Giáo án lớp 12 môn Đại số - Bài 8: Phương pháp tích phân từng phần

Chương II: Nguyên hàm và tích phân − Trần Phương 210 BÀI 8. PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN I. CÔNG THỨC TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN Giả sử ( )u u x= ; v = v(x) có đạo hàm liên tục trong miền D, khi đó ta có: • ( ) ( )d uv udv vdu d uv udv vdu uv udv vdu= + ⇔ = + ⇔ = +∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ⇒ ( ) b b b a a a udv uv vdu udv uv vdu= − ⇒ = −∫ ∫ ∫ ∫ Nhận dạng: Hàm số dưới dấu tích phân thường là tích 2 loại hàm số khác nhau Ý nghĩa: Đưa 1 tích phân phức tạp về tích phân đơn giản hơn (trong nhiều trường hợp việc sử dụng tích phân từng phần sẽ khử bớt hàm số dưới dấu tích phân và cuối cùng chỉ còn lại 1 loại hàm số dưới dấu tích phân) Chú ý: Cần phải chọn u, dv sao cho du đơn giản và dễ tính được v đồng thời tích phân vdu∫ đơn giản hơn tích phân udv∫ II. CÁC DẠNG TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN CƠ BẢN VÀ CÁCH CHỌN u, dv 1. Dạng 1: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ax b ax b ax b ax b u P x sin ax b dx sin ax b dx cos ax b dx cos ax b dxP x dve dx e dx m dx m dx + + + +  =  +   + +  + ⇒  =      ∫ (trong đó P(x) là đa thức) 2. Dạng 2: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )m m dv P x dx arcsin ax b dx arcsin ax b arccos ax b dx arccos ax b arctg ax b dx arctg ax bP x uarc cotg ax b dx arc cotg ax b ln ax b dx ln ax b log ax b dx log ax b  =  +   + +  +  +  +⇒   = +   + +   +  + +  ∫ (trong đó P(x) là đa thức) 3. Dạng 3: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ax b ax b ax b ax b k a ax b a a ax bka sin lnx e sin x dxsin lnx dx e ucos lnx ucos lnx dx e cos x dx msin log xx ; sin log x dx sin x dxm sin x dxcos log x dv cos log x dx cos x dxm cos x dxdv x dx + + + + + +    α +β   =  = α +β    ⇒ ⇒    α +β α +β =   α +β α +β  =  ∫ ∫       www.VNMATH.com Bài 8. Phương pháp tích phân từng phần 211 III. CÁC BÀI TẬP MẪU MINH HỌA: 1. Dạng 1: ( ) ( ) ( ){ }∫ ax+b ax+bP x sin ax + b ;cos ax + b ;e ;m dx • ∫ 3 1A = x cos x dx . Cách làm chậm: Đặt 3 2 u x du 3x dx dv cos x dx v sin x  = =  ⇒  = =   . Khi đó ta có: 3 2 1A x sin x 3 x sin x dx= − ∫ . Đặt 2 du 2x dxu x v cosxdv sin x dx  ==  ⇒  = −=  . Khi đó ta có: 3 2 1A x sin x 3 x cos x 2 x cos x dx = − − + ∫ . Đặt u x du dx dv cos x dx v sin x = =   ⇒  = =   . ( ) ( )3 2 3 21A x sinx 3x cosx 6 xsinx sin xdx x sinx 3x cosx 6 xsin x cosx c= + − − = + − + +∫ Cách làm