Giáo án lớp 12 môn Đại số - Chủ đề 2: Tính đơn điệu của hàm số

Baøi giaûng oân thi vaøo Ñaïi hoïc - Caùc baøi toaùn veà haøm soá ThS. Phaïm Hoàng Phong – Giaùo vieân luyeän thi ñaïi hoïc (Haø Noäi). DÑ:0983070744 18 Chuû ñeà 2. Tính ñôn ñieäu cuûa haøm soá Toùùm taét lyù thuyeát I. Nhaéc laïi Phần này nhắc lại một số kiến thức đã biết về sự biến thiên của hàm số (phần này thuộc chương trình lớp 10).  Ñònh nghóa: Giả sử K là một khoảng, đoạn hay nửa khoảng, f là một hàm số xác định trên K :  f được gọi là đồng biến trên K nếu:    1 1 1 2 1 2x ,x K, x x f x f x     .  f được gọi là nghịch biến trên K nếu:    1 1 1 2 1 2x ,x K, x x f x f x     . Cũng trong chương trình lớp 10, ta đã khảo sát sự biến thiên của hàm bậc nhất và hàm bậc hai. Ở đây, để kiến thức được liên tục, chúng tôi cũng hệ thống lại những điều này.  Chieàu bieán thieân cuûa haøm baäc nhaát:  f x ax b  (a 0 ): Nếu a 0 thì f đồng biến trên  Bảng biến thiên x     f x  Nếu a 0 thì f nghịch biến trên  . Bảng biến thiên x     f x  Baøi giaûng oân thi vaøo Ñaïi hoïc - Caùc baøi toaùn veà haøm soá ThS. Phaïm Hoàng Phong – Giaùo vieân luyeän thi ñaïi hoïc (Haø Noäi). DÑ:0983070744 19  Chieàu bieán thieân cuûa haøm baäc hai:   2f x ax bx c   (a 0 )  a 0 : f nghịch biến trên b; 2a      , đồng biến trên b ; 2a     . Bảng biến thiên x  b 2a     f (x) 4a   a 0 : f đồng biến trên b; 2a      , nghịch biến trên b ; 2a     . Bảng biến thiên x  b 2a   4a  f (x)   Baøi giaûng oân thi vaøo Ñaïi hoïc - Caùc baøi toaùn veà haøm soá ThS. Phaïm Hoàng Phong – Giaùo vieân luyeän thi ñaïi hoïc (Haø Noäi). DÑ:0983070744 20 II. Söû duïng ñaïo haøm ñeå xeùt tính ñôn ñieäu cuûa haøm soá Nếu chỉ sử dụng định nghĩa thì ta sẽ gặp khó khăn trong nhiều bài toán xét tính đơn điệu của hàm số. Đạo hàm là công cụ hữu hiệu để xét tính đơn điệu của hàm số. Trong phần này, tôi hệ thống các kiến thức giáo khoa có liên quan.  Ñònh lyù: Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng I . Khi đó  Nếu f '(x) 0 x I   thì f đồng biến trên I .  Nếu f '(x) 0 x I   thì f nghịch biến trên I .  Nếu f '(x) 0 x I   thì f không đổi trên I .  Chuù yù:  Định lý nói trên chỉ đề cập đến việc xét sự biến thiên của hàm số trên một khoảng. Tuy nhiên, trong thực tế, ta còn phải xét sự biến thiên của hàm số trên một đoạn hay nửa khoảng. Về điều này, ta có chú ý sau đây: Khoảng I trong định lý trên có thể được thay bởi một đoạn hay một nửa khoảng. Khi đó, phải bổ sung thêm giả thiết: “Hàm số liên tục trên đoạn hoặc nửa khoảng đó”. Chẳng hạn: Nếu hàm số f liên tục trên đoạn [a;b] và    a' x bf 0 x ;  thì hàm số f đồng biến trên đoạn [a;b].  