Giáo án lớp 12 môn Đại số - Chủ đề 5: Hệ tọa độ trong không gian

Tài liệu ôn thi tốt nghiệp THPT-GDTX năm 2012 Chủ đề 5: HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN I. CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN ĐẾN HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN 1) Một số phép toán vectơ Tọa độ không gian. 1. 2. 3. Nếu thì: + + + + + + + 4. Nếu A (x1;y1;z1), B (x2;y2;z2), thì: + (*) + + Điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k, thì : + Nếu M là trung điểm của AB thì: Tích có hướng của hai vectơ. * Nếu thì tích có hướng của hai vectơ đó là một véc tơ: * Kết quả: + Vectơ vuông góc với và . + Hai vectơ và cùng phương thì = 0. + Ba vectơ và đồng phẳng thì = 0. + + + + 2) Phương trình tổng quát của mặt phẳng. *) Phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua điểm M(x0;y0;z0) và có vectơ pháp tuyến là: A(x –x0 ) + B(y – y0 )+C(z – z0 ) = 0 Hay: Ax + By + Cz + D =0 ( Với D = –Ax0 – By0 – Cz0 = 0) Nếu mp (a) có phương trình : Ax + By + Cz + D = 0 thì ta có 1vtpt của () là: = (A; B; C) *) Phương trình mặt phẳng đi qua 3 điểm A(a,0,0) B(0,b,0) ; C(0,0,c) là ( Phương trình đoạn chắn) Chú ý : Muốn viết phương trình mặt phẳng ta cần xác định tọa độ1 điểm mà nó đi qua và 1 véctơ pháp tuyến. *) Vị trí tương đối của hai mp (a1) và (a2) : ° cắt ° ° ° 3) Phương trình đường thẳng. + Phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm M(x0;y0;z0) và có vectơ chỉ phương là: + Phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua điểm M(x0;y0;z0) và có vectơ chỉ phương là: +Vị trí tương đối của 2 đường thẳng d , d’ : Ta thực hiện hai bước . Tìm quan hệ giữa 2 vtcp , . Tìm điểm chung của d , d’ bằng cách xét hệ: Hệ (I) Quan hệ giữa , Vị trí giữa d , d’ Vô số nghiệm Cùng phương Vô nghiệm Có 1 nghiệm Không cùng phương d cắt d’ Vô nghiệm d , d’ chéo nhau 4) Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng. Tùy theo dang của đường thẳng và mặt phẳng đã cho mà ta chọn cách xét vị trí tương đối. Cụ thể có ba cách xét chính đó là: + Xét hệ phương trình tương giao. + Quan hệ giữa vectơ pháp tuyến, vectơ chỉ phương và vectơ nối hai điểm của đường thẳng. + Quan hệ thuộc. 5) Góc và khoảng cách. + Gọi góc giữa hai đường thẳng d1, d2 là nên ta có: + Gọi góc giữa hai mặt phẳng (P), (Q) là nên ta có: + Gọi góc giữa hai mặt phẳng (P) và đường thẳng d là nên ta có: + Khoảng cách từ điểm M(x0;y0;z0) đến mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = 0 là: + Khoảng cách từ điểm M đến một đường thẳng đi qua A và có vectơ chỉ phương là: + Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau d1 và d2 là: 6) Mặt cầu: + Phương trình mặt cầu tâm I(a;b;c) và bán kính R là: (x – a )2 + (y – b )2 + (c – z )2 = R2 + Phương trình: x2 + y2 + z2 + 2Ax + 2By + 2Cz + D = 0 là phương trình của mặt cầu khi và chỉ khi A2 + B2 + C2 – D > 0. Khi đó tâm mặt cầu là: I(-A;-B;-C) và bán kính . + Nếu d(I/(P)) = R thì mp(P) tiếp xúc với mặt cầu. + Nếu d(I/(P)) > R thì mp(P) không cắt mặt cầu. + Nếu d(I/(P)) < R thì mp(P) cắt mặt cầu theo giao tuyến là đường tròn có tâm là hình chiếu của I trên mặt phẳng (P) và bán kính với d = d(I/(P)). II. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP: Dạng 1: Các bài toán về các phép toán của véc tơ. 1. Chứng minh A,B,C là ba đỉnh tam giác, xác định hình dạng của tam giác. A,B,C là ba đỉnh tam giác Û không cùng phương. 2. Tìm D sao cho ABCD là hình bình hành. ABCD là hình bình hành 3. Chứng minh ABCD là một tứ diện, tính thể tích của tứ diện, tính độ dài đường cao của tứ diện, xác định các tính chất đặc biệt của tứ diện. + Viết phương trình (BCD) . + Thay tọa độ A vào phương trình mp(BCD) và cm ( Hoặc: chứng minh ) Dạng 2: Viết phương trình mặt phẳng. Viết phương trình mặt phẳng (P) trong các trường hợp sau: 1. Mặt phẳng (P) đi qua điểm M(x0;y0;z0) và có vectơ pháp tuyến là: A(x –x0 ) + B(y – y0 )+C(z – z0 ) = 0 2. Mặt phẳng (P) đi qua ba điểm không thẳng hàng A, B, C. + Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P): + Điểm mặt phẳng đi qua là A ( hoặc B, hoặc C) 3. Mặt phẳng (P) đi qua điểm M và vuông góc với đường thẳng d cho trước: + + Điểm mặt phẳng đi qua là M. 4. Mặt phẳng (P) đi qua điểm M và song song với mặt phẳng (Q) cho trước: + + Điểm mặt phẳng đi qua là M. 5. Mặt phẳng (P) đi qua điểm M và đường thẳng d cho trước + () + Điểm mặt phẳng đi qua là M. 6. Mặt phẳng (P) đi qua điểm hai đường thẳng cắt nhau d1, d2: + + Điểm mặt phẳng đi qua là M1 thuộc d1 (hoặc M2 thuộc d2 hoặc giao điểm của hai đường thẳng đó) 7. Mặt phẳng (P) đi qua hai đường thẳng song song d và d'. + + Điểm mặt phẳng đi qua là điểm M thuộc d hay M' thuộc d'. 8. Mặt phẳng (P) chứa d1 và song song với d2 (d1 và d2 chéo nhau) + + Điểm mặt phẳng đi qua là M1 thuộc d1. 9. Mặt phẳng (P) chứa d1 và vuông góc với mặt phẳng (Q) cho trước: + + Điểm mặt phẳng đi qua là M1 thuộc d 10. Mặt phẳng (P) đi qua M và song song với d1 và d2 chéo nhau + + Điểm mặt phẳng đi qua là M. 11. Mặt phẳng (P) đi qua M và vuông góc với mặt phẳng (R), (Q) cho trước: + + Điểm mặt phẳng đi qua là M. 12. Mặt phẳng (P) song song với mp (Q) và cách điểm A một khoảng cho trước. + PTTQ của mp (P): Ax + By + Cz + D = 0. + Tìm D. 13. Mặt phẳng (P) song song với mp (Q) và tiếp xúc với mặt cầu (S). + PTTQ của mp (P): Ax + By + Cz + D = 0. + Tìm D. 14. Mặt phẳng (P) song song với hai đường thẳng chéo nhau d, d’ và tiếp xúc với mặt cầu (S). + PTTQ của mp (P): Ax + By + Cz + D = 0. + Tìm D. Dạng 3: Viết phương trình đường thẳng. Viết phương trình đường thẳng d trong các trường hợp sau: a) Đường thẳng d đi qua điểm M(x0;y0;z0) và có vectơ chỉ phương : + Phương trình tham số: + Phương trình chính tắc: Đường thẳng d đi qua điểm M(x0;y0;z0) và vuông góc với mp(P): Ax + By + Cz + D = 0. + + Phương trình đường thẳng d: Đường thẳng d đi qua điểm M(x0;y0;z0) và song song đường thẳng d’ có vectơ chỉ phương . + . + Phương trình đường thẳng d: 2.Viết phương trình đường thẳng d là giao tuyến của hai mp(P) và mp(Q). Cách 1: + + Điểm