Giáo án lớp 10 môn Hình học - Chuyên đề khoảng cách

CHUYÊN ĐỀ KHOẢNG CÁCH 1) Khoảng cách từ 1 điểm đến 1 đường thẳng – khoảng cách giữa 2 đường thẳng song song: Cho và . Khoảng cách giữa A và B là: Đối với 2 đường thẳng song song, để tính khoảng cách giữa chúng, ta lấy 1 điểm bất kỳ trên đường thẳng này và tính khoảng cách từ nó đến đường thẳng kia như công thức ở trên. *Bài tập vận dụng: Bài 1: Tìm sao cho M cách đều 2 điểm . Giải: nên Để M cách đều A,B thì Vậy . Bài 2: Cho với Tính độ dài phân giác trong góc A. Giải: Gọi AM là phân giác trong góc A() Tọa độ Ta có: . Bài 3: Cho với Tính bán kính đường tròn nội tiếp . Giải: Ta có: Do đó vuông tại C Gọi r là bán kính đường tròn nội tiếp ta có: . Bài 4: Cho .Tìm tọa độ tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp . Giải: Gọi là tâm đường tròn ngoại tiếp Ta có: Tọa độ I là nghiệm của hệ: Khi đó . Bài 5: Cho Viết ptdt vuông góc cắt tại A,B sao cho độ dài AB nhỏ nhất Giải: là vtcp của nên Khi đó: . Bài 6: Trong không gian Oxyz, cho 2 điểm và đường thẳng: Tìm sao cho có chu vi nhỏ nhất. Giải: Chọn Dấu “=” xảy ra cùng phương Khi đó Min khi . 2) Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng: Cho (d) đi qua có VTCP . Khoảng cách từ đến đường thẳng (d) là: *PHƯƠNG PHÁP GIẢI: Cách 1: B1: Viết PTTQ của qua A và vuông góc (d), giao điểm là H B2:Tìm tọa độ H B3:Tính khoảng cách AH Cách 2: B1:Đặt phương trình (d) dạng tham số trong đó (x,y,z) của ptts của (d) chứa là tọa độ điểm M tùy ý trên (d) B2: tính theo tham số t Đó là một hàm số bậc 2 theo t B3. tính AH chính là giá trị nhỏ nhất của AM. *Bài tập vận dụng: Bài 1: Cho với . Tính độ dài đường cao Giải: Cách 1: Gọi sao cho: BC() Mpqua A và vuông góc BC tại Ta có: mpnhận làm vtpt và Pt mp: Pt tham số BC: nên nên: Suy ra: Cách 2: Pt tham số BC: Gọi M là điểm tùy ý trên BC Cực tiểu của AM là mà Vậy Cách 3: là vtct của BC Tương tự đường cao , đường cao . Bài 2: Trong không gian Oxyz, cho điểm M(1;-1;0) và đường thẳng d : , mp (P): . Tìm tọa độ điểm A(P) biết đường thẳng AM vuông góc với d và khoảng cách từ A đến đường thẳng d bằng . Giải: Gọi . Ta có: là VTCP của (d); . Vì nên Lấy ; Tọa độ A thỏa hệ: Vậy hoặc . Bài 3: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d: và hai điểm , . Viết phương trình đường thẳng qua A, vuông góc với d sao cho khoảng cách từ B đến nhỏ nhất. Giải: là VTCP của d. Gọi (P) là mặt phẳng qua A và mặt phẳng (P) vuông góc với d. Gọi H là hình chiếu vuông góc của B lên mặt phẳng (P).Giả sử , mặt phẳng (P) nhậnlàm VTPT và Nên phương trình mặt phẳng (P): Đường thẳng đi qua A và H có tọa độ H thỏa: và qua A nhận làm VTPT pt. Bài 4: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng và hai điểm , . Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm A và cắt sao cho khoảng cách từ B đến d lớn nhất. Giải: Giả sử Vì nên Gọi H là hình chiếu của B trên d. Khi đó: Vậy : Suy ra: d . Bài 5: Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): và đường thẳng d: và điểm . Viết phương trình đường thẳng trên (P) đi qua giao điểm của d và (P) đồng thời vuông góc với d. Tìm điểm M trên sao cho AM ngắn nhất. Giải: Gọi Vì nên Do đó ta có thể chọn: Giả sử . Khi đó: tọa độ . Bài 6: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mp, đường