Giáo án lớp 12 môn đại số - Chủ đề 1 : Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số

CHỦ ĐỀ 1 : ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ Vấn đề 1 : KHẢO SÁT HÀM SỐ Số tiết: I. Mục đích yêu cầu: 1. Kiến thức: - Giúp học sinh nhớ lại các bước khảo sát hàm số - Khảo sát thuần thục ba loại hàm số: bậc 3, bậc 4 trùng phương, và bậc 1/ bậc 1. 2. Kĩ năng: - Biết áp dụng và tính chính xác đạo hàm của các hàm số. - Biết tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến, điểm cực đại, cực tiểu, các đường tiệm cận . - Vẽ chính xác, thuần thục đồ thị của 3 hàm số bắt buộc. 3. ý thức: - Rèn cho học sinh có tư duy logic, tích cực, cẩn thận khi trình bày bài thi. II. Phương pháp – phương tiện: 1. Phương pháp: - Phát huy tích chủ động tích cực của học sinh, giáo viên hướng dẫn rèn kĩ năng tính toán và trình bày cho học sinh. 2. Phương tiện: - Tài liệu ôn thi tốt nghiệp năm 2009. III. Nội dung: 1. Nhắc lại kiến thức cũ: Các bước khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số Hàm số bậc ba : Hàm số bậc bốn : Hàm số Tập xác định : D = R Đạo hàm : y’= . . . . . y’= 0 x = ? Bảng biến thiên : Các khỏang đồng biến , nghịch biến , điểm cực đại , điểm cực tiểu . y’’= . . . . . y’’= 0 x = ? Bảng xét dấu y’’: Các khỏang lồi , lơm , điểm uốn . Vẽ đồ thị : Tập xác định : D = R\ Đạo hàm : y’= ( hoặc y’<0 ) , y’ không xác định Tiệm cận : . Tiệm cận đứng : .Tiệm cận ngang : Bảng biến thiên : Các khỏang đồng biến (hoặc nghịch biến ) . Hàm số không có cực trị Vẽ đồ thị : I. Dạng 1: Khảo sát hàm số bậc 3: y = ax3 + bx2 + cx +d (a khác 0) Ví dụ 1: Khảo sát các hàm số y = x3+3x2– 4 Tóm lược: 1. Tập xác định: D = R 2. Sự biến thiên. y’= 3x2+6x = 3x(x+2), cho */ Bảng biến thiên. x -2 0 + y/ + 0 - 0 + y 0 + - -4 3. Đồ thị : +/ cho = 0 x= –1 y= -2, y’’ đổi dấu qua x=-1 Þ I(-1 ;-2) l điểm uốn +/ Điểm đặc biệt: A(1;0) B(-3;-4) Vẽ đồ thị hàm số: 2. Chú ý */ Các dạng đồ thị hàm bậc 3: TH 1 TH 2 y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt và a>0 a>0 và y’>=0 với mọi x. TH 3 TH 4 y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt và a<0 a<0 và y’<=0 với mọi x. */ Với mọi hàm số bậc 3 ta dễ dàng tìm được điểm uốn và điểm uốn là tâm của đồ thị hàm số. 3. Các bài tập cùng dạng: Bài 1: Khảo sát các hàm số sau: a/ y= x3 – 3x2 b/ y= - x3 + 3x – 2 c/ y= x3 + 3x2 + 4x -8 Bài 2: a/Cho hàm số y= x3 – 3m x2 + 4m3 . Khảo sát vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m=1. b/ viết pttt với (C) tại điểm có hoành độ bằng 1. Bài 3: Cho hàm số y = có đồ thị ( C ) . a/ Khảo sát và vẽ đồ thi của hàm số. b/ Viết phương tŕnh tiếp tuyến của ( C) : +/ Tại điểm có hoành độ x0 = +/ Biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y = 3x – 