nhanh: Biến đổi về dạng ( ) ( ) ( )∫ ∫P x L x dx = P x du ( ) ( )3 3 3 3 3 21A x cos x dx x d sin x x sin x sin x d x x sin x 3 x sin x dx= = = − = −∫ ∫ ∫ ∫ ( ) ( ) ( ) 3 2 3 2 2 3 2 3 2 x sin x 3 x d cos x x sin x 3 x cos x cos x d x x sin x 3x cos x 6 x cos x dx x sin x 3x cos x 6 x d sin x  = + = + −   = + − = + − ∫ ∫ ∫ ∫ ( ) ( )3 2 3 2x sin x 3x cosx 6 xsin x sinxdx x sin x 3x cosx 6 xsin x cosx c= + − − = + − + +∫ • ( ) ( )3 5 1 3 5 1 5 1 31 1 5 5 x x xx d e x e e d x− − − − = = −  ∫ ∫ ∫ 3 5x 1 2A = x e dx ( ) ( ) ( ) 3 5x 1 2 5x 1 3 5x 1 2 5x 1 3 5x 1 2 5x 1 5x 1 2 3 5x 1 2 5x 1 5x 1 3 5x 1 2 5x 1 5x 1 3 5x 1 2 5x 1 5x 1 5x 1 1 1 3 x e 3 x e dx x e x d e 5 5 5 1 3 1 3 6 x e x e e d x x e x e xe dx 5 25 5 25 25 1 3 6 1 3 x e x e x d e x e x e 5 25 125 5 25 6 xe e dx 125 − − − − − − − − − − − − − − − − −   = − = −      = − − = − +   = − + = − + + − ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 3 5x 1 2 5x 1 5x 1 5x 11 3 6 6 x e x e xe e c 5 25 125 625 − − − − = − + − +   Nhận xét: Nếu P(x) có bậc n thì phải n lần sử dụng tích phân từng phần. www.VNMATH.com Chương II: Nguyên hàm và tích phân − Trần Phương 212 x 0 pi2/4 t 0 pi/2 • 2 / 4 ∫3 0 A = x sin x dx pi . Đặt 2t x t x= ⇒ = ⇒ dx 2tdt ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 23 3 3 3 2 03 0 0 0 0 2 2 2 22 222 2 2 0 0 0 0 0 A 2 t sin t dt 2 t d cos t 2t cos t 2 cos td t 6 t cos t dt 3 36 t d sin t 6t sin t 6 sin td t 12 t sin t dt 12 td cos t 2 2 pi pi pi pi pi pi pi pi pi pi = = − = − + = pi pi = = − = − = + ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 22 2 22 2 0 0 0 3 3 312t cos t 12 cos t dt 12sin t 12 2 2 2 pi pi pipi pi pi = + − = − = −∫ • ( ) 66 63 3 3 00 0 1 cos 1d cos cos dx 3 3 3 x x x x x= − = − +∫ ∫ ∫ pi 6 2 4 0 A = x sin x cos xdx pipi pi ( ) ( ) 66 3 2 00 3 1 3 1 sin x 11 31 sin x d sin x sin x 48 3 48 3 3 72 48 pipi  pi pi pi pi = − + − = − + − = −   ∫ • ( )∫ 1 2 x 5 2 0 x e dxA = x + 2 . Đặt ( ) ( )2 x x 2 u x e du x x 2 e dx dx 1dv v x 2x 2  = = +   ⇒  = = −  ++ ( ) 1 1 1 12 x x x x 5 0 0 0 0 11 1 x x x 0 0 0 x e e eA xe dx xe dx xd e x 2 3 3 e e e xe e dx e e 1 3 3 3 = − + = − + = − + + = − + − = − + − = − ∫ ∫ ∫ ∫ 2. Dạng 2: ( ){ }mP x arcsin u;arccos u;arctg u;arc cotg u ; ln u ; log u u ax b dx= +∫ • ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 23 3 31 1 1 1 1ln d ln ln 3 3 e e e x x x x x d x   = = −     ∫ ∫ ∫ e 22 1 1 B = x ln x dx ( )e e e3 3 3 2 3 3 1 1 1 1 dx 1 1 2 e 2x ln x e 2x ln x dx e ln x