mà đường thẳng d đi qua có tọa độ là 1 nghiệm của hệ phương trình được tạo bởi phương trình của hai mặt phẳng (P) và (Q). Cách 2: Lấy hai điểm A, B là điểm chung của hai mặt phẳng (P) và (Q), suy ra giao tuyến của hai mặt phẳng đó chính là đường thẳng AB. Cách 3: Gọi M là điểm chung của hai mặt phẳng (P) và (Q). Giả sử M có hoành độ x = t, ta đi tìm y và z theo t ,từ đó ta có phương trình tham số của giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q). 3.Viết phương trình đường thẳng d’ là hình chiếu của đường thẳng d trên mp(P): Cách 1: + Viết phương trình mp(Q) chứa đường thẳng d và vuông góc mp(P). + Khi đó đường thẳng d’ là giao tuyến của mp(P) và mp(Q). Cách 2: + Lấy hai điểm A, B thuộc đường thẳng d. + Tìm điểm A’ và B’ lần lượt là hình chiếu của điểm A và B ttrên mp(P). Khi đó: đường thẳng A’B’ chính là hình chiếu của đường thẳng d trên (P). 4. Viết phương trình đường thẳng d qua M và vuông góc với hai đường thẳng d1, d2. Vì Từ đó ta viết được phương trình đường thẳng d. 5. Viết phương trình đường thẳng d qua M và song song với hai mp(P) và mp(Q). Vì đường thẳng d song song với hai mp(P) và mp(Q) nên Từ đó ta viết được phương trình đường thẳng d. 6. Viết phương trình đường thẳng d qua M và cắt hai đường thẳng d1, d2. Cách 1: + Viết phương trình mp(P) đi qua điểm M và đường thẳng d1. + Viết phương trình mp(Q) đi qua điểm M và đường thẳng d2. Khi đó: Nếu , và không cùng phương thì đường thẳng d chính là giao tuyến của hai mặt phẳng mp(P) và mp(Q). Cách 2: + Viết phương trình mp(P) đi qua điểm M và đường thẳng d1. + Tìm giao điểm I của đường thẳng d2 và mp(P). + Viết phương trình đường thẳng MI. Nếu vectơ chỉ phương của hai đường thẳng MI và d1 không cùng phương thì đường thẳng MI chính là đường thẳng d cần tìm. 7. Viết phương trình đường thẳng d qua điểm M , cắt đường thẳng d1, và vuông góc với đường thẳng d2. Cách 1: + Viết phương trình mp(P) đi qua điểm M và đường thẳng d1. + Viết phương trình mp(Q) đi qua điểm M và vuông góc với đường thẳng d2. Khi đó: Nếu véc tơ chỉ phương của đường thẳng giao tuyến và đường thẳng d1 không cùng phương thì đường thẳng d chính là giao tuyến của hai mặt phẳng mp(P) và mp(Q). Cách 2: + Viết phương trình mp(P) đi qua điểm M và vuông góc với đường thẳng d2. + Tìm giao điểm I của đường thẳng d1 và mp(P). Khi đó: đường thẳng MI chính là đường thẳng d cần tìm. 8. Viết phương trình đường thẳng d song song đường thẳng d1 và cắt hai đường thẳng d2, d3. Cách 1: + Viết phương trình mp(P) song song với đường thẳng d1 và chứa đ.thẳngd2 + Viết phương trình mp(Q) song song với đường thẳng d1 và chứa đt d3 Gọi giao tuyến của (P) và (Q) là d. Nếu không cùng phương và không cùng phương thì d chính là đường thẳng cần tìm. Cách 2: + Viết phương trình mp(P) chứa d2 và song song d1 . + Tìm giao điểm I của đường thẳng d3 và mp(P). + Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm I và song song với đt d1. Nếu không cùng phương thì d chính là đường thẳng cần tìm. Cách 3: + Giả sử ta