Giáo án lớp 12 môn đại số - Chủ đề IV: Ứng dụng nguyên hàm, tích phân và ứng dụng

Chủ đề IV: NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG Số tiết: I. Mục đích yêu cầu: 1. Kiến thức: - Học sinh nắm vững bảng nguyên hàm của các hàm số và các phương pháp tính nguyên hàm và tích phân. - Nắm vững công thức tìm diện tích hình phẳng, diện tích của vật thể tròn xoay. 2. Kĩ năng: - Biết áp dụng các tính chất và công thức nguyên hàm để tìm nguyên hàm của các hàm số thường gặp. - Biết áp dụng các phương pháp tìm nguyên hàm tích phân vào giải bài tập. - Biết áp dụng công thức để tính diện tích hp, và thể tích của vật thể ròn xoay. - Nhận biết các dạng bài tập để dùng phương pháp chính xác. 3. ý thức: - Rèn cho học sinh có tư duy logic, tích cực, cẩn thận khi trình bày bài thi. II. Phương pháp – phương tiện: 1. Phương pháp: - Phát huy tích chủ động tích cực của học sinh, giáo viên hướng dẫn rèn kĩ năng tính toán và trình bày cho học sinh. 2. Phương tiện: - Tài liệu ôn thi tốt nghiệp năm 2009. III. Nội dung: A. TÌM NGUYÊN HÀM CỦA MỘT HÀM SỐ: 1/ Các kiến thức cần nắm vững : * Bảng nguyên hàm các hàm số thường gặp thường dùng. Nguyªn hµm cña c¸c hµm sè s¬ cÊp Nguyªn hµm cña c¸c hµm sè hîp (u=u(x)) 1. = x+C 10. = u+C 2. (-1) 11. (-1) 3. = ln +C (x0) 12. = ln +C (u=u(x)0) 4. 13. 5. 14. 6. 15. 7. 16. 8. 17. 9. 18. Nguyên hàm của các hàm số mở rộng thường gặp. 1) 3) (a0) 2) 4. 2. Các phương pháp tìm nguyên hàm. C¸ch 1: x¸c ®Þnh nguyªn hµm b»ng ®Þnh nghÜa: C¸ch 2: x¸c ®Þnh nguyªn hµm b»ng phương pháp đổi biến: C¸ch 3: x¸c ®Þnh nguyªn hµm b»ng phương pháp nguyên hàm từng phần: * Một số dạng toán thường gặp: Dạng 1: Tìm nguyên hàm của một hàm số bằng định nghĩa và tính chất. Phương pháp giải: Thường đưa nguyên hàm đă cho về nguyên hàm của tổng và hiệu sau đó vận dụng bảng nguyên hàm thường dùng kết quả. Ví dụ: Tìm nguyên hàm các hàm số sau: a) f(x) = x3 – 3x + b) f(x) = + Giải a/ b/ Dạng 2: Tìm nguyên hàm bằng pp đổi biến. Ví dụ: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: c) f(x) = (5x + 3)5 d) f(x) = sin4x cosx Giải c/ I = Đặt u = 5x + 3 => du = 5dx d/ K = Đặt u = sinx => du = cosxdx Bài tập đề nghị: Tìm các họ nguyên hàm sau 1 . 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. B. CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN : 1/ Các kiến thức cần nắm vững : Bảng nguyên hàm thường dùng. Định nghĩa tích phân, các tính chất của tích phân. Các phương pháp tính tích phân.. 2/Một số dạng toán thường gặp: Dạng 1: Tính tích phân bằng định nghĩa và tính chất. Phương pháp giải: Thường đưa tích phân đă cho về tích phân của tổng và hiệu sau đó vận dụng bảng nguyên hàm thường dùng kết quả. Ví dụ: Tìm tích phân các hàm số sau: a/ b/ c/ Giải a/ = b/ ==8 c/ =+=+ =(x-=5 Bài tập đề nghị: Tính các tích phân sau: 1/I= 2/J= 3/K= Dạng 2: Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến dạng 1: Phương pháp giải: b1: Đặt x = u(t) (điều kiện cho t để x chạy từ a đến b) dx = b2: Đổi cận: x = a u(t) = a t = x = b u(t) = b t = ( chọn , thoả đk đặt ở trên) b3: Viết về tích phân mới theo biến mới, cận mới rồi tính tích phân . Ví dụ: Tính : Đặt x = sint dx = cost.dt. V́ x [0;1] nn ta chọn t Đổi cận: x = 0 t = 