Giáo án lớp 12 môn Đại số - Biến đổi trực tiếp về phương trình cơ bản

I. BIẾN ĐỔI TRỰC TIẾP VỀ PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN Thí dụ 1. 3 3 22(sin cos3 cos sin3 ) 3sin 2 .x x x x x+ = ( , 2 x k π= , 6 2 x mπ π= + , ).k m∈ Thí dụ 2. 2 2 4 42 3sin cos cos sin . 3 6 4 x x x xπ π   + + − = − +        ( , 6 x kπ π= ± + ).k ∈ Lưu ý: Nếu trong phương trình có các số hạng bậc hai dạng 2sin ( );u α+ 2cos ( )u β+ ta thường làm như sau: - Sử dụng công thức hạ bậc để đưa các số hạng bậc hai về bậc nhất của cos góc nhân đôi. - Sử dụng công thức biến tổng thành tích để rút gọn và quy về phương trình cơ bản hoặc đơn giản hơn. Công thức: 4 4 2 2cos sin cos sin cos2 .x x x x x− = − = Thí dụ 3. 2(cos2 sin3 ) 5(cos3 sin 2 ) 0.x x x x+ + − = ( 2 , 2 x kπ π= − + 2 3 2 , 5 10 5 x mα π π= − + + , ).k m∈ 2(cos , 29 α = 5sin ). 29 α = Lưu ý: Giải PT (sin cos ) (sin cos ) 0a u v b v u+ + + = bằng cách đặt 2 2 cos ;a a b α= + 2 2 sin ;b a b α= + 2 2 0,a b+ ≠ đưa về dạng sin( ) cos( ) 0.u vα α+ + − = (A-2002) Tìm nghiệm thuộc khoảng (0;2 )π của phương trình cos3 sin35 sin cos2 3. 1 2sin 2 x xx x x + + = + +  1 2 5( , ) 3 3 x xπ π= = . (A-2003) 2cos2 1cot 1 sin sin 2 . 1 tan 2 xx x x x − = + − + ( , 4 x kπ π= + ).k ∈ (A-2009) (1 2sin )cos 3. (1 2sin )(1 sin ) x x x x − = + − 2( , 18 3 x kπ π= − + ).k ∈ (B-2003) 2cot tan 4sin 2 . sin 2 x x x x − + = ( , 3 x kπ π= ± + ).k ∈ (B-2004) 25sin 2 3(1 sin ) tan .x x x− = − ( 2 , 6 x kπ π= + 5 2 , 6 x mπ π= + , ).k m∈ (B-2006) cot sin 1 tan tan 4. 2 xx x x + + =    ( , 12 x kπ π= + 5 , 12 x mπ π= + , ).k m∈ (B-2009) 3sin cos sin 2 3 cos3 2(cos4 sin ).x x x x x x+ + = + ( 2 , 6 x kπ π= − + 2 , 42 7 x mπ π= + , ).k m∈ (D-2002) Tìm x thuộc đoạn [ ]0;14 nghiệm đúng của phương trình: cos3 4cos2 3cos 4 0.x x x− + − = ( , 2 x π= 3 , 2 x π= 5 , 2 x π= 7 ). 2 x π= (D-2005) 4 4 3cos sin cos sin 3 0. 4 4 2 x x x xπ π   + + − − − =        ( , 4 x kπ π= + ).k ∈ (D-2007) 2 sin cos 3 cos 2. 2 2 x x x + + =    ( 2 , 2 x kπ π= + 2 , 6 x mπ π= − + , ).k m∈ (D-2009) 3 cos5 2sin3 cos2 sin 0.x x x x− − = ( , 18 3 x kπ π= + , 6 2 x mπ π= − + , ).k m∈ (D-2010) sin 2 cos2 3sin cos 1 0.x x x x− + − − = ( 2 , 6 x kπ π= + 5 2 , 6 x mπ π= + , ).k m∈ II. ĐẶT ẨN PHỤ ĐỂ ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI, BẬC BA Thí dụ 4. Chứng minh rằng nếu cả ba góc của tam giác ABC cùng là nghiệm của phương trình sau thì ABC là tam giác đều: tan 2sin 2 2 3.x x+ = Lưu ý: Nếu trong phương trình có tan (2 ) 0a u bf u c+ + = trong đó f là một trong các hàm số sin, cos, tan, cot, thì đặt tant u= và biến đổi phương trình theo công thức 2 2sin 2 ; 1 tu t = + 2 2 1cos2 ; 1 tu t − = + 2 2tan 2 1 tu t = − về phương trình bậc 2 hoặc 3 đối với .t Thí dụ 5. 3 3 31 sin cos sin 2 . 2 x x x+ + = ( 2 , 2 x kπ π= − + 2 ,x mπ π= + , ).k m∈ Lưu ý: Nếu đặt sin cost x x= + thì 2sin 2 1;x t= − 2 1sin .cos . 2 tx x −= Nếu đặt sin cost x x= − thì 2sin 2 1 ;x t= − 21sin .cos . 2 tx x −= Trong cả 2 trường hợp, NHẤT THIẾT phải đặt và thử lại điều kiện 2.t ≤ Thí dụ 6. 