Giáo án Hình học lớp 10 - Chương II: Tích Vô Hướng Của Hai Véc Tơ Và Ứng Dụng

Chương II Tích vô hướng của hai véc tơ và ứng dụng Đ3. Hệ thức lượng trong tam giác Mục tiêu Kiến thức Học sinh nắm được: Định lí cosin, định lí sin trong tam giác và các hệ quả. Các công thức tính độ dài đường trung tuyến và diện tích tam giác. Học sinh vận dụng được các công thức trên để giải các bài toán chứng minh và tính toán có liên quan đến độ dài trung tuyến, diện tích, chiều cao của tam giác . Kĩ năng ● Vận dụng thành thạo định lí cosin và định lí sin để tính các góc, các cạnh chưa biết của tam giác khi đã biết ba cạnh hoặc hai cạnh và góc xen giữa, hoặc một cạnh và hai góc kề. Thái độ ● Liên hệ được với nhiều vấn đề có trong thực tế, nhất là trong đo đạc. ● Có nhiều sáng tạo trong hình học. ● Nhận thức tốt hơn trong tư duy hình học. Chuẩn bị của giáo viên và học sinh Giáo viên Chuẩn bị một số câu hỏi thông qua các ví dụ đã học ở lớp 9. Một số hình sẵn ở nhà vào giấy hoặc bản Meca ( nếu có máy chiếu).Phấn màu c. Vẽ sẵn một số hình để hướng dẫn học sinh thực hiện các ễ Học sinh Đọc kĩ ở nhà, có thể đặt ra các câu hỏi về một số vấn đề mà em chưa hiểu. Chuẩn bị tốt một số dụng cụ để vẽ hình. III. Phân phối thời lượng Tiết1: từ đầu cho đến hết phần 2 ( định lí sin ); Tiết2: Mục 3;4 Tiết3: Mục 5 ( giải tam giác ) Tiết4: Ôn tập IV. Tiến trình dạy học A. Kiểm tra bài cũ ( 5’ ) GV: Câu hỏi 1. Cho tam giác vuông ABC, vuông tại A, BC = a, B= 60o. Tính các giá trị lượng giác của các góc trong tam giác. Tính Câu hỏi 2 Cho tam giác ABC , A(1;1), B(-2;-1), C(3;-2). Tính các góc trong tam giác. Tính B. Bài mới Hoạt động1 Định lí cosin trong tam giác Mục đích: Giúp học sinh biết được định lí cosin và biết vận dụng nó trong giải toán. Hướng dẫn thực hiện ?1 Đặt vấn đề. Thực hiện Thực hiện ễ1. Nêu định lí cosin . Thực hiện ễ2. Thực hiện ễ3. C A B Hướng dẫn học sinh làm ví dụ 1 trang 54 SGK, ví dụ 2 trang 55. Nêu chú ý quan trọng . Quá trình thực hiện . Đặt vấn đề GV vẽ hình lên bảng Cho một học sinh phát biểu định lí Py-ta-go: BC2 = AC2+AB2 - Phân tích Từ đó ta có 2 = 2 =2+2 - 2 . = 2+2 ?1 . Thực hiện GV: Thực hiện thao tác này trong 2’ Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh Câu hỏi 1 Trong chứng minh trên, A vuông được sử dụng trong bước nào? Câu hỏi 2 Nếu bỏ đi giả thiết A vuông thì kết luận trên còn đúng hay sai? Gợi ý trả lời câu hỏi 1 Vì A vuông, nên ACAB, hay . = 0 Gợi ý trả lời câu hỏi 2 Không đúng Thực hiện ễ1. GV: Thực hiện thao tác này trong 5’ Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh Câu hỏi 1 Hãy phân tích theo và Câu hỏi 2 Hãy tính 2 Câu hỏi 3 Hãy áp dụng đn tích vô hướng của hai véctơ trong trường hợp này. Câu hỏi 4 Kết luận Gợi ý trả lời câu hỏi 1 Gợi ý trả lời câu hỏi 2 2 = 2 =2+2 - 2 . Gợi ý trả lời câu hỏi 3 . = AB.AC. cosA Gợi ý trả lời câu hỏi 4 a2 = b2 + c2 . Nêu định lí cosin Định lí Trong tam giác ABC, với BC = a, CA = b, AB = c, ta có a2 = b2 + c2-2bc cosA b2 = a2 + c2-2ac cosB c2 = a2 + b2-2ab cosC. . Thực hiện ễ2. GV: Cho nhiều học sinh phát biểu rồi đưa ra nhận xét từng phát biểu của học sinh.Sau đó đưa ra phát biểu chính thức: ?2 Định lí có thể phát biểu như sau: Trong một tam giác, bình phương một cạnh bằng tổng các bình phương của hai cạnh kia , trừ hai lần tích của chúng và cosin của góc xen giữa hai cạnh đó. . Thực hiện GV: Thực hiện thao tác này trong 2’ Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh Câu hỏi 1 Hãy áp dụng định lí cosin vào tam giác vuông ABC. Câu hỏi 2 Đây là định lí quen thuộc nào? Gợi ý trả lời câu hỏi 1 a2 = b2 + c2-2bc cosA Vì A vuông, nên cosA = 0, do đó a2 = b2 + c2 Gợi ý trả lời câu hỏi 2 Định lí Py-ta-go . Thực hiện ễ3. GV: Thực hiện thao tác này trong 2’ Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh Câu hỏi 1 Từ a2 = b2 + c2-2bc cosA hãy tính cosA Câu hỏi 2 T. tự với cosB, cosC Gợi ý trả lời câu hỏi 1 CosA=(b2+c2-a2)/2bc Gợi ý trả lời câu hỏi 2 CosB=(a2+c2-b2)/2ac, CosC=(b2+a2-c2)/2ba GV cho học sinh phát biểu hệ quả Hệ Quả CosA=(b2+c2-a2)/2bc, CosB=(a2+c2-b2)/2ac, CosC=(b2+a2-c2)/2ba . Hướng dẫn học sinh làm ví dụ 1 trang 54 SGK -GV treo hình vẽ lên bảng -Gọi một HS phát biểu định lí cosin cho cạnh BC - áp dụng ta tính được kết quả : a=(hải lí) _ _ Bo_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 30 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 60o_ _ _ _ _ o A 40 C Đây là một bài toán thực tế, GV dẫn dắt HS mô tả bài toán thành bài toán trong tam giác ABC, với A=60o. Gv dẫn dắt HS giải bài toán theo các bước sau: Vẽ hình; Tính cạnh BC; Dùng máy tính bỏ túi để lấy kết quả gần đúng. A B C . Thực hiện ví dụ 2. - Cho HS vẽ hình : 23 7 24 Cho HS đưa ra công thức tính cosA. Từ đó tính CosA = (b2+c2-a2)/2bc Dùng máy tính bỏ túi ta tính được A16o58’ . Nêu chú ý: Hướng dẫn HS thực hành ngay các bài tập trên. Nếu sử dụng may tính bỏ túi (MTBT) để tính góc A khi biết cosA=0,9565 ta có thể làm như sau 0,,,, Đối với MTBT CASIO fx-220 hoặc fx-500A thì ấn 0,,,, 0,9565 .Kết quả: A16o58’ Đối với MTBT CASIO fx-500MS thì ấn = 0,9565 .Kết quả A16o58’ hoạt động 2 Định lí sin trong tam giác Mục đích: Giúp HS biết được định lí sin và biết vận dụng nó trong giải toán. Hướng thực hiện . Đặt vấn đề . Thực hiện ễ4. . Nêu định lí sin A . Thực hiện ví dụ3. . Nêu chú ý. Thực hiện ví dụ 4 b c Quá trình thực hiện C a . B . Đặt vấn đề O GV vẽ hình: Cho học sinh thảo luận các vấn đề sau Nếu góc A vuông (h vẽ) thì a=2R và dễ thấy a=2RsinA ; b=2RsinB ; c=2RsinC. (1) . Thực hiện ễ4(để chứng minh các công thức (1)). Vẽ hình