Giáo án Lớp 12 môn Đại số - Bất phương trình mũ

1 Bất phương trình mũ A. Một số ví dụ Ví dụ 1. Giải bất phương trình     11 25 2 5 2 xx x      .  1 Giải Ta có  1      11 25 2 5 2 xx x        11 2 xx x       11 0 2 xx x       2 4 1 0 2 x x x     . Ta có bảng xét dấu của 2 4 1 2 x x x    : x  2 3  2 2 3   2 4 1 2 x x x     0  ||  0  Suy ra tập nghiệm của bất phương trình  1 là  2 3; 2 2 3;         . Ví dụ 2. Giải bất phương trình 2 2 22 1 2 1 225 9 34 15x x x x x x       .  1 Giải Ta có  1  2 2 22 2 225 25 9 9 34 15x x x x x x       . Chia hai vế của bất phương trình nói trên cho 229 x x , ta được 2 22 225 525 9 34 9 3 x x x x                 2 22 225 525 34 9 0 9 3 x x x x                 . Đặt 225 3 x x t        , từ  222 1 1 1x x x     suy ra 50; 3 t     . Khi đó bất phương trình trên trở thành 225 34 9 0t t      9 25 1 t t     . Do đó bất phương trình  1 tương đường với 2 2 2 2 5 9 3 25 5 1 3 x x x x                2 2 2 2 2 0 x x x x         2 2 2 2 0 2 0 x x x x        2      ;1 3 1 3; 0; 2 x x                ;1 3 0;2 1 3;x          . Ví dụ 3. Giải bất phương trình  2 1 1xx x   .  1 Giải Ta thấy 2 2 1 31 0 2 4 x x x          x . Do đó  1  2 2 1 1 0 1 1 0 x x x x x x             1 x x      1x   . Ví dụ 4. Giải bất phương trình 12 2 1 0 2 1 x x x      .  1 Giải Nhân hai vế của bất phương trình  1 với 2 0x  , ta được bất phương trình tương đương:  22 2 2 0 2 1 x x x       22 2 2 0 2 1 x x x        2 1 2 2 0 2 1 x x x      2 2 0 2 1 x x     2 2 2 1 x x      1 0 x x    . Ví dụ 5. Tìm a để bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi x   24 1 2 1 0x xa a a      .  1 Giải Đặt 2xt  , suy ra 0t  và bất phương trình  1 trở thành  2 4 1 1 0a t a t a        2 4 1 4 1a t t t     2 4 1 4 1 ta t t     .  2 Xét hàm   2 4 1 4 1 tf t t t     ( 0t  ). Ta có     2 22 4 2' 0 4 1 t tf t t t       0t  . 0 1 _ 0_ f t( ) f ' t( ) +∞∞t 3  1 nghiệm đúng với mọi x   2 nghiệm đúng với mọi 0t   đường thẳng y a nằm hoàn toàn phía trên đồ thị hàm số  y f t ( 0t  )  1a  . Ví dụ 6. Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm 4 2 3 0x xm m    .  1 Giải Đặt 2xt  , suy ra 0t  và bất phương trình  1 trở thành 2 3 0t mt m    .  2 Để  1 có nghiệm thì trước hết  2 phải có nghiệm. Muốn như vậy thì tam thức bậc hai   2 3f t t mt m    phải có 0  , tức là  2 4 3 0m m    2 4 12 0m m    2 6 m m     .  3 Khi đó  2  2 24 12 4 12 2 2 m m m m m mt       .  1 có nghiệm   2 có nghiệm dương  2 4 12 0m m m     2 4 12m m m     2 2 0 0 4 12 m m m m m          0 3 m m     . Kết hợp với điều kiện  3 suy ra những giá trị cần tìm của m là    ; 3 6;    . B. Bài tập Bài 1. Giải các bất phương trình sau 1) 2 1 2 1 2 2 x x x    . ĐS:  2; . 2)     -1-1 15 2 5 2 xx x   . ĐS:    0;1 3;  . 3)     3 1 1 310 3 10 3 x x x x       . ĐS:    1;0 1;   . 4) 3 12 1 1 1 22 xx   . ĐS:  0; . 5) 1 2 1 29 9 9 4 4 4x x x x x x        . ĐS:  9 4 21 91;log . 6) 1 3 4 27.3 5 3 5x x x x      . ĐS:  5 3 ; log 2   . 7) 22.3 2 1 3 2 x x x x    . ĐS:  3 2 0; log 3 . 4 Bài 2. Giải các bất phương trình sau 1) 9 2.3 3x x  . ĐS:  ;1 . 2)     2 1 11 1 3 3 3 12 x x  . ĐS:  1;0 . 3) 1 1 02 2 2 1 x x x      . ĐS:    ;0 1;   . 4) 2 2 21 2 1 2 225 9 34.15x x x x x x      . ĐS:    ;1 3 0; 2 1 3;        . 5)      9 3 11 2 2 5 2 6 2 3 2 1x x x      . ĐS:  ;0 . 6)     2 2 22 - 2 - 1 2 -3 5 3 5 2 0 x x x x x x     . ĐS:  0; 2 . 7) 29 3 3 9x x x   . ĐS:  1; . Bài 3. Giải các bất phương trình sau 1) 2 21 1 12 2 2 2x x x x      . ĐS:  1; 2 . 2) 2 4 43 8.3 9.9 0x x x x     . ĐS:  5; . 3) 4 418.3 9 9x x x x   . ĐS:  0;4 . 4) 2 3 6 3 52 15.2 2x x x x      . ĐS:  2;  . Bài 4. Giải các bất phương trình sau 1) 2.2 3.3 6 1x x x   . ĐS:  ;2 . 2) 4 2 43 2 13x x   . ĐS:  0; . 3)   2 2sin cos2 2 2 sin cosx x x x   . ĐS: 2 4 k  , k  .