đó là . Suy ra là một không gian con Hyperbolic . Đảo lại, giả sử N là không gian con Hyperbolic của . Gọi M là bao tuyến tính của N thì hiển nhiên . ÿ Nhận xét 1.7 (1) Các điểm và các trắc địa đầy là các không gian con Hyperbolic . (2) Từ định lý 1.6 suy ra không gian con Hyperbolic là đa tạp con của Hn , do đó số chiều của không gian con Hyperbolic được xác định . (3) Cho M là không gian con Hyperbolic , là cung trắc địa qua a và . Khi đó gồm duy nhất một điểm. Thực vậy Nếu chứa 2 điểm phân biệt thì và do đó Vô lý. ÿ II.Trắc địa và không gian con hyperbolic trong mô hình đĩa và mô hình nửa không gian . Chú ý 1.8 1) Không gian con Affin Y của được gọi là thẳng đứng nếu nó có dạng trong đó là một không gian con Affin của và . 2) Cho M1 , M2 là các mặt cầu hoặc các không gian con Affin (hoặc các bộ phận của chúng ) trong , dim M1 = m1 , dim M2 = m2 . Khi đó ta có và phần bù trực giao của W trong TxM1 và TxM2 là trực giao với nhau . 3) Khi nói mặt cầu ,ta hiểu số chiều của nó có thể nhỏ hơn hoặc bằng số chiều của siêu cầu. Định lý 1.9 là một không gian con Hyperbolic nếu và chỉ nếu N là giao của với một không gian con tuyến tính của hoặc với một mặt cầu trực giao với . Đặc biệt cung trắc địa trong được cho bởi tham số hoá của đường kính của và phần đường tròn trực giao với nằm trong . Chứng minh Xét p là phép chiếu nổi cực từ vào . Ta có là vi phôi đẳng cự của lên . + Giả sử N là không gian con Hyperbolic của chứa 0 . Khi đó là không gian con Hyperbolic của chứa (0,..,0,1) . Theo định lý 1.6 ta có với M là một không gian con tuyến tính của , suy ra . Vì nên p(M) là không gian con tuyến tính của . + Nếu N là không gian con Hyperbolic của chứa thì xét phép nghịch đảo i cực hệ số . Ta có và . Như vậy i sẽ biến tập các không gian con Hyperbolic của chứa 0 thành tập các không gian con Hyperbolic của chứa x và ngược lại . Khi đó là không gian con Hyperbolic của chứa 0 .Theo trên với Y là một không gian con tuyến tính của ,suy ra . Giả sử dimY = m . *) Nếu thì . *) Nếu , gọi X là không gian con tuyến tính sinh bởi Y và x . Vì nên suy ra . Do Y là một siêu phẳng trong X và nên là siêu cầu trong X . Suy ra là mặt cầu m chiều trong . Mặt khác vì i bảo giác và nên . ÿ Định lý 1.10 là một không gian con Hyperbolic nếu và chỉ nếu N là giao của với một không gian con Affin thẳng đứng hoặc với một mặt cầu trực giao với . Đặc biệt cung trắc địa trong được cho bởi tham số hoá của nửa đường thẳng dựng đứng và nửa đường tròn trực giao với nằm trong . Chứng minh Xét vi phôi đẳng cự ta có i biến không gian con Hyperbolic của thành không gian con Hyperbolic của . Mặt khác i là phép ngịch đảo qua siêu cầu nên i biến tập các mặt cầu trực giao với và các không gian con Affin qua O thành tập các mặt cầu trực giao với và các không gian con Affin thẳng đứng (và ngược lại ). Do đó không gian con Hyperbolic của là giao của với không gian con Affin thẳng đứng hoặc với mặt cầu trực giao với . ÿ Hình 2 Trắc địa Hyperbolic trong các mô hình đĩa và nửa không gian của không gian Hyperbolic 2 chiều Nhận xét 1.11 Trong ,không gian con Hyperbolic hai chiều ( mặt phẳng Hyperbolic ) là giao của với 2-phẳng Affin thẳng đứng hoặc với mặt cầu Euclid 2- chiều có tâm thuộc .Từ đó qua 3 điểm phân biệt không nằm trên cùng một trắc địa xác định duy nhất một mặt phẳng Hyperbolic . Hệ quả 1.12 Không gian con Hyperbolic p chiều trong vi phôi đẳng cự với . Chứng minh ( Xét mô hình ). Vì phép nghịch đảo tâm hệ số là đẳng cự của biến x thành 0 nên ta luôn có thể giả sử không gian con Hyperbolic của là chứa 0 . Giả sử không gian con Hyperbolic của có số chiều là p, suy ra nó là giao của với không gian con tuyến tính p chiều của do đó nó là đĩa p chiều . Mặt khác từ định lý 6.1 chương I suy ra hạn chế của metric của trên đĩa p chiều trùng với metric trong . Từ đó ta có điều phải chứng minh . ÿ ò.2 Khoảng cách Hyperbolic I.