lên bảng (Hình 48 SGK) GV thực hiện thao tác này trong 4’ Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh Câu hỏi 1 Khi nào thì hai góc có sin bằng nhau? Câu hỏi 2 Hai góc : BAC và BA’C có quan hệ với nhau như thế nào? Câu hỏi 3 Tính sin BA’C ? Gợi ý trả lời câu hỏi 1 Khi hai góc bằng nhau hoặc tù Gợi ý trả lời câu hỏi 2 Hai góc này bằng nhau hoặc bù nhau. Vậy sinBAC = sinBA’C Gợi ý trả lời câu hỏi 3 sin BA’C = =. Từ đó ta có sinA = . . Nêu định lí sin Với mọi tam giác ABC, ta có = = = 2R Trong đó R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. GV: Thực hiện thao tác này trong 4’ Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh Câu hỏi 1 Hãy tính a theo R và sinA ? Câu hỏi 2 Hãy tính a theo R và sinB ? Câu hỏi 3 Hãy tính a theo R và sinC ? Gợi ý trả lời câu hỏi 1 a= 2RsinA Gợi ý trả lời câu hỏi 2 b= 2RsinB Gợi ý trả lời câu hỏi 3 c= 2RsinC. . Thực hiện ví dụ3. Cho HS thảo luận đề bài. Treo hình 49 lên bảng: Đây là bài toán thực tế, GV nên hướng dẫn học sinh trở về bài toán quen thuộc theo các bước sau: Tính lần lượt các góc A, B, C trong tam giác ABC. Tính AC trong tam giác ABC Tính CH trong tam giác vuông AHC. Dùng máy tính bỏ túi để tính kết quả gần đúng. CH = = 134,7 (m) . Nêu chú ý. Nếu sử dụng MTBT để tính biểu thức b = thì ta có thể làm như sau: Đối với CASIO fx-220 hoặc fx-500A thì ấn . Đối với CASIO fx-500MS thì ấn . Kết quả: b 269,4. . Thực hiện ví dụ 4. Bài toán được giải theo các bước sau: áp dụng định lí sin để tính sinA, sinB, sinC. SinA = ; SinB = ; SinC = . Cộng các kết quả lại. sinA – 2sinB + sinC = (a – 2b + c) = (4-10+6) = 0 Hoạt động 3 3.Tổng bình phương hai cạnh và độ dài đường trung tuyến của tam giác Mục đích: Giúp HS biết được độ dài đường trung tuyến trong tam giác. Hướng thực hiện . Giải bài toán 1 . Thực hiện ễ5. . Giải bài toán 2 . Thực hiện ễ6. . Giải bài toán 3 Quá trình thực hiện . Giải bài toán 1 A Nêu bài toán, cho HS thảo luận đề bài. Gọi một HS vẽ hình 50 m ?3 B // // C . Thực hiện I GV thực hiện thao tác này trong 4’ Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh Câu hỏi 1 Khi m = thì tam giác ABC có tính chất đặc biệt gì không? Câu hỏi 2 AB2 + AC2 = ? Gợi ý trả lời câu hỏi 1 Tam giác ABC vuông tại A. Gợi ý trả lời câu hỏi 2 AB2 + AC2 =a2 . . Thực hiện ễ5.(để giải bài toán 1) GV thực hiện thao tác này trong 4’ Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh Câu hỏi 1 Đặt tính AB2 . Câu hỏi 2 Đặt tính AC2. Câu hỏi 3 Tính Gợi ý trả lời câu hỏi 1 AB2 = AI2 + IB2+2 Gợi ý trả lời câu hỏi 2 AC2 = AI2 + IC2+2 Gợi ý trả lời câu hỏi 3 . = 2AI2+2IC2+2=2AI2+2IC2 . AB2+AC2 = 2m2 + . Giải bài toán 2 M Cho HS nêu và thảo luận bài toán Gọi một HS vẽ hình 51 P // // Q I áp dụng bài toán 1: ta tính MP2 + MQ2 theo a và k. Kết quả: MI2 = - (*) . Thực hiện ễ6. GV thực hiện thao tác này trong 4’ Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh Câu hỏi 1 Hãy nhận xét về (*). Câu hỏi 2 Hãy biện luận (*) Gợi ý trả lời câu hỏi 1 Vế trái của (*) luôn không âm. Gợi ý trả lời câu hỏi 2 Nếu k < , không có điểm M nào thoả mãn Nếu k = , thì M trùng I Nếu k > , thì M chạy trên đường tròn ( I ; ) . Giải bài toán 3. - Cho HS thảo luận bài toán. - Vận dụng bài toán 1. - Kết quả: ma2 = (b2 + c2)/2 – a2/4; mb2 = (a2 + c2)/2 – b2/4 ; mc2 = (b2 + a2)/2 – c2/4 . hoạt động 4 4. Diện tích tam giác Mục đích: Giúp HS vận dụng các định lí về diện tích tam giác để giải toán về tam giác. b) Hướng thực hiện . Các công thức . Thực hiện ễ7. . Thực hiện ễ8. . Thực hiện ễ9. . Thực hiện ễ10. c) Quá trình thực hiện . Nêu các công thức S = a.ha/2 = b.hb/2 = c.hc/2 ; (1) S = ab.sinC/2 = ac.sinB/2 = bc.sinA/2 ; (2) S = abc/4R ; (3) S = pr ; (4) S = ; (5) (công thức Hê-Rông) . Thực hiện ễ7 - Cho HS thảo luận đề bài A - Treo hình 52 lên bảng. A - Sử dụng công thức. c b c ha b H B a C B H a C GV thực hiện thao tác này trong 2’ Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh Câu hỏi 1 Hãy tính ha trong tam giác AHB theo cạnh c và góc B Câu hỏi 2 Thay vào công thức S = a.ha/2 để được công thức (2) Gợi ý trả lời câu hỏi 1 ha = csinB Gợi ý trả lời câu hỏi 2 S = a.ha/2 = acsinB/2 . Thực hiện ễ8. GV thực hiện thao tác này trong 2’ Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh Câu hỏi 1 Hãy tính sinC từ định lí sin Câu hỏi 2 Thay vào công thức S = absinC/2, để được công thức (3) Gợi ý trả lời câu hỏi 1 SinC=c/2R Gợi ý trả lời câu hỏi 2 S = absinC/2 = abc/4 . Thực hiện ễ9.( hình 53 ) GV thực hiện thao tác này trong 2’ Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh Câu hỏi 1 Hãy tính diện tích các tam giác OBC, OCA, OAB. Câu hỏi 2 Hãy áp dụng công thức (1) để suy ra công thức (4) Gợi ý trả lời câu hỏi 1 SAOB=AB.r/2 A SAOC=AC.r/2 SCOB=CB.r/2 . c b O r B a C Gợi ý trả lời câu hỏi 2 ( hình 53) S = ( CB + CA + AB ).r/2 = pr . đfcm . Thực hiện ễ10. GV thực hiện thao tác này trong 2’ Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh Câu hỏi 1 Hãy tính diện tích tam giác có diện tích 3, 4,5 Câu hỏi 2 Hãy tính diện tích tam giác có diện tích 13, 14, 15 Câu hỏi 3 Hãy tính diện tích tam giác có diện tích 51, 52, 53 Gợi ý trả lời câu hỏi 1 S = 6 Gợi ý trả lời câu hỏi 2 S = 84 Gợi ý trả lời câu hỏi 2 S = 1170. Chú ý: Các tam giác có các cạnh là các số nguyên liên tiếp và diện tích cũng là một số nguyên được gọi là tam giác Hê-Rông . hoạt động 5 5. Giải tam giác và ứng dụng thực tế Mục đích: Giúp HS vận dụng các định lí để giải toán về tam giác. b) Hướng thực hiện: Thực hiện các ví dụ từ 5 đến 9 c)Quá trình thực hiện . Thực hiện ví dụ 5 Cho học sinh thảo