Giáo án Hình học lớp 9 - Phương pháp các bài Toán cực trị trong hình học phẳng - Nguyễn Sỹ Hiệp

phương pháp các bài toán cực trị trong hình học phẳng Tác giả : Nguyễn Sỹ Hiệp. Trình độ chuyên môn : Đại học sư phạm. Nơi công tác : Trường THCS Đào Sư Tích - Trực Ninh - Nam Định. Đơn vị áp dụng : Trường THCS Đào Sư Tích - Trực Ninh - Nam Định. A-giải pháp. I. Điều kiện hoàn cảnh tạo ra sáng kiến: Những năm gần đây, trong các sách tham khảo, sách nâng cao và trong các đề thi của học sinh cuối cấp thường có những bài toán yêu cầu tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của một đại lượng nào đó. Các bài toán này gọi chung là “ Những bài toán cực trị ”. Các bài toán cực trị rất phong phú và đa dạng, mang một nội dung vô cùng sâu sắc trong việc giáo dục tư tưởng qua môn toán: đi tìm cái tốt nhất, rẻ nhất, ngắn nhất dài nhất....Để dần hình thành cho học sinh một thói quen đi tìm một giải pháp tối ưu cho một công việc nào đó trong cuộc sống sau này. Các em học sinh thường gặp rất nhiều khó khăn trong việc tìm lời giải của bài toán cực trị. Có những bài không biết bắt đầu từ đâu, vận dụng kiến thức gì trong chương trình đã học để giải ; phương pháp giải loại toán này như thế nào? Để giải quyết được vấn đề đó không phải là dễ dàng, trong khi đó trong phân phối chương trình môn toán THCS không có một tiết nào dành cho loại toán này mà chúng chỉ xuất hiện một cách đơn lẻ. Chính vì lý do đó mà tôi chọn đề tài này với mong muốn xây dựng được cơ sở lý thuyết và phương pháp giải loại toán này để giúp các em có đường lối để giải “Những bài toán cực trị ”. II.Giải pháp thực hiện: I. Lý thuyết 1.Toán cực trị hình học là gì? Một số bài toán hình học mà trong đó các hình được nêu ra có cùng một tính chất và đòi hỏi ta tìm được hình sao cho có một đại lượng nào đó ( Số đo góc , độ dài đoạn thẳng , số đo chu vi , số đo diện tích ...) đạt giá trị lớn nhất ( GTLN) (hay ghi là max) hoặc giá trị nhỏ nhất (GTNN) (hay ghi là min) được gọi chung là bài toán cực trị hình học. 2. Lời giải của bài toán cực trị thường được trình bày theo hai cách: Cách 1 : Chỉ ra một hình rồi chứng minh hình đó có đại lượng cần tìm cực trị lớn hơn đại lượng tương ứng của mọi hình khác ( nếu là bài toán tìm GTLN) và nhỏ hơn đại lượng tương ứng của hình khác (nếu là bài toán tìm GTNN). Cách 2 : Thay đại lượng cần tìm cực trị thành một đại lượng khác tương đương (nếu được) rồi từ đó dùng kiến thức tìm GTLN, GTNN của A. (A là một đại lượng nào đó như góc, đoạn thẳng...) a. - Ta chứng minh được A m ( m không đổi ) - Có một hình sao cho A = m thì GTNN của A là m b. -Ta chứng minh được A t ( t không đổi ) -Có một hình sao cho A = t thì giá trị lớn nhất của A là t. Từ đó ta xác định được vị trí của các điểm để đạt cực trị. Chú