Giáo án Hình học lớp 10 nâng cao - Tiết 37- 38- 39 Bài 5: Đường Elip

Tiết 37- 38- 39 §5 ĐƯỜNG ELIP A . Mục tiêu Kiến thức: Định nghĩa elip , phương trình chính tắc và các phần tử của elip Kỹ năng : Biết viết phương trình chính tắc của elip và xác định các phần tử của elip Thái độ : Tích cực xây dựng bài học , tiếp thu và vận dụng kiến thức sáng tạo Tư duy : Phát triển tư duy logic toán học , suy luận và sáng tạo B . Chuẩn bị : Sách giáo khoa , bài tập C . Tiến trình bài dạy: Oån định lớp : Kiểm tra bài cũ : Dạy bài mới : TG Lưu bảng Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh 1. Định nghĩa đường elip Định nghĩa : Cho hai điểm cố định F1 và F2 , với F1F2 = 2c ( c > 0). Đường elip ( còn gọi là elip) là tập hợp các điểm M sao cho MF1 + MF2 = 2a trong đó a là số không đổi lớn hơn c. _ Hai điểm F1 và F2 gọi là các tiêu điểm của elip. _ Khoảng cách 2c được gọi tiêu cự của elip. _ Các đoạn thẳng MF1 và MF2 gọi là các bán kính qua tiêu điểm của M 2. Phương trình chính tắc của elip. Cho elip (E). Ta hãy chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ Ta có MF= a + = = hay (a +)= (x +c) + y Rút gọn ta được x + y= a - c hay = 1. Chú ý rằng vì a- c> 0 nên ta có thể đặt a- c= b (b > 0) và được =1 (a > b > 0) (1) Ngược lại, có thể chứng minh được rằng : nếu điểm M có toạ độ (x; y) thoả mãn (1) thì MF= a +, MF= a - do đó MF + MF = 2a, tức M thuộc elip (E). Phương trình (1) được gọi là phương trình chính tắc của elip đã cho. 3. Hình dạng của elip a) Tính đối xứng của elip Elip nhận các trục toạ độ làm các trục đối xứng và gốc toạ độ là tâm đối xứng. b) Hình chữ nhật cơ sở Elip với phương trình chính tắc (1), cắt trục Ox tại hai điểm A1 và A2 , cắt trục Oy tại hai điểm B1 và B2 . Bốn điểm đó gọi là các đỉnh của elip. Đoạn thẳng A1A2 gọi là trục lớn, đoạn thẳng B1B2 gọi là trục bé của elip. Độ dài trục lớn là 2a, độ dài trục bé là 2b. Vẽ qua A1 và A2 hai đường thẳng song song với trục tung, qua B1 và B2 hai đường thẳng song song với trục hoành. Bốn đường thẳng đó tạo thành hình chữ nhật PQRS. Ta gọi đó là hình chữ nhật cơ sở của elip Mọi điểm của elip nếu không phải là đỉnh đều nằm trong hình chữ nhật cơ sở của nó. Bốn đỉnh của elip là trung điểm các cạnh hình chữ nhật cơ sở. c) Tâm sai của elip Tỉ số giữa tiêu cự và độ dài trục lớn của elip gọi là tâm sai của elip và được kí hiệu là e. Như vậy e =. Rõ ràng 0 < e < 1. Hơn nữa do . Nên + Nếu tâm sai e càng bé (tức là càng gần 0) thì b càng gần a và hình chữ nhật cơ sở càng gần với hình vuông, do đó đường elip càng “béo” + Nếu tâm sai e càng lớn (tức là càng gần 1) thì b càng gần tới 0 và hình chữ nhật cơ sở càng “dẹt”, do đó đường elip càng “gầy” Hoạt động 1 (Vẽ đường elip) (Xem SGK) ?1 Trong cách vẽ đường elip ở trên , gọi vị trí đầu bút chì là M . Khi thay đổi , có nhận xét gì về chu vi tam giác MF1F2 và về tổng MF1 + MF2 ? ?2 Với cách chọn hệ trục toạ độ như vậy, toạ độ hai tiêu điểm F1 và F2 là bao nhiêu? Hoạt động 2. Giả sử điểm M(x; y) nằm trên elip (E). Hãy tính MF - MF, và với chú ý MF + MF = 2a, hãy suy ra biểu thức bán kính qua tiêu MF và MF . Ví dụ 1. Cho F(-; 0) , F= (; 0) và I(0 ; 3). a) Hãy viết phương trình chính tắc của elip có tiêu điểm là F, F và đi qua điểm I. b) Khi M chạy trên elip đó, khoảng cách MF có giá trị nhỏ nhất và lớn nhất bằng bao nhiêu ? HD : _ Giả sử phương trình elip : =1. Dùng giả thiết tìm a2 và b2 . _ Cm : a – c MF1 a + c . Suy ra GTLN và GTNN của MF1 . Ví dụ 2. Viết phương trình chính tắc của elip đi qua hai điểm M(0; 1) và N(1; ). Xác định toạ độ các tiêu điểm của elip đó. ?3 Cho elip có phương trình (1) và một điểm M(x, y) nằm trên elip. Hỏi các điểm sau đây có nằm trên elip hay không ? M(-x, y), M(x, -y), M(-x, -y). ?4. Nếu xét điểm M(x; y) nằm trên elip có phương trình chính tắc (1) thì giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của x là bao nhiêu ? Giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của y là bao nhiêu ? Ví dụ 3. Một đường hầm xuyên qua núi có chiều rộng là 20m, mặt cắt thẳng của đường hầm đó dạng nửa elip (như hình vẽ). Biết rằng tâm sai của đường elip là e0,5. Hãy tìm chiều cao của hầm đó . HS : Chu vi tam giác MF1F2 không đổi và MF1 + MF2 không đổi HS : F1(-c ,0 ) ; F2(c , 0) Giải : MF12 = (x + c)2 + y 2 MF22 = (x – c)2 + y 2 MF - MF = 4cx mà MF + MF = 2a Giải hệ pt ta được : MF1 = a + và MF2 = a - . Giải Giả sử elip có phương trình chính tắc =1. Điểm I(0 ; 3) nằm trên elip nên =1, hay b= 9. Theo giả thiết , tiêu cự là 2c = FF=2. Vậy c = . Do đó a= b+ c = 14. Vậy elip đã cho có phương trình chính tắc =1 b) Độ dài bán kính qua tiêu MF= a +. Vì -a x a nên MFnhỏ nhất khi x = -a và lớn nhất khi x = a. Vậy : MFcó giá trị nhỏ nhất là a – c = - và có giá trị lớn nhất là a + c =+ Giải. Phương trình chính tắc của elip có dạng =1. Elip đi qua M(0; 1) nên b=1. Elip đi qua N(1; ) nên =1. Suy ra a = 4. Vậy elip có phương trình chính tắc =1. Ta có c= a- b = 3. Vậy F(-; 0), F( ; 0). HS : học sinh thế cả ba trường hợp và kết luận cả ba điểm đều thuộc (E). HS : Ta có : Suy ra : và Giải. Gọi chiều cao của đường hầm là b. Nửa trục lớn của elip là a = 10m. Elip có nửa tiêu cự là c = a.e 5m. Chiều cao của hầm là : b = D . Luyện tập và củng cố : E . Bài tập về nhà: