Giáo án lớp 12 môn Đại số - Các dạng toán liên quan về hàm số

Chuyên đề hàm số và các bài toán liên quan Page 1 of 14 CÁC DẠNG TOÁN LIÊN QUAN VỀ HÀM SỐ VẤN ĐỀ 1: CÁC BÀI TOÁN VỀ TIẾP TUYẾN Cho hai đường cong    :C y f x và    ' :C y g x . Điều kiện để hai đường cong tiếp xúc với nhau là hệ sau có nghiệm:        ' ' f x g x f x g x     . Bài toán 1. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm, qua điểm hoặc có hệ số góc cho trước. Loại 1: Tiếp tuyến của hàm số tại điểm    0 0;M x y C .  Tính đạo hàm và giá trị  0'f x .  Phương trình tiếp tuyến có dạng:   0 0 0'y f x x x y   . Chú ý: Tiếp tuyến tại điểm    0 0;M x y C có hệ số góc  0'k f x VD1.1 Cho hàm số 4 22y x x  ( C ) a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số. b) Viết phương trình tiếp tuyến d của (C): – Tại điểm có hoành độ 2x  . – Tại điểm có tung độ y = 3. – Tại các điểm uốn của ( C ) – Tại giao điểm của ( C) với đường thẳng y=-3 hoặc 2y x 2   VD1.2 Cho hàm số: 3 2y x 3x 2 (1)   a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm (1) b) Viết phương trình tiếp tuyến của (1) – Tại điểm A thuộc (1) có hoành độ là 1 – Tại điểm B thuộc (1) có tung độ là 0. – Tại điểm uốn của (1) và chứng minh tiếp tuyến tại uốn có hệ số góc nhỏ nhất. – Tại giao điểm của (1) với đường cong: 2y x 4x 2   VD1.3 Cho hàm số: x 1 y (1) x 1    a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm (1) b) Viết phương trình tiếp tuyến của (1): – Tại điểm A trên đồ thị có hoành độ bằng -2 – Tại điểm B trên đồ thị có tung độ bằng -1 – Tại giao điểm của (1) với đường cong : 2x 1y x 2    Loại 2: Biết hệ số góc của tiếp tuyến là k . Giải phương trình:  'f x k , tìm nghiệm 0 0x y . Phương trình tiếp tuyến dạng:  0 0y k x x y   . Chú ý: Cho đường thẳng  có hệ số góc k, khi đó: Nếu  d// d : y ax b    hệ số góc k = a. Nếu  d d : y ax b    hệ số góc 1 k a   . Nếu d tạo với  góc   d : y ax b    k a tan 1 ka     VD1.4 Cho hàm số : 4 22y x x  (1) viết phương trình tiếp tuyến của (1) biết tiếp tuyến đó : Chuyên đề hàm số và các bài toán liên quan Page 2 of 14 a) Song song với đường thẳng 1 : 24 2012 0  d x y b) Vuông góc với đường thẳng 2 : 24 2011 0d x y   VD1.5 Cho hàm số : 3y x 3x 1 (1)   viết phương trình tiếp tuyến của (1) biết tiếp tuyến đó : a) Song song với đường thẳng : y=6x+1 b) Vuông góc với đường thẳng : 3x+4y-1=0 VD1.6 Cho hàm số: 2x 1 y x 1    (1) viết phương trình tiếp tuyến của (1) biết tiếp tuyến đó : a) Song song với đường thẳng : 3x-y+2012=0 b) Vuông góc với đường thẳng : 3x+y+12=0 Loại 3: Tiếp tuyến của (C) đi qua điểm    ;A AA x y C .  Gọi d là đường thẳng qua A và có hệ số góc là k, khi đó    : A Ad y k x x y    Điều kiện tiếp xúc của    à d v C là hệ phương trình sau phải có nghiệm:      ' A Af x k x x y f x k       VD1.7 Cho hàm số: 3 2y x 2x x 1    . Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị biết tiếp tuyến đi qua điểm A(-1 ;2) VD1.8 Cho hàm số: x 1 y x 2    Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị biết tiếp tuyến đi qua điểm A(1 ;1) Loại 4: Tìm trên đường thẳng xác định những điểm kẻ được 0,1,2,3 tiếp tuyến với đồ thị hoặc 2 tiếp tuyến vuông góc với nhau. VD1.9 Cho hàm số: 4 2y x 2x 2 (1)   tìm trên đường thẳng y=2 những điểm kẻ tới (1): a) Không quá 1 tiếp tuyến b) Đúng 1 tiếp tuyến VD1.10 Cho hàm số: 3y x 3x 2   Tìm M trên đồ thị sao cho qua M kẻ với đồ thị : a) Đúng 1 tiếp tuyến b) Không quá 1 tiếp tuyến c) Không có tiếp tuyên nào d) Nhiều hơn 1 tiếp tuyến e) Hai tiếp tuyến vuông góc với nhau. VD1.11 Cho hàm số: x 2 y x 1    Tìm những điểm trên trục tung để qua đó kẻ tới đồ thị : a) Hai tiếp tuyến b) Đúng 1 tiếp tuyến Bài toán 2. Tiếp tuyến cắt trục Ox, Oy tại A,B thỏa mãn điều kiện cho trước Loại 1: OA=kOB hoặc OB=kOB hoặc biết độ dài OA hoặc OB Dạng toán này cần lưu ý đến phương trình đoạn chắn: A(a;0) , B(0;b) thì phương trình AB là: x y 1 a b   VD1.12 Cho hàm số: 3 23 2y x x   viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị biết tiếp tuyến cắt trục hoành tại A cắt trục tung tại B sao cho OB= 9OA VD1.13 Cho hàm số: 3 1 x y x    viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị biết tiếp tuyến đó cắt trục hoành tại A cắt trục tung tại B sao cho OA= 4OB VD1.14 Cho hàm số: x 1 y x 1    viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị biết tiếp tuyến cắt trục hoành tại A sao cho OA=1 VD1.15 Cho hàm số: 3 23  y x x m tìm m để tiếp tuyến với đồ thị tại điểm có hoành độ bằng 1 cắt trục Ox tại tại A sao cho OA=3 Chuyên đề hàm số và các bài toán liên quan Page 3 of 14 Loại 2: Biết diện tích tam giác OAB hoặc tam giác OAB cân. VD1.16 Cho hàm số: 3 2y x 3x m (1)   a) Tìm m để tiếp tuyến của (1) tại điểm có hoành độ 1 cắt 2 trục tọa độ tại A , B sao cho diện tích tam giác OAB bằng 1,5 b) Khi m=1 , viết phương trình tiếp tuyến của (1) biết tiếp tuyến cắt Ox, Oy tại A, B sao cho tam giác OAB vuông cân. VD1.17 Cho hàm số: 2x y (1) x 1   a) Tìm M thuộc (1) biết tiếp tuyến của (1) tại M cắt 2 trục tọa độ tại A,B sao cho diện tích tam giác OAB bằng 0,25 b) Viết phương trình tiếp tuyến của (1) biết tiếp tuyến cắt 2 trục tọa độ tại A, B sao cho tam giác OAB vuông cân. Bài toán 3. Tiếp tuyến cắt 2 tiệm cận thoă mãn điều kiện cho trước. Loại 1. Tiếp tuyến tại M cắt 2 tiệm cận tại A,B khi đó M là trung điểm AB và diện tích IAB không đổi ( I là giao 2 tiệm cận) VD1.18 Cho hàm số: 2x 2 y (1) x 2    M là 1 điểm trên (1), tiếp tuyến tại M cắt 2 tiệm cận A,B. I là giao 2 tiệm cận a) CMR: M là trung điểm AB b) Tam giác IAB có diện tích không đổi. VD1.19 Cho hàm số: mx 1 y (1) x m    gọi I là giao điểm 2 tiệm cận . Tiếp tuyến của (1) cắt 2 tiệm cận tại A, B. Tìm m để tam giác IAB có diện tích bằng 12. Loại 2. Bài toán liên quan đến GTLN, GTNN về tiếp tuyến và tiệm cận VD1.20 Cho hàm số: 2x 1 y (1) x 1    M thuộc (1) , tiếp tuyến tại M cắt 2 tiệm cận tại A,B . Tìm tọa độ M để chu vi tam giác IAB là nhỏ nhất . ( I là giao 2 tiệm cận ). VD1.21 Cho