viết tọa độ tổng quát của điểm A, B theo t và t’. + Vì d song song d1 cùng phương với Ta có hệ hai phương trình hai ẩn t và t’. Giải hệ ta tìm được t và t’ suy ra tọa độ của A và B. Đường thẳng AB chính là đường thẳng d cần tìm. 9. Viết phương trình đường thẳng d là đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau d1, d2. Cách 1: + Giả sử ta viết được tọa độ tổng quát của A, B theo t và t’. + Vì Ta có hệ hai phương trình hai ẩn t và t’.Giải hệ ta tìm được t và t’ , suy ra tọa độ của A và B. Đường thẳng AB chính là đường thẳng d cần tìm. Cách 2: + Vì đường thẳng d vuông gócvới đường thẳng d1, d2 nên đường thẳng d có véc tơ chỉ phương là: + Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d1 và có véc tơ pháp tuyến là: + Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa đường thẳng d2 và có véc tơ pháp tuyến là: Suy ra: giao tuyến của (P) và (Q) là đường thẳng d cần tìm. Đặc biệt: Nếu thì để viết phương trình đường thẳng d là đường vuông góc chung của d1, d2 ta làm như sau: + Viết phương trình mp(P) chứa đường thẳng d1 và vuông góc với đường thẳng d2 + Viết phương trình mp(Q) chứa đường thẳng d2 và vuông góc với đường thẳng d1 Khi đó: giao tuyến của (P) và (Q) chính là đường thẳng d cần tìm. 10. Viết phương trình đường thẳng d đi qua giao điểm I của đường thẳng d’ và mặt phẳng (P), nằm trong (P) và vuông góc với d’. + Tìm toạ độ điểm I. + Dạng4: Tìm điểm H là hình chiếu của điểm M trên mặt phẳng , đường thẳng. a. H là hình chiếu của M trên mp(a) . Viết phương trình đường thẳng d qua M và vuông góc (a). . H = d (a) b. H là hình chiếu của M trên đường thẳng d . H thuộc đt d Toạ độ tổng quát của H theo tham số t. . Tính . Ta có tọa độ H Dạng 5 : Điểm đối xứng M’ của M qua 1 mặt phẳng, đường thẳng. a. Điểm M/ đối xứng với M qua mp(a) . Tìm hình chiếu H của M trên mp(a) . M/ đối xứng với M qua (a)H là trung điểm của MM/ b. Điểm M/ đối xứng với M qua đường thẳng d: . Tìm hình chiếu H của M trên d . M/ đối xứng với M qua d H là trung điểm của MM/ Dạng 6: Khoảng cách a). Khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng D: + Viết phương trình mp(a ) chứa A và D. + Tìm giao điểm H của D và (a ). + Tính d(A, D) = AH b). Khoảng cách giữa đường thẳng D và (a ) với : + Lấy M trên D + c). Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau D, D’ : + Viết phương trình mặt phẳng (a ) chứa D’ và //D + Lấy M trên D. + Chú ý: Với bài toán a) và c) HS ban KHTN đã có công thức tính. Dạng 7: Một số bài toán hình học không gian giải bằng phương pháp toạ độ. III. BÀI TẬP MINH HỌA Bài 1 : Trong không gian Oxyz cho A(1;3;-2), B(-1;1;2) và C(1;1;-3) Chứng minh rằng ABC là tam giác vuông tại A. Tính diện tích tam giác ABC. Viết phương trình tham số của đường thẳng AM, với AM là trung tuyến của tam giác ABC. Viết phương trình tổng quát của mp(P) đi qua 3 đỉnh của tam giác ABC. Tính khoảng cách từ D(2;1;2) đến mp(ABC). Bài giải a) Ta có: Suy ra: Hay tam giác ABC vuông tại A. Diện tích tam giác ABC: b) M là trung điểm của