1 II. Dạng 2: Khảo sát và vẽ đồ thi của hàm bậc 4 trùng phương: y = ax4 + bx2 + c (a khác 0) 1. Ví dụ: Khảo sát hàm số: y = 2x2– x4 Tóm lược 1. MXĐ : D= R 2. Sự biến thiên: = 4x–4x3 = 4x(1–x2) cho = 0 4x(1–x2)=0 Lập bảng biến thiên: x -1 0 1 + y/ + 0 - 0 + 0 - y 1 CT 1 - CĐ 0 CĐ - 3. Đồ thị: +/= 4–12x2 cho = 0 x = y= đổi dấu qua x = Đồ thị hm số có 2 điểm uốn là +/ Điểm đặc biệt: A B +/ Đồ thị hàm số nhận trục 0y làm trục đối xứng. 2. Chú ý: */ Các dạng đồ thị hàm trùng phương: TH1 TH2 a>0 và y’=0 có 3 nghiệm phân biệt a>0 và y’=0 có 1 nghiệm TH3 TH4 a<0 và y’=0 có 3 nghiệm phân biệt a<0 và y’=0 có 1 nghiệm */ Mọi đồ thị của hàm bậc 4 trùng phương luôn nhận trục tung oy làm trục đối xứng. 3. Bài tập đề nghị: Bài 1: Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số : a/ y = x4 – 6x2 + 5 b/ y = -x4 + 2x2 + c/ y = x4 + 2x2 d/ y = (hd ôn thi tn) e/ (hd ôn thi tn). Bài 2: Cho hàm số y= x4 – m x2 + 4m -11 . Khảo sát vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m=4. Bài 3: a/ Khảo sát hàm số y= x4 – 4 x2 + 5. b/ Dùng đồ thị (C) của hàm số vừa khảo sát biện luận theo m số nghiệm của phương tŕnh: x4 – 4 x2 + 5=m. III. Dạng 3: Khảo sát hàm số b1/b1: 1. Các bước khảo sát hàm b1/b1. B1: TXĐ D = R\ B2: Tiệm cận ngang là: . Tiệm cận đứng là x = . B3: Tính đạo hàm y’= tính đơn điệu của hàm số B4: Lập bảng biến thiên. x Ghi miền xác định của hàm số f’(x) Xét dấu y/ f(x) Ghi khoảng tăng giảm của hàm số B5:T́m giao điểm của đồ thị với các trục toạ độ , có thể lấy thêm một số điểm khác để dễ vẽ. B6:Vẽ đồ thị 2. Dạng đồ thị hàm b1/b1 y’ 0 3. Các ví dụ: Ví dụ 1: Khảo sát hàm số : y = . 1. MXĐ: D= R\ 2. Sự biến thiên. = > 0 D hàm số luôn đồng biến trên từng khỏang xác định của nó. TCĐ: x = - 1 ; TCN: y = 2 Lập bảng biến thiên. x - -1 + y/ + + y + 2 2 - 3. Đồ thị: Điểm đặc biệt: A(0;-2), B(1; 0), C(-2;6), D(-3;4) Ví dụ 2: Cho hàm số Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng y = mx + 2 cắt đồ thị của hàm số đã cho tại hai điểm phân biệt. Giải: 2/ Đường thẳng y = mx + 2 cắt đồ thị tại hai điểm phân biệt Û Phương trình (ẩn x) có hai nghiệm phân biệt Û Phương trình (ẩn x) mx2 – (m – 4)x – 5 = 0 có hai nghiệm phân biệt, khác 1 Û 4. Bài tập đề nghị: Bài 1: khảo sát các hàm số sau: a/ y = b/ y = . c/ y = Bài 2: Cho hàm số y = khảo sát hàm số khi m = 2. Bài 3: Cho (C) : y = . a/ Khảo sát và vẽ đồ thi của hàm số. b/ Viết phương trình tiếp tuyến của (C): +/ Tại giao điểm của (C ) với trục Ox. +/ Song song với đường thẳng d1 : y = 4x – 5. *****Các bài tập tự luyện***** Khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm số sau: a/ y = b/ y= c/ y = d/ y = e/ y = f/ y = Vấn đề 2: PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN Số tiết: I. Mục đích yêu cầu: 1. Kiến thức: - Giúp học sinh nhớ lại công thức và phương pháp viết phương trình tiếp tuyến. 