hàm số: 2x 3 y (1) x 2    a) Tìm trên (1) những điểm M sao cho tiếp tuyến tại M cắt 2 tiệm cận tại A,B sao cho độ dài AB là nhỏ nhất. b) Tìm trên (1) những điểm N sao cho tiếp tuyến tại N cắt 2 tiệm cận tại A,B sao cho đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích nhỏ nhất ( I là giao 2 tiệm cận) Bài toán 4: Tiếp tuyến tại các giao điểm của đường thẳng với đồ thị hàm số thoă mãn điều kiện cho trước. VD1.22 Cho hàm số: x 1 y 2x 1    viết phương trình đường thẳng đi qua gốc tọa độ cắt đồ thị tại 2 điểm phân biệt A, B sao cho tiếp tuyến của đồ thị tại A và B song song với nhau. VD1.23 Cho hàm số : 3 2y x 3x 1   . Tìm 2 điểm A,B thuộc đồ thị sao cho tiếp tuyến tại A, B với đồ thị song song với nhau và độ dài AB = 4 2 VD1.24 Cho hàm số: 3 2y x 3x 4   gọi d là đường thẳng đi qua A(2;0) có hệ số góc k. Tìm k để d cắt đồ thị tại 3 điểm phân biệt A,M,N sao cho 2 tiếp tuyến tại M,N vuông góc với nhau. Bài tập tổng hợp: Bài 1 Cho hàm số 4 22y x x  ( C ) a) Tìm trên đường thẳng 1y   điểm N sao cho qua N kẻ được ít nhất 1 tiếp tuyến với C b) Tìm trên trục hoành điểm M sao cho qua M không thể kẻ quá 2 tiếp tuyến với ( )C Bài 2 Cho hàm số: 4 2 6y x x    (1) a)Khảo sát và vẽ đồ thị của (1) b) Viết phương trình tiếp tuyến của (1) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng Chuyên đề hàm số và các bài toán liên quan Page 4 of 14 1 1 6 y x  Bài 3 Cho hàm số: 4 22 ( )my x mx m C   a)Định m để ( )mC tiếp xúc với đường thẳng (d): 2( 1)y x  tại điểm có hoành độ 1x  b) Khi m=1 tìm trên trục tung những điểm mà qua đó kẻ được 3 tiếp tuyến với đồ thị Bài 4 Cho hàm số: 4 2 1 5 3 ( ) 2 2 y x x C   a)Gọi (d) là tiếp tuyến của ( C) tại M với Mx a . CMR: Hoành độ các giao điểm của d và (C ) là nghiệm của pt: 2 2 2( ) ( 2 3 6) 0x a x ax a     b) Tìm a để d cắt ( C) tại P, Q khác M . Tìm quỹ tích trung điểm K của PQ Bài 5 Cho hàm số y = 4x3 – 6x2 + 1 (1) 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1). 2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1), biết rằng tiếp tuyến đó: a) Tại điểm (1)A có hoành độ x=1 b) Đi qua điểm M(–1;–9). b) Song song với đường thẳng 24 1 0x y   3. CMR: tồn tại duy nhất một tiếp tuyến qua điểm uốn của (1)có hệ số góc nhỏ nhất Bài 6 Cho hàm số: 3 2y x 2x 8x 5 (1)    CMR: không tồn tại tiếp tuyến tại 2 điểm thuộc đồ thị hàm số mà vuông góc với nhau Bài 7 Cho hàm số: 3 2y x (1 2m)x (2 m)x m 2 (1)       Tìm m để đồ thị hàm số (1) có tiếp tuyến tạo với đường thẳng x+y+1=0 một góc a sao cho: 1 cosa 26  Bài 8 Cho hàm số : 3 24 6 1 (1)y x x   viết phương trình tiếp tuyến của (1) tại: a)A(1; -1) b) Điểm uốn của đồ thị c) Điểm cực đại của đồ thị d) Điểm B thuộc đồ thị có hoành độ là 2 e) Điểm C thuộc đồ thị có tung độ là 1 f) Giao điểm của đồ thị với hàm sô: 34 12 17y x x   Bài 9 Cho hàm số : 3 2 1 1 (*) 3 2 3 m y x x   a)Khảo sát và vẽ đồ thị tại m=2 b) Gọi M là điểm thuộc đồ thị có hoành độ bằng -1. Tìm m để tiếp tuyến của độ thị tại M song song