BC nên Đường thẳng AM qua A(1;3;-2) nhận làm VTCP có phương trình tham số: c) Gọi Mp(P) qua A(1;3;-2) nhận làm VTPT có phương trình tổng quát: d) khoảng cách từ D đến mp(ABC): Bài 2: Cho A(1;3;1), B(2;1;2), C(0;2;-6) và mp(P) Viết phương trình mặt cầu tâm B qua A. Viết phương trình mặt cầu đường kính BC. Viết phương trình mặt cầu tâm C, tiếp xúc mp(P). Bài giải a) Mặt cầu tâm B, qua A nên có bán kính r = AB. Phương trình mặt cầu cần tìm: b) Gọi I là trung điểm BC Khi đó: Mặt cầu đường kính BC có tâm , bán kính r = có phương trình: c) Mặt cầu tâm C tiếp xúc với (P) nên có bán kính Phương trình mặt cầu cấn tìm: Bài 3: Cho mặt cầu (S): . Xác định tọa độ tâm I và bán kính R của mặt cầu (S). Viết phương trình mp(P) tiếp xúc với mặt cầu tại M(1;1;1). Bài giải a) Từ phương trình mặt cầu ta có: Tọa độ tâm I(1; -3; 4). Bán kính: b) Mặt phẳng tiếp xúc mặt cầu tại M nên IM vuông với mp. Mp(P) qua M(1;1;1), có VTPT có phương trình: Bài 4: Viết phương trình mặt phẳng (P) trong các trường hợp sau: (P) đi qua 3 điểm A(0;1;2), B(-3;1;4), C(1;-2;-1). (P) qua DE và song song với GH với D(1;1;1), E(2;1;2), G(-1;2;2) và H(2;1;-1) (P) là mặt phẳng trung trực của MN với M(2;3;1), N(-4;1;5). Bài giải a) Ta có: Mp(P) qua A(0;1;2), có VTPT có phương trình: b) Mp(P) qua D(1;1;1), có VTPT có phương trình: c) Gọi I là trung điểm MN, . . Mp(P) là mp trung trực của MN nên đi qua điểm qua , nhận làm VTPT có phương trình: Bài 5: Trong không gian Oxyz cho A(0;1;2), B(-3;1;4), C(1;-2;-1). Viết phương trình tham số của đường thẳng d biết: d qua điểm A và trung điểm I của đoạn thẳng BC. d qua C và vuông góc với mp(ABC). Bài giải a) I là trung điểm BC nên . VTCP: . Phương trình tham số đường thẳng d: b) VTCP: Phương trình đường thẳng d cần tìm: Bài 6: Xét vị trí tương đối của d với các đường thẳng: a) b) c) Bài giải d có VTCP . a) có VTCP . Xét hệ phương trình: vô nghiệm. Và Suy ra: d // . b) Thực hiện tương tự: d và cắt nhau. c) Thực hiện tương tự: d và chéo nhau. Bài 7: Cho 4 điểm A(-2;6;1) B(-1;1;2) C(2;-1;2) D(-1;1;0) Viết phương trình đường thẳng d đi qua A và vuông góc với mặt phẳng (BCD). Tìm toạ độ hình chiếu H của A trên (BCD). Tìm toạ độ điểm A’ đối xứng với điểm A qua mặt phẳng (BCD). Tìm toạ độ hình chiếu K của D trên đường thẳng BC. Tìm toạ độ điểm D’ đối xứng với điểm D qua đường thẳng BC. Giải: Ta có: (BCD) có VTPT: PTĐT d là: PTMP (BCD) là: 2x + 3y - 1 = 0. Toạ độ điểm H là nghiệm của hệ pt: Do A’ đối xứng với A qua (BCD) nên H là trung điểm của AA’ Điểm A’ có toạ độ là: A’(-6;0;1). 4. PTĐT BC: Do K(-1+3t;1-2t;2) Do 5. Do D’ đối xứng với D qua BC nên K là trung điểm của BC D’(-1;1;4) Bài 8: Viết phương trình mặt phẳng (P) biết: mp (P) đi qua điểm A(-1; 2; -3) và đường thẳng d có phương trình Giải: Ta có: đường thẳng d luôn đi qua điểm M(1; -1; 3) và có vectơ chỉ phương ; Gọi là vectơ pháp tuyến của mp(P). Vì mp(P) đi qua điểm A(-1;2;-3) và đường thẳng d nên . Suy ra phương trình mp(P) là: 3(x + 1) + 28(y – 2) + 13(z + 3) = 0 3x + 28y + 13z – 14 = 0. Vậy: phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A và đường thẳng d là: 3x + 28y + 13z – 14 = 0. Bài 9 : Trong không gian cho hai đường thẳng: và Chứng minh rằng d1, d2 chéo nhau. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d1 và song song d2. Giải: Ta luôn có: Đường thẳng d1 đi qua M1(-2; 2; 0) và có vectơ chỉ phương . Đường thẳng d2 đi qua M2(-5; 2; 0) và có vectơ chỉ phương . Xét hệ phương trình tạo bởi phương trình của hai đường thẳng d1, d2 : (hệ vô nghiệm) Suy ra : d1 song song với d2 hoặc d1 và d2 chéo nhau. Mặt khác: hai vectơ chỉ phương , không cùng phương nên d1 không thể song song d2 , do đó d1 và d2 chéo nhau. b) Vì mp(P) là mặt phẳng chứa d1 và song song d2 nên ta có: , và do mp(P) qua M1(-2; 2; 0) thuộc d1 nên phương trình mặt phẳng (P) là: 3(x + 2) + 7(y – 2) – 2z = 0. 3x + 7y – 2z – 8 = 0 . Lưu ý : Để chứng minh d1 chéo d2 các em học sinh ban KHTN còn có thể chứng minh bằng cách CM : . Bài 10 : Lập phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu (S) x2 + y2 + z2 -2x -4y -6z – 2 =0 và song song với mặt phẳng (P): 4x + 3y – 12z + 1 = 0 Giải: Ta có: mặt cầu (S) viết lại là : Mặt cầu (S) có tâm I(1;2;3) và bán kính R=4 Vì mặt phẳng song song với mặt phẳng (P) nên mặt phẳng có dạng : 4x + 3y -12z + D =0 Hơn nữa: mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu (S) nên Vậy: có hai mặt phẳng thoả mãn điều kiện đầu bàiđó là: 4x + 3y -12z + 78 =0 và 4x + 3y -12z -26 =0 Bài 11 : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho đường thẳng và mặt phẳng (P) : 2x + y -2z + 9 = 0 a, Tìm toạ độ điểm I thuộc d sao cho khoảng cách từ I đến mặt phẳng (P) bằng 2 b, Tìm . Viết phương trình đường thẳng ∆ nằm trong (P), đi qua A và vuông góc với đường thẳng d. Giải: a, Theo giả thiết nên điểm I có toạ độ tổng quát là: I( 1-t; -3+2t; 3+t) Hơn nữa: * Với t=2 ta có : I (3;-7;1) * Với t =4 ta có: I( -3;5;7) Vậy: có hai điểm I thoả mãn điều kiện đầu bài đó là : I (3;-7;1) và I( -3;5;7) b, Do nên tọa độ điểm A là nghiệm của hệ : Theo giả thiết: đường thẳng ∆ nằm trong mặt phẳng (P) và vuông góc với đường thẳng d nên đường thẳng ∆ có VTCP là : Mà : Vậy: Phương trình đường thẳng ∆ là : Bài 12 : Cho mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 – 2y– 4z -20 = 0 và mặt phẳng (P): x + 2y – z + 8 = 0 Chứng minh rằng: mặt cầu (S) cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến là đường tròn (C). Xác định tâm và bán kính của đường tròn giao tuyến (C). Giải: Ta luôn có : mặt cầu (S) có tâm I(0;1;2) và bán kính R=5. Vì: Mặt cầu (S) cắt (P) theo 1 giao tuyến là đường tròn (C). Gọi H là hình chiếu của I trên (P) H là tâm đường tròn (C) và bán kính của (C) là: * Gọi d là đường thẳng di qua I là vuông góc với mặt phẳng (P) nên d có VTCP là : Phương trình đường thẳng d là: Khi đó: Toạ độ điểm H là nghiệm của hệ : Và bán kinh của (C) là: Vậy: mặt cầu (S) cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến là đường tròn (C) có tâm và bán kính . Bài 13: Trong