Giáo án lớp 12 môn Đại số - Các Số phức

A. LÝ THUYẾT 1). Định nghĩa: , trong đó và a: là phần thực; b: phần ảo. : số thực (có thể ) : số thuần ảo (có thể ) 2). Biểu diễn số phức: 3). Môđun: 4). Số phức liên hợp: có số phức liên hợp là 5). Các phép toán trên số phức: có điểm biểu diễn . a) Phép cộng : Định nghĩa Tính chất Biểu diễn 1) 2) 3) , b) Phép trừ : Định nghĩa Số phức đối Biểu diễn c) Phép nhân : Định nghĩa Tính chất 1) 2) 3) 4) * * * * * * d) Phép chia: Định nghĩa Tính chất 1) 2) 1) 2) 3) 4) 6) Căn bậc hai của số phức: a) Đn: là căn bậc hai của số phức nếu b) Tìm căn bậc hai của số phức : là: là: Hiểu là: , trong đó TQ: là căn bậc n của số phức . Từ đó tìm phần thực, phần ảo của . 7) Phương trình ẩn số phức a) Phương trình bậc nhất: Cách giải: b) Phương trình bậc hai: Tính biệt thức * , pt có hai nghiệm phân biệt Trong đó là căn bậc hai của . * , pt có nghiệm kép Bạn có thể dùng biệt thức và công thức nghiệm như trong phương trình bậc hai thực 8) Dạng lượng giác của số phức: a) Acgumen của số phức : là góc lượng giác có tia đầu Ox, tia cuối OM * Nếu là một acgumen của thì mọi acgumen của có dạng b) Dạng lượng giác của số phức là: Trong đóvàlà acgumen của, được xác định bởi hệ: c) Nhân, chia số phức dạng lượng giác: 1) 2) d) Công thức Moivre: 1) 2) e) Căn bậc hai: của là: và B. DẠNG BÀI TẬP: Dạng1 CÁC PHÉP TOÁN TRÊN SỐ PHỨC Nhận xét: Tính toán trên số phức, nhưng thật ra không khác gì với phép tính trên tập số thực mà bạn đã được học từ những ngày đầu tiên đến trường. Chỉ có điều, bạn hãy xem số phức là một kí hiệu mà . Bài 1: Tìm số phức cho bởi : a) b) c) d) e) f) g) h) Bài 2: a) Giả sử . Tính b) Cho . Tính và . Suy ra ĐS: , , , , , , Bài 3: a) Chứng minh rằng nếu các số phức và đều có môđun bằng 1 thì số là số thuần thực. b) là 3 số phức có môđun bằng 1, so sánh môđun của hai số phức và . Bài 4: Xét đa thức. Tính với ĐS: . Dạng 2 ĐIỂM BIỂU DIỄN CỦA SỐ PHỨC Cách giải: * Gọi là số phức cần tìm. * Từ giả thiết, tìm hệ thức giữa . Hệ thức này xác định một đường cong trong mặt phẳng phức (thực chất là mặt phẳng tọa độ Oxy). Một số tập hợp điểm trong mp phức: 1) Đường thẳng: * song song hoặc trùng trục ảo Oy * song song hoặc trùng trục thực Ox * 2) Đường tròn: có tâm bán kính 3) Hình tròn: có tâm bán kính 4) Đường elip: 5) Đường hyperbol: Bài 1: Xác định tập hợp điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn số phức thỏa mãn từng điều kiện sau: a) là số thực âm b) là số ảo c) d) là số ảo ĐS: a) Là trục ảo Oy trừ điểm gốc O b) Là hai đường thẳng . c) Là hai trục Ox, Oy d) Là trục ảo Oy trừ điểm Bài 2: Xác định tập hợp điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn số phức thỏa mãn từng điều kiện sau: a) b) c) Giải: Giả sử a) , . Tập điểm biểu diễn là đường tròn tâm , bán kính trong mặt phẳng phức. b) Tập hợp các điểm biểu diễn là trục thực Ox trong mặt phẳng phức. c) . Tập hợp điểm là đường thẳng có phương trình Bài 3: Xác định tập hợp điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức thỏa mãn điều kiện là số thực dương. ĐS: Là trục ảo Oy trừ đoạn AB với và . Bài 4: a) Trong mp phức cho 3 điểm A, B, C không thẳng hàng theo thứ tự biểu diễn các số phức . Hỏi trọng tâm tam giác ABC biểu diễn số phức nào? b) Xét 3 điểm A, B, C của mp phức theo thứ tự biểu diễn 3 số phức thỏa mãn . Chứng minh rằng A, B, C là 3 đỉnh của một tam giác đều khi và chỉ khi Giải: , , . Khi đó a) Trọng tâm G của ABC có tọa độ . Vậy G là biểu diễn số phức b) A, B, C cùng nằm trên đường tròn tâm O (gốc hệ trục) ABC đều Bài 5: Cho các số phức . Hãy tính và biểu diễn hình học các số phức , , , , lần lượt bởi các điểm A, B, C, D, E. Giải: Bài 6: Xác định tập hợp các điểm M trên mặt phẳng phức biểu diễn các số phức trong đó Giải: , Điểm biểu diễn M có tọa độ: (*). Thay vào (*) ta được Vậy tập hợp các điểm M là hình tròn tâm (biểu diễn số phức ), bán kính . Bài 7: Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức thỏa mãn:, với là số thực dương cho trước. ĐS: * : * : Bài 8: a) Cho số phức khác 0. Chứng minh rằng tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức sao cho ( là số thực cho trước) là một đường thẳng. b) Tìm và trong câu a) để đường thẳng nói trên đi qua các điểm biểu diễn số 2 và . ĐS: a) Bài 9: Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức thỏa mãn từng điều kiện sau: a) b) ĐS: a) là đường thẳng b) là đường thẳng Bài 10: Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức thỏa mãn đồng thời và . ĐS: Bài 11: Cho hai số dương và . Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức thỏa mãn . Áp dụng với . Giải: (1) (2) Từ hệ (1), (2) ta được: (*) và (**) Từ (*) hoặc (**) ta có: . Đặt , chia hai vế cho : ĐS: Tập điểm biểu diễn là elip Bài 12: Cho hai số dương và . Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức thỏa mãn . Dạng 3 PHƯƠNG TRÌNH ẨN SỐ PHỨC Bài 1: Giải các phương trình sau trên tập số phức: a) b) c) d) e) f) ĐS: a) b) c) d) e) f) Bài 2: a) Tìm các số thực a, b để có phân tích . Sau đó giải phương trình: b) Tìm các số thực a, b để có phân tích . Sau đó giải phương trình: ĐS: a) . Nghiệm: , b) . Nghiệm: Bài 3: Giải các phương trình sau trên tập số phức : a) b) . ĐS: a) không phải là nghiệm, chia 2 vế cho : b) Bài 4: Giải phương trình . Giải: Phương trình Giải pt (*): Nghiệm của pt (*): , ĐS: 1, , . Dạng 4 DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC Bài 1: Cho . Viết dạng lượng giác của các số phức . Giải: * * * * Nếu thì dạng lượng giác của là Nếu thì dạng lượng giác của là Bài 2: Viết các số phức sau ở dạng lượng giác: a) b) c) d) ĐS: a), , , b) c) d) Bài 3: Chứng minh các công thức: a) b) Giải: Xét , ta có: (1) Mặt khác (2) Từ (1), (2) đpcmCÁC ĐỀ THI TỐT NGHIỆP VÀ ĐẠI HỌC CAO ĐẲNG Giải các phương trình sau trên tập số phức: a) (TNTHPT 2006) b) (TNTHPT 2007 lần 1) c) (TNTHPT 2007 lần 2) d) (TNTHPT 2008 lần 2) e) (TNTHPT 2009 CB) f) (TNTHPT 2009 NC) g) (TNGDTX 2010) Tìm giá trị biểu thức (TNTHPT 2008 lần 1) (TN2010-CB) Cho hai số phức , . Xác định phần thực, phần ảo của số phức (TN2010-NC) Cho hai số phức , . Xác định phần thực, phần ảo của số phức (TN2011-CB) Giải phương trình trên tập số phức (TN2011-NC) Giải phương trình trên tập số phức (ĐH2009A-CB) Gọi và là hai nghiệm phức của phương trình . Tính giá trị của biểu thức . (ĐH2009B-CB) Tìm số phức thỏa mãn và . (ĐH2009D-CB) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức thỏa mãn điều kiện . (CĐ2010ABD-CB) Cho số phức thỏa mãn điều kiện. Tìm phần thực và phần ảo của . (CĐ2010ABD-NC) Giải phương trình trên tập số phức. (ĐH2010A-CB) Tìm phần ảo của số phức , biết (ĐH2010A-NC) Cho số phức thỏa mãn . Tìm môđun của số phức (ĐH2010B-CB) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức thỏa mãn: . (ĐH2010D-CB) Tìm số phức thỏa mãn và là số thuần ảo. (ĐH2011A-CB) Tìm tất cả các số phức , biết: . (ĐH2011A-NC) Tính môđun của số phức , biết . (ĐH2011B-CB) Tìm số phức , biết: . (ĐH2011B-NC) Tìm phần thực và phần ảo của số phức . (ĐH2011D-CB) Tìm số phức , biết: . (CĐ2011-CB) Cho số phức thỏa mãn . Tính mô đun của . (CĐ2011-NC) Cho số phức thỏa mãn . Tìm phần thực và phần ảo của . HƯỚNG DẪN GIẢI VÀ ĐÁP SỐ 7) (ĐH2009A-CB) Giải: , , 8) (ĐH2009B-CB) Giải: , (1) (2) Ta có hệ: ĐS: 9) (ĐH2009D-CB) Giải: , Tập hợp điểm biểu diễn là đường tròn tâm (biểu diễn số phức ), bán kính . 10) (CĐ2010ABD-CB) Giải: Gọi ĐS: Phần thực bằng , phần ảo 5 11) (CĐ2010ABD-NC) Giải: Vậy căn của là và ĐS: , 12) (ĐH2010A-CB) Giải: Gọi ĐS: Phần ảo 13) (ĐH2010A-NC) Giải: , ĐS: 14) (ĐH2010B-CB) Giải: Giả sử , Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức là đường tròn tâm , bán kính 15) (ĐH2010D-CB) Giải: Giả sử , Theo giả thiết ta có hệ: a) : b) : ĐS: . 16) (ĐH2011A-CB) Giải: Giả sử , , , Theo giả thiết ta có: ĐS: , 17) (ĐH2011A-NC) Giải: Giả sử ĐS: 18) (ĐH2011B-CB) Giải: Giả sử ĐS: Chú ý: * Ở cách giải trên, ta đã sử dụng tích số phức vế trái với số phức và tính chất . * 19) (ĐH2011B-NC) Giải: , ĐS: Phần thực , phần ảo 2 20) (ĐH2011D-CB) Giải: Ta có ĐS: 21) (CĐ2011-CB) Giải: ĐS: . 22) (CĐ2011-NC) Cho số phức thỏa mãn . Tìm phần thực và phần ảo của . Giải: , Nghiệm là: ĐS: Phần thực , phần ảo