Giáo án Lớp 12 môn Đại số - Bài tập về tính đơn điệu của hàm số và ứng dụng

I. BÀI TẬP VỀ TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ VÀ ỨNG DỤNG Dạng 1: Xét chiều biến thiên của hàm số y = x3 - 3x2 + 1; y = x + 1 - x2 ; b) y = x3 - 3x2 + e) y = x + 100 ; c) y = x4 - 2x2 + 3 ; x2 - 4 x + 3 a) 2011x + 5 ; y = 3x + 1 d) f) g) y = ; x x - 4 x - 2 x 1 + x2 x2 - 2 x - 3 ; i) y = 2 sin x + cos 2 x , x Î [0;p ]; h) y = j) y = ; k) y = x + 1 - x + 4 x + 4 1 - x . y = f ( x, m) đồng biến hoặc nghịch biến trên khoảng I. Dạng 2: Tìm m để hàm số y = 4 x3 + ( m + 3) x2 + mx . Tìm m để 1) Cho hàm số: a) Hàm số đồng biến trên b) Hàm số đồng biến trên khoảng [0; +¥ ) é- 1 ; 1 ù c) Hàm số nghịch biến trên đoạn ê 2 ú 2 ë û d) Hàm số nghịch biến trên đoạn có độ dài l = 1 . y = 1 mx3 - ( m -1) x2 + 3 ( m - 2) x + 1 3 2) Tìm m để hàm số: [2; +¥ ) . đồng biến trên khoảng 3 y = x3 + 3x2 + ( m + 1) x + 4m nghịch biến trên khoảng ( -1;1) . 3) Tìm m để hàm số: y = m -1 x3 + mx2 + (3m - 2) x đồng biến trên 4) Tìm m để hàm số: . 3 y = 1 mx3 + 2 ( m - 1) x2 + ( m - 1) x + m 5) Tìm m để hàm số: ( -¥; 0) È [2; +¥ ) . đồng biến trên 3 y = - x4 + 2mx2 - m2 . Tìm m để 6) Cho hàm số: a) Hàm số nghịch biến trên (1; +¥ ) b) Hàm số nghịch biến trên ( -1; 0) , ( 2; 3) . Cho hàm số: y = x -1 . Tìm m để x - m a) Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng xác định của nó b) Hàm số đồng biến trên khoảng (0; +¥ ) . 7) x2 - x + m2 x - 1 8) Cho hàm số y = . Tìm m để: a) Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó. b) Hàm số nghịch biến trên các khoảng (0;1) , ( 2; 4) . Dạng 3: Ứng dụng tính đơn điệu của hàm số để giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình 1) Giải các phương trình sau: a) x2 + 15 = 3x - 2 + x2 + 8 ; b) 3x + 1 - 6 - x + 3x2 - 14 x - 8 = 0 (B-2010). 2) Giải bất phương trình: x3 - x2 - 3x + 2 + 6x - 7 > 0 . 3) Giải hệ các hệ phương trình sau: ìcot x - cot y = x - y ï ìï(4x2 + 1) x + ( y - 3) 5 - 2 y = 0 a) í5x + 7 y = 2p ï0 < x, y < p ; b) í (A-2010). ïî4 x2 + y2 + 2 3 - 4 x = 7 î Dạng 4: Ứng dụng tính đơn điệu của hàm số để chứng minh một số bất đẳng thức. Hãy chứng minh các bất đẳng thức sau: a) sin x 0 ; b) sin x < x "x < 0 ; c) tan x > x "x > 0 x3 x3 6 æ p ö d) sin x > x - "x > 0 ; e) sin x < x - 6 g) cos (sin x ) > sin (cos x ) "x Î "x 3x "x Î ç 0; ÷ 2 ø è 3 + cot x < x "x Î æ 0; p ö ; h) ç ÷ 2 sin x 2 ø è a < sin a < p a với 0 < a < b < p 2 2 4 ; j) 1 - x < cos x < 1 - x + x i) "x ¹ 0 b sin b 2 b 2 2 2 24 ------------------------------------------------------------------------------------------------------------- II. BÀI TẬP VỀ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ Dạng 1: Tìm cực trị của hàm số y = 1 x3 - 2 x2 + 3x - 3 ; 3 a) y = 4 - x2 ; x2 - 3x + 3 x - 1 c) y = x4 - 2 x2 - 1 b) x x2 + 4 f) y = x2 - 2 x + 2 i) y = sin 2 x - 3 cos x, x Î [0;p ] d) y = y = ; e) ; g) y = x - sin 2 x + 2 ; h) y = 3 - 2 cos x - cos 2 x ; f ( x, m ) có cực trị ( thoả mãn điều kiện nào đó) Dạng 2: Tìm m để hàm số y = x2 - m ( m + 1) x + m3 + 1 x - m 1) Chứng minh rằng với mọi m hàm số: y = và cực tiểu. Tìm m để các hàm số sau có cực trị: a) y = 1 x3 - mx2 + (2m2 - 3m + 2) x + 8 ; luôn đạt cực đại 2) b) y = sin x - mx 3 Tìm m để hàm số: y = mx4 + (m2 - 9) x2 + 10 có ba cực trị. (B-2002). 