Giáo án Lớp 12 môn Đại số - Các bài toán liên quan đến khảo sát hàm số

CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ DẠNG 1. BIỆN LUẬN SỐ GIAO ĐIỂM CỦA HAI ĐỒ THỊ HÀM SỐ: y = f(x) và y = g(x) PHƯƠNG PHÁP: Xét phương trình hoành độ giao điểm: f(x) = g(x) (*) Số giao điểm của 2 đồ thị chính bằng số nghiệm của phương trình (*) BÀI 1. Tìm tọa độ giao điểm (nếu có) của hai đồ thị hàm số sau. 1. và ĐS: A(0; 1) và B(1; 2) 2. và BÀI 2. Tìm m để đồ thị hàm số cắt đường thẳng y = 1 – 2x tại ba điểm phân biệt. ĐS: BÀI 3*. Cho hàm số (Ca) với a là tham số 1. Tìm a để các điểm CĐ, CT của đồ thị (Ca) đối xứng nhau qua đường thẳng y = x ĐS: a = 2. Tìm a để đường thẳng y = x cắt đồ thị (Ca) tại ba điểm phân biệt A, B, C sao cho AB = BC ĐS: a= 0; a = BÀI 4. Biện luận theo m số giao điểm của đồ thị hàm số và đường thẳng y =mx KL: nếu m = 1 hoặc m = -16/3 thì có 1 giao điểm Nếu m 1 và m -16/3 thì có 2 giao điểm pb BÀI 5. Cho hàm số có đồ thị là (C). 1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số 2. Xác định m để đồ thị (C) cắt đường thẳng y = m tại hai điểm phân biệt A, B sao cho AB = ĐS: m = -3 hoặc m = 5 BÀI 6. Cho hàm số có đồ thị là (C). 1. Xác định k để đồ thị (C) cắt đường thẳng y = k tại hai điểm phân biệt với hoành độ dương. ĐS: k > 8 2. Xác định k để đồ thị (C) cắt đường thẳng y = kx + 10 – 5k tại hai điểm phân biệt nhận I(5; 10) làm trung điểm. ĐS: BÀI 7. Cho hàm số có đồ thị là (C). 1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) 2. Xác định m để đường thẳng y = -x + m cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho AB ngắn nhất ĐS: m = 0 DẠNG 2. BIỆN LUẬN THEO m SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH: f(x) = m (*) PHƯƠNG PHÁP: Số nghiệm của phương trình (*) bằng số giao điểm của đồ thị hàm số y = f(x) và đường thẳng y = m. Vẽ đồ thị hàm số y = f(x) và biện luận số giao điểm với đường thẳng y = m BÀI 1. Cho hàm số có đồ thị là (C). 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) 2. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình ĐS: m>2 hoặc m<-2: pt có 1 n0 m=2 hoặc m=-2: pt có 2 n0. -2<m<2: pt có 3 n0 phân biệt 3. Biện luận theo a số nghiệm của phương trình ĐS: a>4 hoặc a<-4: pt có 1 n0 a=4 hoặc a=-4: pt có 2 n0. -4<a<4: pt có 3 n0 phân biệt 4. Biện luận theo k số nghiệm của phương trình DẠNG 3. VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI PHƯƠNG PHÁP: Giả sử cho hàm số y = f(x) có đồ thị là (C). 1. Từ đồ thị (C) suy ra đồ thị hàm số như sau: + Giữ nguyên phần đồ thị (C) nằm trên trục Ox + Lấy đối xứng phần đồ thị (C) nằm dưới trục Ox, qua trục Ox + Bỏ phần đồ thị (C) nằm dưới trục Ox (Đồ thị hàm số luôn nằm trên trục hoành ) 2. Từ đồ thị (C) suy ra đồ thị hàm số như sau: + Giữ nguyên phần đồ thị (C) nằm bên phải trục Oy (bỏ phần đ/t nằm bên trái Oy) + Lấy đối xứng phần đồ thị (C) nằm bên phải trục Oy, qua trục Oy (Đồ thị hàm số chẵn luôn nhận trục Oy làm trục đối xứng ) 3. Từ đồ thị (C) suy ra đồ thị hàm số như sau: + Giữ nguyên phần đồ thị (C) nằm phía trên trục Ox (bỏ phần nằm dưới trục Ox) + Lấy đối xứng phần đồ thị (C) nằm phía trên trục Ox, qua trục Ox (Đồ thị hàm số luôn nhận trục Ox làm trục đối xứng vì M(x0; y0) và M’(x0; y0) cùng thuộc đồ thị h/s ) 4. Từ đồ thị hàm số y = f(x) = u(x).v(x) suy ra đồ thị hàm số y = như sau: Ta viết: + Giữ nguyên phần đồ thị (C) (ứng với x thỏa mãn u(x) 0) + Lấy đối xứng qua trục Ox, phần đồ thị (C) (ứng với x thỏa mãn u(x) <0) BÀI 1. Cho hàm số có đồ thị là (C). 