Giáo án lớp 12 môn đại số - Áp dụng tính liên tục của hàm số chứng minh một phương trình có nghiệm

ÁP DỤNG TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ CHỨNG MINH MỘT PHƯƠNG TRÌNH CÓ NGHIỆM I.Một số định nghĩa : 1. Định nghĩa 1: Cho hàm số f(x) xác định trên (a; b), f(x) liên tục tại (a; b) = = = f() 2. Định nghĩa 2: f(x) liên tục trên [a; b] f(x) liên tục x (a,b) và . 3. Định nghĩa 3: Nếu f(x), g(x) liên tục trên D thì: f + g; f – g; f.g; (nếu g 0) là các hàm liên tục trên D. II.Một vài định lý áp dụng : 1.Định lý 1: f(x) liên tục trên [a; b] thì f(x) đạt giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trên đó. 2.Định lý 2: f(x) liên tục trên [a; b]; m = ; M = thì k [m; M], c [a; b] sao cho f(c) = k. 3.Hệ quả : f(x) liên tục trên [a; b] và f(a).f(b) < 0 thì c (a; b) sao cho f(c) = 0. Ví dụ 1. Cho 2a + 6b + 19c = 0. Chứng minh rằng: a + bx + c = 0 có nghiệm x [0; ]. Giải. Đặt f(x) = a + bx + c. f(0) = c. 18.f() = 2a + 6b + 18c = – c (gt) f(0).f() = – 0 theo hệ quả trên f(x) = 0 có nghiệm x [0; ]. Ví dụ 2. Chứng minh rằng a, b, c phương trình: a.cos3x + b.cos2x + c.cosx + sinx = 0 có nghiệm. Giải. Đặt f(x) = a.cos3x +b.cos2x + c.cosx +sinx. f(0) = a + b + c. f() = – b +1. f() = – b – 1. f(p) = – a + b – c. f(0) + f() + f() + f(p) = 0. trong các số f(0); f(); f(); f(p) có ít nhất 1 số 0, 1 số 0 tích của chúng 0 áp dụng hệ quả suy ra phương trình trên có nghiệm. Ví dụ 3. Cho f(x) liên tục trên [0; 1] thoả mãn f(0) = f(1). Chứng minh rằng n N thì c [0; 1] sao cho f(c) = f(c + ). Giải. Đặt g(x) = f(x + ) – f(x) g(x) liên tục trên [0; ] g(0) = f() – f(0). g(1) = f() – f(). ..................................... g() = f(1) – f(). g(0) + g() + ... + g() = f(1) – f(0) = 0. i, j {0, 1, ..., n–1} sao cho g() 0, g() 0 g().g() 0. c [min{, }, max{, }] sao cho g(c) = 0 f(c + ) – f(c) = 0 f(c) = f(c + ). Ví dụ 4. Cho f(x) liên tục trên [a; b] và 2 số , > 0. Chứng minh rằng c [a; b] sao cho: .f(a) + .f(b) = ( + ).f(c). Giải. Theo định lý 1 tồn tại , [a; b] sao cho f() = = m; f() = = M. vì > 0, > 0 nên ( + ).m < .f(a) + .f(b) < ( + ).M. Xét hàm số g(x) = ( + ).f(x) – .f(a) – .f(b). Ta có f(x ) liên tục trên [a; b] g(x) cũng liên tục trên [a; b]. Không mất tính tổng quát giả sử < [; ] [a; b]. Ta có g() = ( + ).f() – .f(a) – .f(b) = ( + ).m – .f(a) – .f(b) g() = ( + ).f() – .f(a) – .f(b) = ( + ).M – .f(a) – .f(b) g().g() 0 c [; ] sao cho g(c) = 0 ( + ).f(c) – .f(a) – .f(b) = 0 ( + ).f(c) = .f(a) + .f(b) (đpcm ). 4.Định lý Lagrange: Cho hàm số f(x) liên tục trên [a; b] và có đạo hàm trên (a; b) thì tồn tại ít nhất một điểm c (a; b) sao cho f ’(c) = . Ví dụ. Cho m > 0 và + + = 0. Chứng minh rằng: a + bx + c = 0 có nghiệm x (0; 1) . Giải. Xét hàm f(x) = + + . f ’(x) = a. + b. + c.. ta có f(1) = + + = 0. f(0) = 0. áp dụng định lý Lagrange cho hàm số trên [0; 1]: (0; 1) sao cho: f ’() = = 0 a. + b. + c. = 0 (a + b. + c) = 0 a + b. + c = 0 (vì (0; 1) 0). là nghiệm của phương trình a + bx + c = 0 và (0; 1). (đpcm)