d x 3 x 3 3 3       = − = − = −                  ∫ ∫ ∫ ( ) ( ) ee e3 3 3 3e3 3 3 2 31 11 1 e 2 e 2 2 e 2 5e 2 x ln x x d ln x e x dx x 3 9 3 9 9 9 27 27 27   = − − = − + = + = −     ∫ ∫ www.VNMATH.com Bài 8. Phương pháp tích phân từng phần 213 • ( ) 1 21 2 1 2 2 2 2 00 0 1 1 1 1 1ln d ln ln 2 1 2 1 1 x x x x x x d x x x  + + +         = = −        − − − −          ∫ ∫ ∫ 1 2 2 0 1+ xB = x ln dx 1 x ( ) 1 2 1 2 2 2 2 0 0 1 2 1 22 2 0 0 1 2 0 1 1 x dx 1 xln 3 x ln 3 dx 8 1 x 8 1 x1 x 1 1 1 1 2ln 3 1 dx ln 3 1 dx 8 1 x 8 1 x1 x 1 1 ln 3 3 5ln 3 x 2 ln 1 x 2 ln 8 1 x 8 2 6 −   = − ⋅ ⋅ = −   + +  −     = − − = − + −   + +  +    = − − − + = + −  +  ∫ ∫ ∫ ∫ • ( ) ( ) ( )112 20 0 ln 1 ln 1x x x xd x x   = + + − + +   ∫ ∫ 1 2 3 0 B = ln x + 1 + x dx ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 2 0 0 1 2 1 2 02 0 x dx x dxln 1 2 x 1 ln 1 2 1 x x 1 x 1 x 1 d 1 xln 1 2 ln 1 2 1 x ln 1 2 2 1 2 1 x   = + − + = + −  + + + +  + = + − = + − + = + + − + ∫ ∫ ∫ • ( ) ( ) ( )1 1 2 2 0 0 ln 1 1x x d x= + + +∫ ∫ 2 4 2 x ln x + 1 + xB = dx 1 + x ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 11 2 2 2 2 0 0 1 2 2 2 0 1 0 1 x ln x 1 x 1 x d ln x 1 x dxx2 ln 1 2 1 x 1 1 x x 1 x 2 ln 1 2 dx 2 ln 1 2 1   = + + + − + + +      = + − + +   + + +  = + − = + − ∫ ∫ ∫ • ( )1 0 ∫ 2 5 2 x ln x + 1 + xB = dx x + 1 + x . Đặt ( ) ( ) 2 2 2 u ln x 1 x x dxdv x 1 x x dx x 1 x  = + +  = = + − + + ( )2 2 2 x dxdu 1 dx x 1 x 1 x 1 x   ⇒ = + + + =  + +  www.VNMATH.com Chương II: Nguyên hàm và tích phân − Trần Phương 214 ( ) ( ) ( )1 2 3 22 2 2 2 31 1v 1 x d 1 x x dx 1 x x 2 3   = + + − = + − ∫ ∫ ( ) ( ) ( )1 13 2 3 22 3 2 2 35 20 0 1 1 dxB 1 x x ln x 1 x 1 x x 3 3 1 x      = + − + + − + −       + ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 3 2 2 0 0 1 1 2 2 20 0 2 2 1 ln 1 2 1 dx 1 x dx 3 3 31 x 1 x 2 2 1 ln 1 2 1 1 1 x 1 arctg x d 1 x 3 3 6 1 x − + = − + + + − + + − = − + + + ∫ ∫ ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 1 22 2 2 0 2 2 1 ln 1 2 1 1 x 1 x d 1 x 3 12 6 − − + pi   = − + + − + + ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 3 2 1 22 2 0 2 2 1 ln 1 2 1 2 1 x 2 1 x 3 12 6 3 2 2 1 ln 1 2 2 2 3 12 9 − + pi   = − + + − +   − + pi − = − + • ( ) ( ) ( )1 2 2 0 1 ln 1 2 x x d x= + +∫ ∫ 1 2 6 0 B = x ln x + 1 + x dx ( ) ( ) ( ) ( ) 1 12 2 2 2 0 0 1 1 2 2 2 2 2 0 0 x ln x 1 x 1 x d ln x 1 x 2 2 1 1 x dx 1 1 x dxln 1 2 x 1 ln 1 2 2 2 2 21 x x 1 x 1 x  + +   = − + +      = + − + = + −  + + + +  ∫ ∫ ∫ x 0 1 t 0 pi/4 Xét 1 2 2 0 1 x dxI x = + ∫ .