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) 2. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình: ĐS: m2: có 2 n0 3. Biện luận theo a số nghiệm của phương trình: BÀI 2. Cho hàm số có đồ thị là (C). 1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số 2. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình: 3. Biện luận theo a số nghiệm của phương trình: 4. Biện luận theo k số nghiệm của phương trình: 5. Biện luận theo t số nghiệm của phương trình: BÀI 3. Cho hàm số có đồ thị là (C). 1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số 2. Tìm k để đường thẳng y = kx – 1 cắt (C) tại hai điểm phân biệt với hoành độ dương 3. Tìm m để phương trình: có đúng 3 nghiệm phân biệt BÀI 4. Cho hàm số có đồ thị là (C). 1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số 2. Biện luận theo k số nghiệm của phương trình: 3. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình: BÀI 5. [ĐH.2006.A] Cho hàm số có đồ thị là (C). 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) 2. Tìm m để phương trình: có 6 nghiệm phân biệt. ĐS:4<m<5 BÀI 6. Cho hàm số có đồ thị là (C). 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) 2. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình: BÀI 7. Cho hàm số có đồ thị là (C). 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) 2. Biện luận theo a số nghiệm của phương trình: BÀI 8. Cho hàm số có đồ thị là (C). 1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số 2. Biện luận theo k số nghiệm của phương trình: 3. Tìm tất cả các giá trị của m để trên đồ thị (C) có hai điểm A(xA; yA) , B(xB; yB) khác nhau thỏa mãn điều kiện: BÀI 9. Cho hàm số 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số. 2. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình: ĐS: m2: có 4 n0. m=-5/2: có 3 n0. -2<m<2: vô n0. DẠNG 4. LẬP PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ: y = f(x) PHƯƠNG PHÁP: Áp dụng công thức phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm M(x0; y0) ta có: hay Trong đó: M(x0; y0) là tiếp điểm; y0 = f(x0) ; k = f’(x0) là hệ số góc của tiếp tuyến 1. Nếu cho hoành độ x0 thì tính y0 = f(x0) và hệ số góc k = f’(x0) 2. Nếu cho tung độ y0 thì giải pt: f(x) = y0 suy ra hoành độ x = x0 từ đó tính k = f’(x0) 3. Nếu cho hệ số góc k = k0 thì có 2 cách: Cách 1. Giải pt: f’(x) = k0 x = x0 y0 = f(x0) Cách 2. Pt tiếp tuyến có dạng: y = k0x + m () (cần tìm m) () tiếp xúc với (C) hệ pt sau có nghiệm: x ? m ? 4. Nếu cho một điểm N(a; b) thuộc tiếp tuyến thì Cách 1. Gọi tiếp điểm . Ta có và PT tiếp tuyến Cách 2. Đường thẳng đi qua N(a; b) với hệ số góc k có phương tình dạng: tiếp xúc với (C) hệ pt sau có nghiệm: x? k? BÀI 1. Cho hàm số có đồ thị là (C) 1. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ bằng -1. 2. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại các giao điểm của (C) với trục hoành 3. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có tung độ bằng - 8 BÀI 2. Cho hàm số có đồ thị là (C) 1. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết hệ số góc bằng -1 2. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết nó vuông góc với đường thẳng y= BÀI 3. Cho hàm số có đồ thị là (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết nó đi qua điểm N(1; -2)? ĐS: y = 2x; y = 2x -4 BÀI 4. Cho hàm số có đồ thị là (C) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) kẻ từ điểm A() ĐS: y = -2; y= 9x-25 y= BÀI 5. Cho hàm số có đồ thị là (C). 