Giáo án lớp 12 môn Đại số - Các Chuyên đề giải toán luyện thi đại học

Le Van Thao gui dang tren CHƯƠNG I MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ HÀM SỐ 1.1. Tính đơn điệu của hàm số A. Lý Thuyết: Hàm số đơn điệu: - Cho hàm số f xác định trên khoảng K, trong đó K là một khoảng , đoạn hoặc nửa khoảng. * f đồng biến trên K nếu với mọi * f nghịch biến trên K nếu với mọi - Điều kiện cần để hàm số đơn điệu: Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng I. Khi đó : * Nếu hàm số f đồng biến trên khoảng I thì * Nếu hàm số f nghịch biến trên khoảng I thì - Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu: Định lý 1: Định lý về giá trị trung bình của phép vi phân ( Định lý Lagrange) Nếu hàm số f liên tục trên đoạn [a,b] và có đạo hàm trên khoảng (a,b) thì tồn tại ít nhất một điểm sao cho f(b)-f(a)=f'( c) ( b-a) Định lý 2: 1) Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng I * Nếu và chỉ tại một số hữu hạn điểm của I thì hàm số đồng biến trên I. * Nếu và chỉ tại một số hữu hạn điểm của I thì hàm số nghịch biến trên I. * Nếu thì hàm số f không đổi trên I 2) Giả sử hàm số f liên tục trên nửa khoảng [a,b) và có đạo hàm trên khoảng (a,b). * Nếu với mọi thì hàm số f đồng biến ( hoặc nghịch biến ) trên nửa khoảng [a,b) * Nếu với mọi thì hàm số f không đổi trên nửa khoảng [a,b) B. Bài Tập : Bài tập1: Chứng minh rằng với mọi phương trình có một nghiệm duy nhất thuộc đoạn Bài giải: Xét hàm số liên tục trên đoạn Ta có Vì sinx > 0 nên Hàm số đồng biến trên đoạn và nghịch biến trên đoạn * Hàm số f liên tục trên đoạn, ta có , nên phương trình cho không có nghiệm * Hàm số f liên tục trên đoạn ta có . Theo định lý về giá trị trung gian của hàm số liên tục ( lớp 11) , với mọi , tồn tại một số thực sao cho f( c) = 0 , vậy c là nghiệm phương trình , đồng thời hàm số f nghịch biến trên đoạn nên phương trình có nghiệm duy nhất Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất thuộc Bài tập 2: Tìm m để hàm số sau đồng biến trên R Bài giải: Để hàm số đồng biến trên R thì * !/ m = -2 thì không thỏa !!/ m = 0 thì đúng . Vậy m = 0 thỏa *, khi đó để thì Vậy hàm số đổng biến trên R Bài tập 3: Cho hàm số : . Tìm m để hàm số nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 5 Bài giải : * Tập xác định : D = R * * , khi đó phương trình y ' = 0 có hai nghiệm phân biệt Để hàm số luôn nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 5 thì thỏa mãn m = hehe!!! Bài tập 4:Với giá trị nào của m thì hàm số luôn luôn đồng biến? Bài giải: * Tập xác định D = R * y’ = (2m + 3)cosx + (2 - m) = (2m + 3)t + (2 - m) = f(t) ; với * Để hàm số đồng biến trên D thì Bài tập 5:Cho hàm số . Tìm m để hàm số đồng biến trong khoảng D = Bài giải: Để hàm số đồng biến trong khoảng PP1: (**) Ta có:, do đó PP2: * m = 0 khi đó .Vậy m = 0 ( loại ) * !/ Hàm số đồng biến trên R khi Do đó với thì hàm số cũng đồng biến trong khoảng !!/ Giả sử thì pt y'=0 có hai nghiệm phân biệt Hàm số đồng biến trong khoảng khi ta có hệ: Kết hợp các trường hợp được giá trị m cần tìm Bài tập 1 1/Định m để hàm số luôn luôn nghịch biến ?. 2/Định m để hàm số luôn luôn đồng biến ?. 