Giáo án Hình học - Lớp 6 - Chứng minh hai đường thẳng vuông góc với nhau

NHÓM 21. Trương Công Hiếu2. Lương Thị Kim Xuyến3. Lương Thị Mỹ Tiên4. Nguyễn Hoàng Sơn5. Bùi Ngọc Tuyền (Nhóm Trưởng)6.Trần Thị Nguyệt Thảo7. Liêu Thị Thảo Nguyên8. Lê Văn Cường (Nhóm Phó)9. Huỳnh Tuấn10. Nguyễn Hữu Khải11. Thạch Thị Linh12. Trần Thị Lệ Trinh13. Nguyễn Thị Minh Tú CHứNG MINH HAI ĐƯờNG THẳNG VUÔNG GÓC VớI NHAU I. Định nghĩa hai đường thẳng vuông góc 1. Định nghĩa Hai đường thẳng xx’ và yy’ cắt nhau và trong các góc tạo thành có một góc vuông được gọi là hai đường thẳng vuông góc và kí hiệu là xx’  yy’. 2. Tiên đề Ơclit về đường thẳng vuông góc Có một và chỉ một đường thẳng a’ đi qua điểm O và vuông góc với đường thẳng a cho trước. II. Các bước giải bài toán chứng minh hai đường thẳng vuông góc Bước 1: Tìm hiểu đề toán. Bước 2: Xây dựng chương trình giải. Bước 3: Trình bày lời giải của bài toán. Bước 4: Kiểm tra và đánh giá. III. Các phương pháp chứng minh hai đường thẳng vuông góc1. Phương pháp 1: Chứng minh hai đường thẳng vuông góc dựa vào định nghĩa (chứng minh góc tạo bởi hai đường thẳng cắt nhau bằng 900). 2. Phương pháp 2: Chứng minh hai đường thẳng vuông góc dựa vào tính chất song song của đường thẳng trong mặt phẳng.Tính chất: một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì nó cũng vuông góc với đường thẳng kia. 3. Phương pháp 3: Chứng minh hai đường vuông góc dựa vào định nghĩa và tính chất các đường trong tam giác và trong hình học phẳng. - Định nghĩa ba đường cao trong tam giác: Trong một tam giác, đoạn vuông góc kẻ từ một đỉnh đến đường thẳng chứa cạnh đối diện được gọi là đường cao của tam giác đó. - Tính chất ba đường cao trong tam giác: Ba đường cao của một tam giác cùng đi qua một điểm. - Định nghĩa đường trung trực của một đoạn thẳng: Đường thẳng đi qua trung điểm và vuông góc với đoạn thẳng được gọi là đường trung trực của đoạn thẳng ấy. - Tính chất tam giác cân, tam giác đều: Trong một tam giác cân (tam giác đều), đường trung trực ứng với cạnh đáy đồng thời là đường phân giác, đường trung tuyến và đường cao cùng xuất phát từ đỉnh đối diện với cạnh đó. 4. Phương pháp 4: Chứng minh hai đường thẳng vuông góc dựa vào đường tròn và các yếu tố trong đường tròn.Để chứng minh hai đường thẳng vuông góc với nhau ta dựa vào các định lí và các tính chất có liên quan đến đường tròn. - Tính chất góc nội tiếp chắn nửa đường tròn thì có số đo bằng 900. - Tính chất: Nếu một đường thẳng là tiếp tuyến của một đường tròn thì nó vuông góc với bán kính tại tiếp điểm. - Tính chất hai tiếp tuyến cùng xuất phát từ một điểm ở ngoài đường tròn thì đường thẳng đi qua điểm đó và tâm đường tròn phải vuông góc với dây cung nối hai tiếp điểm. 5. Phương pháp 5: Chứng minh hai đường thẳng vuông góc dựa vào định lí nhận biết một tam giác vuông.Định lí Pitago đảo: “Nếu một tam giác có bình phương của một cạnh bằng tổng bình phương của hai cạnh kia thì tam giác đó là tam giác vuông”. Bài 1: Cho hình vuông ABCD, hai đường chéo cắt nhau tại O. Hai đường thẳng d1 và d2 cùng đi qua O và vuông góc với nhau. Đường thẳng d1 cắt các cạnh AB và CD ở M và P. Đường thẳng d2 cắt các cạnh BC và AD ở N và Q. Chứng minh rằng MN  MQ. Hình vuông ABCD  GT KL  Hướng dẫn:GV: Để chứng minh MN  MQ ta phải làm như thế nào?HS: Chứng minh MNPQ là hình vuông.GV: Làm thế nào chứng minh MNPQ là hình vuông?HS: Chứng minh MNPQ là hình thoi và có MN = NQ.  