với đường thẳng 5x-y=0 Bài 10 Cho hàm số: 3 ( 1) 1y x m x    ( )mC ( m là tham số) a)Khi m=1 khảo sát hàm ( 1C ) b) Viết pt tiếp tuyến của 1( )C đi qua điểm A(0;2) c) Tìm điều kiện của m để đồ thị hàm ( )mC tiếp xúc với trục hoành. Bài 11 Cho hàm số: 2 2( 2)( 1) (1)y x x mx m     a)Khảo sát và vẽ đồ thị (1) khi m=2 b) Tìm m để (1) tiếp xúc với trục hoành Bài 12 Cho hàm số: 3 23 2y x x   (1) Tìm trên y=-2 những điểm có thể kẻ được a) 1 tiếp tuyến với đồ thị b) 2 tiếp tuyến với đồ thị c) 2 tiếp tuyến vuông góc với nhau với đồ thị Chuyên đề hàm số và các bài toán liên quan Page 5 of 14 Bài 13 Cho hàm số : 3 23 3 5y x x x    (1) a) CMR trên đồ thị không tồn tại 2 điểm sao cho 2 tiếp tuyến tại 2 điểm đó với đồ thị vuông góc với nhau. b) Xác định k để trên đồ thị có ít nhất 1 điểm mà tiếp tuyến tại đó vuông góc với đường thẳng y kx Bài 14 Cho hàm số: 33y x x  (1) Tìm trên đường thẳng y x  những điểm để từ đó kẻ được đúng 2 điểm phân biệt với (1) Bài 15 Cho hàm số y = x3 + mx2 + 1 có đồ thị (Cm). Tìm m để (Cm) cắt d: y = – x + 1 tại ba điểm phân biệt A(0;1), B, C sao cho các tiếp tuyến của (Cm) tại B và C vuông góc với nhau Bài 16 Cho hàm số: 3 ( 1) 1 ( )my x m x C    a) Viết pt tiếp tuyến của ( )mC tại giao điểm của ( )mC với Oy b) Tìm m để tiếp tuyến nói trên chắn hai trục tọa độ tam giác có diện tích bằng 8 Bài 17 Cho hàm số: 4 3 ( ) 2 1 x y C x     a) KS và vẽ đồ thị (C ) b) Viết pt tiếp tuyến của (C ) : Tại điểm ( )A C có tung độ 3y   Đi qua điểm B(0;1) Tiếp tuyến song song với đường thẳng 4 1y x   Bài 18 Cho hàm số : 2 3 1 x y x    (1) (CĐ 2012) a)Khảo sát và vẽ đồ thị của (1) b) Viết phương trình tiếp tuyến d của (1) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y=x+2 Bài 19 Cho hàm số : ( 1)m x m y x m     (1) a) Với m =1 . Tìm trên đồ thị những điểm có tổng khoảng cách đến 2 tiệm cận là nhỏ nhất b) CMR: với mọi 0m  đồ thị hàm (1) luôn tiếp xúc với 1 đường thẳng cố định Bài 20 Cho hàm số 2 1 x y x   . (ĐH KhốiD 2007) 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho. 2. Tìm tọa độ điểm M thuộc (C), biết tiếp tuyến của (C) tại M cắt Ox, Oy tại A, B và diện tích tam giác OAB bằng 1 4 Bài 21 Cho 4 5 2 3 x y x     (C) và M bất kì thuộc ( C) , gọi I la giao 2 tiêm cận. Tiếp tuyến tại M cắt 2 tiệm cận tại A và B. 1.CMR: M là trung điểm của AB 2. CMR: Diện tích tam giác IAB không đổi Bài 22 Cho ( )mC : 2 3mx y x m    a) KS với m=1 và lập phương trình tiếp tuyến của ( 1)C biết tiếp tuyến đi qua điểm A(-1;1) b) Tìm m để tiếp tuyến bất kì của ( )mC cắt 2 tiệm cận tạo tam giác có diện tích là 8 Bài 23 .Tìm trên Oy những điểm kẻ được đúng 1 tiếp tuyến đến đồ thị ( C ) : 1 1 x y x    Vấn đề 2: CÁC BÀI TOÁN VỀ CỰC TRỊ Cho hàm số  xfy  ,đồ thị là (C). Các vấn đề về cực trị cần nhớ: Chuyên đề hàm số và các bài toán liên quan Page 6 of 14  Nghiệm của phương trình  ' 0f x  là hoành độ của điểm cực trị.  Nếu     0 0 ' 0 '' 0 f x f x     thì hàm số đạt cực đại tại 0x x .  