ý : Thường trình bày cực trị theo cách 2 Ví dụ 1: Cho tứ giác lồi ABCD . Tìm điểm M trong tứ giác đó sao cho MA + MB + MC + MD đạt giá trị nhỏ nhất. Giải : Cách 1: Gọi O là giao điểm của hai đường chéo Nếu MO : MA + MB + MC + MD đạt giá trị nhỏ nhất. Thật vậy khi đó: MA + MB + MC + MD = ( OA + OC )+( OB + OD ) = AC + BD Nếu MO : Trong MAC ta có MA+MC > AC Trong MBD ta có MD+MB > BD MA + MB + MC + MD > AC + BD Vậy min (MA + MB + MC + MD ) = AC + BD M O Cách 2 :Với 3 điểm M,A,C ta có MA + MC AC. Dấu “=” xảy ra Tương tự với 3 điểm M, B, D ta có MB + MD BD. Dấu “=” xảy ra Suy ra MA + MB + MC + MD AC + BD ( không đổi). Dấu “=” xảy ra Vậy min ( MA + MB + MC + MD ) = AC + BD Ví dụ 2: Cho đường tròn (O) và một điểm M nằm trong đường tròn đó (MO ). Xác định vị trí của dây cung AB của đường tròn (O) qua M sao cho độ dài AB ngắn nhất. Giải Cách 1: Ta có dây AB OM tại M là dây cung có độ dài nhỏ nhất. Thật vậy : Qua M vẽ dây A/B/ bất kỳ của đường tròn (O); A/B/ không vuông góc với OM. Vẽ OM/ A/B/; B M/ A/B/; M/ MOM/MM/ OM > OM/ AB < A/B/ ( Theo định lý khoảng cách từ tâm đến dây ). Cách 2: Giả sử AB là dây cung bất kỳ qua M; OH là khoảng cách từ O đến AB. Ta có AB lớn nhất OH dài nhất, mà OH AB ; HAB OH OM ( không đổi ) ( Theo mối quan hệ giữa đường xiên và đường vuông góc ). Dấu “=” xảy ra MH. max OH = OM MH. Vậy AB nhỏ nhất ABOM. II. Một số dạng toán thường gặp. Dạng 1: Vận dụng quan hệ đường xiên và đường vuông góc, đường xiên và hình chiếu. A 1. Kiến thức cần nhớ. Ta có AH d; Ad ; B,C d a. AB AH , Dấu “=” xảy ra BH b. AB ACBH HC d B H C 2. Bài tập áp dụng. Bài 1: Cho tam giác ABC ( = 900 ) M là điểm chuyển động trên cạnh BC. Vẽ MD AB; MEAC ( D AB , E AC ) . Xác định vị trí của M để đoạn thẳng DE có độ dài nhỏ nhất. Giải: A Vẽ AHBC (HBC), H cố định và AH không đổi. Tứ giác AEMD có A = E = D =900 D E AEMD là hình chữ nhật : suy ra DE = AM.mà AM AH(không đổi) (theo mqh đường xiên và đường vuông góc). B H M C Dấu “=” xảy ra MH. Vậy khi MH thì DE nhỏ nhất. Bài 2 : Cho đường thẳng d và đường tròn (O;R) có khoảng cách từ tâm O đến d là OH >R. Lấy hai điểm bất kỳ Ad ;B(O;R). Hãy chỉ ra vị trí của Avà B sao cho độ dài AB ngắn nhất ? chứng minh điều đó. Giải : B Từ tâm O kẻ OHd, OH cắt đường tròn (O) tại K. Xét ba điểm A,B,O ta có AB + OB OA. O mà OAOH(quan hệ đường xiên và đường vuông góc ABOH-OB=HK không đổi. Vậy min AB=KH K A H 3. Bàitập: Bài 1. Trên hai cạnh BC,AC của tam giác đều ABC lấy tương ứng 2 điểm Mvà Nsao cho BM=CN. Tìm vị trí của M để MN có giá trị lớn nhất. Bài 2. Cho nửa đường tròn (O;R) đường kính AB. M là một điểm trên nửa đường tròn, kẻ MHAB. Xác định vị trí của M để: a. Diện tích tam giác MAB lớn nhất. b. Chu vi tam giác MAB lớn nhất. Dạng 2: Vận dụng bất đẳng thức trong tam