GV: Để chứng minh MNPQ là hình thoi ta làm như thế nào?HS: Ta chứng minh MNPQ là hình bình hành và theo giả thiết đề bài ta có được MP  NQ GV: Làm thế nào để chứng minh MNPQ là hình bình hành ?HS: Cm tứ giác MNPQ có OQ = ON và OM = OP.GV: Vì sao OQ = ON và OM = OP.HS:  GV: Chứng minh MP = NQ ta làm thế nào? HS: Chứng minh OM = ON và OP =OQ.GV: Vì sao OM = ON và OP =OQ? HS: Chứng minh OMB = ONC theo trường hợp (g.c.g) vì: GV: Ta có kết luận gì về mối quan hệ giữa OM và ON.HS: Ta có do MNPQ là hình thoi nên MP = NQ. Bài giải: + Vì ABCD là hình vuông nên: AB//CD và BC//AD; OA = OB = OC = OD; AC  BD, + Xét AMO và CPO có: AO = OC (hai góc đối đỉnh) (hai góc so le trong) Vậy AMO = CPO (g.c.g). Suy ra: OM = OP.  Vậy Suy ra: OP = OQ Vậy tứ giác MNPQ là hình bình hành mà MP  NQ vì d1  d2 nên MNPQ là hình thoi.  (hai góc đối đỉnh) Bài 2: Cho hình chữ nhật ABCD. Trên tia AD và BC lần lượt lấy 2 điểm F và E sao cho DF = CE = DC. Trên tia DC lấy điểm H sao cho HC = CB. Chứng minh rằng AE  FH. GT DF = CE = DC HC = CBKL AE  FH  Hướng dẫn: GV: Chứng minh AE  FH thực chất là chứng minh điều gì?HS: Chứng minh GV: Vậy để chứng minh ta làm như thế nào?HS: Chứng minh AIH (hoặc AIF hoặc IFE hoặc IHE) là tam giác vuông.GV: Còn cách nào khác không?HS: + Chứng minh chắn nửa đường tròn.+ Chứng minh ADIH là tứ giác nội tiếp. GV: Vậy ta sẽ chọn cách nào để dễ dàng chứng minh?HS: Chọn cách 2: Chứng minh ADIH là tứ giác nội tiếp vì cách 1 phức tạp hơn.GV: Nhìn vào hình vẽ ta có thể chứng minh như thế nào?HS: vì cùng chắn DI.GV: Chứng minh bằng cách nào?HS: Chứng minh .GV: Hai tam giác này bằng nhau theo trường hợp nào?HS: Cạnh góc cạnh. Bài giải: Gọi I là giao điểm của AE và FHXét AEF và DFH ta có:AF = DH (vì DF = DC; CH = BC = AD)Dễ dàng chứng minh được DCEF là hình vuông, nên:Do đó: AEF = DFH (c.g.c)Nên: Do đó: A, H cùng thuộc cung chứa góc tạo bởi DI hay ADIH là tứ giác nội tiếp.Suy ra: (cùng chắn cung AH) (ABCD là hình chữ nhật) Vậy AE  FH (đpcm) Bài 3: Cho tam giác ABC vuông tại A và đường cao AH. Gọi E, D theo thứ tự là hình chiếu của H trên AC, AB và M là trung điểm của cạnh BC. Chứng minh AM  DE. GT KL  Hướng dẫn:GV: Để chứng minh AM  DE ta làm như thế nào?HS: Chứng minh gócGV: Vậy để chứng minh ta làm như thế nào?HS: GV: Làm thế nào để chứng minh GV: Ta có ta chứng minh thêm GV: Để chứng minh ta làm thế nào?HS: GV: vậy còn lại  ta chứng minh như thế nào? HS: Ta chứng minhGV: Theo giả thiết ta có được vậy còn ta làm thế nào?  HS: Ta có  Bài giải: Ta có : (vì AM là trung tuyến thuộc cạnh huyền của tam giác vuông ABC). (1) Suy ra: Từ (1) và (2) ta được: Ta lại có:  Vì tổng ba góc trong một tam giác bằng  1800 do đó ta được Vậy AM  DE. Bài 4: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, các đường cao AD, BE. Tia phân giác của góc cắt BE, BC theo thứ tự ở I, K. Tia phân giác của góc EBC cắt AD, AC theo thứ tự tại M, N. Chứng minh: AK  BN GT KL  Hướng dẫn: Gv: Để chứng minh AK  BN ta làm như thế nào? Hs: Chứng minh AOB vuông Gv: Để chứng minh ta làm thế nào? Hs: Gv: Hs: Gv: Hs: (hai góc cùng phụ với ) Vậy: AK  BN. Bài giải: Gọi O là giao điểm của AK và BN ( hai góc cùng phụ với góc ) Ta được: Vậy: AK  BN Bài 5: Cho  ABC. Ở