Nếu     0 0 ' 0 '' 0 f x f x     thì hàm số đạt cực tiểu tại 0x x . Bài toán 1: Tìm cực trị của hàm số. VD2.1 Tìm cực trị của hàm số sau: a) 3 2y x 3x 2   b) 3y x 3x 1   c) 3 2 1 y x 2x 3x 2 3     d) 3y x 6x  VD2.2 Tìm cực trị các hàm số sau: a) 4 2y x 2x 3   b) 4 2y x 2x 2   c) 4 2y 3x 3x 1   Bài toán 2. Tìm điều kiện của tham số để hàm số có cực trị và cực trị thỏa mãn điều kiện cho trước Loại 1. Tìm điều kiện của tham số để hàm số có cực trị hoặc đạt cực trị tại điểm nào đó. Để hàm số  y f x có cực trị là phương trình y’=0 có nghiệm và y’ đổi dấu qua nghiệm. VD2.3 Cho hàm số: 3 2 2 1 y x mx (m m 1)x 1 3       a) Tìm m để hàm số có cực trị ? b) Tìm m để hàm số đạt cực đại tại x=1 c) Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại x=3 Loại 2. Biện luận số cực trị theo tham số. VD2.4 Biện luận số cực trị của hàm số sau: a) 3 2xy 3mx 3x 2 3     b) 3y (m 2)x mx 2    c) 4 2 2y x 2(m 1)x m    d) 4 2 2y mx (m 9)x 3    Loại 3. Tìm điều kiện của tham số để cực trị nằm trong khoảng xác định. VD2.5 Cho hàm số: 3y x 3mx m 1    a) Định m để hàm số có cực trị trong (0; ) b) Định m để hàm số có 2 cực trị trong ( ;0) c) Định m để hàm số có cực trị trong (-1; 2) Loại 4.Tìm điều kiện của tham số để hàm số có cực trị nằm trong các vị trí của hệ trục tọa độ.  Để hàm số  y f x có hai cực trị nằm về 2 phía đối với trục hoành . 0CĐ CTy y  .  Để hàm số  y f x có hai cực trị nằm về 2 phía đối với trục tung . 0CĐ CTx x  .  Để hàm số  y f x có hai cực trị nằm phía trên trục hoành 0 . 0 CĐ CT CĐ CT y y y y      .  Để hàm số  y f x có hai cực trị nằm phía dưới trục hoành 0 . 0 CĐ CT CĐ CT y y y y      . Chuyên đề hàm số và các bài toán liên quan Page 7 of 14  Để hàm số  y f x có cực trị tiếp xúc với trục hoành . 0CĐ CTy y  . VD2.6 Cho hàm số: Loại 5. Phương trình đường thẳng qua 2 cực trị Cách viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị. Dạng 1: Hàm số 3 2y ax bx cx d    Lấy y chia cho y’, được thương là q(x) và dư là r(x). Khi đó y = r(x) là đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị. Dạng 2: Hàm số 2ax bx c y dx e     Đường thẳng qua hai điểm cực trị có dạng     2 ' 2 ' ax bx c a b y x dx e d d       VD2.7 Cho hàm số: 3 2y x (m 1)x m    (1) a) Lập phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị biết đường thẳng đó song song với đường thẳng y=2 b) Lập phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị biết đường thẳng đó đi qua A(-1;1) VD2.8 Cho hàm số : 3 2y x 3x mx 2    a) Tìm m để đồ thị có 2 cực trị và đường thẳng đi qua 2 cực trị song song với đường thẳng y= -4x+3 b) Tìm m để đồ thị có 2 cực trị và 2 cực trị đối xứng nhau qua đường thẳng x-4y+1=0 Loại 6. Tìm điều kiện của tham số để cực trị thỏa mãn điều kiện cho trước. Dạng toán này cần sử dụng linh hoạt định lý Viet VD2.9 Cho hàm số: 3 2y x 3(m 1)x 9x m     Tìm m để hàm số có 2 cực trị 1 2x ;x thỏa mãn : a) 1 2x 2x 0  b) 1 2x x 2  VD2.10 Cho hàm số: 3 2y x 3(m 1)x 9x m (1)     tìm m để hàm số đạt cực