Đặt x )tg t ; t 0, 2pi= ∈ ⇒ dx 2dt cos t ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4 4 41 22 2 2 2 3 42 2 0 0 0 0 24 2 2 2 22 2 2 22 2 0 0 0 tg tx dx dt sin t sin tI dt d sin t cos t cos t cos t1 x 1 tg t sin t d sin t u du 1 1 u 1 u du 4 1 u 1 u1 sin t 1 u pi pi pi pi ⇒ = = ⋅ = = + +  + − − = = =  + −  − − ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ www.VNMATH.com Bài 8. Phương pháp tích phân từng phần 215 ( ) ( ) ( ) 2 2 2 22 2 2 2 0 0 2 2 0 1 1 1 1 1 1 2du du 4 1 u 1 u 4 1 u1 u 1 u 1 1 1 1 u 22 ln ln 1 2 4 1 u 1 u 1 u 2     = − = + −    − +  − − +   + = − − = − +  − + −  ∫ ∫ ⇒ ( ) ( ) ( ) ( )6 1 1 1 1 2 2B ln 1 2 I ln 1 2 ln 1 2 ln 1 22 2 2 2 2 4   = + − = + − − + = − + +    • ( ) ( ) 0 002 2 2 8 8 8 1 1 1ln 1 d ln 1 ln 1 2 2 2 x x x x x d x − − − − − = − = − − −∫ ∫ ∫ 0 7 8 B = x ln 1 xdx ( ) ( ) 0 0 2 2 8 8 0 02 8 8 0 2 8 1 1 dx 1 x dx32ln 3 x 32ln 3 2 4 1 x2 1 x 1 x 1 1 1 x 1 132ln 3 dx 32ln 3 1 x dx 4 1 x 4 1 x 1 1 l 6332ln 3 ln 1 x x x 32ln 3 6 ln 3 6 ln 3 4 2 2 2 − − − − − − = − − ⋅ ⋅ = − + − − − − −   = − + = − + − +  − −    = − + − − − − = − + + = −   ∫ ∫ ∫ ∫ x −3 0 t 2 1 • ( ) − − − − ∫ 0 8 3 ln 1 xB = dx 1 x 1 x . Đặt 1t x= − ⇒ dx −2tdt Khi đó ta có: ( ) ( )1 2 28 3 2 2 1 1 ln t dt 1B 2t dt 2 ln t 2 ln t d tt t − = − = =∫ ∫ ∫ ( ) 2 22 2 2 1 11 1 2 ln t 1 dt 22 d ln t ln 2 2 ln 2 1 ln 2 t t tt − − = − = − + = − − = −∫ ∫ • ( ) ( ) ( ) 3 32 2 22 1 1 1 ln d 1 1 1ln 2 2 11 x x x d xx + −  = =   + + ∫ ∫ ∫ 3 9 22 1 x ln x dxB = x + 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 3 22 2 1 11 3 32 2 22 1 1 3 2 1 ln x 1 1 ln 3 1 dxd ln x 2 20 2x 12 x 1 x x 1 ln 3 1 x 1 x ln 3 1 1 xdx dx 20 2 20 2 x x 1x x 1 ln 3 1 1 9ln 3ln x x 1 2 20 2 2 20 − − = + = + ++ + − + − −   = + = + −  + + −   = + − + = −   ∫ ∫ ∫ ∫ www.VNMATH.com Chương II: Nguyên hàm và tích phân − Trần Phương 216 3. Dạng 3: Tích phân từng phần luân hồi • ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )3 3 31 1 1sin ln sin ln sin ln3 3 3= = −∫ ∫ ∫21C = x sin ln x dx x d x x x x d x ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 3 2 3 3 3 3 3 3 3 2 3 3 1 1 1 dx 1 1 x sin lnx x cos lnx x sin lnx x cos lnx dx 3 3 x 3 3 1 1 1 1 1 x sin lnx cos lnx d x x sin lnx x cos lnx x d cos lnx 3 9 3 9 9 1 1 1 1 1 1 x sin lnx x cos lnx x sin ln x dx x sin lnx x cos lnx C 3 9 9 3 9 9 = − = − = − = − + = − − = − − ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ( ) ( ) ( ) ( )3 3 3 31 110 1 