Chú ý sau cho ta một tiêu chuẩn tổng quát hơn cho việc xét chiều biến thiên hàm số: Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng I . Khi đó: ☞ Nếu  f 0x x I    và  f ' x 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm của I thì f đồng biến trên I . ☞ Nếu  f 0x x I    và  f ' x 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm của I thì f nghịch biến trên I . Baøi giaûng oân thi vaøo Ñaïi hoïc - Caùc baøi toaùn veà haøm soá ThS. Phaïm Hoàng Phong – Giaùo vieân luyeän thi ñaïi hoïc (Haø Noäi). DÑ:0983070744 21 Loaïi 1. Xeùt chieàu bieán thieân cuûa haøm soá A. Phöông phaùp giaûi toaùn Để xét chiều biến thiên của hàm số  y f x , ta làm như sau  Böôùc 1: Tìm tập xác định của hàm số.  Böôùc 2: Tính  f ' x . Tìm nghiệm của phương trình  f ' x 0 .  Böôùc 3: Lập bảng biến thiên của hàm số.  Böôùc 4: Kết luận về chiều biến thiên của hàm số. B. Moät soá ví duï Ví duï 1. Xét chiều biến thiên của hàm bậc nhất. Giaûi Xét hàm bậc nhất:  f x ax b  (a 0 ). *  TXÑ . *  f ' x a . * Do đó: a 0   f ' x 0 x    f đồng biến trên  ; a 0   f ' x 0 x    f nghịch biến trên  . Baøi giaûng oân thi vaøo Ñaïi hoïc - Caùc baøi toaùn veà haøm soá ThS. Phaïm Hoàng Phong – Giaùo vieân luyeän thi ñaïi hoïc (Haø Noäi). DÑ:0983070744 22 Ví duï 2. Xét chiều biến thiên của hàm bậc hai. Giaûi Xét hàm bậc hai:   2f x ax bx c   (a 0 ). *  TXÑ . *  f ' x 2ax b  .  f ' x 0  2ax b 0   b2ax   . Tröôøng hôïp 1: a 0 * Bảng biến thiên:   x lim f x    . x  b 2a   f ' x  0     f x 4a  * Kết luận: f nghịch biến trên  b2a;    , đồng biến trên b2a ;  . Tröôøng hôïp 2: a 0 * Bảng biến thiên:   x lim f x    . x  b 2a  f '(x)  0  4a  f (x)   * Kết luận: f đồng biến trên  b2a;    , nghịch biến trên b2a ;  . Baøi giaûng oân thi vaøo Ñaïi hoïc - Caùc baøi toaùn veà haøm soá ThS. Phaïm Hoàng Phong – Giaùo vieân luyeän thi ñaïi hoïc (Haø Noäi). DÑ:0983070744 23 Ví duï 3. Xét chiều biến thiên của hàm số   3 2f x x 3x 9x 2    . Giaûi *  TXÑ . *    2 2f ' x 3x 6x 9 3 x 2x 3      .  f ' x 0  2x 2x 3 0    x 1x 3     . * Bảng biến thiên:   x lim f x    ,   x lim f x    . x  1 3   f ' x  0  0   7  f x 25  * Kết luận: f đồng biến trên  ; 1  và  3; , nghịch biến trên  1;3 . Baøi giaûng oân thi vaøo Ñaïi hoïc - Caùc baøi toaùn veà haøm soá ThS. Phaïm Hoàng Phong – Giaùo vieân luyeän thi ñaïi hoïc (Haø Noäi). DÑ:0983070744 24 Ví duï 4. Xét chiều biến thiên của hàm số   4 3 2f x 3x 4x 12x 24x 5     . Giaûi *  TXÑ . *        3 2 3 2 2f ' x 12x 12x 24x 24 12 x x 2x 2 12 x 1 x 2           .  f ' x 0     2x 1 x 2 0    x 1x 2     . * Bảng biến thiên:   x lim f x    ,   x lim f x    . x  2 1 2   f ' x  0  0  0    16  f x 7 16 2  7 16 2  * Kết luận: f nghịch biến trên  ; 2    và 1; 2   , đồng biến trên 2;1   và 2;  . Chuù yù: (Cách xét dấu một đa thức) Tất cả các bài toán xét dấu đa thức đều có thể được quy về xét dấu của đa thức có dạng:        k k k1 2 n1 2 nP x a x x x x x x     ; trong đó a 0 , 1 2 nx x x  ( ix chính là nghiệm của đa thức), 1k , , nk là các số nguyên dương ( ik được gọi là bội của nghiệm ix ). Ta có quy tắc sau đây về dấu của đa thức  P x : * Khi x lớn hơn nghiệm lớn nhất ( nx ) thì  P x cùng dấu với a . * Khi x đi qua ix :  P x không đổi dấu khi x đi qua nghiệm bội lẻ và đổi dấu khi x đi qua nghiệm bội chẵn. Heä quaû: Nếu một đa thức bậc n có n nghiệm phân biệt thì đa thức đó đổi dấu liên tiếp khi x đi qua các nghiệm. Baøi giaûng oân thi vaøo Ñaïi hoïc - Caùc baøi toaùn veà haøm soá ThS. Phaïm Hoàng Phong – Giaùo vieân luyeän thi ñaïi hoïc (Haø Noäi). DÑ:0983070744 25 Ví duï 5. Xét chiều biến thiên của hàm số   2x 31 2xf x    . Giaûi *  TXÑ 12\  . *      7 21 2x 1 2f x \' x 0      . * Bảng biến thiên:   32 x 1x x 2x lim f x lim 1        ,   1x 2 lim f x     ,   1x 2 lim f x     x  12   f ' x     f x 1 1  * Kết luận: f nghịch biến trên  12; và  12 ; (nghịch biến trên từng khoảng xác định). Baøi giaûng oân thi vaøo Ñaïi hoïc - Caùc baøi toaùn veà haøm soá ThS. Phaïm Hoàng Phong – Giaùo vieân luyeän thi ñaïi hoïc (Haø Noäi). DÑ:0983070744 26 Ví duï 6. Xét chiều biến thiên của hàm số   2x x 1 x 1f x     . Giaûi *  TXÑ \ 1  . *     2x 2x 2x 1 f ' x    . * Bảng biến thiên:   1x 1 x 1x x 1 x lim f x lim         ,   1x 1 x 1x x 1 x lim f x lim         ,   x 1 lim f x    ,   x 1 lim f x    . x  0 1 2   f ' x  0   0    3  f x 1   * Kết luận: f đồng biến trên  ;0 và  2; , nghịch biến trên  0;1 và  1;2 . Baøi giaûng oân thi vaøo Ñaïi hoïc - Caùc baøi toaùn veà haøm soá ThS. Phaïm Hoàng Phong – Giaùo vieân luyeän thi ñaïi hoïc (Haø Noäi). DÑ:0983070744 27 Ví duï 7. Xét chiều biến thiên của hàm số   2f x 1 x  . Giaûi *  TXÑ -1;1 . *     2 xf ' x x 1;1 1 x       . * Bảng biến thiên x  1 0 1  f '(x)  0  1 f (x) 0 0 * Kết luận: f đồng biến trên  1;0 , nghịch biến trên  0;1 . Ví duï 8. Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số  f x 1 x x 1    . Giaûi *  TXÑ -1;1 . *     2 2 1 x 11 1f ' x x 1;1 2 1 x 2 1 x 2 x x 1 x 11 x x 1 x( )                    . * Bảng biến thiên x  1 0 1  f '(x)  0  2 f (x) 2 2 * Kết luận: f đồng biến trên  1;0 , nghịch biến trên  0;1 . Baøi giaûng oân thi vaøo Ñaïi hoïc - Caùc baøi toaùn veà haøm soá ThS. Phaïm Hoàng Phong – Giaùo vieân luyeän thi ñaïi hoïc (Haø Noäi). DÑ:0983070744 28 Ví duï 9. Xét chiều biến thiên của hàm số   ax bcx df x    (c 0 , ad bc ). Giaûi *  TXÑ dc\  . *       ad bc 2cx d cd f ' x x \      . Tröôøng hôïp 1:    dcad bc 0 f ' x x \0       . * Bảng biến thiên * Kết luận: f đồng biến trên từng khoảng xác định Tröôøng hôïp 2:    dcad bc 0 f ' x x \0       . * Bảng biến thiên x  d c   f ' x +    f x a c a c  * Kết luận: f nghịch biến trên từng khoảng xác định Ví duï 10. Xét chiều biến thiên của hàm bậc ba. Giaûi x  d c   f ' x     f x a c a c 