3) y = ( x - m)3 - 3x 4) Tìm m để hàm số: đạt cực tiểu tại điểm x = 0 . 5) Tìm m để hàm số: y = 1 x3 + (m2 - m + 2) x2 + (3m2 + 1) x + m - 5 đạt cực tiểu tại 3 x = -2. x2 + mx 1 - x 6) Tìm m để hàm số: y = để hàm số có cực đại, cực tiểu và khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số bằng 10 . x2 + ( m + 1) x + m + 1 x + 1 (Cm ) của hàm số 7) Chứng minh rằng với m bất kỳ, đồ thị y = luôn luôn có điểm cực đại, điểm cực tiểu và khoảng cách giữa hai điểm đó bằng 20 . (B-2005) x2 + 2 ( m + 1) x + m2 + 4m 8) Tìm m để hàm số: y = có cực đại cực tiểu, đồng thời các x + 2 điểm cực trị của đồ thị cùng với gốc toạ độ O tạo thành một tam giác vuông tại O.(A-2007) 9) Cho hàm số: y = x4 - 2mx2 + 2m . Xác định m để hàm số có cực đại, cực tiểu lập thành: a) Một tam giác đều bằng 16. b) Một tam giác vuông c) Một tam giác có diện tích y = 2 x3 + 3 ( m -1) x2 + 6m (1 - 2m) x có cực đại, cực tiểu nằm trên 10) Tìm m để hàm số: đường thẳng 4x + y = 0. 11) Tìm m để hàm số: y = x3 + mx2 + 7 x + 3 có đường thẳng đi qua cực đại, cực tiểu vuông góc với đường thẳng 3x - y - 7 = 0. 12) Tìm m để hàm số: y = x3 - 3( m - 1) x2 + (2m2 - 3m + 2) x - m ( m -1) có đường thẳng đi qua điểm cực đại, cực tiểu tạo với đường thẳng x + 4 y - 20 = 0 một góc 450 . 13) Tìm m để hàm số: y = x3 - 3x2 + m2 x + m có cực đại, cực tiểu đối xứng nhau qua đường thẳng x - 2 y - 5 = 0 . y = 2 x3 + (cosm - 3sin m ) x2 - 8 (1 + cos2m) x + 1 14) Cho hàm số: 3 a) Chứng minh rằng với mọi m hàm số luôn có cực đại và cực tiểu. b) Giả sử rằng hàm số đạt cực trị tại x1 , x 2 . Chứng minh: x + x2 £ 18 . 2 2 1 15) Tìm m để hàm số: y = 1 x3 - mx2 - x + m + 1 có khoảng cách giữa các điểm cực 3 đại và cực tiểu là nhỏ nhất 16) Tìm m để hàm số: y = x3 - 3m x2 + m có các điểm cực đại, cực tiểu nằm về hai 2 phía của đường thẳng x - y = 0 . 17) Tìm m để hàm số: y = 1 x4 - mx2 + 3 chỉ có cực tiểu mà không có cực đại. 4 2 mx2 + 3mx + 2m + 1 x -1 18) Tìm m để hàm số: y = với trục Ox. có cực đại, cực tiểu nằm về hai phía đối x2 + ( m + 2) x + 3m + 2 x + 2 19) Tìm m để hàm số: y = 1 có cực đại, cực tiểu đồng thời thoả y2 + y2 > mãn . CD CT 2 y = x3 + 2 ( m - 1) x2 + (m2 - 4m + 1) x - 2 (m2 + 2011) 20) Tìm m để hàm số: đạt cực trị 1 1 1 ( x1 + x2 ) . tại hai điểm có hoành độ x1 , x 2 sao cho + = x1 x2 2 (C ) : y = mx + 1 21) Tìm m để hàm số có cực trị và khoảng cách từ điểm cực tiểu đến m x 1 tiệm cận xiên bằng . (A-2005). 2 y = 1 mx3 - ( m - 1) x2 + 3 ( m - 2) x + 1 22) Tìm m để hàm số: x1 + 2 x2 = 1. đạt cực trị tại x , x thoả 1 2 3 3 23) Tìm m để hàm số: y = 2 x3 + ( m + 1) x2 + (m2 + 4m + 3) x + 5 2011 đạt cực trị tại hai 3 x1 x2 - 2 ( x1 + x2 ) điểm x1 , x2 sao cho A = đạt giá trị lớn nhất. 24) Tìm m để hàm số: y = 1 x3 - 5 mx2 - 4mx - 4 đạt cực trị tại x , x sao cho biểu thức 1 2 3 2 + x2 + 5mx1 + 12m 2 2 m A = đạt giá trị nhỏ nhất. 2 2 x1 + 5mx2 + 12m m ------------------------------------------------------------------------------------------------------------- III. BÀI TẬP VỀ GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ Dạng 1: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số: a) y = x3 + 3x2 - 9 x + 1 , x Î [-4; 4] ; b) y = x4 - 8x2 + 16 , x Î [-1; 3] x x + 2 1 x -1 , x Î ( -2; 4] ; , x Î (1; +¥ ) ; c) y = d) y = x + 2 + e) y = x + 2 - x f) y = cos3 x - 6 cos2 x + 9 cos x + 5 ; g) y = sin3 x - cos 2 x + sin x + 2 2x2 + 7 x + 23 x2 + 2x + 10 x + 1 x2 + 1 j) y = x6 + 4 (1 - x2 )3 , x Î [-1;1] , x Î [-1; 2] ; h) y = ; i) y = 1 + sin 6 x + cos6 x 1 + sin 4 x + cos4 x ; l ) y = sin5 x + 3 cos x ; m) y = sin 2012 x + cos2012 x k) y = cos x sin 2 x (2 cos x - sin x ) , x Î æ 0; p ù ; y = 2 - x + 2 - x - 4 - x2 ; o) y = n) ç 3 ú è û 4 1 + x ; r) y = ( x x + 4 - x )( 5 - x - 4 - x ) p) y = 5 sin3 x - 9 sin 2 x + 4 ; q) y = (1 + x2 )2 8 y = 1 + 256x t) y = x2 - x + 1 + x2 + x + 1 ; u) x2 - 4 x + 3 - 2 x2 + 4 x ; v) y = (1 + 4 x2 )2 2 w) y = x + ( x2 + 6 x + 9)( x2 + 2 x + 1) , x Î é-4; - 5 ù ; x) y = æ 1 + x ö + 3 æ 1 + x ö + 1 úû ç ÷ ç ÷ êë 4 x x è ø è ø y) y = 11 - 1 cos 4 x - 2 2 4 tan x 1 + tan 2 x 1 cos2 x 1 cos x ; z) y = cos2 x + + cos x + + 1 Dạng 2: Ứng dụng giá trị lớn nhất vào những bài toán phương trình, bất phương trình, hệ phương trình và hệ bất phương trình có chứa tham số: ( x -1) (8 - x ) = m 1) 2) 3) Tìm m để phương trình: x -1 + 8 - x - có nghiệm thực. Tìm m để phương trình: 3 x -1 + m x + 1 = 2 4 x - 1 có nghiệm thực. (A-2007) Tìm m để phương trình: 2 (sin 4 x + cos4 x ) + cos 4x + 2 sin 2 x + m = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn é0; p ù . ê 2 ú ë û Tìm m để phương trình : 2x2 - 2 ( m + 4) x + 5m + 10 + 3 - x = 0 ì x + 1 + y + 1 = 5 4) có nghiệm thực. ï x y Tìm m để hệ phương trình: ï 5) có nghiệm thực. í 1 1 ï x3 + + y3 + = 15m -10 ïî x3 y3 ( D-2007). x2 + 1 có hai nghiệm thực phân Tìm m để phương trình: 10x2 + 8x + 4 = m ( 2 x + 1) biệt. 6) Tìm m để BPT: m ( x2 - 2 x + 2 + 1) + x ( 2 - x ) £ 0 có nghiệm trên é0;1 + 3 ù . 7) ë û ìï2 x2 - 7 x + 3 £ 0 8) Với giá trị nào của m thì hệ í có nghiệm thực. ïî x2 - mx + m £ 0 ìï( x2 - 3x - 4)( x2 - 5x + 2011) £ 0 9) Tìm m để hệ: í có nghiệm thực. ïî x3 - 3 x x - m2 -15m ³ 0 ìï(1 - x2012 )(5x2012 + 1) ³ 0 10) Tìm m để hệ: í có nghiệm thực. ïî x2 - (m + 2) x + 2m + 3 ³ 0 11) Tìm m để phương trình: 4 2x + 2 x + 2.4 6 - x + 2 6 - x = m có đúng hai nghiệm phân biệt. (A-2008). 12) Tìm m để phương trình m ( 1 + x2 - 1 - x2 + 2) = 2 4 1 - x4 + 1 + x2 - 1 - x2 có nghiệm thực. (B-2004). --------------------------------------------------------------------------------------------------------- IV. BÀI TẬP VỀ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ VÀ PHÉP TỊNH TIẾN HỆ TOẠ ĐỘ Dạng 1: Phép tịnh tiến hệ toạ độ y = x3 + 6x2 + x - 12 (C ) 1) Cho hàm số: a) Xác định điểm I thuộc đồ thị (C) của hàm số có hoành độ là nghiệm của phương trình y¢¢ = 0 . b) Viết công thức chuyển hệ tọa độ trong phép tịnh tiến theo vectơ OI và viết phương trình của (C) đối với hệ toạ độ IXY. Từ đó suy ra I là tâm đối xứng của (C). 