Giáo án Lớp 12 môn Đại số - Chủ đề 1. Ba loại hệ phương trình cơ bản

1 Chủ đề 1. Ba loại hệ phương trình cơ bản Loại 1. Hệ đối xứng loại 1 A. Tóm tắt lý thuyết 1. Định nghĩa: Hệ phương trình hai ẩn đối với hai ẩn x , y được gọi là hệ đối xứng loại 1 nếu khi thay đổi vai trò của x , y thì từng phương trình của hệ không đổi. 2. Phương pháp giải: Để giải loại hệ này, ta thường sử dụng định lý Vi-ét đảo. * Định lý Vi-ét đảo: Xét hệ x y S xy P      1 và phương trình 2t St P 0   .  2 Định lý Vi-ét đảo cho biết mối quan hệ giữa tập nghiệm của HPT  1 và PTBH  2 . Cụ thể như sau: +)  1 có nghiệm   2 có nghiệm  2S 4P 0  . +) Trong trường hợp  2 có tập nghiệm là  1 2t ;t , tập nghiệm của  2 là     1 2 1 2t ;t , t ;t . * Chú ý: Quy tắc sau đây cho phép ta xác định nhanh tập nghiệm của  1 . +) TH1: 2S 4P 0    1 vô nghiệm. +) TH2: x a y a    là nghiệm của  1   1 có nghiệm duy nhất x a y a    . +) TH3: x a y b    (a b ) là nghiệm của  1   1 có hai nghiệm phân biệt x a y b    và x b y a    . * Minh họa: +) Hệ x y 3 xy 5     vô nghiệm do 23 4.5 0  . +) Hệ x y 4 xy 4      x 2 y 2    . 2 +) Hệ x y 5 xy 6      x 2 y 3    hoặc x 3 y 2    . 3 B. Một số ví dụ Ví dụ 1. Giải hệ 2 2x y x y 8 xy x y 5          .  1 Giải Ta có  1      2x y x y 2xy 8 xy x y 5           . Đặt S x y  , P xy , hệ đã cho trở thành 2S S 2P 8 S P 5           2S S 2 5 S 8 P 5 S          2S 3S 18 0 P 5 S         S 6 P 11     hoặc S 3 P 2    . Hệ S 6 P 11     vô nghiệm vì  22S 4P 6 4.11 8 0       . Hệ S 3 P 2     x y 3 xy 2         x;y 1;2 hoặc    x;y 2;1 . Vậy tập nghiệm của  1 là     1;2 , 2;1 . Ví dụ 2. Giải hệ 2 2 3 3 x y y x 30 x y 35       .  1 Giải Ta có  1       3 xy x y 30 x y 3xy x y 35             3 xy x y 30 x y 125        xy 6 x y 5         x;y 2;3 hoặc    x;y 3;2 . 4 Vậy tập nghiệm của  1 là     2;3 , 3;2 . Ví dụ 3. Giải các hệ phương trình sau 1) 2 2 x y xy 3 x y xy 2        * . 2)  * . 3) 2 2 x y xy 3 x y xy 2        * . Giải 1)  *      x y xy 3 x y xy 2         x y 1 xy 2      1 hoặc x y 2 xy 1      2 .  1 vô nghiệm do 21 4.2 0  ,  2  x y 1  . Vậy  * có nghiệm duy nhất x 1 y 1    . 2)  *          78 2 2x y 2 22 2 xy 1 x y 2 xy 97 2          . Thay  1 vào  2 , ta có   222 2 78 2 2x y x y 2 97               22 22 2 2 2x y 97 x y 12168 0                22 2 22 2 x y 72 x y 169           2 2x y 13 3  . Thay  3 vào  1 , ta có xy 6 . Do đó  1  2 2x y 13 xy 6         2x y 2xy 13 xy 6          2x y 25 xy 6       x y 5 xy 6     hoặc x y 5 xy 6       x 2 y 3    hoặc x 3 y 2    hoặc x 2 y 3      hoặc x 3 y 2      . Vậy  * có bốn nghiệm x 2 y 3    , x 3 y 2    , x 2 y 3      , x 3 y 2      . 