thẳng d: . Gọi M là giao điểm của d và . Viết phương trình đường thẳng nằm trong mp, vuông góc với d đồng thời khoảng cách từ M tới bằng. Giải: Phương trình tham số của . nên . Suy ra: . Vì nằm trong mpvà vuông góc với d nên Gọi là hình chiếu vuông góc của M trên , khi đó: . Ta có: hoặc . Với . Với . Bài 7: Trong không gian với hệ tọa độ , cho đường thẳng , hai điểm ;. Viết phương trình đường thẳng đi qua và vuông góc với sao cho khoảng cách từ đến là lớn nhất. Giải Ta có VTCP của là : và . Gọi là hình chiếu của trên ta có : . Do đó khoảng cách từ đến là lớn nhất khi . Khi đó là đường thẳng đi qua và vuông góc với . Ta có Có thể chọn VTCP của là PT của là: . Bài 8: Trong không gian với hệ tọa độ , cho mặt phẳngvà các điểm ; . Viết phương trình đường thẳng nằm trong đi qua và cách một khoảng lớn nhất, nhỏ nhất. Giải Ta có: . Gọi VTPT của đường thẳng là: Ta có : Xét hàm số ta suy ra được So sánh TH1 và TH2 Do đó: . Chọn Phương trình đường thẳng : . Chọn Phương trình đường thẳng :. Bài 9: Trong không gian với hệ tọa độ , cho đường thẳng , hai điểm ;. Viết phương trình đường thẳng đi qua và cắt đường thẳng sao cho khoảng cách từ đến là lớn nhất, nhỏ nhất. Giải Gọi . Giả sử . VTCP của Xét hàm số ta có . Chọn Phương trình đường thẳng : . Chọn Phương trình đường thẳng : 3) Khoảng cách từ 1 điểm đến 1 mặt phẳng – khoảng cách giữa 2 mặt phẳng song song – giữa đường thẳng song song với mặt phẳng: Cho ; . . Để tính khoảng cách giữa 2 mặt phẳng song song ta lấy 1 điểm M trên mặt phẳng . Khi đó . Đặc biệt nếu đưa về dạng có cùng 3 hệ số đầu và thì . Để tính khoảng cách từ đường thẳng d và mặt phẳng song song với đường thẳng ta chọn 1 điểm bất kỳ trên đường thẳng d và khi đó . *Bài tập vận dụng: Bài 1: Trong không gian cho hệ tọa độ, viết phương trình mặt phẳngqua O, vuông góc với mặt phẳng và cách điểm một khoảng cách bằng. Giải: PT qua O nên có dạng: (với ). Vì nên: . . Từ (1) và (2), ta được: Chọn Chọn Bài 2: Trong không gian cho hệ tọa độ, cho đường thẳng và điểm . Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm M, song song với đường thẳng , đồng thời khoảng cách d giữa đường thẳng và mặt phẳngbằng 4. Giải: Phương trình mặt phẳng đi qua có dạng: qua và nhận làm VTCP. Ta có: Với Chọn pt mp Với .Chọn Câu 3: Trong không gian với hệ tọa độ , cho điểm . Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A và cách gốc tọa độ O một khoảng lớn nhất. Giải Ta có: . Do đó: xảy ra nên mặt phẳng (P) cần tìm là mặt phẳng đi qua A và vuông góc với OA. Ta có: . Vậy phương trình mặt phẳng . Câu 4: Trong không gian với hệ tọa độ , cho điểm và đường thẳng d có phương trình: . Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua A, song song với d và khoảng cách từ d tới (P) là lớn nhất. Giải Gọi H là hình chiếu của A trên d . Giả sử điểm I là hình chiếu của H lên (P), ta có HI lớn nhất khi . Vậy (P) cần tìm là mặt phẳng đi qua A và nhận làm VTPT . Vậy phương trình mặt phẳng . Câu 5: Trong không gian với hệ tọa độ , cho đường thẳng (d) có phương trình tham số . Gọi là đường thẳng qua điểm song song với (d) và là hình chiếu vuông góc của A trên (d). Viết phương trình của mặt phẳng chứa và có khoảng cách đến (d) là lớn nhất. Giải Gọi (P) là mặt phẳng chứa , thì hoặc . Gọi H là hình chiếu vuông góc của I trên (P). Ta luôn có và . Mặt khác: Trong (P), ; do đó . Lúc này (P) ở vị trí tại A. VTPT của là , cùng phương với . Phương trình mặt phẳng là: . Câu 6: Trong không gian với hệ tọa độ , cho đường thẳng và điểm . Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d sao cho khoảng cách từ A đến (P) là lớn nhất. Giải Phương trình mặt phẳng (P) có dạng: (). Mp(P) có VTPT , d đi qua điểm và có VTCP . Vì nên . Xét 2 trường hợp: TH1: Nếu thì Khi đó: (loại). TH2: Nếu . Chọn b=1 ta được . Khi đó:.. Vậy . Khi đó: . Câu 7: Trong không gian tọa độ , cho hai điểm và . Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua M, N sao cho khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng (P) là lớn nhất. Giải. Phương trình (P) có dạng: (). ; Nếu thì (loại). Nếu thì Dấu “=” xảy ra khi . Chọn . Khi đó phương trình mặt phẳng . Câu 8: Trong không gian với hệ tọa độ , cho đường thẳng và mặt phẳng . Viết phương trình đường thẳng nằm trong , song song với (d) và cách (d) một khoảng là . Giải Chọn , mà nên . Gọi là VTCP của , qua A và vuông góc với (d) thì Nên ta chọn . Phương trình của đường thẳng Lấy . là đường thẳng qua M và song song với (d). Theo đề: . . Câu 9: Trong không gian với hệ tọa độ , cho mặt phẳng và đường thẳng . Gọi I là giao điểm của d và (P). Viết phương trình của đường thẳng nằm trong (P) vuông góc với d sao cho khoảng cách từ I đến bằng . Giải (P) có VTPT và d có VTCP . Vì ; có VTCP . Gọi H là hình chiếu của I trên qua I và vuông góc . Suy ra phương trình Gọi có VTCPvàqua I Giả sử Ta có: Với phương trình Với phương trình Bài 9: a)Tìm trên điểm cách đều hai mặt phẳng và  b) Cho ba điểm , , với , , là những số dương thay đổi sao cho . Xác định , , để khoảng cách từ tới lớn nhất. Giải: Vậy: Ta có: Vậy điểm phải tìm là  . b) Phương trình mặt phẳng là Theo bất đẳng thức Cô-si, ta có Và Suy ra Từ đó suy ra:  Dấu "=" xảy ra khi hay Vậy: lớn nhất bằng khi 6) Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau: Xác định. Tính và các vectơ chỉ phương của 2 đường thẳng là . Tính. Tính. *Bài tập vận dụng: Bài 1: Cho hai đường thẳng: và . Chứng minh rằng hai đường thẳng và chéo nhau. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng và . Giải a) lần lượt là các VTCP của và . Ta có: và và . Do đó: Suy ra: không đồng phẳng. Vậy và chéo nhau. b) Ta có: Vậy: Bài 2: Trong không gian với hệ tọa độ , viết phương trình đường thẳng đi qua , cắt đường thẳng sao cho khoảng cách giữa và và đường thẳng là lớn nhất. Giải Gọi . Giả sử . VTCP của đi qua và có VTCP Xét hàm số ta suy ra được Phương trình đường thẳng :. 7. Các dạng toán về tổng, hiệu khoảng cách lớn nhất, nhỏ nhất: a. Dạng 1: Cho 2 điểm ; Tìm để (MA+MB) min Phương pháp: xác định vị trí tương đối của A, B đối với mặt phẳng (P) bằng cách tính các đại lượng: ; Nếu A, B khác phía đối với (P). Gọi khi đó Nếu A, B cùng phía đối với (P). Lấy A1 đối xứng A qua (P) Gọi . Khi đó MA+MB=MA1 +MB A1B=MOA1+MOB b. Dạng 2: Cho 2 điểm Tìm để max Phương pháp: Xác định vị trí tương đối của A, B đối với mặt phẳng (P) bằng cách tính các đại lượng: Nếu A, B cùng phía đối với (P). Gọi . Khi đó Nếu A, B khác phía đối với (P). Lấy đối xứng A qua (P) Gọi . Khi đó c. Dạng 3: Cho 2 điểm ; Tìm cho trước sao cho (MA+MB) min Phương pháp: Xác định tọa độ các điểm là hình chiếu tương ứng của các điểm A, B lên . Gọi là điểm chia đoạn theo tỉ số: =. Ta chứng minh Thật vậy, gọi sao cho khác phía B so với và thỏa mãn . thẳng hàng Bài 1: Trong hệ Oxyz cho A(1;4;2); B(-1;2;4) và Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thằng (d) sao cho: a) nhỏ nhất; b) nhỏ nhất c) nhỏ nhất VPT mặt phẳng (P) chứa (d) sao cho khoảng cách từ A đến (P) là lớn nhất. Trong số các đường thẳng đi qua A và cắt đường thẳng (d), viết phương trình các đường thẳng sao cho khoảng cách từ B đến nó là lớn nhất? nhỏ nhất Giải 1. a. . Suy ra Do đó nhỏ nhất khi t = 2 và lúc đó M (-1;0;4) Ta có Vậy nhỏ nhất khi t = 2 và khi đó M(-1;0;4) Ta sẽ xác định hình chiếu A1, B1 của 2 điểm A, B lên đường thẳng (d) với với . Điểm M cần tìm là điểm chia đoạn A1B1 theo tỉ số nên tọa độ của M là . Bài 2: Trong không gian cho hai đường thẳng , và mặt phẳng . Tìm điểm trên mặt phẳng  để đạt giá trị nhỏ nhất biết và . Giải: Gọi là trung điểm  * Ta có:  nhỏ nhất nhỏ nhất  là hình chiếu của trên * Phương trình đường thẳng qua và vuông góc với là:  * Gọi là giao điểm của và  * * * Vậy, điểm cần tìm: . PT tổng quát của (d) là . Vì mặt phẳng (P) chứa đường thẳng (d) nên (P) có phương trình với Nếu a=0 thì . Khi đó Nếu a thì có thể giả sử a=1. Khi đó Suy ra . Xét hàm số Ta có Do nên lớn nhất bằng Kết luận: So sánh 2 trường hợp ta có khi , lúc đó phương trình (P) có dạng Giả sử d2 là đường thẳng bất kì đi qua A và cắt d tại M(1-t;-2+t;2t) Khi đó Xét . Ta có Do nên khoảng cách từ B đến d2 lớn nhất bằng 48 khi t= -2 và nhỏ nhất bằng khi . Khi đó d2 tương tứng có phương trình và . Bài 3. Cho A(3;1;-2); B(2;2;1). Tìm điểm sao cho a. (MA+MB) min b. max Giải Ta có suy ra 2 điểm A, B nằm khác phía đối với (P) Ta có do đó để MA+MB min thì , suy ra M chính là giao của (P) với đường thẳng Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ pt b. Lấy đối xứng với A qua (P) suy ra là VTPT của (P) và . Khi đó ta có: Do A1 đối xứng với A qua (P) nên Gọi N là giao điểm của (A1B) với mp(P). Do A1 và B nằm cùng phía đối với (P) nên N nằm ngoài đoạn A1B max thì có tọa độ là nghiệm của hệ phương trình: . Bài 4. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho 2 điểm A(a;0;a), và đường thẳng (d): . Tìm điểm sao cho: a. MA+MB nhỏ nhất b. lớn nhất Phân tích: Cách giải trong hình học không gian như sau: Để giả câu a. , người ta tìm điểm B/ là ảnh của điểm B qua phép quay quanh trục (d) với góc quay thích hợp sao cho A, B/, (d) đồng phẳng và A, B/ nằm về 2 phái đối với (d) khi đó nhỏ nhất M là giao điểm của AB/ và (d) Để giải câu b. , người ta tìm điểm B// là ảnh của điểm B qua phép quay quanh trục (d) với góc quay thích hợp sao cho A, B//, (d) đồng phẳng và A, B// nằm về 1 phía đối với (d). Khi đó nếu AB// cắt (d) thì lớn nhấtM là giao điểm của AB// và (d) Dựa vào kết quả đã biết trong hình học không gian, ta cũng có thể giải được bài toán 2. Tuy nhiên việc tìm tọa độ điểm B/ (trong câu a) hoặc B// (trong câu b) buộc ta phải thực hiện những phép tính rất phức tạp. Để khắc phục tình trạng này, ta lại tiếp tục ý tưởng đã có trong lời giải trên Giải a.Vì nên gọi M(t,t;a-t). Khi đó: Xét Khi đó Vì