3/ Định m để hàm số luôn luôn giảm 4/ Cho hàm số . Tìm m để 5/ Định m để hàm số đồng biến trong khoảng 6/ Định m để hàm số nghịch biến trong khoảng Bài tập 2 1/Chứng minh rằng phương trình có 1 nghiệm duy nhất. 2/Cho hàm số có đồ thị là ( Cm); m là tham số. a. Tìm m để hàm số đồng biến trên R. b. Tìm m để hàm số nghịch biến trên một đoạn có độ dài bằng 4. c. Tìm m để hàm số đồng biến trên một đoạn có độ dài bằng 1. 1.2. Sử dụng tính chất đơn điệu giải phương trình chứa căn Phương trình vô tỉ là mảng kiến thức thường gặp trong các đề thi đại học , cách giải của phương trình vô tỉ rất đa dạng và sau đây tôi xin giới thiệu phương pháp nhỏ sử dụng tính đơn điệu. I)Dạng I: Giả sử Vậy phương trình đã cho tương đương với Ví dụ 1) Giải phương trình : Điều kiện Giả sử Vậy II)Dạng II trong đó Ví dụ II)Giải phương trình: Điều kiện: Phương trình đã cho tương đương với: Giả sử: suy ra Vậy phương trình có nghiệm là x=1. Sau đây là một số bài tập áp dụng: Giải phương trình: Bài 1) Bài 2) Bài 3) Bài 4) Bài 5) 1.3. Phương pháp hàm số trong giải PT-BPT-HPT 1.3.1. Sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải PT-BPT-HPT Định lí 1: Nếu hàm số y = f(x) luôn đb (hoặc luôn ngb) và liên tục trên D  thì số nghiệm của pt trên D: f(x) = k không nhiều hơn một và f(x) = f(y) khi và chỉ khi x = y với mọi x,y thuộc D. Chứng minh: Giả sử phương trình f(x) = k có nghiệm x = a, tức là f(a) = k. Do f đồng biến nên * x > a suy ra f(x) > f(a) = k nên pt f(x) = k vô nghiệm * x < a suy ra f(x) < f(a) = k nên pt f(x) = k vô nghiệm Vậy pt f(x) = k có nhiều nhất là một nghiệm. Chú ý: * Từ định lí trên, ta có thể áp dụng vào giải phương trình như sau: Bài toán yêu cầu giải pt: F(x)=0. Ta thực hiện các phép biến đổi tương đương đưa phương trình về dạng f(x)=k hoặc f(u)=f(v) ( trong đó u=u(x), v=v(x)) và ta chứng minh được f(x) là hàm luôn đồng biến (nghịch biến) Nếu là pt: f(x)=k thì ta tìm một nghiệm, rồi chứng minh đó là nghiệm duy nhất. Nếu là pt: f(u)=f(v) ta có ngay u=v giải phương trình này ta tìm được nghiệm. * Ta cũng có thể áp dụng định lí trên cho bài toán chứng minh phương trình có duy nhất nghiệm. Định lí 2: Nếu hàm số y=f(x) luôn đb (hoặc luôn ngb) và hàm số y=g(x) luôn ngb (hoặc luôn đb)và liên tục trên D  thì số nghiệm trên D của pt: f(x)=g(x) không nhiều hơn một. Chứng minh: Giả sử x=a là một nghiệm của pt: f(x)=g(x), tức là f(a)=g(a).Ta giả sử f đồng biến còn g nghịch biến. *Nếu x>a suy ra f(x)>f(a)=g(a)>g(x) dẫn đến pt f(x)=g(x) vô nghiệm khi x>a. *Nếu x<a suy ra f(x)<f(a)=g(a)<g(x) dẫn đến pt f(x)=g(x) vô nghiệm khi x<a. Vậy pt f(x)=g(x) có nhiều nhất một nghiệm. Chú ý: Khi gặp pt F(x) = 0 và ta có thể biến đổi về dạng f(x) = g(x), trong đó f và g khác tính đơn điệu. Khi đó ta tìm một nghiệm của pt và chứng minh đó là nghiệm duy nhất. Định lí 3:Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm đến cấp n và pt  có m nghiệm, khi đó pt   có nhiều nhất là m+1 nghiệm. Định lí này là hệ quả của Định lí Roll. Định lí 4: Nếu hàm số y=f(x) luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch biến) và liên tục  trên D thì f(x) = f(y) ↔ x = y. Các ví dụ: Ví dụ 1: Giải các phương trình sau:  .  . . . Giải: 1) Với bài toán này  nếu giải theo cách bình thường như bình phương hay đặt ẩn phụ sẽ gặp nhiều khó khăn. Tuy nhiên, nếu tinh ý một chút các bạn sẽ thấy ngay VT là một hàm đồng biến và x=1 là một nghiệm của phương trình nên theo định lí 1 ta có được x=1 là nghiệm duy nhất. Vậy ta có cách giải như sau. ĐK: Xét hàm số  , ta có f(x) là hàm liên tục trên D và nên hàm số f(x) luôn đồng biến. Mặt khác, ta thấy f(1)=4 *Nếu x>1 suy ra f(x)>f(1)=4 nên pt vô nghiệm *Nếu x<1 suy ra f(x)<f(1)=4 nên pt vô nghiệm Vậy x=1 là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho. Chú ý: * vì các hàm số y=ax+b với a>0  là một hàm đồng biến và nếu f(x) là hàm đồng biến thì hàm ( với điều kiện căn thức tồn tại) cũng là một hàm đồng biến nên ta dẽ dàng nhận ra VT của pt là hàm đồng biến. * Khi dự đoán nghiệm thì ta ưu tiên những giá trị của x sao cho các biểu thức dưới dấu căn nhận giá trị là số chính phương. 2) Với bài toán này cũng vậy nếu dùng phép biến đổi tương đương hay đặt ẩn phụ sẽ gặp khó khăn và theo chú ý trên ta cũng dễ dàng nhận thấy VT của pt là một hàm đồng biến và pt có nghiệm x=1. Do đó pt này có nghiệm duy nhất x=1 ( Các giải tương tự như bài 1) 3) Với đường lối như hai bài trên thì ta khó khăn để giải quyết được bài toán này. Tuy nhiên nếu nhìn kỹ thì ta thấy các biểu thức dưới dấu căn ở hai vế có chung một mối liên hệ là x+2=(x+1)+1 và 2x2+1=(2x2)+1, do vậy nếu đặt thì phương trình đã cho trở thành: , trong đó là một hàm liên tục và có nên f(t) luôn đồng biến. Do đó Vậy phương trình có nghiệm x=1, x=-1/2. 4) Nhận xét các biểu thức tham gia trong phương trình ta thấy: , do vậy nếu đặt , khi đó phương trình trở thành: , trong đó với t>0 . Ta thấy f(t) là hàm liên tục và đồng biến, do vậy . Có nhiều phương trình để giải nó ta dự đoán được một số nghiệm và sau đó ta chứng minh ( dựa vào định lí 3) số nghiệm của phương trình không vượt quá số nghiệm ta vừa dự đoán. Ta xét ví dụ sau Ví dụ 2: Giải các phương trình sau: . . Giải: 1) Ta thấy pt có hai nghiệm x=0 và x=1. Ta chứng minh phương trình đã cho có không quá hai nghiệm. Để có điều này ta cần chứng minh hàm số có g''(x)>0 (vì khi đó theo đ/l 3 suy ra g'(x) có nhiều nhất một nghiệm dẫn đến g(x) có nhiều nhất hai nghiệm), điều này luôn đúng vì Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x=0 và x=1. 2) Đk: x>-1/2. , trong đó là hàm liên tục và đồng biến. Do đó Xét hàm số , ta có: , suy ra pt g’(x)=0 có nhiều nhất 1 nghiệm dẫn đến pt g(x)=0 có nhiều nhất hai nghiệm, mà ta thấy x=0 và x=1 là hai nghiệm của pt g(x)=0 nên phương trình đã cho có hai nghiệm x=0 và x=1. Ví dụ 3: Chứng minh rằng phương trình sau luôn có nghiệm duy nhất . Giải: Để chứng minh phương trình f(x)=0 có nghiệm duy nhất trên D ta có thể tiến hành theo cách sau  * Chứng minh phương trình f(x)=0 luôn có nghiệm: Để chứng minh điều này, ta cần chứng chứng minh f(x) liên tục trên D và tồn tại hai số a,b sao cho f(a).f(b)<0  * Tiếp theo ta chứng minh f(x) là hàm luôn đồng biến hoặc luôn nghịch biến. Trở lại bài toán: Xét