5 C. Bài tập Bài 1. Giải các hệ phương trình sau 1) 2 2 3 3 x y 1 x y 1       . 2) x xy y 11 x xy y 1        . 3) 2 2x y y x 20 1 1 5 x y 4         . 4) 2 2 2 2x y 2x y x y 1 3xy        . 5) 2 2 3 3 x y xy 3 xy yx 2        . 6) y x 2 x y 1 1 x y 4 x y           . 7) 2 2x y x y 3 1 1 xy 1 x y           . 8) 2 2 2 2 2 2 2 2 x y xy 3x y x y xy x y         . 9) 2 2 x y xy 1 x y 2       . 10) 2 2 2 2 (x y)(x y ) 3 (x y)(x y ) 15         . 11)   2 2 2 2x y x y 1 2xy x y xy xy x y 1            . Bài 2. [ĐHD07] Tìm m để hệ phương trình sau đây có nghiệm 1 1 x y 3 31 1 3 3x y x y 5 x y 15m 10              . Bài 3. Cho hệ 2 2x y m x y 6       . 1) Giải hệ với m 26 . 2) Xác định m để hệ vô nghiệm. 3) Xác định m để hệ có nghiệm duy nhất. 4) Xác định m để hệ có hai nghiệm phân biệt. Bài 4. Cho hệ   2 2 2 x y 2(m 1) x y 4        . 1) Giải hệ với m 1 . 6 2) Xác định m để hệ có hai nghiệm phân biệt. Bài 5. Cho hệ 2 2 x xy y m 2 x y xy m 1         . 1) Giải hệ với m 3  . 2) Xác định m để hệ có nghiệm duy nhất. D. Đáp số Bài 1 1)  1;0 ,  0;1 . 2)  1;5 ,  5;1 . 3)  1;4 ,  4;1 , 5 41 5 412 2,          , 5 41 5 412 2,          . 4)  1;1 . 5)  1;1 ,  1; 1  . 6)  1;1 . 7)  1;1 . 8)  1;1 ,  1; 1  . 9)  1;1 ,  1; 1  ,  1; 1 . 10)  1;2 ,  2;1 . 11)  1;0 ,  0; 1 ,  1;1 ,  1; 1  . Bài 2  74m ;2 22;     . Bài 3 1)  1;5 ,  5;1 . 2) m 18 . 3) m 18 . 4) m 18 . Bài 4 1)  0;2 ,  2;0 ,  0; 2 ,  2;0 2) m 6 . Bài 5 1)  1;2 ,  2; 1 ,  1; 1  . 2) m 1 3m 4       . 7 Loại 2. Hệ đối xứng loại 2 A. Tóm tắt lý thuyết * Định nghĩa: Hệ đối xứng loại hai đối với hai ẩn là hệ hai phương trình thỏa mãn điều kiện: khi đổi vai trò hai ẩn thì phương trình này trở thành phương trình kia. * Phương pháp giải: Để giải hệ này, thông thường ta thực hiện phép trừ từng về hai phương trình với mục đích làm xuất hiện một phương trình tích. Từ phương trình tích này, ta rút một ẩn theo ẩn còn lại. Sau bước này, ta tiếp tục giải hệ bằng phương pháp thế. B. Các ví dụ Ví dụ 1. [ĐHB03] Giải hệ 2y 2 2x 2x 2 2y 3y 3x           * . Giải Đk: x 0 y 0    .  *      2 2 2 2 3yx y 2 1 3xy x 2 2       . Trừ từng vế  1 và  2 ta có      3xy x y y x y x        x y 3xy x y 0        3x y 43xy x y 0      . * Thay  3 vào  2 ta có 3 23x 2x 1 0       2x 1 3x x 1 0     x 1 0   x 1 (do tam thức bậc hai 23x x 1  có 11 0     vô nghiệm). Thay x 1 vào  3 ta có y 1 . * Ta thấy x , y là nghiệm của hệ  2y 2 2x 2x 2 2y 3y 0 3x 0              VT 4 0 . Từ đây suy ra tất cả những giá trị x , y thỏa mãn  4 đều không phải nghiệm của hệ. Vậy hệ có nghiệm duy nhất x 1 y 1    . 