3sin .sin 2 sin3 6cos .x x x x+ = ( arctan 2 ,x kπ= + , 3 x mπ π= ± + , ).k m∈ Lưu ý: Nếu trong PT chỉ có các số hạng bậc nhất và bậc ba đối với sin x và cos ,x ta có thể chia hai vế của phương trình cho 3cos x hoặc 3sin x để đưa PT đã cho về PT bậc ba của tan x hoặc cot .x III. BIẾN ĐỔI VỀ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH Thí dụ 7. Giải phương trình: sin sin 2 1. sin3 x x x + = − ( , 2 x kπ π= + ).k ∈ Lưu ý: Công thức sin3 sin (2cos 1)(2cos 1) 4sin sin sin . 3 3 x x x x x x xπ π   = + − = + −        cos3 cos (1 2sin )(1 2sin ) 4cos cos cos . 3 3 x x x x x x xπ π   = − + = + −        Thí dụ 8. 2 sin 2 cos 3sin 2 0. 4 x x xπ − + + + =    ( 2 , 6 x kπ π= − + 7 2 , 6 x mπ π= + 2 , 2 nπ π− + 2 ,pπ π+ , , , ).k m n p∈ Lưu ý: Nếu trong phương trình có số hạng dạng: 2sin sin ;a x b x c+ + 2cos cosa x b x c+ + thì lưu ý cách phân tích thành tích: 2 1 2( )( ).at bt c a t t t t+ + = − − Thí dụ 9. 2sin 3cos 2 tan 3cot 5 0.x x x x+ + + + = 1( arccos 1 2 , 4 2 x kπ π = ± − +    3arctan , 2 x mπ= − + , ).k m∈ Lưu ý: Các hệ thức hay dùng: (sin tan 1) (cos cot 1) (sin cos sin cos ) ; cos sin a ba x x b x x x x x x x x  + + + + + = + + +    (tan sin 1) (cot cos 1) (sin cos sin cos ) . cos sin a ba x x b x x x x x x x x  − + + − + = + − +    (A-2005) 2 2cos 3 cos2 cos 0.x x x− = ( , 2 x k π= ).k ∈ (A-2006) 6 62(cos sin ) sin cos 0. 2 2sin x x x x x + − = − 5( 2 , 4 x kπ π= + ).k ∈ (A-2007) 2 2(1 sin )cos (1 cos )sin 1 sin 2 .x x x x x+ + + = + ( , 4 x kπ π= − + 2 , 2 x mπ π= + 2 ,x p π= , , ).k m p∈ (A-2008) 1 1 74sin . 3sin 4sin 2 x x x π π  + = −    −    ( , 4 x kπ π= − + , 8 x mπ π= − + 5 , 8 x pπ π= + , , ).k m p∈ (A-2010) (1 sin cos2 )sin 14 cos . 1 tan 2 x x x x x π + + +    = + ( 2 , 6 x kπ π= − + 7 2 , 6 x mπ π= + , ).k m∈ (A-2011) 2 1 sin 2 cos2 2 sin sin 2 . 1 cot x x x x x + + = + ( , 2 x kπ π= + 2 , 4 x mπ π= + , ).k m∈ (B-2002) 2 2 2 2sin 3 cos 4 sin 5 cos 6 .x x x x− = − ( , 9 kx π= , 2 mx π= , ).k m∈ (B-2005) 1 sin cos sin 2 cos2 0.x x x x+ + + + = ( , 4 x kπ π= − + 2 2 , 3 x mπ π= ± + , ).k m∈ (B-2007) 22sin 2 sin 7 1 sin .x x x+ − = ( , 8 4 x kπ π= + 5 2 , 18 3 x mπ π= + , ).k m∈ (B-2008) 3 3 2 2sin 3 cos sin cos 3sin cos .x x x x x x− = − ( , 4 2 kx π π= + , 3 x mπ π= − + , ).k m∈ (B-2010) (sin 2 cos2 )cos 2cos2 sin 0.x x x x x+ + − = ( , 4 2 x kπ π= + ).k ∈ (B-2011) sin 2 cos sin cos cos2 sin cos .x x x x x x x+ = + + ( 2 , 2 x kπ π= + 2 , 3 3 x mπ π= + , ).k m∈ (D-2003) 2 2 2sin tan cos 0. 2 4 2 x xxπ − − =    ( 2 , 2 x kπ π= + , 4 x mπ π= − + , ).k m∈ (D-2004) (2cos 1)(2sin cos ) sin 2 sin .x x x x x− + = − ( 2 , 3 x kπ π= ± + , 4 x mπ π= − + , ).k m∈ (D-2006) cos3 cos2 cos 1 0.x x x+ − − = ( ,x kπ= 2 2 , 3 x mπ π= ± + , ).k m∈ (D-2008) 2sin (1 cos2 ) sin 2 1 2cos .x x x x+ + = + 2( 2 , 3 x kπ π= ± + , 4 x mπ π= + , ).k m∈ (D-2011) sin 2 2cos sin 1 0. tan 3 x x x x + − − = + ( 2 , 3 x kπ π= + ).k ∈ IV. ĐÁNH GIÁ HAI VẾ CỦA PHƯƠNG TRÌNH Thí dụ 10. 2(cos4 cos2 ) 5 sin3 .x x x− = + ( 2 , 2 x kπ π= + ).k ∈ Lưu ý: Các BĐT thường dùng để ước lượng: sin 1;x ≤ cos 1;x ≤ 2 2sin cos .a x b x a b+ ≤ + Nếu ,m n là các số tự nhiên lớn hơn 2 thì 2 2sin cos sin cos 1.m nx x x x± ≤ + = (A-2004) Cho ∆ ABC không tù, thỏa mãn điều kiện cos2 2 2 cos 2 2 cos 3.A B C+ + = ( 90 , 45 )A B C= = =  .