2. Kĩ năng: - HS biết viết pttt với các đồ thị hàm số tại một điểm cho trước, tt có hệ số góc cho trước. 3. ý thức: - Rèn cho học sinh có tư duy logic, tích cực, cẩn thận khi trình bày bài thi. II. Phương pháp – phương tiện: 1. Phương pháp: - Phát huy tích chủ động tích cực của học sinh, giáo viên hướng dẫn rèn kĩ năng tính toán và trình bày cho học sinh. 2. Phương tiện: - Tài liệu ôn thi tốt nghiệp năm 2009. III. Nội dung: 1. Công thức cần nhớ. Phương trình tiếp tuyến với (C) của đồ thị hàm số y = f ( x) tại điểm M (x0 ; y0 ) là: y – y0 = y’ (x0) . ( x – x0 ) Trong phương trình trên có ba tham số x0 ; y0 ; y’(x0) .Nếu biết một trong ba số đó ta có thể tìm 2 số c̣òn lại nhờ hệ thức : y0 = f (x0) ; y’(x0)= f ’(x0) Chú ý : y’ (x0) là hệ số góc của tiếp tuyến của ( C ) tại điểm M ( x0 ; y0 ) Nếu tiếp tuyến song song với đường thẳng y = ax + b th́ y’ (x0) = a Nếu tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y = ax + b th́ y’ (x0) = 2. Ví dụ minh họa: Cho hàm số y = x3 – 3x + 2 có đồ thi (C). a. Viết pttt với (C) tại điểm có hoành độ bằng 2. b. Viết pttt biết tt song song với đường thẳng y = 9x + 2009 Hướng dẫn a. ta có y0 = 4, y’ = 3x2 – 3 suy ra y’(2) = 9. => pttt tại M(2; 4) là: y – 4 = 9(x - 2) hay y = 9x -14. b. Từ giả thiết: y’(x0) = 9 ó 3x02 – 3 = 9 ó x0 = 2 và x0 = - 2. + Tại x0 = 2 => y0 = 4 và pttt là: y = 9x – 14. + Tại x0 = - 2 => y0 = 0 và pttt là: y = 9x + 18. 3. Bài tập cùng dạng: Bài 1: Viết phương tŕnh tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = tại giao điểm của nó với trục hoành Bài 2: Cho hàm số y = có đồ thị ( C ) .Viết phương tŕnh tiếp tuyến của ( C) : a/ Tại điểm có hoành độ x0 = b/ Biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y = 3x – 1 Bài 3: Cho hàm số y = có đồ thị ( C ) .Viết phương tŕnh tiếp tuyến của ( C) : a/ Tại giao điểm của ( C ) và trục tung . b/ Biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y = 24 x +1 Bài 4: Cho (C) : y = x3 – 6x2 + 9x – 1.Viết phương trình tiếp tuyến của (C) : Tại điểm uốn của (C). Tại điểm có tung độ bằng -1 Song song với đường thẳng d1 : y = 9x – 5. Vuông góc với đường thẳng d2 : x + 24y = 0. Bài 5: Cho (C) : y = .Viết phương trình tiếp tuyến của (C): Tại giao điểm của (C ) với trục Ox. Song song với đường thẳng d1 : y = 4x – 5. Vuông góc với đường thẳng d2: y = -x. Bài 6: Cho (C ) : y = .Viết phương trình tiếp tuyến của (C ): Tại điểm có hòanh độ x = 2. Song song với đường thẳng d : -3x + 4y + 1 = 0. Vuông góc với tiệm cận xiên. Bài 7: Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C). a) y = x3 – 3x + 2 đi qua điểm A(1 ; 0) b) y = đi qua điểm A(0 ; . Vấn đề 3: BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẰNG ĐỒ THỊ Số tiết: I. Mục đích yêu cầu: 1. Kiến thức: - Giúp học sinh củng cố bài toán khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số. - Biết dùng đồ thị để biện luận phương trình. 