hàm số .Ta có f(x) là hàm liên tục trên R và f(0).f(2)<0, dẫn đến pt f(x)=0 luôn có nghiệm Giả sử là nghiệm của phương trình f(x)=0, khi đó . Từ đây ta suy ra được . Do vậy ta chỉ cần khảo sát f(x) với x>=1 Ta có nên f(x) là hàm đồng biến. Vậy phương trình đã cho luôn có nghiệm duy nhất. Chú ý: * Nếu chúng ta khảo sát ngay hàm f(x) thì chúng ta không thể có được f(x) là hàm đồng biến, do vậy ta cần hạn chế miền xác định của x. Điều này ta có được là nhờ vào bản thân của phương trình. * Để chứng minh phương trình f(x)=0 có nghiệm duy nhất trên D ta còn có cách khác đó  là khảo sát hàm f(x) trên D, lập bảng biên thiên và từ bảng biến thiên ta suy ra được đồ thị của hàm f(x) chỉ cắt Ox tại một điểm.    Qua các bài toán trên ta thấy việc ứng dụng tính đơn điệu vào giải một số dạng toán về  phương trình tỏ ra hiệu quả và cho lời giải ngắn gọn. Thông qua các ví dụ đó hi vong các em có thêm những kĩ năng giải phương trình và nhận dạng được những dạng phương trình nào có thể dùng đồng biến, nghịch biến . Bây giờ ta đi xét một số bài toán về Bất Phương trình. Ví dụ 4 : Giải các bất phương trình sau: . . Giải: 1) ĐK: . Xét hàm số Ta dễ dàng chứng minh được f(x) là hàm nghịch biến và f(1)=6. Do đó Kết hợp với điều kiện ta có nghiệm của Bpt là: . 2) ĐK: . Xét hàm số , ta có suy ra f(x) là hàm đồng biến Mặt khác: Do vậy Bpt Kết hợp điều kiện ta có nghiệm của Bpt là  Ví dụ 5: Giải hệ phương trình: Giải: Từ (2) ta suy ra được |x|,|y|<=1. , trong đó với |t|<=1, ta có f(t) là hàm nghịch biến và liên tục trên [-1;1] nên . Thay x=y vào (2) ta có được là ngiệm của hệ đã cho. Ví dụ 6: Giải hệ pt Giải: Từ pt(1) gợi cho ta sử dụng phương pháp hàm số Từ (2) và (3) ta có : (vì hàm số f(t)=sint-3t là hàm liên tục và nghịch biến trên .) Thay x=y vào (2) ta được nghiệm của hệ là: . Chú ý: *Qua hai ví dụ trên ta thấy cả hai cùng chung một phương pháp, là một phương trình của hệ có dạng f(x)=f(y), dẫn đến ta khảo sát tính đơn điệu của hàm số f(t) * Một chú ý khi sử dụng tính đơn điệu là chúng ta chỉ có được   khi f(t) liên tục và đơn điệu Ví dụ 7: Giải hệ phương trình Giải: Đặt t=2x-y. Khi đó (1) trở thành: (*) Ta thấy vế trái (*) là hàm nghịch biến, vế phải là hàm đồng biến và t=1 là một nghiệm của (*). Do vậy (*) có nghiệm duy nhất t=1 t=1 hay 2x=y+1, thay vào (2) ta được: (Vì hàm là hàm liên tục và đồng biến, đồng thời f(-1)=0). Vậy nghiệm của hệ là:(x;y)=(0;-1). Ví dụ 8: Giải hệ: Giải:  Xét hàm số Khi đó hệ có dạng : . ta có: nên f(t) là hàm đồng biến Ta giả sử (x,y,z) là no của hệ và x=Max{x,y,z} khi đó, ta suy ra Vậy , thay vào hệ ta được phương trình: . Ta dễ dàng chứng minh được phương trình này có nghiệm duy nhất x=1 Vậy x=y=1 là nghiệm của hệ đã cho. Bài tập:   Bài 1: Giải các phương trình sau:   Bài 2: Giải các bất phương trình sau Bài 3: Giải các hệ phương trình sau  .  .  .  . . . . . . Bài 4: Giải và biện luận phương trình 1.3.2. Ứng dụng đạo hàm trong các bài toán tham số Khi giải các bài toán về phương trình, bất phương trình, hệ phương trình ta thường hay gặp các bài toán liên quan đến tham số. Có lẽ đây là dạng toán mà nhiều học sinh lúng túng nhất. Trong chương này chúng ta sẽ đi nghiên cứu một số dạng toán mà chúng ta thương hay gặp (như xác định tham số để phương trình có nghiệm, có k nghiệm, nghiệm đúng với mọi x thuộc tập D nào đó ) và phương pháp giải các dạng toán đó. Bài toán 1: Tìm điều kiện của tham số để phương trình f(x)=g(m) có nghiệm trên D Phương pháp: Dựa vào tính chất phương trình có nghiệm  hai đồ thị của hai hàm số  và  cắt nhau. Do đó để giải bài toán này ta tiến hành theo các bước sau: 1) Lập bảng biến thiên của hàm số  . 2) Dựa vào bảng biến thiên ta xác định m để đường thẳng   cắt đồ thị hàm số . Chú ý : Nếu hàm số  liên tục trên D và ,  thì phương trình :  có nghiệm Ví dụ 1:  Tìm m để các phương trình sau có nghiệm Giải: 1)Xét hàm số  có tập xác định là D=R.  Ta có:  thay vào (1) ta thấy không thỏa mãn. Vậy phương trình f’(x) = 0 vô nghiệm  không đổi dấu trên R, mà  đồng biến. Mặt khác:  và . Dựa vào bảng biến thiên ta thấy phương trình đã cho có nghiệm . 2) ĐK: Xét hàm số  với   Ta có: .  vô nghiệm  không đổi dấu trên D, mà   Mặt khác:  phương trình có nghiệm  . Chú ý : Nếu phương trình chưa có dạng trên thì ta tìm cách cô lập m đưa về dạng trên. Ví dụ 2: Tìm m để các phương trình sau có nghiệm: . Giải: Phương trình  Xét hàm số  với   Ta có: . Dựa vào bảng biến thiên suy ra phương trình có nghiệm . 2) Điều kiện: . Khi đó phương trình (Vì ) Xét hàm số  với . Ta có: . Do   . Vậy f(x) là hàm đồng biến trên [0;4] Suy ra phương trình có nghiệm Chú ý : Khi gặp hệ phương trình trong đó một phương trình của hệ không chứa tham số thì ta sẽ đi giải quyết phương trình này trước. Từ phương trình này ta sẽ tìm được tập nghiệm  (đối với hệ một ẩn) hoặc sẽ rút được ẩn này qua ẩn kia. Khi đó nghiệm của hệ phụ thuộc vào nghiệm của phương trình thứ hai với kết quả ta tìm được ở trên. Ví dụ 3: Tìm m để hệ sau có nghiệm:   Giải: Ta thấy (1) là bất phương trình một ẩn nên ta sẽ đi giải bất phương trình này Ta có: . Hệ có nghiệm  có nghiệm .  với có . Vậy hệ có nghiệm . Ví dụ 4: Tìm m để hệ sau có nghiệm: Giải: Ta có: . * Nếu  vô nghiệm. * Nếu  đúng  có nghiệm   Suy ra hệ có nghiệm  có nghiệm   Ta có: . Xét hàm số f(x) với , có: . Dựa vào bảng biến thiên  hệ có nghiệm . Ví dụ 5: Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm: . Giải: Ta thấy (2) là phương trình không chứa tham số nên ta sẽ giải quyết (2) trước Ta có: . Thay vào (1) ta được:   (3). Hệ có nghiệm  có nghiệm . Xét hàm số f(y) với  đồng biến trên các khoảng  và Suy ra hệ có nghiệm . Chú ý : Khi bài toán yêu cầu xác định số nghiệm của phương trình thì ta phải lưu ý  Số nghiệm của phương trình  chính là số giao điểm của đồ thị hai hàm số   và  . Do đó phương trình có k nghiệm hai đồ thị trên cắt nhau tại k giao điểm. Ví dụ 6: Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình sau có đúng hai nghiệm phân biệt:    Giải: Đặt . Ta có phương trình : . Xét hàm số . Dựa vào bảng biến thiên suy ra phương trình có hai nghiệm phân biệt Ví dụ 7: Tìm m để phương trình :  có ba nghiệm phân biệt. Giải: Phương trình  (do ) Xét hàm số . Dựa vào bảng biến thiên . Ví dụ 8: Tìm tất cả các giá