giác và quy tắc 3 điểm: * Kiến thức cần nhớ: A + Trong tam giác ABC có: A B C B C + Trong và có AB =A/B/, A/ AC = A/ C/ thì + Quy tắc 3 điểm: . Dấu “=” xảy ra . B/ C / Dấu “=” xảy ra thẳng hàng. + Quy tắc n điểm: A1,A2,...,An Ta có . Dấu “=” xảy rathẳng hàng và sắp theo thứ tự đó Ví dụ 1: Cho đường tròn (O;R) đường kính AB cố định, C là một điểm nằm giữa A và O, M là điểm di động trên đường tròn (O;R). C O Tìm vị trí của M trên (O;R) để CM lớn nhất? nhỏ nhất? M Giải : Xét 3 điểm C, O ,M, ta có mà OM = R = OB = OA Suy ra A Cccc ccc B OM + OC = OB + CO = CB Suy ra Vậy Ví dụ 2: Cho góc vuông xOy; điểm A thuộc miền trong của góc.Các điểm M,N theo thứ tự chuyển động trên các tia Ox, Oy sao cho góc MAN = 900. Xác định vị trí của M,N để MN có độ dài nhỏ nhất. Giải: Gọi I là trung điểm của MN, OI là đường trung tuyến thuộc cạnh huyền của tam giác vuông MON x Tương tự AI = IN C A vì I nằm giữa M và N ( không đổi) M thẳng hàng I Khi đó I là trung điểm của AOvà tứ giác OMAN trở thành hình chữ nhật OBAC. O B N y Bài tập : Bài1. Cho 2 đường tròn ở ngoài nhau (O;R)và (O’,R’). A nằm trên (O),B nằm trên (O’). Xác định vị trí của các điểm A,B để đoạn thẳng AB có độ dài lớn nhất Bài 2. Cho tam giác ABC , O là tâm đường tròn ngoại tiếp. Hãy tìm điểm M sao cho MA + MB + MC + MO là nhỏ nhất. Dạng 3: Vận dụng bất đẳng thức trong đường tròn. *Kiến thức cần nhớ: + Trong một đường tròn : đường kính là dây cung lớn nhất Dây cung lớn hơn dây đó gần tâm hơn Cung lớn hơn dây trương cung lớn hơn Cung lớn hơn Góc ở tâm lớn hơn. * Bài tập vận dụng: Bài 1: Cho đường tròn (O;R), AC là đường kính ; BD là dây cung của dường tròn (O;R)và BDAC. Xác định vị trí của BD để SABCDlớn nhất. Giải: O Ta có B mà ( vì BD là dây cung) O A C là đường kính của đường tròn(O) D Bài 2 : Cho tam giác đều ABC nội tiếp trong đường tròn (O;R). M là điểm di động trên đường ròn (O). Xác định vị trí của M để MA + MB + MC đạt giá trị lớn nhất. Giải : + Ta xét cung BC. Trên MA lấy D sao cho MB = MD Ta chứng minh dược tam giác BMD A . O D là tam giác đều mà Chứng minh cho = (g.c.g) mà MA là dây cung của đường tròn (O;R) B C là đường kính của đường tròn (O)M là điểm chính giữa M của cung BC. + Tương tự ta xét cung AB và cung ACM là điểm chính giữa cung AB hoặc cung ACthì MA + MB + MC đạt giá trị lớn nhất. Bài 3 :Cho đường tròn (O;R) ; A là điểm cố định trong đường tròn () xác định vị trí của điểm B trên đường tròn (O) sao cho lớn nhất Giải : Giả sử có . Vẽ dây BC của đường tròn (O) qua A , ta có OB = OC = R OBC cân tại O nên Trong có CO = OB = R không đổi mà nên tại A Vậy sao cho BCAO tại A Bài tập Bài 1: Cho nửa đường tròn (O;R) đường kính AB . Mlà một điểm di động trên nửa đường tròn . Qua M vẽ tiếp tuyến với nửa đường tròn, gọi ,C lần lượt