1. Viết phương trình các tiếp tuyến của (C) vuông góc với tiệm cận xiên ĐS: và 2. Chứng minh rằng mọi tiếp tuyến của (C) đều không đi qua điểm I(-2; -3) BÀI 6. Cho hàm số có đồ thị là (C). 1. Viết phương trình các tiếp tuyến của (C) song song với đường thẳng y = 3x + 2008. ĐS: và 2. Tìm các điểm trên đồ thị (C) mà tiếp tuyến tại đó vuông góc với tiệm cận xiên. BÀI 7. [HVBCVT. 2000] Cho hàm số (*) 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm sô (*) 2. Tìm các điểm thuộc đồ thị (C) mà qua đó kẻ được một tiếp tuyến với đồ thị hàm số (*) ĐS: A(1; 0) BÀI 8. [ĐHGTVT.00] Cho hàm số có đồ thị là (Ca). 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm sô khi a = 2 2. Xác định a để đường tiệm cận xiên của đồ thị (Ca) tiếp xúc với parabol y = x2 + 5. ĐS: a = -3 BÀI 9. [ĐHKT.00] Cho hàm số với k là tham số 1. Xác định k để đồ thị của hàm số chỉ có một điểm cực trị ĐS: 2. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm sô khi k = . Gọi đồ thị khi đó là (C) 3. Viết phương trình các tiếp tuyến của (C) kẻ từ điểm O. ĐS: y=0; BÀI 10. Cho hàm số có đồ thị là (C). 1. Tìm phương trình đường cong đối xứng với đường cong (C) qua đường thẳng y = 2. ĐS: 2. Tìm phương trình đường cong đối xứng với đường cong (C) qua điểm I(1; -2) BÀI 11. Cho hàm số có đồ thị là (C) 1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số 2. Tìm trên đường thẳng y = 2 những điểm mà từ đó có thể kẻ được 3 tiếp tuyến đến đồ thị (C). BÀI 12. [ĐHVinh.00] Cho hàm số có đồ thị (Cm). 1. CMR: với mọi m đồ thị (Cm) luôn có 3 điểm cố định thẳng hàng ĐS: A0(-1;1), A1,2() 2. Với giá trị nào của m thì trên (Cm) có tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng đi qua 3 điểm cố định ĐS: m 0 BÀI 13. Cho hàm số có đồ thị (Cm). 1. Tìm điểm cố định của họ đồ thị (Cm) ĐS: A1,2(1;0) 2. Gọi A là điểm cố định với hoành độ dương của (Cm). Hãy tìm các giá trị của m để tiếp tuyến với đồ thị tại A song song với đường thẳng y = 2x. ĐS: m =1 BÀI 14. Cho hàm số có đồ thị (Cm). 1. Với giá trị nào của m thì hàm số đạt cực tiểu tại x=2 ĐS: m=1 2. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 1 3. Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến đi qua A(0; 6) ĐS: y = 9x + 6 BÀI 15. Cho hàm số có đồ thị (Cm). 1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 3 2. Chứng minh với mọi m đồ thị (Cm) luôn cắt đồ thị hàm số y = x3 +2x2 +7 tại hai điểm phân biệt A, B. Tìm quỹ tích trung điểm I của đoạn AB. Quỹ tích: 3. Xác định m để (Cm) cắt đường thẳng y = 1 tại ba điểm phân biệt C(0; 1) D và E sao cho các tiếp tuyến tại D và E vuông góc với nhau. ĐS: BÀI 16. Cho hàm số có đồ thị là (Cm) (m là tham số khác 0) 1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 1 2. Tìm m để (Cm) cắt Ox tại hai điểm phân biệt A, B sao cho tiếp tuyến với đồ thị tại A, B vuông góc với nhau 3. Tìm m để tam giác tạo bởi một tiếp tuyến bất kỳ của (Cm) và hai đường tiệm cận có diện tích nhỏ hơn 2 (đvdt) BÀI 17. Cho hàm số có đồ thị là (C) 1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) 2. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) song song với đường thẳng d:5x - 9y –4 = 0 3. Tìm những điểm M trên Oy để từ đó vẽ được 2 tiếp tuyến đến hai nhánh của (C) BÀI 18. Cho hàm số có đồ thị là (C) 1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) 2. Biện luận theo a số nghiệm của phương trình: -----------------------------------------------o0o------------------------------------------------