trị của m để  phương trình :  có đúng một nghiệm Giải: Ta thấy để pt có nghiệm thì . Khi đó: Phương trình . Xét hàm số :  với Ta có:  với  nghịch biến. Mà:  và Vậy phương trình có đúng một nghiệm   . Ví dụ 9: Tìm m để hệ phương trình :  có ba cặp nghiệm phân biệt . Giải: Ta có :  (do x = 0 không là nghiệm phương trình ). Thay vào phương trình thứ nhất ta được:    (a) . Hệ có ba cặp nghiệm  (a) có ba nghiệm phân biệt thỏa mãn   . Xét hàm số  với . . Dựa vào bảng biến thiên ta thấy (a) có ba nghiệm phân biệt     . Vậy  là những giá trị cần tìm. Chú ý : Khi đặt ẩn phụ ta phải tìm miền xác định của ẩn phụ và giải quyết bài toán ẩn phụ trên miền xác định vừa tìm. Cụ thể: * Khi đặt , ta tìm được  và phương trình  (1) trở thành  (2). Khi đó (1) có nghiệm   (2) có nghiệm . * Để tìm miền xác định của t ta có thể sử dụng các phương trình tìm miền giá trị (vì miền xác định của t chính là miền giá trị của hàm  ). * Nếu bài toán yêu cầu xác định số nghiệm thì ta phải tìm sự tương ứng giữa x và t, tức là mỗi giá trị thì phương trình  có bao nhiêu nghiệm ?. Ví dụ 10: Tìm m để các phương trình sau có nghiệm. .  . .  Giải: 1) Điều kiện: . Phương trình Đặt Ta có phương trình :    (1). Phương trình đã cho có nghiệm  có nghiệm Xét hàm số  với , có   . Vậy phương trình có nghiệm . 2) Điều kiện: Đặt Phương trình đã cho trở thành:  (2). Xét hàm số . Dựa vào bảng biến thiên của Suy ra (1) có nghiệm  có nghiệm . Xét hàm số  với , có   Suy ra  là hàm đồng biến trên   Vậy phương trình có nghiệm . 3) Điều kiện : . Ta thấy không là nghiệm của phương trình nên ta chia hai vế phương trình cho , ta được:    ( * ). Đặt  Khi đó ( * ) trở thành:     (3). Phương trình đã cho có nghiệm  có nghiệm . Xét hàm số f(t) với , có: . . Vậy phương trình có nghiệm . Chú ý : Trong các bài toán trên sau khi đặt ẩn phụ ta thường gặp khó khăn khi xác định miền xác định của t .Ở trên chúng ta đã làm quen với ba cách tìm miền xác định của t. Tuy nhiên ngoài những cách trên ta còn có những cách khác để tìm miền xác định của t. Chẳng hạn: Ở câu 2) ta có thể áp dụng BĐT Côsi để tìm xác định của t : . Ở câu 3 để tìm miền xác định ta có thể làm như sau:  vì . Ví dụ 11: Tìm m để các phương trình    có nghiệm .  có nghiệm trên   Giải: 1) Đặt  và   . Phương trình đã cho trở thành:  (3) ( vì ). Phương trình đã cho có nghiệm  có nghiệm t thỏa mãn . Xét hàm số  với , ta có: Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy phương trình có nghiệm . 2) Đặt . Với . Phương trình đã cho trở thành: Phương trình đã cho có nghiệm trên  có nghiệm Xét hàm số  với  , ta thấy f(t) là hàm đồng biến trên [1;2] Suy ra . Vậy phương trình có nghiệm Ví dụ 12: Xác định  mọi giá trị của tham số m để hệ sau có  2 nghiệm phân biệt Giải: Điều kiện : .   (Do ). Vậy hệ đã cho có hai nghiệm phân biệt  có hai nghiệm phân biệt . Đặt  và (2) trở thành Từ cách đặt  ta có:  Với mỗi giá trị  thì cho ta đúng một giá trị . Suy ra (2) có 2 nghiệm phân biệt  có 2 nghiệm phân biệt . Xét hàm số  với   Suy ra (3) có 2 nghiệm phân biệt 1.4. ĐỊNH LÍ LAGRANGE VÀ ỨNG DỤNG A. GIỚI THIỆU Định lí Lagrange được phát biểu như sau: Cho hàm số F(x) liên tục trên [a,b] và có đạo hàm trong khoảng (a,b) thì luôn tồn tại   sao cho: Chúng ta sẽ đi tìm hiểu 3 bài toán sử dụng định lí Lagrange trong chương trình THPT như sau:             I. Sử dụng định lí Lagrange chứng minh bất đẳng thức.             