đại cực tiểu và CD CTy y 2  VD2.11 Cho hàm số : 3 2y x 3x mx 2 (1)    tìm m để hàm số có cực trị và 2 điểm cực trị cách đều đường thẳng : x-y-1=0 Loại 7. Cực trị thỏa mãn điều kiện liên quan đến tam giác VD2.12 Cho hàm số: 4 2 2y x 2(m 1)x m (1)    tìm m để hàm số có 3 cực trị và 3 cực trị đó lập thành: a) 3 đỉnh của 1 tam giác cân b) 3 đỉnh của 1 tam giác đều VD2.13 Cho hàm số: 3 2 2 2y x 3x 3(m 1)x 3m 1 (1)       tìm m để hàm số có 2 cực trị A, B sao cho tam giác OAB vuông tại O VD2.14 Cho hàm số: 3 2y x 3x mx 2    , tìm m để hàm số có cực trị đồng thời đường thẳng đi qua 2 cực trị tạo với 2 trục tọa độ 1 tam giác cân. Bài tập tổng hợp. Bài 24 . Cho hàm số  3 2 1 2 1 3 y x mx m x     . Định m để: 1.Hàm số luôn có cực trị. 2.Có cực trị trong khoảng  0; . 3.Có hai cực trị trong khoảng  0; . Bài 25 Cho hàm số 3 2y +3 3 3 4.x x mx m    a. Khảo sát hàm số khi m = 0. b. Định m để hàm số không có cực trị. Chuyên đề hàm số và các bài toán liên quan Page 8 of 14 c. Định m để hàm số có cực trị. Gọi 1 2,x x là hoành độ 2 điểm cực trị, định m để 1 22 1x x  Bài 26 Cho hàm số : 3 2 2 1 ( 1) 1 3 y x mx m m x      a)Tìm m để hàm số có cực đại tại x=1 b) Tìm m để hàm số có cực tiểu tại x=3 Bài 27 Cho hàm số : 3 23( 1) 9 (1)y x m x x m     tìm m để (1) đạt cực trị tại các hoành độ 1 2,x x sao cho : a) 1 2 2x x  b) 1 2 2x x  c) 1 2x kx k là tham số Bài 28 Cho hàm số 3 23 9 3 5y x mx x m     . Định m để đồ thị hàm số có cực đại cực tiểu, viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị biết đường thẳng đó đi qua A(1 ;0) 2.Cho hàm số: 3 2 33 3 (1)y x mx m   định m để (1) có 2 cực trị A,B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng 48 Bài 29 .Cho hàm số 3 2 23y x x m x m    tìm m để đồ thị hàm số có cực trị đối xứng với nhau qua đường thẳng 1 5 2 2 y x  . Bài 30 Cho hàm số    3 21 2 2 2y x m x m x m       . Định m để đồ thị hàm số có hai cực trị đồng thời hoành độ của điểm cực tiểu nhỏ hơn 1. Bài 31 Cho hàm số    3 2 1 2 1 2 3 my x mx m x m C      .Định m để hàm số có hai điểm cực trị cùng dương. 2.Cho hàm số : 3 22 3( 1) (1)y x m x m    tìm m để (1) có 2 cực trị A,B sao cho A,B và I I(3 ; 1) thẳng hàng. Bài 32 Cho hàm số  3 2 2 23 3 1 3 1y x x m x m       (1), m là tham số a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của đồ thị hàm (1) số khi m=1. b. Tìm m để hàm số (1) có cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị của đồ thị hàm số (1) cách đều gốc tọa độ. Bài 33 Cho hàm số : 3 2 2 23 3( 1) 3 1 (1)y x x m x m       định m để (1) có 2 cực trị A,B sao cho tam giác OAB vuông tại O Bài 34 Cho hàm số : 3 23 2 (2)y x x mx    định m để hàm số (1) có cực trị và phương trình đường thẳng đi qua 2 cực trị tạo với 2 trục tọa độ tam giác vuông cân Bài 35 Cho hàm số : 3 23 (1)y x x m   định m để (1) có 2 cực trị A,B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng 4 Bài 36 Cho hàm số : 3 2 1 2 3 (1) 3 y x x x   Gọi A,B là 2 cực trị của (1) tìm M trên trục