là hình chiếu của A, B trên tiếp tuyến ấy. Xác định vị trí của M để diện tích tứ giác ABCD lớn nhất Bài 2 : Cho đường tròn (O;R), BC là dây cung cố định . A là một điểm chuyển động trên cung lớn BC. Xác định vị rí của A để chu vi tam giác ABC lớn nhất. Bài 3: Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong đường tròn (O;R) cho trước Tìm tứ giác có tổng AB.CD + AD.BC đạt giá trị lớn nhất. Bài 4 : Cho đường tròn (O,R) , I là điểm cố định bên trong đường tròn, gọi ACvà BD là hai dây cung bất kỳ qua I. Xác định vị trí các dây AC,BD để lớn nhất? nhỏ nhất? Dạng 4: Vận dụng bất đẳng thức đại số * Kiến thức cần nhớ: + Bất đẳng thức Côsi cho hai số không âm:a,bTa có. Dấu “=” xảy ra + Bất đẳng thức Côsi tổng quát cho n số không âm. Dấu “=” xảy ra +Bất đẳng thức Bunhiacốpski . Dấu bằng xảy ra Và một số bất đẳng thức quen thuộc khác. Ví dụ áp dụng: Ví dụ 1:Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 12 cm; BC =8 cm. Trên các cạnh AB, BC, CD, DA lần lượt lấy các điểm E, F, G, H sao cho AE = CF = CG = AH. Xác định vị trí các điểm E, F, G, H để tứ giác EFGH có diện tích lớn nhất và tính diện tích lớn nhất đó. Giải. A x E 12 – x Đặt AE = CF = CG = AH = x x BE = DG = 12 – x ; BF = DH = 8 – x Gọi S là tổng diện tích của 4 tam giác vuông : H AEH, CGF, EBF và GDH. F Diện tích của tứ giác EFGH sẽ lớn nhất D G S nhỏ nhất . Mà S = Vì Với Dấu “=” xảy ra x =5 S Dấu “=” xảy ra x =5min S = 46 x =5 Vậy max SEFGH = 12.8 – 46 = 50 cm2 x =5 Ví dụ 2: Cho điểm A cố định nằm ngoài đường tròn (O; R). Qua A vẽ đường thẳng d cắt (O) tại B và C. Xác định vị trí của d để AB + AC đạt giá trị nhỏ nhất. Giải. + Chứng minh cho AB. AC = AD. AE = a Không đổi + áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có: H O AB + AC 2. = a không đổi. Suy ra: AB + AC nhỏ nhất C AB = AC B AB = ACB C A D E d là tiếp tuyến của đường tròn (O) Ví dụ 3: Cho đường tròn (O; R) đường kính AB, M là một điểm chuyển động trên đường tròn ấy. Xác định vị trí của M để MA +. MB đạt giá trị lớn nhất. R *O Giải M áp dụng bất đẳng thức Bunhiakốpski ta có: MA + .MB MA + .MB A B Vì tam giác AMB vuông tại M MA2 + MB2 = AB2 ( Theo định lý Pi ta go) MA + .MB =4R. Dấu “=” xảy ra Nên max( MA + .MB ) = 4R Vậy M cung AB sao cho góc MAB = 600 thì max( MA + .MB ) = 4R Bài tập: Bài 1: Cho hình vuông ABCD có độ dài cạnh bằng a. Trên 2 cạnh AB và AD lần lượt lấy 2 điểm M và N sao cho chu vi tam giác AMN bằng 2a. Tìm vị trí của M và N để diện tích tam giác AMN lớn nhất. Bài 2: Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn (O;r). Kẻ các tiếp tuyến của đường tròn (O;r) song song với các cạnh của tam giác. Các tiếp tuyến này tạo với các cạnh của tam giác 3 tam giác nhỏ có diện tích là S1, S2, S3. Gọi S là diện tích của tam giác ABC. Tìm giá trị nhỏ nhất của tỷ số Bài 3: Cho tam giác ABC có BC = a; AC = b; AB = c. Gọi x, y, z theo thứ tự là khoảng cách từ điểm M ở bên trong tam giác tới các cạnh BC, CA, AB. Xác định vị trí của điểm M để tổng có giá trị nhỏ nhất. Vận dụng cực trị hình học để giải một số bài toán về cực trị đại số. Một số bài toán về cực trị đại số, nếu biết khéo léo sử dụng về cực trị hình học thì cũng cho lời giải khá hay. Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: Giải. B Đặt + Với x = 3 thì A = 4 + Với x 3 . Dựng tam giác ABC có góc A = 900; AC = 5 ( Đơn vị dài ) ; AB = ( đ.v.d ) Trên cạnh AC lấy điểm D sao cho AD = 1 ( đ .v. d ) Dễ thấy BC = ; BD = A D C Mà =4 .Vậy A < 4 với x3 Do đó max A = 4 x=3 Ví dụ 2: Cho các số x, y, z, t dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : Giải. Vì x, y, z, t là các số dương ,nên vẽ tứ giác lồi ABCD có ACBD tại O với OA = x, OC = y; OB = z; OD = t . Dễ thấy : AB = , BC = , CD = , AD = Mà SABC = vì h1 BC B h2 SACD = vì h2 CD A x y C SABCD = SABC + SADC D h2 Mặt khác SABCD = Do đó Dấu “=” xảy ra và Vậy min B =1 Ví dụ 3: Cho a, b, c, d, e, f là các số dương. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức. Giải. Dựng góc xOy = 900 .Trên Ox lần lượt lấy các y điểm A, B, C sao cho OA = a, AB = b, BC = c Trên Oy lần lượt lấy các điểm D, E, F sao cho F P OD = d, DE = e, EF = f. Qua A, B, C kẻ các đường thẳng d1, d2, d3 song song với Oy, f Qua D, E, F kẻ các đường thẳng a1, a2, a3 E N song song với O x; a1 cắt d 1 tại M; a2 cắtd2 tại N; a3 cắt d3 tại P e Dễ thấy OM =; MN = D M NP = a b c OP = O A B C x Mà Vậy . Dấu “=” xảy ra Vậy max C = 1 . Bài soạn : Vận dụng bất đẳng thức trong đường tròn để giải toán cực trị I. Mục tiêu giờ dạy. - Học sinh vận dụng tốt các bất đẳng thức trong đường tròn để giảibài toán cực trị. - Củng cố được phương pháp và cách trình bày bai ftoán cực trị hình học, rèn kỹ năng trình bày cho học sinh. - Giáo dục tư tưởng đạo đức cho học sinh cho học sinh thông qua bài dạy. II. Chuẩn bị.: - Giáo viên : Soạn bài và nghiên cứu tài liệu - Học sinh : Ôn lại lý thuyết về bất đẳng thức trong đường tròn. III. Lên lớp. a. Tổ chức : Sĩ số....... vắng......... b. Kiểm tra: ? Phát biểu định lý về khoảng cách từ tâm đến dây cung. ? Định lý về mối quan hệ giữa cung và dây cung. c.Bài giảng. GV : Trong chương trình hình học lớp 9 ta gặp nhiều bài toán cực trị hình học. Trong dó có một số bài toán vận dụng bất đẳng thức trong đường tròn để giải.Vậy vận dụng kiến thức đó để giải loại bài toán đó như thế nào trong bài hôm nay chúng ta đi nghiên cứu. Thời gian Hoạt động của thầy và trò Nội dung ghi bảng 5P Hoạt động 1.