1 x + 2 và điểm I ( -2; 2) . Viết công thức chuyển hệ tọa độ trong 2) Cho hàm số: y = 2 - phép tịnh tiến theo vectơ OI và viết phương trình của (C) đối với hệ toạ độ IXY. Từ đó suy ra I là tâm đối xứng của (C). Dạng 2: Tìm tâm đối xứng, trục đối xứng của đồ thị. 1) Xác định tâm đối xứng của các đồ thị hàm số sau: 3x2 - 5x + 8 2 x -1 4x + 3 10 x - 6 a) y = x3 - 6 x2 + 4 x - 9 ; b) y = ; c) y = . 2) Cho hàm số: y = x4 + 4mx3 - 2x2 -12mx . Xác định m để hàm số có trục đối xứng song song với Oy. ------------------------------------------------------------------------------------------------------------- V. BÀI TẬP VỀ ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ Dạng 1: Tìm tiệm cận của đồ thị hàm số Tìm các loại tiệm cận của đồ thị các hàm số sau: 2 2 x2 - x + 1 x x + 1 ; 2 x + 1 x + x ; x -1 f) y = x + x + 3 ; x + 1 g) y = a) y = b) y = c) y = d) y = 2 x3 - x2 x 1 - x2 x + 1 x2 - 4 e) y = x2 - x + 1 ; x2 + 2 x ; ; h) y = x2 + 1 2 y = 6 x + 5x - 7 x 4 - x2 x2 - x + 1 - x ; i) y = ; j) ; k) y = l) y = . 2 x2 + 3x + 1 Dạng 2: Tiệm cận có chứa tham số mx2 + 6 x - 2 x + 2 1) Tuỳ theo tham số m, hãy tìm tiệm cận đối với đồ thị của hàm số: y = . x + 2 x2 - 4 x + m 2) Tuỳ theo tham số m, hãy tìm tiệm cận đối với đồ thị của hàm số: x - 3 y = . 3) Tìm m để đồ thị hàm số: y = chỉ có đúng một tiệm cận đứng. x2 + mx + 2m x + 1 x2 + mx + 1 4) Tìm m để đồ thị hàm số: y = 2 2 có hai tiệm cận đứng là x = x , x = x sao 1 2 x1 + x2 x2 x2 cho > 7 . 2 1 - x2 + x + m x + m 5) Cho hàm số: A ( 2; 0) . y = . Tìm m để đồ thị hàm số có tiệm cận xiên đi qua điểm x2 + mx -1 x -1 Cho họ đồ thị (C ) : y = . Tìm m để tiệm cận xiên của (Cm ) 6) tạo với hai m trục tạo độ một tam giác có diện tích bằng 8. 7) Tìm các giá trị của m để góc giữa hai tiệm cận của đồ thị hàm số: mx2 + (3m2 - 2) x - 2 bằng 450 . (A-2008). y = x + 3m ) : y = ( ) mx2 - m2 + m -1 x + m2 - m + 2 x - m Cho họ đồ thị (C (m ¹ 0) . 8) m Chứng minh rằng khoảng cách từ gốc toạ độ O đến hai tiệm cận xiên không lớn hơn 2 . ------------------------------------------------------------------------------------------------------------- VI. BÀI TẬP VỀ KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN, VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ VÀ MỘT SỐ VẤN ĐỀ LIÊN QUAN Dạng 1: Các bài toán về hàm số dạng đa thức Loại 1: Các bài toán thuần tuý về khảo sát hàm số và vẽ đồ thị hàm số 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số: y = 1 x3 - 2 x2 + 3x 3 2) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số: y = x4 - 8x2 + 10 Loại 2: Các bài toán thường gắn liền với bài toán khảo sát hàm số ) y = x3 - 3 ( m + 1) x2 + 2 (m2 + 4m + 1) - 4m ( m + 1) cắt trục hoành (C 1) Tìm m để m tại ba điểm phân biệt có hoành độ lớn hơn 1. Biện luận theo m số giao điểm của Ox với đường cong (C ) : y = x3 - 3x2 + 3 (1 - m) x + 1 + 3m . 