M/ chạy trên và A/, B/ nằm về 2 phía đối với nên MA+MB nhỏ nhấtM/A/+M/B/ nhỏ nhất là giao điểm của A/B/ và . b.tương tự câu a ta có đặt vì M// chạy trên còn A// và B// nằm về 1 phía đối với nên lớn nhất lớn nhất là giao điểm của A//B// và Trong lời giải trên ta không những thay đường thẳng (d) bằng trục khi xét vị trí tương đối của các điểm mà còn chuyển hệ thống không đồng phẳng gồm 2 điểm A, B và đường thẳng (d) thành hệ thống đồng phẳng gồm 2 điểm A/, B/ và trục (trong câu a) hoặc thành hệ thống đồng phẳng gồm 2 điểm A//, B// và trục (trong câu b). Đó là nguyên nhân cơ bản giúp ta có được 1 lời giải đơn giản. ỨNG DỤNG BÀI TOÁN KHOẢNG CÁCH 1.Xét vị trí tương đối giữa mặt cầu với đường thẳng, mặt cầu với mặt phẳng: Bài 1: Trong không gian với hệ tọa độ , cho điểm và đường thẳng có phương trình . Tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng . Viết phương trình mặt cấu tâm , tiếp xúc với . Giải: Phương trình mặt cầu tâm , bán kính : . Bài 2: Trong không gian với hệ tọa độ , cho điểm , và mặt phẳng . Lập phương trình mặt cầu đi qua và có khoảng cách từ tâm của mặt cầu dên mặt phẳng bằng . Giải: Giả sử Từ suy ra : Vậy hoặc . Bài 3: Trong không gian , viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng : sao cho giao tuyến của mặt phẳng và mặt cầu : là đường tròn có bán kính . Giải: Mặt phẳng chứa có dạng: * Mặt cầu có tâm , bán kính  * cắt theo một đường tròn giao tiếp có bán kính . * Cho hay  * Vậy, có 2 mặt phẳng . Bài 4: Trong không gian với hệ tọa độ , cho đường thẳng và hai mặt phẳng , . Viết phưởng trình mặt cầu có tâm thuộc đường thẳng và tiếp xúc với hai mặt phẳng và . Giải: Giả sử . Vì tiếp xúc với hai mặt phẳng và nên . Suy ra Vậy phương trình mặt cầu Bài 5: Trong không gian với hệ tọa độ , cho hai điểm , . Hai điểm , thay đổi sao cho và tính khoảng cách từ đến mặt phẳng Từ đó suy ra mặt phẳng tiếp xúc với một mặt cầu cố định. Giải: Ta có: VTPT của là . Phương trình mặt phẳng : . Ta có: Suy ra tiếp xúc với mặt cầu tâm bán kính cố định. Bài 6: Trong không gian với hệ tọa độ , cho mặt cầu và mặt phẳng Điểm di động trên và điểm di động trên . Tính độ dài ngắn nhất của đoạn thẳng . Xác định vị trí của tương ứng. Giải: Mặt cầu tâm và có bán kính Khoảng cách từ đến mặt phẳng Do đó và không có điểm chung. Do vậy Trong trường hợp này, ở vị trí và ở vị trí . Dễ thấy là hình chiếu vuông góc của trên mặt phẳng và là giao điểm của đoạn thẳng với mặt cầu . Gọi là đường thẳng đi qua và vuông góc với , thì là giao điểm của và . Đường thẳng có VTCP là và qua nên có phương trình là . Tọa độ của ứng với nghiệm đúng phương trình: Suy ra Ta có Suy ra Bài 7: Trong không gian với hệ tọa độ , cho điểm ,, và mặt cầu . Tìm tọa độ điểm trên mặt cầu sao cho tứ diện có thể tích lớn nhất. Giải: có tâm , bán kính . PT . Ta có nên lớn nhất lớn nhất . Gọi là đường kính của vuông góc với . Ta thấy với là một điểm bất kì thuộc thì Dấu xảy ra khi trùng với hoặc . đi qua và có VTPT là Tọa độ và thỏa : Ta thấy . Vậy điểm là điểm cần tìm. 2. Phương pháp tọa độ trong không gian: Bài 1: Cho lăng trụ có các mặt bên đều là hình vuông cạnh . Gọi lần lượt là trung điểm các cạnh . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng và . Giải: Cách 1: * Vì các mặt bên của lăng trụ là các hình vuông  . các tam giác là các tam giác đều. * Ta có:  * Ta có:  (cân tại ) * Dựng * Vì * vuông có  * Vậy, . Cách 2: * Vì các mặt bên của lăng trụ là các hình vuông  là các tam giác đều cạnh * Dựng hệ trục, với  đôi một vuông góc: * Ta có  * * với  * Phương trình qua với pháp vecto :  * *Vậy, . Bài 2: Trong không gian cho và đường thẳng . Tìm điểm thuộc  để thể tích tứ diện bằng 3. Giải: Phương trình tham số của * * * với  * Phương trình qua với pháp vecto * * Đường cao của tứ diện là khoảng cách từ đến  * Thể tích tứ diện bằng 3  hay Vậy, có 2 điểm cần tìm là: hay . Bài 3: Cho tứ diện có đáy là vuông tại và đường cao. Gọi là trung điểm cạnh. Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng và . Giải: Cách 1: * Gọi là điểm đối xứng của qua  * Ta có: (Tính chất đường trung bình) * Dựng  * Ta có  * Từ các tam giác vuông có: * Vậy, Cách 2: * Dựng hệ trục với đôi một vuông góc  là trung điểm của .  * là đường trung bình của   * với  * với  * Phương trình qua với pháp vecto * Ta có: * Vậy, . Bài 4: Trong không gian, tìm trên điểm cách đều đường thẳng và mặt phẳng . Giải Gọi  * Khoảng cách từ  đến mặt phẳng   * qua và có VTCP * Đặt  * Do đó: là đường cao vẽ từ trong tam giác  * Theo giả thiết:  Vậy, có một điểm. Bài 5: Cho hình chóp có đáy là tam giác đều có cạnh bằng vuông góc với và . Gọi lần lượt là trung điểm của cạnh. Tính góc và khoảng cách giữa hai đường thằng và . Giải: Cách 1: * Gọi là trung điểm của * vuông tại có: * * * * Áp dụng định lí đường trung tuyến trong có:  * Gọi là góc nhọn tại bởi và  * Áp dụng định lí hàm Cosin vào có: * Dựng. Ta có và  * Vì   * vuông có: * Vậy, . Cách 2: *Dựng hệ trục với đôi một vuộng góc  * * Gọi là góc nhọn tạo bởi và. Ta có: * với  * Phương trình mặt phẳng qua với pháp vecto  * Khoảng cách từ đến * Vì  * Vậy . Bài 6: Trong không gian với hệ toạ độ vuông góc cho mặt phẳng và mặt cầu:  ; Tìm để tiếp xúc. Với tìm được xác định toạ độ tiếp điểm. Giải: có tâm và bán kính tiếp xúc : * Vậy, tiếp xúc khi hay, khi đó  * Đường thẳng qua và vuông góc với có phương trình: * Toạ độ tiếp điểm là nghiệm của hệ:  * Vậy, toạ độ tiếp điểm . Bài 7: Cho hình chóp đều , đáy có cạnh bằng , mặt bên tạo với đáy một góc bằng . Tính thể tích khối hình chóp và khoảng cách từ đỉnh đến mặt phẳng . Giải Cách 1: * Gọi là trung điểm của.  * Do đều và đều nên chân đường cao đỉnh trùng với giao điểm ba đường cao là trực tâm của và có cân tại  suy ra, nên  * Ta có: vuông góc: và  * Thể tích hình chóp * Diện tích * Gọi là khoảng cách từ đến, ta có:  Cách 2: * Vì là hình chóp đều nên chân đường cao đỉnh trùng với tâm đường tròn  * Gọi là trung điểm của. Ta có:  và vuông có:  * Dựng hệ trục toạ độ với đội một vuông góc, * Thể tích hình chóp:  * Ta có:  * * Phương trình mặt phẳng qua với vecto pháp tuyến : * Khoảng cách từ đến : Bài 8: Cho hình lập phương cạnh . lần lượt là trung điểm của và. Tính khoảng cách từ  đến . Giải Cách 1: * Bốn tam giác vuông bằng nhau (c.g.c) là hình thoi * Hai hình chóp và có chung đường cao vẽ từ đỉnh và nên  * Mà: * Ta có:  với, . * Gọi là hình chiếu của trên , ta có : Cách 2: * Chọn hệ trục với đôi một vuông góc  * Ta có: với * Phương trình qua với pháp vecto: * Khoảng cách từ  đến .