( Nhắc lại kt cần nhớ và lt ) GV: Nhắc lại các bất đẳng thức trong đường tròn mà em đã được học ? HS trả lời; gv ghi tóm tắt lên bảng. GV: Nhắc lại các cách trình bày lời giải bài toán cực trị hình học ? HS trình bày; sau đó GV nhắc lại, ghi tóm tắt lên bảng cách 2 : Thay đại lượng cần tìm cực trị A thành đại lượng cần tìm cựcc trị B tương đương với nó ( nếu được ). Rồi từ đó dùng kt tìm giá trị lớn nhất của B a, + c/m B m ( m không đổi ) + Có một hình sao cho B = m. Thì giá trị nhỏ nhất của B là m . Ký hiệu là : minB = m b, + c/m B M( M không đổi ) 1.Kiến thức cần nhớ. Trong 1 đường tròn : + Đường kính là dây cung lớn nhất + Dây cung lớn hơn Nó gần tâm hơn + Cung lớn hơn Dây trương cung lớn hơn. + Cung lớn hơn Góc ở tâm lớn hơn. Thời gian Hoạt động của thầy và trò Nội dung ghi bảng * O D 15Ph Hoạt động 2: ( Làm các bài tập áp dụng ) GV cho HS đọc kỹ đầu bài, ghi gt-kl, vẽ hình. GV: Để tìm được giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của MA + MB + MC ta làm ntn ? HS trả lời, GV ghi tóm tắt lên bảng phụ : + c/m cho MA = MB + MC MA + MB + MC = 2. MA + MA + MB + MC lớn nhất MA lớn nhất MA là đk của (O;R) M là điểm chính giữa của cung BC Sau đó gọi một HS trình bày lời giải ở trên bảng. GV: Nếu Mcung AB, AC thì M ở vị trí nào để MA + MB + MC đạt giá trị lớn nhất? HS : khi đó M là điểm chính giữa cung AB, AC. GV : Như vậy trong bài này ta đã vận dụng tính chất “ Trong 1 đường tròn, đường kính là dây cung lớn nhất ”để làm. 2. Bài tập áp dụng. Bài 1. Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn (O; R). M là 1 điểm bất kỳ thuộc cung nhỏ BC. Tìm vị trí của M để MA + MB + MC đạt giá trị lớn nhất. A Giải. B C M Lấy điểm D trên AM sao cho MD = MB + Xét MBD có MB =MD MBD là tam giác cân tại M. Có ( 2gnt cùng chắn 1 cung ) MBD là tam giácđều. (vì cân có 1 góc bằng 600 ) MB = MD. + c/m cho ( c.g.c ) Suy ra : MA = MD + DA = MB + MC MA + MB + MC = 2 MA. Mà MA là dây cung của đường tròn(O) Dấu “=” xảy ra AM là đ k của (O) M là điểm chính giữa cung BC. Thời gian Hoạt động của thầy và trò Nội dung ghi bảng 13ph 10Ph Hoạt động 3: (Làm bài tập áp dụng 2 ) Sau khi GV cho HS ghi ghi tóm tắt đầu bài, cho HS ghi gt-kl, vẽ hình. GV: Hãy nêu tóm tắt sơ đồ giải ? HS nêu; GV ghi tóm tắt ở bảng phụ. + C/m OBC cân tại O nên mà OH OA nên OHMAX = OA BCOA. Sau đó GV cho HS lên bảng trình bày lời giải; GV đi kiểm tra HS làm dưới lớp. Sau khi HS chữa xong, GV cho HS khác nhận xét, GV bổ xung những sai xót, cho HS chữa vào vở. GV: Ttong bài này ta đã sử dụng mqh đường xiên và đường vuông góc,dây cung và khoảng cách tới tâm . Hoạt động 3: ( H. D giải bài tập về nhà ) GV cho HS ghi đầu bài, vẽ hình, ghi gt-kl bài toán. ? Để tìm giá trị lớn nhất của AB.CD + AD. BC ta làm như thế nào. HS áp dụng định lý Pô tô lê mê trong tứ giác ABCD ta có : AB.CD + AD. BC = AC.BD ? AC.BD lớn nhất khi nào. Bài 2: Cho đường tròn (O;R) ; A là điểm cố định trong đưòng tròn,(A O) Xác định vị trí của điểm B trên đường tròn (O) sao cho góc OBA lớn nhất. Giải. C Giả sử có B (O) vẽ dây BC của (O) qua A . Ta có: OB = OC = R cân tại O Nên Trong tam giác COB có OC =OB = R không đổi nên mà OH OA ( mối quan hệ đx và đường vuông góc ) tại A .Vậy góc OBA lớn nhất : sao cho BA AO tại A. Bài 3 : Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong đường tròn (O;R) . Tìm tứ giác có tổng AB.CD + AD. BC đạt giá trị lớn nhất. Hướng dẫn giải. + c/m AB.CD + AD. BC = AC.BD ( Định lý Pô tô lê mê ) + Vì Dấu “=” xảy ra AC; BD là đường kính của (O) Thời gian Hoạt động của thầy và trò Nội dung ghi bảng . 2P HS ta có : ( không đổi ) Dấu “=” xảy ra AC; BD là đường kính của (O) Nên AB.CD + AD. BC 4R2. Dấu “=” xảy ra AC; BD là đường kính của (O) Hoạt động 4: ( Củng cố ) GV : Chúng ta cần nhớ: + Để trình bày bài toán cực trị hình học ta có thể trình bày theo 2 cách ; nhưng chủ yếu là cách 2. +Biết vận dụng linh hoạt các bất đẳng thức trong đường tròn để giải bài toán cực trị hình học. + Ta có thể vận dụng một số các cách khác nữa để giải bài toán cực trị hình học. A B D C ( không đổi ) là đường kính của (O). ABCD là hình chữ nhật. Vậy ABCD là hình chữ nhật. d. Dặn dò: Làm bài tập 3 đã gợi ý và làm các bài tập sau: Bài 4. Cho nửa đường tròn ( O;R) đường kính AB. M là một điểm di động trên nửa đường tròn. Qua M vẽ tiếp tuyến với nửa đường tròn, gọi D, C lần lượt là hình chiếu của A, B trên tiếp tuyến ấy. Xác định vị trí của điểm M để diện tích tứ giác ABCD đạt giá trị lớn nhất. Bài 5. Cho đường tròn (O;R); BC là một dây cung cố định, BC 2R , A là một điểm chuyển động trên cung lớn BC. Xác định vị trí của A để chu vi tam giác ABC lớn nhất. B- Kết quả cụ thể, đánh giá về giá trị, lợi ích của sáng kiến Đề tài “ Những bài toán cực trị” tuy là một vấn đề khó và rộng, nhưng qua quá trình tìm hiểu, tham khảo các tài liệu tôi thấy đây là một đề tài rất hữu ích cho giáo viên toán ở trường THCS. Việc tìm hiểu và nghiên cứu các bài toán cực trị giúp tôi có cơ sở lý luận cho việc giải toán, nắm vững các dạng bài tập thông dụng với phương pháp giải phù hợp, biết được những sai lầm mà học sinh có thể mắc phải... điều này rất cần thiết cho bản thân tôi trong quá trình giảng dạy. Hoàn thành được đề tài này ngoài việc tham khảo các tài liệu có liên quan, tiếp thu ý kiến của đồng nghiệp, sự nỗ lực của bản thân, tôi còn được sự giúp đỡ nhiệt tình của các thầy cô giáo trường THCS Đào Sư tích.Tôi xin chân thành cảm ơn. Tất nhiên một vấn đề mang tính khoa học như đề tài này sẽ không tránh khỏi những thiếu sót. Rất mong được sự bổ sung của quý thầy cô, các bạn để đề tài được hoàn chỉnh và hấp dẫn hơn. Trực Ninh, Ngày 15 tháng 5 năm 2005 Người viết Nguyễn Sỹ Hiệp