2) m (C ) : y = x3 - 3mx2 + 2m ( m - 4) x + 9m2 - m 3) Tìm m để cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt sao cho ba điểm này lập thành cấp số cộng. (C ) : y = 2 x3 + 2mx2 - 7 ( m -1) x - 54 4) Tìm m để cắt Ox tại 3 điểm phân biệt lập m thành cấp số nhân. (C ) : y = x4 - 2 ( m + 1) x2 + 2m + 1 . Tìm m để (C ) 5) Cho cắt Ox tại 4 điểm phân m m biệt lập thành một cấp số cộng. y = x3 - 2x2 + (1 - m) x + m 6) Tìm m để đồ thị hàm số: cắt trục hoành tại ba điểm 2 2 2 phân biệt có hoành độ x1 , x2 , x3 thoả mãn điều kiện: x1 + x2 + x3 < 4 (A-2010). Tìm m để đường thẳng y = m cắt đồ thị (C): y = x4 - 2 x2 - 3 tại bốn điểm phân biệt M, N, P, Q ( sắp thứ tự từ trái sang phải) sao cho độ dài các đoạn thẳng MN, NP, PQ được giả sử là độ dài 3 cạnh của một tam giác bất kỳ. 7) (C ) : y = ( m + 3) x3 - 3( m + 3) x2 - (6m + 1) x + m + 1 8) Cho có 3 điểm cố định m thẳng hàng. Viết phương trình đường thẳng đi qua 3 điểm cố định đó. ) : y = x3 + ( m + m ) x2 - 4 x - 4 ( m + m ) . Tìm điểm cố định của (C 9) m ) : y = x3 - 3 ( m -1) x2 + (2m2 - 3m + 2) x - m ( m -1) tiếp xúc với (C 10) Tìm m để Ox. m 11) Tìm m để hai đồ thị sau đây tiếp xúc với nhau: (C ) : y = mx3 + (1 - 2m ) x2 + 2mx ; (C ) : y = 3mx3 + 3 (1 - 2m) x + 4m - 2 1 2 12) Cho hàm số: y = 1 x3 - 2 x2 + x -1 , có đồ thị 3 với (C ) (C ) . Viết phương trình tiếp tuyến Tạo với chiều dương Ox góc 600 . Tạo với chiều dương Ox góc 150 . Tạo với trục hoành Ox góc 750 . Có hệ số góc k = -2 . Song song với đường thẳng y = - x + 2 . Vuông góc với đường thẳng y = 2 x - 3 . Tạo với đường thẳng y = 3x + 7 góc 450 . Tạo với đường thẳng y = - 1 x + 3 góc 300 . a) b) c) d) e) f) g) h) 2 13) Cho hàm số: y = - x3 + 3x + 2 (C). Tìm trên trục hoành các điểm kẻ được 3 tiếp tuyến đến đồ thị (C ) . 14) Tìm tất cả các điểm trên trục hoành mà từ đó kẻ được 3 tiếp tuyến đến đồ thị (C ) : y = x3 + 3x2 trong đó có hai tiếp tuyến vuông góc nhau. 15)Tìm trên đường thẳng y = 2 các điểm kẻ được 3 tiếp tuyến đến đồ thị (C ) : y = x3 - 3x . 16) Tìm trên trục tung các điểm kẻ được 3 tiếp tuyến đến đồ thị (C ) : y = x4 - x2 + 1. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C ) : y = 4 x3 - 3x . b)Tìm m để 4 x - 3 x - m = 0 có 4 nghiệm phân biệt. c) Chứng minh rằng phương trình: 4x3 - 3x = 1 - x2 có ba nghiệm. 18) a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số: y = 2 x3 - 9 x2 + 12x - 4 b) Tìm m để phương trình sau có 6 nghiệm phân biệt: 2 x - 9 x + 12 x = m . (A-2006) 19) Cho hàm số: y = 2 x4 - 4 x2 (C) a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 17) 3 3 2 x2 x2 - 2 = m có đúng 6 nghiệm thực b) Với giá trị nào của m, phương trình phân biệt. (B-2009). y = 2 x3 - 3( m + 3) x2 + 18mx - 8 20) Cho hàm số: a) Tìm m để đồ thị hàm số tiếp xúc với trục hoành. b) Chứng minh rằng tồn tại điểm có hoành độ x0 sao cho tiếp tuyến với đồ thị tại đó song song nhau với mọi m. ( P ) : y = x2 c) Chứng minh rằng trên Parabol hàm số với mọi m. có hai điểm không thuộc đồ thị Dạng 2: Các bài toán về hàm số dạng phân thức hữu tỉ Loại 1: Các bài toán thuần tuý về khảo sát hàm số và vẽ đồ thị hàm số y = 2x + 1 1) a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số: x -1 b) Dựa vào đồ thị hàm số trên, hãy suy ra đồ thị của các hàm số sau: 2 x + 1 y = . x -1 2 x + 1 x -1 y = ; x2 - 2 x + 2 x -1 2) a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số: y = x2 - 2 x + 2 x -1 b) Dựa vào đồ thị hàm số trên, hãy suy ra đồ thị: y = - x2 - x + 1 x + 1 3) a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số: y = - x2 - x + 1 x + 1 b) Dựa vào đồ thị hàm số trên, hãy suy ra đồ thị: y = . Loại 2: Một số bài toán hay gặp đối với hàm phân thức y = 2 x -1 (C ) . Gọi I là giao điểm hai 1) Cho hàm số: (C) và điểm M bất kỳ thuộc x -1 tiệm cận. Tiếp tuyến tại M cắt hai tiệm cận tại A và B. a) b) c) Chứng minh: M là trung điểm AB. Chứng minh diện tích tam giác IAB không đổi. Tìm M để chu vi tam giác IAB nhỏ nhất. 2) Tìm trên đường thẳng (C ) : y = x + 3 . y = 2 x + 1 các điểm kẻ được đúng một tiếp tuyến đến x - 1 3) Cho hàm số: y = x2 - 3x + 4 2 ( x -1) (C ) . Gọi I là giao (C) và điểm M bất kỳ thuộc điểm hai tiệm cận. Tiếp tuyến tại M cắt hai tiệm cận tại A và B. a) b) c) d) Chứng minh: M là trung điểm AB. Tích các khoảng cách từ M đến hai tiệm cận là không đổi. Chứng minh diện tích tam giác IAB không đổi. Tìm M để chu vi tam giác IAB nhỏ nhất. Tìm các điểm trên đồ thị (C ) : y = 10x - 4 4) có toạ độ là số nguyên. 3x + 2 x2 + 5x + 15 x + 3 Tìm các điểm trên đồ thị (C ) : y = 5) có toạ độ là số nguyên. (C ) : y = 3x - 5 . Tìm M thuộc (C ) 6) Cho để tổng khoảng cách từ M đến hai tiệm x - 2 cận là nhỏ nhất. Cho (C ) : y = x - 1 . Tìm M thuộc (C ) để tổng khoảng cách từ M đến hai trục toạ 7) x + 1 độ là nhỏ nhất. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số: x + 2 2 x + 3 8) y = , biết tiếp tuyến đó cắt trục hoành, trục tung lần lượt tại hai điểm phân biệt A, B sao cho tam giác OAB cân tại O. ( A-2009). 2 x x + 1 (C ) : y = 9) Tìm toạ độ điểm M thuộc , biết tiếp tuyến của (C) tại M cắt hai 1 . trục Ox, Oy lần lượt tại A, B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng 4 (D-2007) các điểm A, B để độ dài AB nhỏ (C ) : y = 4x - 9 10) Tìm trên mỗi nhánh của đồ thị nhất. x - 3 - x2 + 2 x - 5 x -1 11) Tìm trên mỗi nhánh của đồ thị (C ) : y = nhỏ nhất. các điểm A, B để độ dài AB y = 2x - 3 11) Cho hàm số: (C). x - 2 Gọi I là giao điểm của hai tiệm cận. Tìm điểm M thuộc (C). Biết tiếp tuyến của (C) tại M cắt các đường tiệm cận tại J và K sao cho đường tròn ngoại tiếp tam giác IJK có diện tích nhỏ nhất. y = 2x + 1 A ( -2; 5) . Xác định đường thẳng d cắt (C ) 12) Cho hàm số: và điểm tại x -1 hai điểm B, C sao cho tam giác ABC đều. 13) a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số: y = 2 x2 - 4 x - 3 2 ( x -1) . b) Tìm m để phương trình: 2 x2 - 4 x - 3 + 2m x -1 = 0 có hai nghiệm phân biệt. - x2 + 3x - 3 14) Tìm m để đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số: y = tại hai điểm A, 2 ( x - 1) B sao cho AB = 1. (A-2004). 