hoành sao cho tam giác MAB có diện tích là 2 Bài 37 Cho hàm số  4 2 29 10y mx m x    (1) (m là tham số). a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của đồ thị hàm số khi m=1. b. Tìm m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị, 1 cực trị. Bài 38 Cho hàm số : 4 2 22 (1)y x mx m m    định m để (1) có 3 cực trị lập thành 1 tam giác vuông Bài 39 Cho hàm số : 4 2 3 22 ( )my x mx m m C    ( m là tham số) Tìm m để hàm số có 3 cực trị và các điểm cực trị đó lập thành 1 tam giác đều Chuyên đề hàm số và các bài toán liên quan Page 9 of 14 Bài 40 Cho hàm số : 4 2 28 1 (1)y x m x   định m để (1) có 3 cực trị lập thành 1 tam giác có diện tích bằng 64. Bài 41 Cho hàm số 4 2 2( ) 2( 2) 5 5     f x x m x m m (Cm) a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số với m = 1 b. Tìm m để (Cm) có các điểm cực đại, cực tiểu tạo thành 1 tam giác vuông cân. Bài 42 Cho hàm số: 4 22 1 (1)y x mx   định m để hàm số có 3 cực trị và đường tròn đi qua ba điểm cực trị có bán kính bằng 1. Bài 43 Chứng minh rằng hàm số y =  2 2 41 1x m m x m x m      luôn có có cực trị với mọi m. Tìm m sao cho hai cực trị nằm trên đường thẳng y=2x. Bài 44 Cho hàm số  2 1 1x m x m y x m       . Chứng minh rằng đồ thị hàm số luôn có cực đại, cực tiểu với mọi m. Hãy định m để hai cực trị nằm về hai phía đối với trục hoành. Vấn đề 3: GIAO ĐỒ THỊ Bài toán 1: Tìm điều kiện tham số để hàm số giao trục hoành tại k điểm phân biệt lập thành các cấp số. Loại 1. Điều kiện để hàm bậc 3 giao Ox tại 3 điểm lập thành 1 cấp số cộng hoặc 1 cấp số nhân Cho hàm số: 3 2ax ( ) ( 0)y bx cx d C a     Tìm điều kiện để (C ) giao Ox tại: a) 1 điểm, 2 điểm phân biệt,3 điểm phân biệt b) 3 điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng c) 3 điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số nhân. BL: a)Để biện luận số giao điểm của (C ) với Ox ta có thể làm theo 2 cách: C1: Biện luận số nghiệm của pt: 3 2ax 0bx cx d    bằng cách phân tích thành pt tích C2: Biện luận số giao điểm từ vị trí các cực trị của hàm số + (C ) giao Ox tại 1 điểm  (C ) không có cực trị hoặc có 2 cực trị nằm cùng 1 phía với trục hoành + (C ) giao Ox tại 2 điểm  (C ) có 2 cực trị và 1 cực trị nằm trên Ox + (C ) giao Ox tại 3 điểm phân biệt  (C ) có 2 cực trị và 2 cực trị nằm về 2 phía với Ox b)Để (C ) giao Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng: C1: Hàm số có 2 cực trị và điểm uốn nằm trên Ox C2: Sử dụng điều kiện cần và đủ: DK cần: Giả sử 1 2 3, ,x x x là hoành độ 3 giao điểm của (C ) và Ox tức là 1 2 3, ,x x x là 3 nghiệm phân biệt của pt: 3 2ax 0bx cx d    (*) Theo Viet ta có: 1 2 3 b x x x a     mà 1 2 3, ,x x x lập thành cấp số cộng : 2 1 32x x x  Ta có: 23 b x a   , tìm được 2x thay vào (*) tìm được giá trị tham số ĐK đủ: Thay ngược lại giá trị tham số vào (*) d) Để (C ) giao Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số nhân ĐK cần: Giả sử 1 2 3, ,x x x là hoành độ 3 giao điểm của (C ) và Ox tức là 1 2 