1 1C x sin ln x x cos ln x C 3x sin ln x x cos ln x c9 3 9 10  ⇒ = − ⇒ = − +  • ( ) 2 2 2 2 00 0 1 1 1 11 cos 2 dx cos 2 dx 2 4 2 4 2 x x xe ee x e x J−= − = − = −∫ ∫ ∫ pi 2x 2 2 0 C = e sin x dx pipi pi pi 2 0 2xJ e cos x dx pi = ∫ ( ) ( )2x 2x 2x 00 0 1 1 1 e d sin 2x e sin 2x sin 2x d e 2 2 2 pipi pi = = −∫ ∫ ( ) ( )2x 2x 2x 2x 00 0 0 2 2 2 2 2x 0 1 1 1 e sin 2x dx e d cos 2x e cos 2x cos 2x d e 2 2 2 e 1 e 1 e 1 e 1 e cos 2x dx J 2J J 2 2 2 4 pipi pi pi pipi pi pi pi = − = = − − − − − = − = − ⇒ = ⇒ = ∫ ∫ ∫ ∫ ⇒ 2 2 2 2 2 e 1 1 e 1 e 1 e 1C J 4 2 4 8 8 pi pi pi pi − − − − = − = − = • ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )1 1 1 cos ln cos ln 1 sin ln dx e e e x x xd x e x= − = − + +∫ ∫ ∫ pie 3 1 C = cos ln x dx pi pi pi pi ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) e e e 1 1 1 e 3 3 3 1 e 1 sin ln x dx e 1 x sin ln x xd sin ln x 1 e 1 cos ln x dx e 1 C 2C e 1 C e 1 2 pi pi pi pi pi pi pi pi pi pi = − + + = − + + − − = − + − = − + − ⇒ = − + ⇒ = + ∫ ∫ ∫ • ( ) ( )[ ] ( ) 11 1 1 1 1 1 11 cos 2ln dx cos 2ln 2 2 2 2 2 ee e e x x x dx I−= + = − = −∫ ∫ ∫ pie 2 4 1 C = cos ln x dx pipi pi pi www.VNMATH.com Bài 8. Phương pháp tích phân từng phần 217 Xét ( ) 1 2 e I cos ln x dx pi = ∫ ( ) ( )( ) ( ) e e e 1 1 1 2sin 2lnx xcos 2lnx xd cos 2lnx e 1 x dx x pi pi pi pi = − = − +∫ ∫ ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) e e e 1 1 1 e e 1 1 e 1 2 sin 2 ln x dx e 1 2x sin 2 ln x 2 xd sin 2 ln x 2cos 2 ln x e 1 2 x dx e 1 4 cos 2 ln x dx e 1 4I x pi pi pi pi pi pi pi pi pi pi = − + = − + − = − − = − − = − − ∫ ∫ ∫ ∫ ⇒ ( )4e 1 e 1 65I e 1 I C e 1 I e 1 e 15 5 5 pi pi pi pi pi pi− − = − ⇒ = ⇒ = − + = − + = − • ( ) ( )1 sin 1 sin 1 sin1 cos1 cos 1 cosx x xx x xd e e e d xx x+ + += = − ++ +∫ ∫ ∫x5 1 + sin xC = e dx1 + cos x ( ) ( ) ( ) ( ) x x x x x 2 2 x x x 2 1 sin x 1 cos x sin x 1 sin x e dx e sin x dx e e dx e 1 cos x 1 cos x 1 cos x1 cos x 1 cos x 1 sin x e dx e sin x dx e I J ; I ; J 1 cos x 1 cos x 1 cos x + + + + = − = − − + + ++ + + = − − = = + + + ∫ ∫ ∫ ∫ ∫1 Xét ( )21 xe sin x dxJ cos x = + ∫ . Đặt ( ) ( ) ( ) xx 2 2 du e dxu e d 1 cos x 1sin x dxdv v 1 cos x1 cos x 1 cos x  ==  ⇒  − + = = =  ++ + ∫ ⇒ x x x e e dx eJ I 1 cos x 1 cos x 1 cos x = − = − + + +∫ (2). Thay (2) vào (1) ta có: ⇒ x x x x 5 1 sin x e 1 sin x eC e I I c e c 1 cos x 1 cos x 1 cos x 1 cos x  + + = − − − + = − +  + + + +  • ∫ pi 2 6 x 0 sin xC = dx e ( ) 0 0 0 1 1 11 2 2 2 2 2 pi pi pi − − − = − = −∫ ∫ ∫ x x