Giáo án lớp 12 môn Đại số - Chủ đề 2: Tích phân

Chủ đề2: TÍCH PHÂN A/ Một số lưu y khi tính tích phân: Nếu F(x) là 1 nguyên hàm của f(x) trên [a; b] thì Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường x = a; x = b; trục Ox và đồ thị hàm số y = f(x) (f(x) liên tục và không âm trên [a; b]) được tính theo công thức B/ Bài tập: I/ Dạng 1: Tích phân hàm số có chứa dấu giá trị tuyệt đối PP giải: B1: Xét dấu biểu thức f(x) trên đoạn [a; b] B2: Áp dụng tính chất cộng tính để tách thành các tích phân rồi tính Tính các tích phân sau: II/ Dạng 2: Tích phân hàm số có dạng hoặc PP giải: B1: Đặt h(x) = f(x) – g(x). Xét dấu biểu thức h(x) trên đoạn [a; b] B2: Nếu h(x) thì max(f(x), g(x)) = f(x) và min(f(x), g(x)) = g(x) Nếu h(x) thì max(f(x), g(x)) = g(x) và min(f(x), g(x)) = f(x) B3: Sử dụng tính chất cộng tính để tính Tính các tích phân sau: III/ Dạng 3: Tích phân các hàm số đa thức, phân thức: Tính các tích phân sau: 11/ IV/ Dạng 4: Tích phân các hàm số vô tỉ PP giải: Sử dụng phương pháp đổi biến số đưa về tích phân dạng 3 Tính các tích phân sau: V/ Dạng 5: Tích phân các hàm số lượng giác: PP giải: Sử dụng phương pháp đổi biến số đưa về dạng 3 hoặc dạng 4 Tính các tích phân sau VI/ Dạng 6: Tích phân các hàm số mũ và logarit PP giải: Sd PP đổi biến số đưa về dạng 3 hoặc dạng 4 Tính các tích phân sau VII/ Dạng 7: Tích phân bằng phương pháp tích phân từng phần Tính các tích phân sau VIII/ Bài tập tổng hợp nâng cao LTĐH: Bài1: Tính các tích phân sau: Bài 2: Tính các tích phân sau: Bài 3: Tính các tích phân sau bằng phương pháp từng phần: Bài 4: Tính các tích phân sau: C. Một số phương pháp đổi biến đặc biệt tính tích phân: I/ Phép đổi biến: Dạng1: Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [-a; a]. CMR a/ Nếu f(x) là hàm số chẵn thì b/ Nếu f(x) là hàm số lẻ thì Thật vậy, ta có Đặt x = - t thì dx = - dt. Do đó Nếu f(x) chẵn thìf(-x) = f(x) nên Nếu f(x) lẻ thì f(- x ) = - f(x) nên (Suy ra điều phải chứng minh) Áp dụng kết quả trên hãy tính các tích phân sau Dạng2: Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn và f(x) là hàm số chẵn. CMR Thật vậy, Ta có . Đặt x = - t , suy ra dx = - dt Vì f(x) là hàm số chẵn nên ta có f(-x) = f(x) do đó, Suy ra Áp dụng kết quả trên hãy tính các tích phân sau II/ Phép đổi biến Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [0; 1] thì ta có Áp dụng tính: III/ Phép đổi biến Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [0; 1] thì ta có Nếu thêm điều kiện hàm số f(x) là hàm số chẵn thì Áp dụng tính các tích phân sau: IV/ Phép đổi biến Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [0; a] thì ta có Áp dụng tính các tích phân sau: (HD: Đặt ) 2/ Từ kết quả bài 1, hãy tính ( HD: Đặt u = tanx ) V/ Phép đổi biến Cho hàm số f(x) liên tục, tuần hoàn có chu kì T. Khi đó ta có CM: Phân tích Rồi đặt để tính Áp dụng tính: Chủ đề3: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN A/ TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi miền D ={x = a, x = b, y = 0, y = f(x)} được tính theo CT Diện tích hình phẳng giới hạn bởi miền D ={x = a, x = b, y = f(x), y = g(x)} được tính theo CT Diện tích hình phẳng giới hạn bởi miền D ={y = f(x), y = g(x)} được tính theo CT (Với c, d là các nghiệm của phương trình f(x) = g(x) ) Chú y: Nếu phương trình f(x) = g(x) có nhiều n0 x1 = c < x2 < x3 < .. < xn=d thì Ct (3) viết lại Diện tích hình phẳng giới hạn bởi miền D ={y = f(x), y = g(x), y = h(x)} Ta tìm hoành độ giao điểm của các đường y = f(x), y = g(x), y = h(x) rồi chia ra từng khúc để tính. Tốt nhất là phải vẽ hình để dễ thấy Chẳng hạn, f(x) = g(x) có 2 nghiệm a < c và g(x) = h(x) có hai nghiệm c < d thì Chú y: Trong trường hợp phương trình hoành độ giao điểm f(x) = g(x) phức tạp thì có thể xét phương trình tung độ giao điểm của chúng, giả sử và phương trình có hai nghiệm c < d thì Bài tập: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = 0, y = x3 – 3x2 +2, x = 0, x = 2 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = 0, y = x3 – 2x2 – x + 2 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x2 + 1, y = 3 – x Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = 3x, y = 4x – x 2 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = 0, y = lnx, x = e Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = 0, y = lnx, x = 1/e, x = e Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường x = y3, x = 8, y = 1 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = ex, y = e-x , x = 1 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường (P): y = x2 – 2x +2; tiếp tuyến của (P) tại M(3; 5) và trục tung Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường (P): y = –x2 + 4x – 3 và các tiếp tuyến của (P) tại các điểm M(0; – 3 ) ; N(3; 0 ) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường trục Ox, trục Oy; tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = lnx tại giao điểm của đồ thị hàm số đó với Ox Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x2 – 2x +2; y = –x2 – x + 3 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = 6, y = x3 – x2 – 8x + 1 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường (P): y = –x2 + 6x – 8; tiếp tuyến của (P) tại đỉnh của (P) và trục tung Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường (P): y = x2 – 2x + 2 và các tiếp tuyến của (P) xuất phát từ điểm M(; – 1 ) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y2 = 2x và x2 = 2y Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = sin3x; y = cos3x và trục Oy Tính diện tích hình phẳng của mỗi phần giới hạn bởi các đường x2 + y2 = 16 và y2 = 6x Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường (P): y = x2 – 2x và hai tiếp tuyến của (P) đi qua điểm A(2; – 9) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x2 ; y = x2 và y = Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x2 ; y = x2 và y = 2x Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = sinx và trục Ox trong 1 chu kì Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y2 = x; x = 0; x = 1 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường x = 4 – 4y2; x = 1 – y4 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y2 = 2x + 1 và y = x – 1 (TN2002) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y2 = x + 2 và y = x (ĐH 2001) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường (ĐH – A 2002) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = (e + 1)x và y = (1 + ex)x (ĐH – A 2007) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = – x2 + 4x và y = x (ĐH – D 2008) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường x2 +3y = 0 và Cho hình phẳng (S) giới hạn bởi các đường my = x2 và mx = y2 (với m > 0). Tính giá trị m để diện tích S = 3 B/ TÍNH THỂ TÍCH KHỐI TRÒN XOAY: - Khi quay miền D ={ y = f(x); y = 0; x = a; x = b} quanh trục Ox ta được khối tròn xoay có thể tích được tính theo công thức: (1) - Khi quay miền D ={ x = g(y); x = 0; y = a; y = b} quanh trục Oy ta được khối tròn xoay có thể tích được tính theo công thức: (2) - Khi quay miền D ={ y = f(x); y = g(x); x = a; x = b} với quanh trục Ox ta được khối tròn xoay có thể tích được tính theo công thức: (3) Trong đó thể tích khối tròn xoay khi quay miền D1={y = g(x); y=0; x=a; x=b}quanh trục Ox là thể tích khối tròn xoay khi quay miền D2 = { y = f(x); y = 0; x = a; x = b} quanh trục Ox Chú y: Khi miền D giới hạn bởi nhiều đồ thị hàm số, để tính được thể tích khối tròn xoay khi quay miền D quanh Ox hay Oy, cách tốt nhất là ta nên vẽ hình, từ hình vẽ suy ra cách tính. Bài tập: 1/ Tính thể tích các khối tròn xoay sinh ra khi quay miền D giới hạn bởi các đường sau quanh trục Ox a/ y = sinx; y = 0; x = 0; x = b/ y = - x2 + 2x; y = 0 c/ y = x2; y = 2x d/ y = x2 – 2x + 2 ; y = - x2 – x + 3 e/ 2/ Tính thể tích các khối tròn xoay sinh ra khi quay miền D giới hạn bởi các đường sau quanh trục Ox a/ y = x + 1; y = 3 – x; y = 0 b/ y = x2; y = 2 – x c/ y = x2 và tiếp tuyến của nó tại điểm A(2; 4) và trục Oy d/ y = x2; y = ; y = 2x