II. Sử dụng định lí Lagrange chứng minh phương trình có nghiệm.            III. Sử dụng định lí Lagrange giải phương trình. B. NỘI DUNG 1.4.1. SỬ DỤNG ĐỊNH LÍ LAGRANGE CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC. * Phương pháp Từ định lí Lagrange , nếu thì: Vậy từ định lí Lagrange để áp dụng được kết quả trên, điều quan trọng nhất là xác định được hàm số F(x).  * Ví dụ minh họa VD1: CMR nếu   thì: Giải Bất đẳng thức đã cho tương đương với: Xét hàm số: liên tục trên, và có đạo hàm trong khoảng . Theo định lí Lagrange luôn tồn tại   sao cho:    Ta có: (đpcm). NX: Điều quan trọng hơn cả trong bài toán này là chúng ta nhận ra được hàm số F(x) qua việc biến đổi tương đương BPT đã cho. Ta xét VD 2   VD 2: Cho . Chứng minh: Giải BĐT đã cho tương đương với: Đặt với Ta có:             AD định lí Lagrange đối với hàm số: trên , thì tồn tại sao cho: . Từ (1) suy ra: Suy ra:   (đpcm).  NX: Bài này khó hơn bài trên ở chỗ phải tinh ý lấy logaNepe hai vế mới nhận ra đựơc hàm số f (x).  VD 3: Cho a<b<c. CMR: Giải Xét hàm số: Theo định lí Lagrange tồn tại sao cho: Ta thấy: Từ (1) Do đó, từ . Suy ra: 1.4.2. SỬ DỤNG ĐỊNH LÍ LAGRANGE CHỨNG MINH PHƯƠNG TRÌNH CÓ NGHIỆM. * Phương pháp:             Từ định lí Lagrange, nếu F(b)-F(a)=0 thì tồn tại sao cho:                         phương trình   có nghiệm thuộc             Để áp dụng được định lí Lagrange phải nhận ra hàm số F (x) (thực ra nó là nguyên hàm của hàm số f(x)).             Dạng bài toán này làm theo các bước sau:             Bước 1: Xác định hàm số F(x) liên tục trên [a,b] và có đạo hàm trên (a,b), thoả mãn:                         a. F'(x)=f(x).                         b. F(b)-F(a)=0.             Bước 2: Khi đó tồn tại sao cho:                         phương trình f(x)= 0 có nghiệm . * Ví dụ minh hoạ:         VD1: CMR phương trình:             có nghiệm với mọi a,b,c. Giải Xét hàm số: Dễ dàng nhận thấy: Khi đó tồn tại sao cho:             Vậy phương trình đã cho có nghiệm thuộc khoảng . VD 2: Giả sử: . CMR phương trình:                        có nghiệm thuộc khoảng (0, 1)      Giải Xét hàm số: liên tục trên [0,1] và có đạo hàm trong khoảng (0,1). Ta có: Khi đó tồn tại sao cho: Vậy phương trình đã cho có nghiệm thụôc khoảng (0,1).  Từ VD2 ta có thể giải được bài toán sau:  VD3: Giả sử: . CMR phương trình:             có nghiệm thuộc khoảng (0,1). Giải Xét hàm số: Nhận thấy, F(x) liên tục trên [0,1] và có đạo hàm trong khoảng (0,1). Ta có: Khi đó tồn tại sao cho: V ì n ên ta c ó: . V ậy ph ư ơng tr ình đ ã cho c ó nghi ệm thu ộc kho ảng (0,1).  1.4.3. SỬ DỤNG ĐỊNH LÍ LAGRANGE GIẢI PHƯƠNG TRÌNH. * Phương pháp:             Đ ể áp d ụng đ ịnh l í Lagrange vào việc giải phương trình ta thực hiện theo các bước sau đây:             Bước 1: Gọi là nghiệm của phương trình.             