8 Ví dụ 2. Cho hệ     2 2 x y y m 1 y x x m 2         . 1) Giải hệ với m 0 . 2) Xác định m để hệ có nghiệm. 3) Xác định m để hệ có nghiệm duy nhất. Giải Trừ từng vế  1 và  2 ta có    2 2x y y y x x         x y x y 0    x y 0x y 0           y x 3 y x 4      . Lần lượt thay  3 và  4 vào  2 , ta có  2x 2x m 0 5   và  2x m 0 6  . 1) Thay m 0 vào  5 ta có 2x 2x 0       3 3 x 0 y 0 x 2 y 2           . Thay m 0 vào  6 ta có 2x 0  x 0  4  y 0 . Vậy khi m 0 , hệ có hai nghiệm x 0 y 0    , x 2 y 2    . 2) Hệ có nghiệm   5 có nghiệm hoặc  6 có nghiệm  1 m 0 m 0      m 1 . 3) Để hệ có nghiệm duy nhất thì trước hết một trong hai phương trình  5 ,  6 có nghiệm duy nhất, nghĩa là 1 m 0 m 0      m 1 m 0    . * Theo câu 1 thì khi m 0 hệ không có nghiệm duy nhất. * Thay m 1 vào  5 ta có 2x 2x 1 0    x 1  3  y 1 . Thay m 1 vào  6 ta có 2x 1 0   x . Vậy hệ có nghiệm duy nhất  m 1 . 9 C. Bài tập Bài 1. Giải các hệ phương trình sau 1) 3 3 x 3x 8y y 3y 8x       . 2) 4yx 3y x 4xy 3x y         . 3) 1 12 2 yx 1 12 2 xy            . 4) 3 3 7yx 1 2 7xy 1 2         . Bài 2. Biện luận theo tham số m số nghiệm của hệ 3 3 x 6y m y 6x m       . Bài 3. Giải và biện luận hệ 2 2 x 2xy mx y y 2xy my x         . Bài 4. Tìm m để hệ sau có nghiệm duy nhất     2 2 22 x 2 y m x y 2 m          . Bài 5. Cho hệ     2 2 xy x m y 1 xy y m x 1         . 1) Giải hệ với m 1  . 2) Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất. D. Đáp số Bài 1 1)  0;0 ,  11; 11 ,  11; 11  . 2)  2; 2  . 3)  1;1 . 4)  2;2 . Bài 2 * m 4 2 m 4 2      : hệ có 1 nghiệm, * m 4 2 m 4 2      : hệ có 2 nghiệm, * 4 2 m 4 2   : hệ có 3 nghiệm. Bài 3 10 * 1 m 5  : hệ có 2 nghiệm  0;0 ,  m 1 m 13 3;  . * m 1 m 5    : hệ có 4 nghiệm  0;0 ,  m 1 m 13 3;  ,      m 1 m 1 m 5 m 1 m 1 m 5 2 2;               ,      m 1 m 1 m 5 m 1 m 1 m 5 2 2;               . Bài 4 m 2 . Bài 5 1)  1; 1  ,  a;1 a (a ) 2) m 8 . 11 Loại 3. Hệ thuần nhất Bài 1. Giải hệ 2 2 2 2x y 1 x xy 2       . ĐS: (1;1) , ( 1; 1)  . Bài 2. Giải hệ 2 2 2 2 x y xy 3 x y xy 1         . ĐS: (1;1) , ( 1; 1)  , ( 2;1) , (2; 1) . Bài 3. Giải hệ       2 2 2 x y y 2 x y x xy y 1         . ĐS: 3 3 1 1; 2 2       , 3 33 2 3; 3 3        . Bài 4. Giải hệ     2 2 2 2 x x y 2 y y 2x y 1 x        . ĐS:  1;1 ,  1; 1  , 2 2 2; 3 3         , 2 2 2; 3 3          . Bài 5. Giải hệ 3 2 2 x y x 3x 6y 0 x xy 3         . ĐS: 3 3; 2 2        , 3 3; 2 2         . Bài 6. Giải hệ 2 2 3 x y xy 1 2x x y        . ĐS: (1;1) , ( 1; 1)  . Bài 7. Giải hệ 2 2 3 3 x y xy 3 x 2y 2x y         . ĐS:  1;1 ,  1; 1  , 1 6 1; 3 6 3 6          , 1 6 1; 3 6 3 6          . 