phía ngoài tam giác, vẽ các tam giác vuông cân tại A là ADB và ACE. Vẽ hình bình hành ADIE. Chứng minh rằng IA  BC. GT ABD vuông cân tại A ACE vuông cân tại A DI = AE = AC AD = AB = IE KL IA  BC  Hướng dẫn: GV: Để chứng minh IA  BC ta làm thế nào? HS: Chứng minh AH  BC GV: Để chứng minh AH  BC ta làm thế nào? HS: GV: Để chứng minh ta chứng minh điều gì? HS: Chứng minh BAC = ADI GV: Để chứng minh hai tam giác đó bằng nhau ta làm thế nào? HS: Ta chứng minh ( cùng bù với ) DA = AB DI = AC Bài giải: Gọi H là giao điểm của IA và BC Xét BAC và ADI, ta có: DA = AB DI = AC ( cùng bù với ) Vậy BAC = ADI (c.g.c) Ta lại có: Do đó: AHBC, tức là: IA  BC Bài 6: Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi H là hình chiếu của B trên AC. I và N lần lượt là trung điểm của AD, CH. Chứng minh BN vuông góc IN. GT ABCD là hình chữ nhật HB  AC ID = IA NH = NC KL BN  IN  Hướng dẫn: GV: Để chứng minh BN  IN ta chứng minh điều gì? HS: Chứng minh AM // IN GV: Để chứng minh AM // IN ta làm thế nào? HS: Chứng minh MNIA là hình bình hành. GV: Để chứng minh MNIA là hình bình hành ta thế nào? HS: Chứng minh AI // MN và AI = NM GV: Để chứng minh AI // MN và AI = MN ta làm thế nào? HS: Chứng minh: AM  BN và AM // IN MN // BC và MN = BC/2 AI // BC và AI = BC/2 Bài 7: Cho hình thang vuông ABCD và AC= m, BD = n. Gọi H là hình chiếu của A trên BC.K HC sao cho . Chứng minh rằng DK  AK. GT ABCD là hình thang vuông KL  Hướng dẫn: GV: Muốn chứng minh DK  AK ta phải chứng minh như thế nào? HS: Ta chứng minh: BI  AK DK // BI GV: Làm thế nào để chứng minh BI  AK HS: I là trực tâm của tam giác ABK. GV: Làm thế nào để chứng minh DK //BI HS: Chứng minh tứ giác BDIK là hình bình hành Tứ giác BDIK có BD = IK và BD // IK. Bài giải: Từ K vẽ KI //AC //BD suy ra: KI  AB Nên: I là trực tâm của tam giác ABK Suy ra: BI  AK (1) - Tứ giác BDKI có BD = IK và BD // IK nên tứ giác BDIK là hình bình hành. Suy ra: DK // BI. (2) Từ (1) và (2) ta được: DK  AK. Bài 8: Cho hình vuông ABCD. T là một điểm bất kì ở trên cạnh AB (T khác A và B). Tia DT cắt tia CB tại E. Đường thẳng CT cắt AE tại M. Chứng minh rằng: DE  BM GT ABCD hình vuông T AB; E = DT  CB M = CT  AE KL DE BM  Hướng dẫn:GV: Làm thế nào để chứng minh MB  DE?HS: Ta chứng minh CH  DE và CH // MBGV: Làm sao để chứng minh CH  DE?HS: Ta chứng minh GV: Ta chứng minh bằng cách nào?HS: chứng minh GV: Làm sao để chứng minhHS: Ta cần chứng minh vìGV: Vì sao ?HS: Chứng minhGV: Làm sao để chứng minh ?HS: Ta chứng minh theo trường hợp c.g.c. Nghĩa là CD = BC, EC = JB, GV: Vì sao EC = JB?HS: Vì EC = EB + BC, JB = JA + AB  EB = JA, BC = AB GV: Làm sao để chứng minh CH // MB. HS: Ta chứng minh tỉ sốGV: Ta phải chứng minh như thế nào?HS: Ta chứng minh và . Bài giải: Ta được: EA = JA và AB = ADDo đó: (c.g.c)Suy ra: (hai góc tương ứng)Ta lại có:  (hai góc đối đỉnh)nên: Mặt khác ta xét AJN suy ra: EN  JD + Tương tự xét có: CD = BC EC = JB (vì AB = BC và AJ = BE)Do đó: (c.g.c) Suy ra: (2 góc tương ứng)Ta lại có:nên Do đó: Suy ra: CJ  DE hay JK  DE+ Xét có: EN  JD JK  DE Do đó: H là trực tâm của nên DH  JE (1)+Xét có: JB  CE EK  TCnên T là trực tâm của Do đó: CM  JE (2)Từ (1) và (2) ta được DH // CMhay DH // TM Trong có TM // DH nên:  Trong có BT // CD nên:  Do đó:Suy ra: BM // CH (3) Từ (1) và (3) ta được: MB  DE (đpcm)