3, ,x x x là 3 nghiệm phân biệt của pt: 3 2ax 0bx cx d    (*) Theo Viet ta có: 1 2 3. . d x x x a   mà 1 2 3, ,x x x lập thành cấp số nhân : 2 2 1 3.x x x Chuyên đề hàm số và các bài toán liên quan Page 10 of 14 Ta có: 3 2 d x a   , tìm được 2x thay vào (*) tìm được giá trị tham số ĐK đủ: Thay ngược lại giá trị tham số vào (*) VD3.1 Cho hàm số: 3 2y x 3mx 9x 7    , tìm m để đồ thị giao Ox tại 3 điểm phân biệt lập thành 1 cấp số cộng. VD3.2 Cho hàm số: 3y x 3mx 1   , tìm m để đồ thị giao Ox tại 3 điểm có hoành độ lập thành 1 cấp số nhân. Loại 2. Điều kiện của tham số để đồ thị giao Ox tại 4 điểm có hoành độ lập thành 1 cấp số cộng VD3.3 Cho hàm số: 4 2y x 2(m 1)x 2m 1     tìm điều kiện của m để đồ thị giao Ox tại 4 điểm phân biệt có hoành độ lập thành 1 cấp số cộng Loại 3. Tìm điều kiện của tham số để đồ thị giao Ox tại k điểm có hoành độ thỏa mãn điều kiện cho trước . VD3.4 Cho hàm số: 3 2 2 2y x m x (2m 1)x m     , tìm điều kiện của tham số để đồ thị giao Ox tại : a) 3 điểm có hoành độ dương b) 3 điểm có hoành độ lớn hơn 1 c) 3 điểm có hoành độ 1 2 3x , x , x thỏa mãn: 2 2 2 1 2 3x x x 3   VD3.5 Bài toán 2: Tương giao của đồ thị với đường thẳng y=ax+b Loại 1. Biện luận số giao điểm của đường thẳng y= ax+b với đồ thị. VD3.6 Cho hàm số: 3 2y x 6x 9x 6 (1)    , tìm m để đường thẳng d: y= mx-2m-4 cắt (1) tại 3 điểm phân biệt VD3.7 Cho hàm số: x y x 1   , tìm m để đường thẳng d: y = -x+m cắt đồ thị tại 2 điểm phân biệt. Loại 2. Tìm điều kiện của tham số để đường thẳng y= ax+b cắt đồ thị tại 2 điểm phân biệt thỏa mãn điều kiện cho trước. VD3.8 Cho hàm số: 2x 2 y (1) x 1    tìm m để đường thẳng d: y= 2x+m cắt đồ thị tại 2 điểm phân biệt A, B sao cho AB 5 VD3.9 Cho hàm số: 2x 1 y x 2    , a) CMR: đường thẳng d: y= -x +m luôn cắt đồ thị tại 2 điểm phân biệt A, B . Tìm m để AB nhỏ nhất ? b) Tìm m để đường thẳng 2y x m   cắt đồ thị  C tại hai điểm phân biệt A, B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng 3 ( O là gốc tọa độ). c) Tìm m để đường thẳng d: y= -x+m cắt đồ thị tại 2 điểm phân biệt A, B sao cho khoảng cách từ A, B đến trục hoành bằng nhau. d) Tìm m để đường thẳng d: y= -x+m cắt đồ thị tại 2 điểm phân biệt A, B sao cho tổng 1 2k k đạt giá trị lớn nhất ( với 1 2k , k là hệ số góc tiếp tuyến tại A, B với đồ thị ) . Bài tập tổng hợp. Bài 45 Cho hàm số: 3 23 ( )y x x C  . Gọi 1 2 3, ,x x x là hoành độ giao điểm của (C ) và ( )md : 3y mx m   . Định m để: a) Hoành độ 1 2 3, ,x x x lập thành cấp số cộng b) Hoành độ 1 2 3, ,x x x lập thành cấp số nhân Bài 46 Cho ( )mC : 3 2 2 22 (2 1) (1 )y x mx m x m m      . Định m để ( )mC cắt Ox tại1 điểm, 2 điểm phân biệt, 3 điểm phân biệt có hoành độ dương Bài 47 Cho 3 2( ) : (2 1) 2mC y x mx m x m      . Tìm m để ( )mC cắt Ox tại 3 điểm phân biệt có Chuyên đề hàm số và các bài toán liên quan Page 11 of 14 hoành độ 1 2 3, ,x x x thỏa mãn: 2 2 2 1 2 3 3x x x   Bài 48 a)Cho (Cm) : 3 2 23 2 ( 4) 9y x mx m m x m m      Tìm m để (Cm)