2. Kĩ năng: - Nắm vững pp biện luận số nghiệm của pt bằng đồ thị. - Vẽ chính xác và đọc được đồ thị. 3. ý thức: - Rèn cho học sinh có tư duy logic, tích cực, cẩn thận khi trình bày bài thi. II. Phương pháp – phương tiện: 1. Phương pháp: - Phát huy tích chủ động tích cực của học sinh, giáo viên hướng dẫn rèn kĩ năng tính toán và trình bày cho học sinh. 2. Phương tiện: - Tài liệu ôn thi tốt nghiệp năm 2009. III. Nội dung: 1. Phương pháp: Bài toán: Dựa vào đồ thị ( C) của hàm số y =f(x) , Biện luận số nghiệm của phương tŕnh : F(x , m ) = 0 ( với m là tham số ). Cách giải : Chuyển phương trình : F(x , m ) = 0 về dạng : f(x) = h(m) (*) Số nghiệm của phương trình (*) bằng số giao điểm của ( C) và đường thẳng (d) : y = h(m) Dựa vào đồ thị (C ) , ta có kết quả : . Nếu (d) và (C ) có n giao điểm thì (*) có n nghiệm đơn . . Nếu (d) và (C ) có 0 giao điểm thì (*) vô nghiệm . . Nếu (d) và (C ) tiếp xúc với nhau tại m điểm thì (*) có m nghiệm kép ). 2. Ví dụ: Cho hàm số y=x3 – 6x2 + 9x có đồ thị (C). a/ Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số. b/ Dùng đồ thị (C) biện luận số nghiệm của phương tŕnh x3 – 6x2 + 9x – m = 0 Giải: b/ Phương tŕnh x3 – 6x2 + 9x – m = 0 x3 – 6x2 + 9x = m Số nghiệm của phương tŕnh là số giao điểm của đồ thị (C) và đường thẳng d: y=m. dựa vào đồ thị ta có: Nếu m > 4 phương tŕnh có 1 nghiệm. Nếu m = 4 phương tŕnh có 2 nghiệm. Nếu 0< m <4 phương tŕnh có 3 nghiệm. Nếu m=0 phương tŕnh có 2 nghiệm. Nếu m < 0 phương tŕnh có 1 nghiệm. Bài tập đề nghị: Bài 1: a/ Khảo sát hàm số y= x4 – 4 x2 + 5 có đồ thị (C). b/ Biện luận theo m số nghiệm của phương tŕnh: x4 – 4 x2 + 5=m. Bài 2: Cho hàm số y= x3 - 3x – 2 có đồ thị (C) a/ Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số. b/ Dùng đồ thị (C), định m để phương tŕnh: x3 - 3x – 2=m có 3 nghiệm phân biệt. Vấn đề 4:TÌM GÍA TRỊ LỚN NHẤT – GÍA TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ Số tiết: I. Mục đích yêu cầu: 1. Kiến thức: - Giúp học sinh củng cố kiến thức đạo hàm và khảo sát sự biến thiên của hàm số của hàm số. - Biết dùng đạo hàm để tìm GTLN, GTNN của hàm số.. 2. Kĩ năng: - Nắm vững pp các bước tìm GTLN, NN của hàm số đơn giản. 3. ý thức: - Rèn cho học sinh có tư duy logic, tích cực, cẩn thận khi trình bày bài thi. II. Phương pháp – phương tiện: 1. Phương pháp: - Phát huy tích chủ động tích cực của học sinh, giáo viên hướng dẫn rèn kĩ năng tính toán và trình bày cho học sinh. 2. Phương tiện: - Tài liệu ôn thi tốt nghiệp năm 2009. III. Nội dung: 1. Phương pháp: Bài toán: Tìm giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất của hàm số y= f (x) trên Khoảng (a ; b ) Đoạn [a;b ] Tính y’ Lập bảng biến thiên trên (a ; b ) Kết luận : hoặc Tính y’ Giải pt y’ = 0 t́m nghiệm Tính y (x0 ) , y(a) , y (b) Chọn số lớn nhất M , kết luận : Chọn số nhỏ nhất m , kết luận : 2. Ví dụ: a)Tìm giá trị lớn nhất & giá trị nhỏ nhất của hàm số y=. b)Tìm giá trị lớn nhất & giá trị nhỏ nhất của hàm số b/ y = trên [;2 ] Giải : a)Txđ : D =[0;2] y/= cho y/=0 1-x=0 x=1 y=1 Bảng biến thiên x 0 1 2 y/ + 0 - y 1 0 0 , b) y/= cho y/=0 x2-1=0 Ta có y(= ; y(1)=3 ; y(2)= = f(=f(2)= ; 3. Bài tập đề nghị: Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số : a) y= x + (x > 0) b) y = trên c) y = trên đoạn d) y= x4- 4x2 + 2 trên đoạn [-2;2] Bài 2: Tìm GTLN- GTNN của hàm số sau trên mỗi tập tương ứng : a/ trên b/ trên c/ trên e/ trên f/ trên tập xác định g/ y = x3 + 3x2 - 9x – 7 trên [ - 4 ; 3 ] h/ y = x + 2 + trên m/ y= trên Vấn Đề 5: SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ, CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ Số tiết: I. Mục đích yêu cầu: 1. Kiến thức: - Giúp học sinh củng cố kiến thức đạo hàm và khảo sát sự biến thiên của hàm số của hàm số. - Nắm vững các bước và phương pháp xét tính đb và nb của hàm số, tìm cực trị của hàm số. 2. Kĩ năng: - Biết tìm khoảng đồng biến, nghịch biến. Tìm các điểm cực trị của hàm số cho trước. - Biết tìm điều kiện của tham số để hàm số tăng, giảm trên khoảng cho trước. Đạt cực trị tại điểm cho trước. 3. ý thức: - Rèn cho học sinh có tư duy logic, tích cực, cẩn thận khi trình bày bài thi. II. Phương pháp – phương tiện: 1. Phương pháp: - Phát huy tích chủ động tích cực của học sinh, giáo viên hướng dẫn rèn kĩ năng tính toán và trình bày cho học sinh. 2. Phương tiện: - Tài liệu ôn thi tốt nghiệp năm 2009. III. Nội dung: 1. Phương pháp: 1.1 Phương pháp xác định khoảng tăng, giảm hàm số : + MXĐ D= ? + Tính : y/ , tìm nghiệm của ptrình y/ = 0 + BXD (sắp xếp các nghiệm của PT y/ = 0 và giá trị không xác định của hàm số từ trái sang phải theo chiều tăng dần) + Dựa vào bảng xét dấu suy ra khoảng đb, nb của hàm số. Chú ý: y/ > 0 thì hàm số tăng (đồng biến); y/ < 0 thì hàm số giảm (nghịch biến). + Kết luận : hàm số đồng biến, nghịch biến trên khoảng ... Định lý: (dùng để tìm gía trị tham số m): a) f/(x) ³ 0 "x Î (a;b) (chỉ bằng 0 tại hữu hạn điểm Î(a;b)) thì f(x) tăng trong/(a;b). b) f/(x) £ 0 "x Î (a;b) (chỉ bằng 0 tại hữu hạn điểm Î(a;b)) thì f(x) giảm trong/ (a;b). V/ Bài toán 5: Cực trị của hàm số · Dấu hiệu cần: Hàm f(x) đạt cực trị tại x0 và có đạo hàm tại x9 thì f/(x0)=0 · Tìm cực trị = dấu hiệu I : + MXĐ D=? + Tính: y/ = , tìm nghiệm của ptrình y/ = 0 . Tính yCĐ; yCT + BBT: (sắp xếp các nghiệm của PT y/ = 0 và giá trị không xác định của hàm số từ trái sang phải theo chiều tăng dần) + Kết luận cực trị ? Chú ý: Nếu hàm số luôn tăng (giảm) trên (a;b) thì hàm số không có cực trị trên (a;b). Số cực trị của hàm số bằng số nghiệm đơn của phương trình y/ = 0. đổi dấu qua x0 x0 là cực trị của hàm số ó Tìm cực trị = dấu hiệu II: + MXĐ + Đạo hàm : y/ = ? .. y// = ? .. cho y/ = 0 => các nghiệm x1 , x2 .. .( nếu có ) + Tính y//(x1); y//(x2). Nếu y//(x0) > 0 th́ hàm số đạt CT tại x0 , yCT= ? Nếu y//(x0) < 0 th́ hàm số đạt CĐ tại x0 , yCĐ= ? Chú ý : dấu hiệu II dùng cho những h/s mà y/ khó xét dấu *Cực trị của hàm hữu tỉ: Nếu h/s đạt cực trị tại x0 thì y/(x0)=0 và giá trị cực trị y(x0)= * Điều kiện để hàm bậc 3 có cực trị (có cực đại, cực tiểu): y’= 0 có hai nghiệm phân biệt * Điều kiện để hàm hữu tỉ b2/b1 có cực trị (có cực đại,cực tiểu): y’= 0 có hai nghiệm phân biệt khác nghiệm của mẫu * Điều kiện để hàm bậc 4 có 3 cực trị : y/ = 0 có 3 nghiệm phân biệt. Một số ví dụ: Ví dụ 1: Xét tính đồng biến nghịch biến và tìm các điểm cực trị của hàm số: a/ y = x3 – 3x + 1 b/ lời giải a/ TXD: D = R y’ = 3x2 – 3, y’ = 0 ó x = 1 hoặc x = -1. * Bảng xét dấu y’: x - - 1 1 + y’ + 0 - 0 + Kết luận: +/ Hàm số đb/ (-; - 1) và (1; + ). Hàm số nb / (- 1; 1). +/ Hàm số đạt cực đại tại x = -1, ycd = 1. Hàm số đạt cực tiểu tại x = 1, yct = -1. b/ TXD: D = R\{1} => y’ < 0 với mọi x thuộc D. KL: Hàm số nghịch biến trên D. Do đó hàm số không có cực trị. Ví dụ 2: Xác định m để hàm số: đạt cực đại tại x=2. Giải: Ta có ; Đ/k cần để hàm số đạt cực đại tại x=2 là: Û Đ/k đủ: Với m= -1 th́ f//(2)=2>0 Þ m= -1 không là giá trị cần t́m. Với m= -3 th́ f//(2)= -2< 0 Þ m= -3 là giá trị cần t́m. Ví dụ 3: Chứng minh rằng hàm số y= luôn luôn có một cực đại và một cực tiểu. Giải: Ta có Cho ta có y/=0 luôn luôn có 2 nghiệm phân biệt. Vậy hàm số luôn có một cực đại và một cực tiểu. 3/Định m để hàm số y= có cực đại, cực tiểu. Giải Txđ D=R y/= 3x2 -6mx +3(m2-m) Để hàm số có cực đại, cực tiểu y/=0 có 2 nghiệm phân biệt 3x2 -6mx +3(m2-m)=0 có 2 nghiệm phân biệt 9m2 -9m2 +9m >0 m>0 vậy m>0 là giá trị cần t́m. Bài tập đề nghị: Bài 1: Định m để y= đạt cực đại tại x=1. ĐS:m=2 Bài 2: Cho hàm số y= . Định a,b để hàm số đạt cực trị bằng –2 tại x=1 Bài 3 : Cho hàm số y=Định m để hàm số có cực trị và 2 giá trị cực trị cùng dấu. Bài 4: Cho hàm số y=.CMR đồ thị hàm số lu6n có cực đại và cực tiểu.Viết phương tŕnh đường thẳng qua hai điểm cực trị của hàm số . Bài 5: (HD ôn thi tn 2009) Tìm giá trị của m để hàm số: y = đồng biến trên R. Bài 6: (HD ôn thi tn 2009) cho hàm số y = Tìm m để hàm số đạt cực đại tại x = 1.