Giáo án Hình học lớp 9 - Tam giác cân

TAM GIÁC CÂN 1/ Cho giác cân ABC ( AB=AC ) . Từø trung điểm H của BC hạ HE vuông góc với AC .Gọi O là trung điểm của HE . Chứng minh rằng AO ^ BE . O A HƯỚNG DẪN D E F B H C Cách 1 : Hạ BD ^ AC . D CDB ~ D CEH ~ D HEA E và O là trung điểm của của các cạnh tương ứng của hai tam giác đồng dạng CDB , HEA Þ D CEB ~ D HOA ( D CDB ~ D HEA Þ ) Þ Þ D CEB ~ D HOA Þ CBE = HAO Xét hai tam giác BHI và AKI cho ta : AKI = 900 Cách 2 : Từ H kẻ HF // BE Þ FE = FC Þ OF // HC Þ OF ^ AH . Xét D AHF có hai đường cao gặp nhau tại O Þ AO ^ HF hay AO ^ BE . 2/ Cho giác cân ABC ( AB = AC ) , trung tuyến CE . Kéo dài AB thêm một đoạn BD = AB . Chứng minh : CE = 1 / 2 CD . A HƯỚNG DẪN E F’ B C F Cách 1 : Gọi F là trung điểm của CD , ta có : BF //= ½ AC Þ BF = BE ; CBF = ACB ( so le trong ) Þ CBF = ABC Þ D BEC = D BFC ( cgc ) Þ CE = CF Þ CE = ½ CD Cách 2 : Vẽ trung tuyến BF’ . BF’ là đường trung bình của D ADC . BF’ = CE = ½ CD 3/ Cho tam giác ABC cân tại C . Kẻ trung tuyến CM và phân giác AD . Tính góc C biết AD = 2 CM . F HƯỚNG DẪN C D K A M B Vẽ Ax ^ AB cắt BC tại F . Ta có : CM = ½ FA Þ AF = AD Þ D FAD cân tại F . Þ F = MCB = MCA = ADC . Vì ADF = B + ½ A = 3/2 B Þ MCB = 3/2 B Và : MCB + B = 900 Þ 5/2 B = 900 Þ B = 360 ; C = 1080 y 4/ Cho giác cân ABC ( AB=AC ) . Dựng tia Bx trong tam giác và tia Cy ngoài tam gíac cắt nhau tại M sao cho góc ABx bằng góc ACy . Chứng minh góc BMA = góc AMy . H’ H1 x A’ HƯỚNG DẪN H’’ A M B H C Cách 1 : Vẽ tia Bx’ ngoài tam giác cắt Cy tại A’ sao cho A’BA = ABX . D A’BC cân tại A’ Þ A , A’ cùng nằm trên đường trung trực của BC A’A là phân giác của BAM . A là giao điểm ba đường phân giác của D A’BM Điều phải chứng minh . Cách 2 : Trên Cy lấy H’’ sao cho CH’’ = BM D ABM = D ACH’’ Þ AM = AH’’ và HAM = AMB Þ đpcm . Cách 3 : Hạ AH ^ Bx , lấy HH’ = BH . Xét D BA’M có A là giao điểm phân giác trong và 2 đường phân giác ngoài Þ đpcm . 5/ Cho D ABC cân tại A , góc A = 800 . Trong D ABC lấy một điểm M sao cho góc MBC = 100 , góc MCB = 300 . Tính góc AMB . HƯỚNG DẪN I A D E M B C H Cách 1 : Vẽ đường cao AH . AH cũng là đường cao , đường phân giác , đường trung trực . Þ EBC = ECB = 300 Þ EBM = 200 , ABE = 200 ; EMB = 400 Þ AEB = MEB = 1200 . Þ D AEB = D MEB Þ AB = BM Þ AMB = 700 Cách 2 : Vẽ tam giác đều BIC . D BAI = D CAI Þ BAI = 1400 , IBA = 100 Þ D IBA = D CBM Þ AB = MB Þ D ABM cân tại B Þ AMB = 700 6/ Cho D ABC cân tại A cóùù góc A = 80 0 . trong tam giác lấy điểm M sao cho góc ABM = 100 , góc ACM = 200 . Tính góc AMB . A HƯỚNG DẪN K M C B H Hạ đường cao AH cắt CM tại K .Ta có : KBC = KCB = 300 MBK = MBA = 100 BKM = 600 ; MKA = HKC = 600  M là giao điểm hai đường phân giác trong của D ABC nên AM là phân giác của góc A Þ BAM = 20 0 Þ AMB = 1500 7/ Cho giác cân ABC ( AB=BC ) cóùù góc BAC = góc BCA = 800 . Tứùø các đỉnh A và C dựng 2 đường thẳng cắt các cạnh đối tại các điểm tứùơng ứng D và E sao cho góc CAD = 600 , góc ACE = 500 . Tính góc ADE . HƯỚNG DẪN F D E O A C B Ta có D EAC có : AEC = ACE = 500 nên D EAC cân tại A . Vẽ tia CF sao cho góc ACF = 600 cắt AD tại O . D OAC là tam giác đều Þ AOF = 1200 OA = OC = AC Þ OE = OA Þ D EAO cân . Vì EAO = 200 Þ EOA = 800 Þ EOF = 400 Mà AFC = 400 Þ D FEO cân Þ EF = EO D FOA = D DOC ( g.c.g ) Þ OF = OD và FOD = 600 D FDA là tam giác đều Þ D EFD = D EOD ( c.c.c) FDE = EDO = 300 E A B C E M 8/ Cho DABC cân tại A . Hạ BM ^ AC . Chứng minh rằng : HƯỚNG DẪN Tính MC , AM Þ Cách 1 : Lấy E đối xứng với C qua A . D BCE vuông tại B . Ta có : (1) Mặt khác AM = AC – MC = ( 2) Từ (1) và (2) ta có : Cách 2 : Hạ AH ^ BC .Ta có : D AHC ~ D BMC Þ Þ AC.MC = BC.HC =2HC.HC = 2HC2 Þ AC.MC2 = 2HC2.MC Þ Þ Þ 9/ Cho giác cân ABC ( AB=AC ) , A = 200 . Gọi O là giao điểm 3 đường trung trực . BO cắt AC tại D . Chứng minh AD = BC . O E I A HƯỚNG DẪN D B H C Cách 1 : Dựng tam giác đều BIC , I nằm trên AH . Ta có : IB = IC = BC Tam giác OAB cân Þ BAO = OBA = 100 Þ OBI = 100 D AOD = D BOI ( g.c.g ) AD = BI Þ AD = BC Cách 2 : Dựng tia Bx sao cho OBx = 100  cắt đường tròn O tại E . A = ABE = 200 Þ cung AE = cung BC Þ AE = BC . D nằm trên đường trung trực của AE nên D ADE cân . MaØ EAC = EBC = 600 Þ tam giác ADE là tam giác đều . Vì AE = BC Þ AD = BC . 9/ Cho D ABC cân tại A . Trên AB lấy I , trên AC lấy J sao cho AI = CJ . Chứng minh IJ ³ ½ BC . B H M K A HƯỚNG DẪN I J C L a/ Cách 1 : Hạ IH ^ BC , JK ^ BC Þ IJ ³ HK Vẽ JL // AB ( L trên BC ) Þ góc B = JLC = C . D BJC cân Þ JL = JC = AI Þ AILJ là hình bình hành Þ AJ = IL = IB D BIL cân Þ HL = BH = ½ BL ; KL = KC = ½ LC HK = BC – ( BH + KC ) = BC – ( ½ BL + ½ LC ) = BC – ½ BC = ½ BC Þ IJ ³ ½ BC Cách 2 : và Þ Þ BH + CK = BM = ½ BC hay HK = ½ BC . 10/ Cho D ABC cân tại A . Lấy điểm D ( khác A ) sao cho AD // BC . Chứng minh rằng DB + DC > AB + AC 11/ Cho D ABC cân tại A . Lấy các điểm E , F (khác B , C ) trên đường thẳng BC sao cho BAC = EAF . Chứng minh rằng AE + AF > AB + AC ( 2 ) . A HƯỚNG DẪN + Nếu E , F đều nằm ngoài hoặc có 1 điểm ở đầu mút đoạn BC thì (2 ) đúng . P E F E F C H B + Nếu E nằm trong đoạn BC ( với E hoặc gần B hoặc gần C ) Lấy H , P trên BC sao cho AH ^ BC , HE = HP Þ EAH = PAH . Dễ thấy AC là tia phân giác của PAF . Gọi M là trung điểm của PF . Theo bài toán 2 ta có AB + AC = 2AC £ 2AM < AP + AF = AE + AF . 12/ Cho D ABC cân tại A . Lấy điểm M thuộc cạnh AB . a/ Kéo dài một đoạn CN = BM . Chứng minh rằng AM + MN + NA > AB + BC + CA . C A B M F H K N S Q E b/ Dựng đường thẳng BP // CM cắt tia AC tại P . Chứng minh rằng AM + MP + PA > AB + BC + CA . HƯỚNG DẪN a/ Dựng MH ^ BC và NK ^ BC . Ta có : D MBH = D NCK Þ BH = CK Þ BC = HK . Ta có : MN = ME + EN > HE + EK = HK . Từ đó AM + AN > AB + AC + BC . b/ Dựng D CSP với CS // AB ; PS // BC và PB cắt đoạn CS tại Q . P Ta có : BM = CQ < CS = CP . Mặt khác CN = CQ < CP nên MN AM + MN + AC + CN > AB + BC + CA . 13/ Cho tam giác cân ABC ( AB = AC ) , , đường cao . Gọi M là trung điểm của HB , N là trung điểm của CB . AN và CM cắt nhau tại K . Chứng minh : AK = 2 KM . HƯỚNG DẪN K N P H M C Q A B H’ K’ O là trọng tâm của D ABC . AH = 2HM = . Hạ HP ^ AN , HQ ^ KM . Kéo dài KM thêm một đoạn MK’ = KM . Ta có : H là trọng tâm của D KAK’ Þ KH đi qua H’ là trung điểm của AK’ . Þ KA = 2KM Û D AKK’ cân Û AKH = HKK’ Û H’P = HQ SAOH = 1/3 SACH = 1/6 SABC = 1/6.1/2 = AO = Þ HP = SCHM = CM = HQ = suy ra điều phải chứng minh .