x e cos x dx e dx e cos x dx 0 0 0 1 1 1 1 12 2 2 2 2 2 2 2 pi pi pi − −pi −pi − − − − − = − = − = −∫ ∫ x x xe e e e cos x dx e cos x dx J 0 2xJ e cos x dx pi − = ∫ ( ) ( ) x x x 00 0 1 e sin 2x 1 e d sin 2x sin 2x d e 2 2 2 pipi pi − − − = = −∫ ∫ ( ) ( ) 00 0 0 1 1 2 12 2 2 2 4 4 4 x x x xe cos xe sin x dx e d cos x cos x d e pipi pi pi − − − − − = = = − +∫ ∫ ∫ www.VNMATH.com Chương II: Nguyên hàm và tích phân − Trần Phương 218 0 1 1 1 1 5 1 12 4 4 4 4 4 4 5 xe e e ee cos x dx J J J pi −pi −pi −pi −pi − − − − − = − = − ⇒ = ⇒ =∫ ⇒ ( )6 1 1 1 1 2 12 2 2 10 5 e e eC J e −pi −pi −pi −pi− − − = − = − = − • ( ); 0a− >∫ a 2 2 7 0 C = a x dx ( ) ( )2 2 2 22 2 2 207 2 2 2 2 0 0 0 2 2 2 2 2 2 2 72 2 00 0 0 2 a a aa aa a a x dx a a xC x a x x d a x dx a x a x dx x a a a x dx a arcsin a x dx C aa x − − = − − − = = − − pi = − − = − − = − − ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ⇒ 2 2 7 72 2 4 a aC Cpi pi= ⇒ = • ( ); 0a >∫ a 2 2 8 0 C = a + x dx ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 08 2 2 0 0 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 0 0 2 2 2 a aa a a a xC x a x xd a x a dx a x a x a dx a dx a a x dx a a x a x = + − + = − + + − = − = − + + + + ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 80 0 2 2 2 8 8 2 2 1 2 2 1 22 2 1 2 2 aa a a ln x a x a x dx a a ln C lnC a a ln C a = + + + − + = + + − + + ⇒ = + + ⇒ = ∫ • ( ); 0a >∫ a 2 2 2 9 0 C = x a + x dx . Đặt ( )32 22 2 2 du dxu x 1v a xdv x a x dx 3 = =  ⇒  = + = +  ( ) ( ) a a3 3 2 2 2 22 2 9 0 0 a a2 2 4 2 2 2 2 2 4 8 9 0 0 x 1C a x a x dx 3 3 2 2 a 1 2 2 a 1 a a x dx x a x dx a C C 3 3 3 3 3 3 = + − + = − + − + = − − ∫ ∫ ∫ www.VNMATH.com Bài 8. Phương pháp tích phân từng phần 219 ( ) ( ) ( )24 13 9 4 2 2 a 2 ln 1 2 3 2 ln 1 2 3 2 ln 1 2C a C 3 3 3 2 6 8 + + − + − + ⇒ = − ⋅ = ⇒ = • ( ); 0a− >∫ a 2 2 2 10 0 C = x a x dx . Đặt ( )32 22 2 2 du dxu x 1v a xdv x a x dx 3 = =  ⇒  − = − = −  ( ) ( ) a a a a3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 10 0 0 0 0 2 2 4 4 7 10 10 7 10 x 1 1C a x a x dx a a x dx x a x dx 3 3 3 a 1 2 a a aC C C C C 3 3 3 3 12 8   − = − + − = − + −      pi pi = + ⇒ = = ⇒ = ∫ ∫ ∫ • ( )222 2 2 22 2 aa a a x x a x d x a− = − − −∫ ∫ 2a 2 2 11 a 2 C = x a dx ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2a 2a 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a 2 a 2 2a 2a 2 2 2 2 2 2 a 2 a 2 2a2a 2 2 2 2 2 2 a 2 a 2 2 2 11 x a x a2 3 2 a x dx 2 3 2 a dx x a x a dx2 3 2 a a x a dx x a 2 3 2 