12 Chủ đề 2. Ba phương pháp giải hệ phương trình Loại 1.Phương pháp thế Bài 1. [ĐHB02] 3 x y x y x y x y 2          . ĐS:  1;1 ,  3 12 2; . Bài 2. [ĐHD02] 3x 2 x x 14 2 x2 2 2 5y 4y y          . ĐS:  0;1 ,  2;4 . Bài 3. [ĐHA03] 1 1 x y 3 x y 2y x 1         . ĐS:  1;1 , 1 5 1 52 2;          , 1 5 1 52 2;          . Bài 4. [ĐHA04]   11 4 y 4 2 2 log y x log 1 x y 25          . ĐS:  3;4 . Bài 5. [ĐHB05]  2 39 3 x 1 2 y 1 3 log 9x log y 3         . ĐS:  1;1 ,  2;2 . Bài 6. [ĐHB08] 4 3 2 2 2 x 2x y x y 2x 9 x 2xy 6x 6          ĐS:  1744; . Bài 7. [ĐHD08] 2 2xy x y x 2y x 2y y x 1 2x 2y           . ĐS:  5;2 . Bài 8. [ĐHB10]  2 x x 2 log 3y 1 x 4 2 3y       . ĐS:  121; . Bài 9. [ĐHB10]   2 2 2 x 4x y 2 0 2 log x 2 log y 0          . ĐS:  3;1 . Bài 10. [ĐHA11]       2 2 3 22 2 5x y 4xy 3y 2 x y 0 xy x y 2 x y            . ĐS:  1;1 ,  1; 1  , 2 10 105 5;       , 2 10 105 5;       13 Bài 11. 3 2 2 2 x 2xy 12y 0 8y x 12        . ĐS:  2; 1 ,  2;1 . Bài 12. 2 3 4 2 3 4 2 2 x x x x y y y y x y 1            . ĐS: 1 1; 2 2       , 1 1; 2 2        ,  0; 1 ,  1;0 . Bài 13. 2 2 2 x xy 2 3x y x y 2         . ĐS:  1; 1 ,  1;1 . Bài 14. 2 2 y x 26 x y 5 x y 24        . ĐS:  5;1 ,  5; 1  . 14 Loại 2.Phương pháp đặt ẩn phụ Bài 1. 2 2 1 xx 3 yy 1 xx 3 y y           . ĐS:  1;1 . Bài 2. 2 xx y 4 y x xy y 0          . ĐS:  22 32 3 , 3 3 3 3           ,  22 32 3 , 3 3 3 3           . Bài 3. 2 xx 2y 6 y x 2xy 6y 0          . ĐS:  23 3 3(3 3); 2 3             ,  6 2 3 3 ;2 3 3 3 3         . Bài 4. 2 2 x yx y 4 y x x yx y 4 y x             . ĐS:  1;1 . Bài 5.   3 3 2 2 3 1 1x x 1 1 4 y y x y x y xy 1 4y                 . ĐS:  1;1 ,  1; 1  . Bài 6.     2 2 2 2 x y 1 2y 1 x 1 3xy x y 1           . ĐS:  1;1 , 1 1; 3 3        . Bài 7. [ĐHA08]   2 3 2 5 4 4 2 5 4 x y x y xy xy x y xy 1 2x              . ĐS:  5 253 34 16; ,  321; . Bài 8. [ĐHB09] 2 2 2 xy x 1 7y x y xy 1 13y        . ĐS:  131; ,  3;1 . Bài 9. [ĐHD09]    2 52x x x y 1 3 0 x y 1 0            . ĐS:  1;1 ,  322; . Bài 10. [ĐHD11] Tìm m để HPT sau có nghiệm  3 2 2 2x y 2 x xy m x x y 1 2m            . 15 ĐS: 2 32m  . Loại 3.Phương pháp hàm số Bài 1. [ĐHD06] Chứng minh rằng với mọi a 0 , HPT sau có nghiệm duy nhất    x ye e ln 1 x ln 1 y y x a          . Bài 2. [ĐHA10]     2 2 2 4x 1 x y 3 5 2y 0 4x y 2 3 4x 7             . ĐS:  12 ;2 .