không gian Oxyz cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có: A(0; 0; 0), B(a; 0; 0), D(0; a; 0), A’(0; 0; b) (Với a > b > 0). Gọi M là trung điểm CC’. Xác định tỉ số để hai mặt phẳng (A’BD) và (MBD) vuông góc với nhau. Giải: * Theo gt ta luôn có: C(a; a; 0), C’(a; a; b). Vì M là trung điểm CC’ nên M(a; a; b/2). Khi đó: Do đó: vectơ chỉ phương của mp(A’BD)là: Và : vectơ chỉ phương của mp(MBD) là: . * Để hai mặt phẳng (A’BD) và (MBD) vuông góc với nhau ta phải có: Vậy: nếu tỉ số thì hai mặt phẳng (A’BD) và (MBD) vuông góc với nhau. Bài 14: (Đề thi Đại học khối A năm 2008) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Mặt bên SAD là tam giác đều và nằm trên mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh SB, BC, CD. CMR : . Tính thể tích VCMNP. Giải: * Do đều và nên nếu gọi H là trung điểm AD Khi đó, ta chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho : O = H = (0 ; 0 ; 0), N = (a ; 0 ; 0), D = (0 ; a/2 ; 0), S = (0 ; 0 ; ) B(a ; -a/2; 0), P(-a/2; -a/2; 0), A(0; -a/2; 0), M() Vậy . * Ta có : Mà : (đvtt). III. BÀI TẬP RÈN LUYỆN Bài 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm M(1; 1 ; 0) và mặt phẳng (P): x + y – 2z + 3 = 0. 1/ Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (Q) qua M và song song với mặt phẳng (P). 2/ Viết phương trình mặt cầu tâm M và tiếp xúc với mp(P). 3/ Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua M và vuông góc với (P). Tìm tọa độ giao điểm I của d và (P). ĐS: 1/ x + y -2z - 2 = 0 2/ 3/ Bài 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A(-1 ; 2 ; 0), B(-3 ; 0 ; 2), C(1 ; 2 ; 3), D(0 ; 3 ; - 2). 1/ Viết phương trình mặt phẳng (ABC). 2/ Viết phương trình mặt phẳng qua CD và song song với đường thẳng AB. 3/ Viết phương trình đường thẳng AD. 4/ Tính diện tích tam giác ABC và thể tích tứ diện ABCD. ĐS: 1/ 3x - 5y - 2z +13 = 0 2/ 2x - 3y - z + 7 = 0 3/ 4/ Bài 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x + y – z – 6 = 0 và điểm M(1, -2 ; 3). 1/ Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua M và song song với mp(P).Tính khỏang cách từ M đến mp(P). 2/ Tìm tọa độ hình chiếu của điểm M lên mp(P). ĐS: 1/ 2x + y - z - 6 = 0 2/ Bài 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm D(-3 ; 1 ; 2) và mặt phẳng (P) đi qua ba điểm A(1 ; 0 ; 11), B(0 ; 1 ; 10), C(1 ; 1 ; 8). 1/ Viết phương trình đường thẳng AB và phương trình mặt phẳng (P). 2/Viết phương trình mặt cầu tâm D, bán kính R = 5. Chứng minh rằng mặt cầu này cắt mặt phẳng (P). Đs: 1/ (P): 2x - 3y + z - 7 = 0 2/ Bài 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm A(1 ; 4 ; 0), B(0 ; 2 ; 1), C(1 ; 0 ; -4). 1/ Tìm tọa độ điểm D để ABCD là hình bình hành và tìm tọa độ tâm của hình bình hành . 2/ Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua trọng tâm của tam giác ABC và vuông góc với mp(ABC). ĐS: 1/ D(2;2;-5) I(1;2;-2) 2/ Bài 6: Trong không gian Oxyz, cho bốn điểm A(1 ; -2 ; 2), B(1 ; 0 ; 0), C(0 ; 2 ; 0), D(0 ; 0 ; 3). 