15) a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số: x2 + 2 x + 5 x + 1 y = b) Dựa vào đồ thị (C) hãy tìm m để phương trình sau có hai nghiệm dương phân biệt: x2 + 2 x + 5 = (m2 + 2m + 5)( x + 1) . x2 + 3x + 3 x + 2 16) a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số: y = (C) tam giác có diện tích lớn nhất. 11) Tìm m để đường thẳng d : y = - x + m + 1 cắt B sao cho AOB nhọn. b) Tìm các giá trị của tham số m sao cho đường thẳng d : y = mx - m cắt (C) tại hai điểm A và B thuộc hai nhánh của nó. c) Tìm tập hợp trung điểm I của đoạn thẳng AB khi m biến thiên. ( m + 1) x + m x + m 17) Chứng minh rằng với mọi m ¹ 0 , đồ thị của hàm số y = xúc với một đường thẳng cố định. luôn tiếp VII. BÀI TẬP TỔNG HỢP VỀ HÀM SỐ 2 x x - 2 (C ) : y = 1) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị biết tiếp tuyến cắt Ox, Oy lần lượt tại M, N sao cho MN = OM 2 với O là gốc toạ độ. 2) Tìm m để hàm số y = 1 x3 - 1 mx2 + (m2 - 3) x + m2012 . 2011 (C ) đạt cực trị tại x , x m 1 2 3 2 10 2 đồng thời x1 , x2 là độ dài của một tam giác vuông có cạnh huyền bằng . (C ) : y = 1 mx3 + ( m -1) x2 + ( 4 - 3m ) x 3) Tìm tất cả các giá trị m sao cho trên đồ thị tồn m 3 tại đúng hai điểm có hoành độ dương mà tiếp tuyến tại đó vuông góc với đường thẳng d : y = - 1 x + 3 . 2 2 Viết phương trình đường thẳng d biết d cắt đồ thị (C ) : y = x3 - 3x + 2 4) tại 3 điểm phân biệt M, N, P sao cho xM = 2 và NP = 2 2 . 5) Tìm m để đường thẳng d : y = - x + 1 cắt (C ) : y = 4 x3 - 6mx2 + 1 tại ba điểm m A (0;1) , B, C biết B, C đối xứng nhau qua đường phân giác thứ nhất. (C ) : y = x4 - 2mx2 + 2m2 - 4 6) Tìm m để đồ thị có ba điểm cực trị tạo thành một tam m giác có diện tích bằng 1. 7) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C ) : y = x - 2 biết tiếp tuyến cắt Ox, Oy lần x + 1 lượt tại A, B sao cho bán kính đường tròn nội tiếp tam giác OAB lớn nhất. y = 2mx + 3 (C ) . Gọi I là giao điểm hai tiệm cận. Tìm m để tiếp tuyến 8) Cho hàm số: m x - m bất kì với (Cm ) cắt hai tiệm cận lần lượt tại A, B sao cho diện tích tam giác IAB bằng 64. (C ) y = x4 - 4 x2 + m 9) Tìm m để đồ thị cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt sao cho m diện tích hình phẳng giới hạn bởi (Cm ) và trục hoành có phần trên bằng phần dưới. 10) Tìm m để đồ thị ) : y = x4 - 2 (1 - m2 ) x2 + m + 1 có ba điểm cực trị tạo thành một (C m (C ) : y = x + 3 tại hai điểm phân biệt A, x - 2 x x -1 (C ) : y = 12) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị biết tiếp tuyến tạo với hai tiệm cận một tam giác có chu vi bằng 4 + 2 2 . y = 2 x - m (C ) . (C ) 13) Cho hàm số d : y = 2 ( x - m ) Chứng minh rằng với mọi m ¹ 0 , ( H ) cắt m m mx + 1 tại hai điểm phân biệt A, B thuộc một đường cố định. Đường thẳng d cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại M, N . Tìm m để Tìm trên (C ) : y = - x + 1 SDOAB = 3.SDOMN . 14) các điểm A, B sao cho độ dài đoạn thẳng AB = 4 và đường x - 2 thẳng AB vuông góc với đường thẳng y = x . (C ) : y = x4 - mx2 + m -1 15) Tìm m để đồ thị hoành độ lớn hơn -2 . cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt có m (C ) : y = x + 3 16) Tìm m để đường thẳng d : y = 2 x + 3m cắt tại hai điểm phân biệt A, B x + 2 sao cho OA.OB = -4 với O là gốc toạ độ. 17) Tìm toạ độ hai điểm B, C thuộc hai nhánh khác nhau của đồ thị cho tam giác ABC vuông cân tại A ( 2;1) . (C ) : y = 3x - 1 sao x - 1 18) Tìm m để đồ thị (C ) : y = x3 + 3x2 + m có hai điểm cực trị A, B sao cho A OB = 1200 . (C ) : y = 2 x - 1 19) Tìm m để đường thẳng d : y = x + m cắt tại hai điểm phân biệt A, B x + 1 sao cho AB = 2 2 . y = 3x - 2 (C ) . Gọi I là giao điểm hai đường tiệm cận của đồ thị. Viết 20) Cho hàm số: x + 1 phương trình tiếp tuyến của d với (C ) biết d cắt tiệm cận đứng và tiệm cận ngang lần lượt tại A và B sao cho cos B AI = 5 26 . 26 21) Tìm m để (C ) : y = x4 - 2mx2 + 2 có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác có đường m tròn ngoại tiếp đi qua điểm D æ 3 ; 9 ö . ç 5 5 ÷ è ø 22) Cho hàm số: y = 1 x4 - 3x2 + 5 (C ) A Î (C ) với và điểm x = a . Tìm các giá trị thực A 2 của a biết tiếp tuyến của 2 (C ) tại A cắt đồ thị (C ) tại hai điểm B, C phân biệt khác A sao cho AC = 3AB ( B nằm giữa A và C). (C ) : y = 1 x4 - (3m + 1) x2 + 2 (m + 1) 23) Tìm m để đồ thị có ba điểm cực trị tạo thành m 4 một tam giác có trọng tâm là gốc toạ độ O. 24) Tìm m để (C ) : y = 1 mx3 + ( m -1) x2 + (3m - 4) x + 1 có điểm chung mà tiếp tuyến tại m 3 đó vuông góc với đường thẳng d : y = x + 2011 . 25) Tìm m để ) : y = x3 - 3mx2 + 3 (m2 - 1) x - (m2 -1) cắt Ox tại ba điểm phân biệt có (C hoành độ dương. m 26) Tìm m để diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C ) : y = x3 - 3x2 + 3mx + 3m + 4 và m trục hoành có phần nằm phía trên trục hoành bằng phần nằm dưới trục hoành. (C ) : y = - x - 1 27) Tìm trên các điểm A, B sao cho tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại A x + 2 song song với tiếp tuyến tại B và AB = 2 2 . A (1; 0) 28) Gọi d là đường thẳng đi qua (C ) : y = x + 2 và có hệ số góc k. Tìm k để d cắt đồ thị tại hai điểm phân biệt M, N thuộc hai nhánh khác nhau của đồ thị và x - 1 AM = 2AN . (C ) : y = x3 - 3mx + 2 29) Tìm m để đường thẳng qua các điểm cực đại, cực tiểu của cắt m (C ) : ( x -1)2 + ( y -1)2 = 1 đường tròn tại hai điểm phân biệt A, B sao cho diện tích tam giác IAB lớn nhất. 30) Viết phương trình tiếp tuyến với (C ) : y = x + 3 2x + 2 biết tiếp tuyến cắt hai trục toạ độ Ox, Oy tại hai điểm A, B sao cho đường trung trực của AB đi qua gốc toạ độ O. (C ) : y = 1 x3 - 1 ( m + 1) x2 + mx 31) Tìm m để có điểm cực đại, cực tiểu đối xứng nhau m 3 2 qua đường thẳng d : 72 x -12 y - 35 = 0 . y = x3 - 3x2 + 4 (C ) . Chứng minh rằng khi m thay đổi thì đường thẳng 32) Cho hàm số d : y = m ( x + 1) luôn cắt đồ thị (C ) tại một điểm A cố định và tìm m để đường thẳng d cắt (C ) tại ba điểm phân biệt A, B, C đồng thời B, C cùng với gốc toạ độ O lập thành một tam giác có diện tích bằng 1. 33) Tìm tất cả các giá trị m để (C ) : y = 1 x3 - 1 ( m + 1) x2 - 2 ( m + 1) x + 1 có hai điểm cực m 3 2 trị có hoành độ lớn hơn 1. 34) Tìm hai điểm A, B thuộc đồ thị (C ) : y = x3 - 3x + 2 sao cho tiếp tuyến tại A và B có cùng hệ số góc và đường thẳng AB vuông góc với đường thẳng x + y + 2011 = 0 . (C ) y = x3 - 6 x2 + 9x + m 35) Giả sử cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt x < x < x . m 1 2 3 Chứng minh rằng: 0 < x1 < 1 < x2 < 3 < x3 < 4 . 36) Chứng minh rằng với mọi m , ) : y = x3 + 3 ( m + 1) x2 + 3 (m2 + 1) x + m3 + 1 cắt trục (C m hoành tại duy nhất một điểm. 37) Gọi d là đường thẳng đi qua M ( 2; 0) và có hệ số góc k. Tìm k để d cắt