Bước 2: Biến đổi phương trình về dạng thích hợp , từ đó chỉ ra hàm số liên tục trên [a,b] và có đạo hàm trên khoảng (a,b).             Khi đó theo định lí Lagrange tồn tại sao cho:                                                                                 (*)             Bước 3: Giải (*), ta xác định được .             Bước 4: Thử lại * Ví dụ minh họa: VD 1: Giải phương trình: . Giải             Gọi là nghiệm của phương trình đã cho. Ta được:             (1)             Xét hàm số: . Khi đó:             (1)             Vì F(t) liên tục trên [3,4] và có đạo hàm trong khoảng (3,4), do đó theo định lí Lagrange tồn tại sao cho: Thử lại và thấy đúng. Vậy phương trình có hai nghiệm x=0 và x=1.  VD 2: Giải phương trình: Giải             Gọi là nghiệm của phương trình đã cho, ta có:             (2).             Xét hàm số: , khi đó:             Vì F(t) liên tục trên [2,3] và có đạo hàm trên (2,3), do đó theo định lí Lagrange luôn tồn tại sao cho: Thử lại thấy đúng. vậy phương trình có hai họ nghiệm và .         C. BÀI TẬP ÁP DỤNG    1. CMR nếu x>y> 0 thì    2. Giải các phương trình sau:          1.          2. Chương II PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH Le Van Thao gui dang tren www.vnmath.com 2.1. Phương pháp giải một số phương trình bậc bốn Trong các kỳ thi học sinh giỏi, thi học kỳ, hoặc ngay cả kiểm tra trên lớp đều có thể xuất hiện các bài toán giải phương trình bậc bốn. Tôi viết bài này mong cung cấp cho các bạn một phương pháp tổng quát để giải các bài toán đó. Ở khuôn khổ bậc THPT, tôi chỉ đề cập đến việc giải ra nghiệm thực của PT. Sau đây là một số dạng PT bậc bốn hay gặp: 1) Phương trình đối xứng Là PT có dạng: Nhận xét rằng  không phải là nghiệm của PT, vì vậy chia 2 vế của PT cho , ta thu được PT: (1) Đặt , điều kiện t , thay t vào (1) thu được PT: Tới đây ta giải PT bậc hai như bình thường. Chú ý: cách giải tương tự đối với những PT sau: với , 2) Phương trình trùng phương (bỏ qua vì trong SGK đã có) 3) Phương trình (x+a)(x+b)(x+c)(x+d) = m, với a + b = c + d Viết lại PT dưới dạng Đặt Điều kiện PT tương đương: Sau đó giải phương trình bậc 2. 4) Phương trình Đầu tiên đặt Thay vào PT rồi triển khai, ta thu được PT tương đương: Đặt , điều kiện , ta thu được phương trình trùng phương ẩn u. Từ đó giải tiếp ta tìm được x. 5) Phương trình Ý tưởng để giải phương trình này là biến đổi 2 vế về 2 tổng bình phương bằng nhau. Biến đổi như sau: (2) Vấn đề là tìm được m sao cho vế phải trở thành một tổng bình phương. Ta nhận thấy nếu vế phải là tổng bình phương thì phương trình Vế phải = 0 có nghiệm kép, khi và chỉ khi , tức là: Tới đây ta thu được phương trình bậc 3 của m: Tiếp tục giải ta sẽ thu được nghiệm m. Thay m vào phương trình (2) rồi giải tiếp tìm được x. 6) Kết quả mở rộng cho phương trình bậc bốn tổng quát (3) Vế phải là tổng bình phương thì phương trình Vế phải = 0 phải có nghiệm kép, khi và chỉ khi , tức là: (4) Giải phương trình (4) ta thu được 3 giá trị của m. Sau đó lại thế m vào PT (3) để giải tiếp. 2.2. Sử dụng hằng đẳng thức giải phương trình vô tỉ Dạng I) Phương trình dạng Ví dụ 1:Giải phương trình: Phương trình