Độ dài cung và khoảng cách trên đa tạp Riemann. 1.Độ dài cung Trên đa tạp Riemann cho cung tham số nhẵn từng khúc (lớp Ck). Độ dài cung được xác định bởi 2.Khoảng cách Hàm khoảng cách trên là hàm số Trong đó là cung nhẵn từng khúc trong M nối p và q. Chú ý Mọi cung trong M nối p và q có độ dài bằng d(p,q) khi và chỉ khi nó là cung trắc địa (và được gọi là cung trắc địa cực tiểu) (xem[3]). II.Công thức khoảng cách Hyperbolic 1.Công thức khoảng cách trong Định lý 2.1 Nếu thì . Chứng minh Gọi u là vector tiếp xúc đơn vị tại x dọc cung trắc địa định hướng xy . Khi đó xy có tham số hoá Ta có . Suy ra Mặt khác ,vì nên . Do đó .ÿ 2.Công thức khoảng cách trong . Định lý 2.2 Nếu thì Chứng minh *Trường hợp Một tham số hoá của cung trắc địa trong đi qua 0 và y là : trong đó Ta có suy ra Mặt khác và với suy ra Từ đó . Hiển nhiên công thức trên đúng với y=0. *Trường hợp Xét phép nghịch đảo . Suy ra và . Do đó Ta có Vì nên Vậy .ÿ 3.Công thức khoảng cách trong . Định lý 2.3 Nếu thì Chứng minh Xét vi phôi đẳng cự Vì i là phép nghịch đảo qua một siêu cầu nên i là phép biến đổi đối hợp. Khi đó ta có Đặt , Khi đó Bằng các phép tính đơn giản ta có , Từ đó suy ra Vậy ta có .ÿ Nhận xét 2.4 Trong trường hợp n=2 ta thấy lại các công thức khoảng cách Poincaré * * Như vậy các công thức khoảng cách trong và là sự tổng quát các công thức khoảng cách Poincaré. Định nghĩa 2.5 Cho .Mặt cầu Hyperbolic tâm x0 bán kính r trong là tập hợp . Hệ quả 2.6 Mặt cầu Hyperbolic trong là một mặt cầu Euclide trong khác tâm và bán kính. Cụ thể Trong đó Chứng minh (*) Vì nên nhân (*) với ta được trong đó .ÿ Hệ quả 2.7 Mặt cầu Hyperbolic trong là một mặt cầu Euclide trong khác tâm và bán kính. Cụ thể Trong đó Chứng minh trong đó ÿ ò.3 lượng giác Hyperbolic I.Định nghĩa 1.Định nghĩa 3.1 Tam giác trắc địa Hyperbolic (gọi tắt là tam giác H-trắc địa) trong là tam giác có các cạnh là các cung đoạn trắc địa trong . 2.Góc trong của tam giác H-trắc địa Cho tam giác H-trắc địa có các đỉnh x, y, z với các góc trong tương ứng A,B,C. Gọi và lần lượt là cung trắc địa định hướng từ x đến y và từ x đến z . u, v là các vector tiếp xúc đơn vị của và tại x. Đặt ,tương tự ta xác định được các góc B và C. Từ đó suy ra các góc trong của một tam giác H-trắc địa đều nằm trong khoảng . II.Hệ thức lượng giác Hyperbolic trong tam giác H-trắc địa 1.Định lý 3.2 (Định lý hàm số ch dạng 1) Cho tam giác H-trắc địa ABC có các cạnh tương ứng là a,b,c. Khi đó Chứng minh (Xét mô hình Hyperboloid). Gọi x, y, z là các đỉnh của tam giác H-trắc địa ABC. u, v là các vector tiếp xúc đơn vị tại x dọc các cung trắc địa định hướng xy, xz. Khi đó cung trắc địa xy có tham số hoá : Vì và nên Tương tự Suy ra . Vì u, v là các vector đơn vị nên . Mặt khác theo định lý 2.1 ta có Từ đó suy ra . ÿ Hệ quả 3.3 ( Định lý Pythagore-Hyperbolic ) Trong tam giác H-trắc địa ABC vuông ở A ta có Chứng minh Từ định lý hàm số ch dạng 1 cho ta có điều phải chứng minh. ÿ *) Từ đó suy ra trong tam giác vuông H-trắc địa ,cạnh huyền luôn lớn hơn cạnh góc vuông. Hệ quả 3.4 (Định lý hàm số sh ) Trong tam giác H-trắc địa ABC ta luôn có Chứng minh Theo định lý hàm số ch dạng 1 ta có . Suy ra Và do đó (*). Vì vế phải của (*) đối xứng đối với a, b, c nên ta có điều phải chứng minh. ÿ Hệ quả 3.5 ( Định lý hàm số ch dạng 2 ) Trong tam giác H-trắc địa ABC ta có Chứng minh Theo định lý hàm số sh ta có và cùng với (*) ta suy ra (1). Mặt khác theo định lý hàm số ch dạng 1 ta có và Từ đó suy ra (2). Từ (1) và (2) suy ra .