a a ln x x a x a dx 2 32 3 2 a a ln C 1 2 + − = − − = − − − − = − − − − − = − − + − − − + = − − − + ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ( ) ( )22 211 112 3 a 2 32C 2 3 2 a a ln C 2 3 2 ln21 2 1 2  + + ⇒ = − − ⇒ = − −  + +  • ( ) ( )2 22 44 4 cotg1 1cotg cotg sinsin sin xd x x d xx x = − = − +∫ ∫ ∫ pi 2 12 3 pi 4 dxC = sin x pi pipi pipi pi 2 2 2 2 4 4 2 2 2 123 2 4 4 4 cos x 1 12 cotg x dx 2 1 dx sin xsin x sin x dx dx sin x dx2 2 C sin x sin x 1 cos x pi pi pi pi pi pi pi pi pi pi   = − − = − − −    = − + − = − + − − ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ( ) ( ) 2 12 12 4 1 1 cos x 2 ln 1 22C 2 ln 2 ln 1 2 C 2 1 cos x 2 pi pi + − + + ⇒ = − − = − + + ⇒ = − www.VNMATH.com Chương II: Nguyên hàm và tích phân − Trần Phương 220 4. Dạng 4: Các bài toán tổng hợp • ( ) ( )3 3 33 2 3 2 3 2 2 2 0 0 0 2 1dx dx dx 1 1 1 x x x x x x x x + + = = + + + + ∫ ∫ ∫ ∫ 3 5 3 1 2 0 x + 2xD = dx x + 1 3 3 2 2 2 2 0 0 x dx x .x x 1 dx x I J x 1 = + + = + + ∫ ∫ Xét 3 2 2 0 1I x .x x dx= +∫ . Đặt ( ) 2 3 222 du 2x dx u x 1 v x 1dv x x 1 dx 3 = =  ⇒  = + = +  ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 33 2 3 2 3 22 2 2 2 2 0 0 0 35 22 0 1 2 1I x x 1 x x 1 dx 8 x 1 d x 1 3 3 3 2 2 588 x 1 8 32 1 15 15 15 = + − + = − + + = − + = − − = ∫ ∫ Xét 3 2 2 0 1 x dxJ x x = + ∫ . Đặt 2 2 2 u x du 2x dx x dxdv v x 1 x 1  = =  ⇒  =  = +  + ( ) ( ) 33 33 3 22 2 2 2 2 20 00 0 2 4J x x 1 2x x 1dx 6 x 1d x 1 6 x 1 3 3 = + − + = − + + = − + =∫ ∫ ⇒ 1 58 4 26D I J 15 3 5 = + = + = • ( )22 23 33 3 3 3 11 1 1 1 1 111 3 33 x d x x d x x x + +  = − + = − +   ∫ ∫ ∫ 2 3 2 4 1 1 + xD = dx x ( ) ( ) ( ) ( ) 2 22 3 3 3 3 3 1 1 3 32 22 2 2 3 2 2 1 1 x dx 2 1 1 d 1 x 3 8 2 3 8 6x 1 x x 1 x 2 1 1 d u 2 1 1 du 3 8 6 3 8 3 u 1u 1 u 2 1 1 u 1 2 1 1 1ln ln 2 ln 1 2 3 8 3 u 1 3 8 3 2 + = − + = − + + + = − + = − + − − −   = − + = − + + +  +   ∫ ∫ ∫ ∫ www.VNMATH.com Bài 8. Phương pháp tích phân từng phần 221 • ( ) 2 2 2 sin 0 1 2 cos 2sin cos dx 4 x x x x e pi =∫ ∫ 2 pi 2 sin x 3 3 0 D = e sin x cos x dx ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 22 sin x sin x sin x 00 0 2 2 2 sin x sin x sin x 00 0 1 1 11 cos 2x d e 1 cos 2x e e d 1 cos 2x 4 4 4 1 1 1 1 1 1 e e sin 2x dx d e e 1 2 2 2 2 2 2 2 pi pipi pi pi pi = + = + − + − = + = − + = − + = − ∫ ∫ ∫ ∫ • ( ) ( ) ( ) 2 3 ln 1 cos d sinx x pi pi − = −∫ ∫ pi 2 4 pi 3 D = cos x ln 1 cos x dx ( ) ( )( ) ( ) ( ) 2 2 2 3 3 3 2 22 3 3 2 3 3 sin x dx sin x ln 1 cos x sin xd ln 1 cos x