luận bài toán Vẽ hình 54 (SGK) Đây là bài toán thực tế, GV hướng dẫn học sinh làm bài theo các bước sau đây Tính góc A áp dụng định lí sin , tính các cạnh b, c. Chú ý: Nên dùng MTBT để tính kết quả gần đúng Kết quả : b 16,5 . . Thực hiện ví dụ 6 Cho học sinh thảo luận bài toán Vẽ hình 55 (SGK) Đây là bài toán thực tế, GV hướng dẫn học sinh làm bài theo các bước sau đây Tính cạnh c bằng cách áp dụng định lí cosin áp dung định lí cosin , tính góc A; từ đó suy ra góc B . Chú ý: Nên dùng MTBT để tính kết quả gần đúng Kết quả : B 31o38’ . Thực hiện ví dụ 7 Cho học sinh thảo luận bài toán Vẽ hình 56 (SGK) Đây là bài toán thực tế, GV hướng dẫn học sinh làm bài theo các bước sau đây Tính góc A dụa vào định lí cosin áp dụng định lí cosin , tính các góc B, C. Chú ý: Nên dùng MTBT để tính kết quả gần đúng Kết quả : B 33o33’ . Thực hiện ví dụ 8 Cho học sinh thảo luận bài toán Vẽ hình 57 (SGK) Đây là bài toán thực tế, GV hướng dẫn học sinh làm bài theo các bước sau đây Tính cạnh a dựa vào định lí cosin ; Chú ý: Nên dùng MTBT để tính kết quả gần đúng Kết quả : a 11 (km) . Thực hiện ví dụ 9 Cho học sinh thảo luận bài toán Vẽ hình 58 (SGK) Đây là bài toán thực tế, GV hướng dẫn học sinh làm bài theo các bước sau đây Tính góc C. Tính cạnh b dựa vào định lí sin ; Chú ý: Nên dùng MTBT để tính kết quả gần đúng. Kết quả : b 6 (km) Tóm tắt bài học 1. Trong tam giác ABC, với BC = a, CA = b, AB = c, ta có a2 = b2 + c2-2bc cosA b2 = a2 + c2-2ac cosB c2 = a2 + b2-2ab cosC. Hệ Quả CosA=(b2+c2-a2)/2bc, CosB=(a2+c2-b2)/2ac, CosC=(b2+a2-c2)/2ba 2. Với mọi tam giác ABC, ta có = = = 2R Trong đó R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. 3. ma2 = (b2 + c2)/2 – a2/4; mb2 = (a2 + c2)/2 – b2/4 ; mc2 = (b2 + a2)/2 – c2/4 . 4. S = a.ha/2 = b.hb/2 = c.hc/2 ; S = ab.sinC/2 = ac.sinB/2 = bc.sinA/2 ; S = abc/4R ; S = pr ; S = ; (công thức Hê-Rông) hoạt động 6 Bài tập sách giáo khoa Mục đích: Giúp HS ôn tập và rèn luyện kĩ năng giải tam giác. b) Hướng thực hiện: Chữa một số bài tập tại lớp, các bài tập còn lại hướng dẫn. c) Quá trình thực hiện Bài 15 Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh Câu hỏi 1 Hãy áp dụng định lí cosin tính cosA ? Câu hỏi 2 Thay số và tính toán ? Gợi ý trả lời câu hỏi 1 CosA = (b2+c2-a2)/2bc Gợi ý trả lời câu hỏi 2 CosA =?, suy ra : A 50o Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh Câu hỏi 1 Hãy tính diện tích tam giác có diện tích 3, 4,5 Câu hỏi 2 Hãy tính diện tích tam giác có diện tích 13, 14, 15 Câu hỏi 3 Hãy tính diện tích tam giác có diện tích 51, 52, 53 Gợi ý trả lời câu hỏi 1 S = 6 Gợi ý trả lời câu hỏi 2 S = 84 Gợi ý trả lời câu hỏi 2 S = 1170. Chú ý: Các tam giác có các cạnh là các số nguyên liên tiếp và diện tích cũng là một số nguyên được gọi là tam giác Hê-Rông . Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh Câu hỏi 1 Hãy tính diện tích tam giác có diện tích 3, 4,5 Câu hỏi 2 Hãy tính diện tích tam giác có diện tích 13, 14, 15 Câu hỏi 3 Hãy tính diện tích tam giác có diện tích 51, 52, 53 Gợi ý trả lời câu hỏi 1 S = 6 Gợi ý trả lời câu hỏi 2 S = 84 Gợi ý trả lời câu hỏi 2 S = 1170. Chú ý: Các tam giác có các cạnh là các số nguyên liên tiếp và diện tích cũng là một số nguyên được gọi là tam giác Hê-Rông . Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh Câu hỏi 1 Hãy tính diện tích tam giác có diện tích 3, 4,5 Câu hỏi 2 Hãy tính diện tích tam giác có diện tích 13, 14, 15 Câu hỏi 3 Hãy tính diện tích tam giác có diện tích 51, 52, 53 Gợi ý trả lời câu hỏi 1 S = 6 Gợi ý trả lời câu hỏi 2 S = 84 Gợi ý trả lời câu hỏi 2 S = 1170. Chú ý: Các tam giác có các cạnh là các số nguyên liên tiếp và diện tích cũng là một số nguyên được gọi là tam giác Hê-Rông . Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh Câu hỏi 1 Hãy tính diện tích tam giác có diện tích 3, 4,5 Câu hỏi 2 Hãy tính diện tích tam giác có diện tích 13, 14, 15 Câu hỏi 3 Hãy tính diện tích tam giác có diện tích 51, 52, 53 Gợi ý trả lời câu hỏi 1 S = 6 Gợi ý trả lời câu hỏi 2 S = 84 Gợi ý trả lời câu hỏi 2 S = 1170. Chú ý: Các tam giác có các cạnh là các số nguyên liên tiếp và diện tích cũng là một số nguyên được gọi là tam giác Hê-Rông . Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh Câu hỏi 1 Hãy tính diện tích tam giác có diện tích 3, 4,5 Câu hỏi 2 Hãy tính diện tích tam giác có diện tích 13, 14, 15 Câu hỏi 3 Hãy tính diện tích tam giác có diện tích 51, 52, 53 Gợi ý trả lời câu hỏi 1 S = 6 Gợi ý trả lời câu hỏi 2 S = 84 Gợi ý trả lời câu hỏi 2 S = 1170. Chú ý: Các tam giác có các cạnh là các số nguyên liên tiếp và diện tích cũng là một số nguyên được gọi là tam giác Hê-Rông . Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh Câu hỏi 1 Hãy tính diện tích tam giác có diện tích 3, 4,5 Câu hỏi 2 Hãy tính diện tích tam giác có diện tích 13, 14, 15 Câu hỏi 3 Hãy tính diện tích tam giác có diện tích 51, 52, 53 Gợi ý trả lời câu hỏi 1 S = 6 Gợi ý trả lời câu hỏi 2 S = 84 Gợi ý trả lời câu hỏi 2 S = 1170. Chú ý: Các tam giác có các cạnh là các số nguyên liên tiếp và diện tích cũng là một số nguyên được gọi là tam giác Hê-Rông . Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh Câu hỏi 1 Hãy tính diện tích tam giác có diện tích 3, 4,5 Câu hỏi 2 Hãy tính diện tích tam giác có diện tích 13, 14, 15 Câu hỏi 3 Hãy tính diện tích tam giác có diện tích 51, 52, 53 Gợi ý trả lời câu hỏi 1 S = 6 Gợi ý trả lời câu hỏi 2 S = 84 Gợi ý trả lời câu hỏi 2 S = 1170. Chú ý: Các tam giác có các cạnh là các số nguyên liên tiếp và diện tích cũng là một số nguyên được gọi là tam giác Hê-Rông .