ÿ Hệ quả 3.6 Tổng các góc trong tam giác H-trắc địa ABC thoả mãn Chứng minh Giả sử Từ suy ra Nếu thì Nếu thì Vô lý. ÿ *) Từ đó suy ra qua một điểm ở ngoài một không gian con Hyperbolic có duy nhất đường trắc địa trực giao với không gian con Hyperbolic đó. Định nghĩa 3.7 Cho M và N là hai tập con của Hn. Khoảng cách giữa M và N được xác định bởi . Hệ quả 3.8 Cho M là không gian con Hyperbolic có là cung trắc địa qua a và b. Khi đó Chứng minh * Giả sử mà . Gọi là cung trắc địa qua a và trực giao với M. Khi đó tam giác có các đỉnh a, b, c vuông ở c và cạnh huyền là ab suy ra Mâu thuẫn. * Đảo lại ,giả sử thì tam giác có các đỉnh a, b, c vuông ở b suy ra . Từ đó . ÿ ò.4 Độ cong của không gian Hyperbolic Trong mục này chúng ta sẽ giới thiệu sơ lược về độ cong tiết diện của một số đa tạp Riemann có độ cong tiết diện hằng,đặc biệt là độ cong của không gian Hyperbolic Hn ( xem [ 3 ] ). i.Độ cong tiết diện của đa tạp Riemann Định nghĩa 4.1 Cho là liên thông Levi-Civita của đa tạp Riemann . R là trường tensor cong của . Cho là 2-phẳng trong (tức không gian vector con 2- chiều của ). là một cơ sở của . Khi đó độ cong tiết diện của M tại p với tiết diện là số . Chú ý 4.2 1) không phụ thuộc vào cơ sở của . 2) bất biến qua vi phôi đẳng cự. Định nghĩa 4.3 Đa tạp Riemann có độ cong tiết diện hằng K nếu với mọi 2-phẳng trong , với mọi ta có . 2.Trường Jacobi Định nghĩa 4.4 Cho là cung trắc địa trên đa tạp Riemann . là trường vector (nhẵn) dọc . X được gọi là trường Jacobi dọc nếu . (Trong đó R là trường tensor cong của liên thông Levi-Civita, là đạo hàm thuận biến dọc ). Chú ý 4.5 Với mọi có một và chỉ một trường Jacobi X dọc thoả mãn . Cho là một biến phân nhẵn của cung trắc địa . Nếu với mọi cung cũng là cung trắc địa của M thì là một trường Jacobi dọc . Thật vậy Vì R là tensor cong của nên ta có .(xem [3]) Từ đó suy ra . (Vì là cung trắc địa nên).ÿ 3) Liên thông Levi-Civita trên là liên thông tuyến tính chính tắc D. II.Độ cong tiết diện của không gian Hyperbolic Định lý 4.6 có độ cong tiết diện hằng bằng –1. Chứng minh ( Xét mô hình Hyperboloid ) Cung trắc địa của bắt đầu tại p với vector tiếp xúc có tham số hoá . Xét biến phân của là Rõ ràng với là cung trắc địa của . Do đó là trường Jacobi dọc thoả mãn Vì nên . Gọi là 2-phẳng của sinh bởi X và Ta có Suy ra (với ).Vậy có độ cong tiết diện hằng bằng –1. ÿ Định lý 4.7 Rn có độ cong tiết diện hằng bằng 0. Chứng minh Cung trắc địa của bắt đầu tại p với vector tiếp xúc có tham số hoá . Xét biến phân của là Rõ ràng với là cung trắc địa của . Do đó là trường Jacobi dọc thoả mãn . Vì nên . Gọi là 2-phẳng của sinh bởi X và thì (với ). Vậy có độ cong tiết diện hằng bằng 0. ÿ Định lý 4.8 Sn có độ cong tiết diện hằng bằng 1. Chứng minh Cung trắc địa của bắt đầu tại p với vector tiếp xúc có tham số hoá . Xét biến phân của là Rõ ràng với là cung trắc địa của . Do đó là trường Jacobi dọc thoả mãn Vì nên . Gọi là 2-phẳng của sinh bởi X và . Ta có Suy ra (với , ) .Vậy có độ cong tiết diện hằng bằng 1. ÿ