ln 2 sin x 2 1 cos x 3 1 cos x 3ln 2 dx ln 2 1 cos x dx 2 1 cos x 2 3 3 3ln 2 x sin x ln 2 1 2 2 6 2 pi pi pi pi pi pi pi pi pi pi pi pi = − − − = − − − = − = − + − pi = − + = − − + ∫ ∫ ∫ ∫ • ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 3 3 3 4 4 4 ln tg d cos cos ln tg cos ln tgx x x x x d x pi pi pi pi pi pi = − = − +∫ ∫ ∫ pi 3 5 pi 4 D = sin x ln tg x dx ( ) ( ) 3 3 3 2 2 4 4 4 33 2 44 1 cos x dx 1 dx 1 sin x dxln 3 ln 3 ln 3 4 4 sin x 4cos x tg x sin x 1 d cos x 1 1 1 cos x 3ln 3 ln 3 ln ln 1 2 ln 3 4 4 2 1 cos x 41 cos x pi pi pi pi pi pi pipi pipi = − + = − + = − + + = − − = − − = + − − − ∫ ∫ ∫ ∫ • ( ) ( )4 4 4 42 0 0 0 0 sin dx dx 1 cos tg 21 cos 1 cos2cos 2 + = + = − + + +∫ ∫ ∫ ∫ ∫ pi 4 6 0 x + sin xD = dx 1 + cos x x x d x xxd xx x pi pi pi pi ( ) ( ) ( ) 4 44 0 00 x x 4 xln 1 cos x x tg tg dx ln tg 2 ln cos 2 2 4 8 22 2 4 2 2ln 2 1 ln 2 1 ln1 2 1 4 4 4 42 2 pi pipi pi pi  = − + + − = + +    + pi + pi pi = + − + = − + = − + ∫ www.VNMATH.com Chương II: Nguyên hàm và tích phân − Trần Phương 222 • ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 4 4 7 0 0 2 sin cos cos sin dx 2 sin cos sin d sin= =∫ ∫ ∫ pi 2 4 0 D = sin 2x cos sin x dx x x x x x x pi pi ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 4 2 2 0 0 0 1 1 0 0 11 1 12 00 0 0 1 12 t cos t dt t 1 cos 2t dt t 1 2cos 2t cos 2t dt 2 2 1 1 cos 4t 1 t 1 2cos 2t dt t 2 4 cos 2t cos 4t dt 2 2 4 1 1 t 1 12t dt t 4cos 2t cos 4t dt t d 2sin 2t sin 4t 4 4 4 4 4 = = + = + + +  = + + = + +      = + + = + +    ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 1 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 t 2sin 2t sin 4t 2sin 2t sin 4t dt 4 4 4 4 4 1 1 1 1 12sin 2 sin 4 cos 2t cos 4t 4 4 4 4 16 1 1 1 1 31 sin 2 cos 2 sin 4 cos 4 2 4 16 16 64     = + + − +            = + + − − −        = + + + + ∫ • ( ) 4 4 2 2 8 2 2 0 0 sin 2 cos2 cos dx d cos cos cos x x x x x x pi pi − = − = −∫ ∫ ∫ pi 4 2 0 tg xD = 1 + sin x dx cos x ( ) ( ) 1 21 2 1 2 1 22 2 2 2 2 11 1 1 1 2 1 2 2 11 2 u 2 u 11d u 2 u d d 2 u u u uu du u3 1 3 1 arcsin 3 1 1222 u − − = − = − = − − pi = − − = − − = − − − ∫ ∫ ∫ ∫ • ( ) ( ) 3 9 2 0 cos dx cos sin cos x x x x x x x pi = ⋅ + ∫ ∫ pi 3 2 2 0 x dxD = x sin x + cos x ( )3 33 00 0 3 3 02 0 x x x1 1 1d d x sin x cos x x sin x cos x x sin x cos xcos x cos x cos x 4 4 3 3cos x x sin x1 dx tg x x sin x cos x3 3 3 3 3 3cos x pi pipi pi pi   = − = − ⋅ +  + + +   − pi − pi − pi+  = + = + = ++ pi + pi + pi  ∫ ∫ ∫ www.VNMATH.com