0 ; x= 1 t = Vậy : = = Chú y: Khi gặp tích phân mà biểu thức dưới dấu tích phân có dạng : thì đặt x= sint t thì đặt x= tgt t thì đặt x= t \ Dạng 2: Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến 2. Phương pháp giải: b1: Đặt t = (x) dt = b2: Đổi cận: x = a t =(a) ; x = b t = (b) b3: Viết tích phân đă cho theo biến mới, cận mới rồi tính tích phân t́m được . Ví du : Tính tích phân sau : a/ b/ Giải: a/ Đặt t = x2 + x +1 dt = (2x+1) dx Đổi cận: x = 0 t =1 ; x = 1 t = 3 Vậy I= b/ Đặt t= t2= x2+ 3 tdt = x dx Đổi cận: x = 0 t = ; x = 1 t = 2 Vậy J = Bài tập đề nghị: Tính các tích phân sau: 1/ 2/ 3/ 4/ Dạng 3: Tính tích phân bằng phương pháp tích phân từng phần: Công thức từng phần : Phương pháp giải: B1: Đặt một biểu thức nào đó dưới dấu tích phân bằng u tính du. phần c̣òn lại là dv tìm v. B2: Khai triển tích phân đã cho theo công thức từng phần. B3: Tích phân suy ra kết quả. */ Khi gặp tích phân dạng : - Nếu P(x) là một đa thức ,Q(x) là một trong các hàm số eax+b, cos(ax+b) , sin(ax+b) th́ ta đặt u = P(x) ; dv= Q(x).dx Nếu bậc của P(x) là 2,3,4 thì ta tính tích phân từng phần 2,3,4 lần theo cách đặt trên. - Nếu P(x) là một đa thức ,Q(x) là hàm số ln(ax+b) thì ta đặt u = Q(x) ; dv = P(x).dx Ví dụ 1: Tính các tích phân sau: a/ I= b/J= Giải a/ Đặt : (chú ý: v là một nguyên hàm của cosx ) vậy I=x cosx - = cosx= -1 b/ Đặt : Vậy J= lnx. - Bài tập đề nghị: Tính các tích phân sau: 1/ 2/ 3/ 4/ 5/ Dạng 4: Tính tích phân của một số hàm hữu tỉ thường gặp: a/Dạng bậc của tử lớn hơn hay bằng bậc của mẫu: Phương pháp giải: Ta chia tử cho mẫu tách thành tổng của một phần nguyên và một phần phân số rồi tính. Ví dụ: Tính các tích phân sau: a/ = . b/ Bài tập đề nghị: Tính các tích phân sau: 1/I= 2/J= b/Dạng bậc1 trên bậc 2: Phương pháp giải: Tách thành tổng các tích phân rồi tính. Trường hợp mẫu số có 2 nghiệm phân biệt: Ví dụ: Tính các tích phân : Giải Đặt = A(x-3)+B(x+2)=5x-5 cho x=-2 A=3. cho x=3 B=2. vậy ta có: = Trường hợp mẫu số có nghiệm kép: Ví dụ: Tính các tích phân : Giải CI: =(ln CII: Đặt Ax -2A+B= 0 Vậy = Trường hợp mẫu số vô nghiệm: Ví dụ: Tính các tích phân :I= Giải: Ta có = Tính J= Đặt x+1=(t ) dx=. Khi x= -1 th́ t = 0 ; khi x=0 th́ t= vậy J= Vậy I= ln ) Bài tập đề nghị: Tính các tích phân sau: 1/I= 2/I= 3/ I= Dạng 5: Tính tích phân hàm vô tỉ: Dạng1: Đặt t= Dạng 2: Đặt t= Ví dụ: Tính tích phân I = Giải Đặt t = t3= 1-x x= 1-t3 dx= -3t2dt. Đổi cận: x=0 t=1; x=1 t=0. Vậy I= Bài tập đề nghị: Tính các tích phân sau: 1/ 2/ Dạng 6: Tính tích phân của một số hàm lượng giác thường gặp Dạng: Phương pháp giải: Dùng công thức biến đổi tích thành tổng để tách thành tổng hoặc hiệu các tích phân rồi giải. Dạng: Phương pháp giải: Nếu n chẵn dùng công thức hạ bậc, n lẻ dùng công thức đổi biến. Ví dụ : Dạng: Đặc biệt: Phương pháp giải: Đặt t =sinx Dạng: Đặc biệt: Phương pháp giải: Đặt t =cosx Các trường hợp c̣n lại đặt x=tgt Ví du: Tính các tích phân sau: a/ b/ c/ d/ Giải a/ = b/ c/ I== đặt u=sinx du = cosx dx. x=0 u=0 ; x= u=1 vậy: I= d/J== đặt u=sinx du = cosx dx. x=0 u=0 ; x= u=1 J= Bài tập đề nghị: Tính các tích phân sau: 1/ 2/ 3/ 4/ III/ ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN VÀO DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG THỂ TÍCH CỦA VẬT THỂ TRÒN XOAY: 1/ Dạng toán1: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi 1 đường cong và 3 đường thẳng. Công thức: Cho hàm số y=f(x) liên tục trên đoạn [a;b] khi đó diện tích h́nh phẳng giới hạn bởi đường cong (C): y=f(x) và các đường thẳng x = a; x = b; y = 0 là : 2/ Dạng toán2: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2 đường cong và 2 đường thẳng. Công thức: Cho hàm số y=f(x) có đồ thị (C) và y=g(x) có đồ thị (C’) liên tục trên đoạn [a;b] khi đó diện tích h́nh phẳng giới hạn bởi đường cong (C), (C’) và các đường thẳng x= a; x=b là : Phương pháp giải toán: B1: Lập phương trình hoành độ giao điểm giữa (C) và (C’) B2: Tính diện tích h́nh phẳng cần tìm: TH1: Nếu phương tŕnh hoành độ giao điểm vô nghiệm trong (a;b). Khi đó diện tích h́nh phẳng cần tìm là: TH2: Nếu phương tŕnh hoành độ giao điểm có 1 nghiệm là x1(a;b). Khi đó diện tích hình phẳng cần tìm là: TH3: Nếu pt hoành độ giao điểm có các nghiệm là x1; x2(a;b).Khi đó diện tích hình phẳng cần tìm là: Chú ý: * Nếu pt hoành độ giao điểm có nhiều hơn 2 nghiệm làm tương tự trường hợp 3. * Dạng toán 1 là trường hợp đặc biệt của dạng toán 2 khi đường cong g(x)=0 Ví dụ 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = sinx trên đoạn [0;2] và trục hoành . Giải : Ta có: sinx = 0 có 1 nghiệm x = vậy diện tích hình phẳng cần tìm là: S = = = 4 Ví dụ 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P1): y = x2 –2 x , và (P2) y= x2 + 1 và các đường thẳng x = -1 ; x =2 . Giải phhđgđ : x2 –2 x = x2 + 1 2x +1= 0 x = -1/2 . Do đó : S = = = = Ví dụ 3: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P): y2 = 4 x , và đường thẳng (d): 2x+y-4 = 0. Giải: Ta có (P): y2 = 4 x x = và (d): 2x+y-4 = 0 x= . Phương trình tung độ giao điểm của (P) và đường thẳng (d) là: = Vậy diện tích hình phẳng cần tìm là: S= Bài tập đề nghị: 1/ Tính diện tích hình phẳng giới hạn giữa đường cong (P): y= x2 - 2x và trục hoành. 2/ Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong (H): và các đường thẳng có phương tŕnh x=1, x=2 và y=0 3/ Tính diện tích hình phẳng giới hạn giữa đường cong (C): y= x4 - 4x2+5 và đường thẳng (d): y=5. 4/ Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C): y = x3 –3 x , và y = x . 2/ Dạng toán 3: Thể tích của một vật thể tṛòn xoay Thể tích của vật thể tṛòn xoay sinh ra khi hình phẳng giới hạn bởi đường cong (C) có phương trình y= f(x) và các đường thẳng x= a, x=b , y= 0 quay một ṿòng xung quanh trục ox là: Ví dụ 1: Tính thể tích khối cầu sinh ra do quay hình tṛòn có tâm O bán kính R quay xung quanh trục ox tạo ra. Giải: Đường tṛn tâm O bán kính R có phương trình :x2 + y2 = R2 y2= R2-x2 Thể tích khối cầu là : V= = = = (đvtt) Ví dụ 2: Tính thể tích của vật thể tṛòn xoay, sinh ra bởi mỗi hình phẳng giới hạn bởi các đường sau khi nó quay xung quanh trục Ox: x = –1 ; x = 2 ; y = 0 ; y = x2–2x Giải: Thể tích của vật thể tṛòn xoay cần tìm là : == (đvtt) Bài tập đề nghị: Tính thể tích của vật thể tṛòn xoay, sinh ra bởi mỗi hình phẳng giới hạn bởi các đường sau khi nó quay xung quanh trục Ox: a/ y = cosx ; y = 0 ; x = 0 ; x = b/ y = sin2x ; y = 0 ; x = 0 ; x = c/ y = ; y = 0 ; x = 0 ; x = 2