Giáo án lớp 12 môn Đại số - Bài tập về khảo sát hàm số

BàI TậP Bài 1 : 1/ Khảo sát hàm số y = - 2x3 + 3x2 – 1 2/ Định m để phương trình 2x3 – 3x2 + m = 0 có ba nghiệm phân biệt x1, x2, x3 và so sánh các nghiệm này với các số . 3/ Chứng minh rằng đồ thị hàm số có một tâm đối xứng. Bài 2 : Cho hàm số y = x3 – 3mx2 + 3(2m – 1)x + 1 (1) 1/ Khảo sát hàm số khi m = 1. 2/ Định m để hàm số (1) đồng biến trên tập xác định. 3/ Định m để hàm số (1) có một cực đại và một cực tiểu. Tính tọa độ điểm cực tiểu Bài 3 : Cho hàm số y = mx3 + 3mx2 + 4 , có đồ thị là (Cm) 1/ Định m để M(-1; 2) là điểm uốn của đồ thị (Cm). 2/ Khảo sát hàm số với m vừa tìm được câu 1/. 3/ Định m để hàm số đồng biến trên tập xác định của hàm số . 4/ Định m để hàm số nghịch biến trên tập xác định của hàm số . 5/ Định m để hàm số có một cực đại và một cực tiểu. Bài 4 : Cho hàm số y = x3 - mx2 + (2m + 1)x – m - 2, có đồ thị là (Cm) 1/ Khảo sát hàm số khi m = 0, có đồ thị là (C0). 2/ Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm uốn của đồ thị (C0). 3/ Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C0) tại điểm có hoành độ bằng 1. 4/ Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C0) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y = 4x + 2. 5/ Định m để hàm số đồng biến trên tập xác định của hàm số . 6/ Định m để hàm số đồng biến với mọi x ³ 2. 7/ Định m để hàm số có một cực đại và một cực tiểu. 8/ Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị đó. 9/ Định m để đồ thị (Cm) cắt trục hoành Ox tại 3 điểm phân biệt. 2 điểm. 3 điểm phân biệt có hoành độ dương. 1 điểm. 10/ Định m để đồ thị (Cm) tiếp xúc với trục hoành Ox. Bài 5 : Cho hàm số y = 1/ Khảo sát hàm số và vẽ đồ thị khi m = 2. 2/ Định m để hàm số có cực đại , cực tiểu đồng thời hoành độ các điểm cực đại và cực tiểu x1, x2 thỏa mãn điều kiện : x1 + 2x2 = 1. 3/ Với giá trị nào của m thì hàm số đồng biến trên khoảng ? Bài 6 : Cho hàm số y = x3 – 3x2 + 2 1/ Khảo sát hàm số và vẽ đồ thị . Xác định các giao điểm của đồ thị với trục hoành. 2/ Viết phương trình các tiếp tuyến kẻ đến đồ thị từ điểm . 3/ Tìm trên đường thẳng y = - 2 các điểm từ đó có thể kẻ đến đồ thị 2 tiếp tuyến vuông góc nhau. Bài 7 : Cho hàm số y = x3 + 3x2 + mx + 1, có đồ thị là (Cm). 1/ Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m = 3. 2/ Chứng minh rằng với mọi m đồ thị (Cm) đã cho luôn cắt đồ thị y = x3 + 2x2 + 7 tại hai điểm phân biệt A và B. Tìm quỹ tích trung điểm I của AB. 3/ Xác định m để đồ thị (Cm) cắt đường thẳng y = 1 tại 3 điểm phân biệt C(0;1), D, E. Tìm m để các tiếp tuyến tại D và E vuông góc nhau. Bài 8 : 1/ Chứng minh rằng nếu đồ thị hàm số y = x3 + ax2 + bx + c cắt trục hoành tại 3 điểm cách đều nhau thì điểm uốn nằm trên trục hoành. 2/ Cho hàm số y = x3 – 3mx2 + 3(m2 – 1)x – (m2 – 1). Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm cách đều nhau. Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt với hoành độ dương. 3/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số với m vừa tìm được. Bài 9 : Cho hàm số y = x3 – 3ax2 + 4a3 1/ Với a > 0 cố định, hãy khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số . 2/ Định a để các điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị đối xứng nhau qua đường thẳng y = x. 3/ Định a để đường thẳng y = x cắt đồ thị tại 3 điểm phân biệt A, B, C với AB = BC. Bài 10 : Cho hàm số y = (x – 1)2(x + 1)2 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số . Biện luận theo m số nghiệm của phương trình: (x2 – 1)2 – 2m + 1 = 0. Tìm b để Parabol y = 2x2 + b tiếp xúc với đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến chung của chúng tại tiếp điểm. Bài 11 : Cho hàm số , có đồ thị (C) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số . Cho M thuộc (C) có hoành độ xM = a. Với những giá trị nào của a thì tiếp tuyến của (C) tại M cắt (C) tại 2 điểm khác với M ?. Giả sử tiếp tuyến đó cắt (C) tại 2 điểm phân biệt P, Q khác điểm M. Tìm quỹ tích trung điểm của PQ. Bài 12 : Cho hàm số y = x4 – 2(m+1)x2 + 2m + 1, có đồ thị (Cm) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số . Tìm b để Parabol y = 2x2 + b tiếp xúc với đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến chung của chúng tại tiếp điểm. Tìm m để (Cm) cắt trục Ox tại 4 điểm có hoành độ lập thành cấp số cộng. Tìm hoành độ của giao điểm đó. Bài 13 : Cho hàm số y = x4 +3x2 – 4 , có đồ thị (C) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số . Chứng minh rằng (C) có tâm đối xứng I và tìm toạ độ của I. Bài 14 : Cho hàm số Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số trên. Xác định a để đường thẳng y = ax + 3 không cắt đồ thị. Bài 15 : Cho hàm số , có đồ thị (H) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số trên. Chứng minh rằng đường thẳng y = - x + m luôn cắt (H) tại 2 điểm phân biệt A, B. Tìm m để đoạn AB ngắn nhất. Tìm t sao cho phương trình: có đúng hai nghiệm thoả mãn điều kiện 0 Ê x Ê p Bài 16 : Cho hàm số Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (H) hàm số khi m = 1. Tìm trên (H) những điểm có tổng các khoảng cách đến hai đường tiệm cận nhỏ nhất. Bài 17 : Cho hàm số Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số trên. Tìm m để đường thẳng(d): y =mx + 1 cắt (H) tại hai điểm phân biệt. Tìm m để (d) cắt (H) tại hai điểm thuộc hai nhánh. Bài 18 : Cho hàm số Tìm a và b để đồ thị hàm số cắt trục Oy tại điểm A(0;-1) và tiếp tuyến với đồ thị tại A có hệ số góc bằng – 3. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (H) với a và b vừa tìm được. Xét đường thẳng (d) có hệ số góc bằng m và đi qua điểm B(-2;2). Với giá trị nào của m thì (d) cắt đồ thị hàm số (H) tại hai điểm M, N. Tìm quỹ tích trung điểm I của MN. Các đường thẳng đi qua điểm M, N , song song với các trục tọa độ , cắt nhau tạo thành một hình chữ nhật. Tính các cạnh của hình chữ nhật đó theo m. Với giá trị nào của m thì hình chữ nhật đó trở thành hình vuông. Bài 19 : Cho hàm số Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số với m = 2. Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số tiếp xúc với đường thẳng y = 1. Bài 20 : Cho hàm số Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số trên. A là điểm thuộc đồ thị có hoành độ là a. Viết phương trình tiếp tuyến (d) của đồ thị tại điểm A. Định a để (d) đi qua điểm (1;0). Chứng minh rằng có hai giá trị của a thoả mãn điều kiện bài toán và hai tiếp tuyến tương ứng vuông góc nhau. Bài 21 : Cho hàm số Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số với m = 0. Định m để hàm số có cực đại, cực tiểu. Giả sử y có giá trị cực đại yCĐ, giá trị cực tiểu yCT. Chứng minh rằng yCĐ2 + yCT2 > 1/2 Bài 22 : Cho hàm số (1) Xác định m để đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng. Vẽ đồ thị trong trường hợp đó. Tìm m để (1) có cực đại , cực tiểu thoả mãn điều kiện . Giả sử m ạ 0, m ạ 1. Chứng minh rằng tiếp tuyến của (1) tại giao điểm của nó với trục tung luôn cắt tiệm cận đứng tại điểm có tung độ bằng 1. Bài 23 : Cho hàm số (1) Tìm m để hàm số đồng biến trên ( - Ơ; 1) và (1; + Ơ). Tìm m để tiệm cận xiên của đồ thị hàm số tạo với các trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 8. Tìm m để đường thẳng y = m cắt đồ thị tại 2 điểm A, B với OA vuông góc với OB. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số với m = 1. Bài 24 : Cho hàm số (1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số trên. Tìm những điểm thuộc (1) sao cho toạ độ của điểm đó là các số nguyên. Tìm những điểm M thuộc (1) sao cho khoảng cách từ M đến trục hoành gấp hai lần khoảng cách từ M đến trục tung. Tìm những điểm M thuộc (1) sao cho tổng các khoảng cách từ M đến hai trục tọa độ là nhỏ nhất. Tìm những điểm M thuộc (1) sao cho cách đều hai trục tọa độ. Bài 25: (ĐH : 2,5 điểm; CĐ : 3,0 điểm) ( Khối A – năm 2002) Cho hàm số : y = - x3 + 3mx2 + 3(1-m2)x + m3 – m2 , (1) ( m là tham số). 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m 2. Tìm k để ph−ơng trình: - x3 + 3x2 + k3 – k2 = 0 có ba nghiệm phân biệt. 3. Viết ph−ơng trình đ−ờng thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số (1). Bài 26: (ĐH : 2,0 điểm; CĐ : 2,5 điểm) ( Khối B – năm 2002 ) Cho hàm số : y = mx4 + (m2 – 9)x2 + 10, (1) (m là tham số). 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1 . 2. Tìm m để hàm số (1) có ba điểm cực trị. Bài 27 ( ĐH : 3 điểm ; CĐ : 4 điểm ). ( Khối D – năm 2002 ) Cho hàm số : (1), ( m là tham số ) 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) ứng với m = -1. 2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đ−ờng cong (C) và hai trục tọa độ. 3. Tìm m để đồ thị của hàm số (1) tiếp xúc với đ−ờng thẳng y = x. Bài 28 (2 điểm). ( Khối A – năm 2003 ) Cho hàm số (1) ( m là tham số). 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = - 1. 2) Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt và hai điểm đó có hoành độ d−ơng. Bài 29 (2 điểm). (Khối B – năm 2003 ) Cho hàm số y = x3 – 3x2 + m (1) ( m là tham số). 1) Tìm để đồ thị hàm số (1) có hai điểm phân biệt đối xứng với nhau qua gốc tọa độ. 2) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m=2. Bài 30 (2 điểm). ( khối D – năm 2003 ) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số . (1) 2) Tìm m để đ−ờng thẳng dm : y = mx + 2 – 2m cắt đồ thị của hàm số (1) tại hai điểm phân biệt. Bài 31 (2 điểm) ( Khối A – năm 2004) Cho hàm số (1) 1) Khảo sát hàm số (1). 2) Tìm m để đ−ờng thẳng y = m cắt đồ thị hàm số (1) tại hai điểm A, B sao cho AB = 1. Bài 32 (2 điểm) (Khối B – năm 2004) Cho hàm số (1) có đồ thị (C). 1) Khảo sát hàm số (1). 2) Viết ph−ơng trình tiếp tuyến d của (C) tại điểm uốn và chứng minh rằng d là tiếp tuyến của (C) có hệ số góc nhỏ nhất. Bài 33 (2 điểm) ( khối D – năm 2004) Cho hàm số y = x3 – 3mx2 + 9x + 1 (1) với m là tham số. 1) Khảo sát hàm số (1) khi m = 2. 2) Tìm m để điểm uốn của đồ thị hàm số (1) thuộc đ−ờng thẳng y = x + 1. Bài 34 (2 điểm) ( khối A – năm 2005) Gọi (Cm ) là đồ thị của hàm số (*) ( m là tham số ) 1) Khảo sỏt sự biến thiờn và vẽ đồ thị của hàm số (*) khi m = ẳ . 2) Tỡm m để hàm số (*) cú cực trị và khoảng cỏch từ điểm cực tiểu của (Cm ) đến tiệm cận xiờn của (Cm ) bằng . Bài 35 (2 điểm) ( khối B – năm 2005) Gọi (Cm ) là đồ thị của hàm số (*) ( m là tham số ) 1) Khảo sỏt sự biến thiờn và vẽ đồ thị của hàm số (*) khi m = 1 . 2) Chứng minh rằng với m bất kỳ, đồ thị (Cm ) luôn luôn có điểm cực đại, điểm cực tiểu và khoảng cách giữa hai điểm đó bằng . Bài 36 (2 điểm) ( khối D – năm 2005) Gọi (Cm ) là đồ thị của hàm số (*) ( m là tham số ) 1) Khảo sỏt sự biến thiờn và vẽ đồ thị của hàm số (*) khi m = 2 . 2) Gọi M là điểm thuộc ( C m) có hàonh độ bằng – 1. Tìm m để tiếp tuyến của ( Cm) tại điểm M song song với đường thẳng 5x – y = 0. Bài 36 (2 điểm) ( khối A – năm 2006) 1. Khảo sỏt sự biến thiờn và vẽ đồ thị của hàm số y = 2x3 – 9x2 + 12x - 4 2. Tỡm m để phương trỡnh sau cú 6 nghiệm phõn biệt: 2|x|3 – 9x2 + 12|x| - 4 = 0 Bài 37 (2 điểm) ( khối B – năm 2006) Cho hàm số 1. Khảo sỏt sự biến thiờn và vẽ đồ thị (C) của hàm số đó cho. 2. Viết phương trỡnh tiếp tuyến của đồ thị (C) , biết tiếp tuyến đú vuụng gúc với tiệm cận xiờn của (C) Bài 38 (2 điểm) ( khối D – năm 2006) =====================ÿ===================== Good luck to you !