1/ Viết phương trình mặt phẳng (BCD). Suy ra ABCD là một tứ diện. 2/ Tìm điểm A’ sao cho mp(BCD) là mặt phẳng trung trực của đọan AA’. ĐS: 1/ 6x + 3y + 2z - 6 = 0 2/ A’() Bài 7: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,cho hai điểm A(2 ; 1 ; 1), B(2 ; -1 ; 5). 1/ Viết phương trình mặt cầu (S) đường kính AB. 2/ Viết phương trình mặt phẳng qua tiếp điểm với mặt cầu (S) tại A. 3/ Tìm điểm M trên đường thẳng AB sao cho tam giác MOA vuông tại O. ĐS: 1/ 2/ y - 2z + 1 = 0 3/ M(2;5;-7) Bài 8: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(3 ; 0 ; -2), B(1 ; -2 ; 4). 1/ Viết phương trình đường thẳng AB và phương trình mặt phẳng trung trực của đọan AB. 2/ Viết phương trình mặt cầu tâm A và đi qua điểm B. Tìm điểm đối xứng của B qua A. ĐS: 1/ 2/ x + y - 3z + 2 = 0 Bài 9 :Cho A(-1;2;1), B(1;-4;3), C(-4;-1;-2) a)Viết phương trình mp đi qua I(2;1;1) và song song với mp (ABC) b)Viết phương trình mp qua A và song song với mp (P):2x- y- 3z- 2 = 0 c)Viết ptmp qua hai điểm A ,B và vuông góc với mp (Q):2x- y+2z- 2 = 0 d)Viết ptmp qua A, song song với Oy và vuông góc với mp (R):3x – y-3z-1=0 e)Viết phương trình mp qua C song song với mp Oyz f).Viết phương trình mp(P) qua các điểm là hình chiếu của điểm M(2;-3;4) lên các trục toạ độ. ĐS: a/ x - z - 1 = 0 b/ 2x - y - 3z + 7 = 0 c/ x - z + 2 = 0 d/ x + z = 0 e/ x + 4 = 0 f/ 6x - 4y + 3z - 12 = 0 Bài 10 :Cho hai đường thẳng (d): và (d’): . a) Chứng tỏ rằng (d) và (d’ ) chéo nhau.Tính khoảng cách giữa chúng b)Viết phương trình đường vuông góc chung của chúng c)Tính góc giữa (d1) và (d2) ĐS: a/ b/ Bài 11:Trong không gian Oxyz cho bốn điểm A(-2;1;-1), B(0,2,-1), C(0,3,0), D(1,0,1). a). Viết phương trình đường thẳng BC. b). Chứng minh 4 điểm A, B, C, D không đồng phẳng. Tính thể tích tứ diện ABCD. ĐS: a/ b/ V = Bài 12 :Cho và đường thẳng (d) là giao tuyến của hai mặt phẳng 3x – y + 4z – 27 = 0 và 6x + 3y – z + 7 = 0. a/ Tìm giao điểm A của (d) và . b/ Viết phương trình đường thẳng đi qua A, vuông góc với (d) và nằm trong mp . ĐS: a/ A(2;-5;4) b/ Bài 13 :Trong không gian Oxyz cho điểm A(1;4;2) và mặt phẳng (P) có phương trình x + 2y + z –1= 0 a/ Hãy tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của A trên (P). b/ Viết phương trình mặt cầu tâm A, tiếp xúc với (P). ĐS: a/ H() b/ Bài 14 :Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm M (4 ; -3 ; 2 ) và đường thẳng ( d) có phương trình tham số . a). Viết phương trình mp( P) qua điểm M và chứa đường thẳng (d) . b). Viết phương trình mp ( Q ) : biết mp(Q) qua M và vuông góc đường thẳng (d) c). Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu vuông góc của M lên đường thẳng (d) . ĐS: a/ x - 3y - 5z - 3 = 0 b/ 3x + 2y - z - 4 = 0 c/ H(1;0;-1) Bài 15:Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm M(2;3;0) , mặt phẳng (P ) : và mặt cầu (S) : . a. Tìm điểm N là hình chiếu của điểm M lên mặt phẳng (P) . b. Viết phương trình mặt phẳng (Q) song song với (P) và tiếp xúc với mặt cầu (S) ĐS: a/ (1;2;-2) b/ x + y + 2z + 1 = 0 và x + y + 2z - 11 = 0